2021-2022学年江苏省各地苏科版九年级数学上册1.2一元二次方程的解法期末试题分类选编(Word版含答案)

1.2 一元二次方程的解法
1．（2022·江苏泰州·九年级期末）方程 x2＝4的解是（ ）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝－2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－4
2．（2022·江苏南通·九年级期末）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+1＝0时，下列变形正确的为（　　）
A．（x﹣4）2＝17 B．（x+4）2＝17 C．（x﹣4）2＝15 D．（x+4）2＝15
3．（2022·江苏扬州·九年级期末）用配方法将方程变形为则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏淮安·九年级期末）一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（2022·江苏盐城·九年级期末）下列关于的一元二次方程有实数根的是
A． B． C． D．
6．（2022·江苏镇江·九年级期末）方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
7．（2022·江苏扬州·九年级期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2（k＋1）＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
8．（2022·江苏南京·九年级期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
9．（2022·江苏宿迁·九年级期末）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
10．（2022·江苏南通·九年级期末）已知直线与双曲线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·江苏扬州·九年级期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则整数最大是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·江苏常州·九年级期末）若一元二次方程x2-4x+k+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．
13．（2022·江苏南京·九年级期末）方程x2﹣9＝0的解是_____．
14．（2022·江苏徐州·九年级期末）方程x2=2的解是_____．
15．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣3＝0的一个根，则m的值为__________．
16．（2022·江苏无锡·九年级期末）用配方法将方程化成的形式：________．
17．（2022·江苏江苏·九年级期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．
18．（2022·江苏连云港·九年级期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是______
19．（2022·江苏盐城·九年级期末）一元二次方程的根是_______．
20．（2022·江苏盐城·九年级期末）方程x2﹣x＝0的解是 ___．
21．（2022·江苏盐城·九年级期末）方程的解为：___________．
22．（2022·江苏·沭阳县怀文中学九年级期末）若函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 __________．
23．（2022·江苏扬州·九年级期末）若关于x的方程有两个不相等的正整数根，则整数m的值为______．
24．（2022·江苏扬州·九年级期末）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为_____．
25．（2022·江苏宿迁·九年级期末）已知△ABC的边长都是关于x的方程x2﹣3x+8＝0的解，其中整数k＜5，则△ABC的周长等于 _____．
26．（2022·江苏镇江·九年级期末）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
27．（2022·江苏盐城·九年级期末）解方程
（1）
（2）
28．（2022·江苏扬州·九年级期末）解方程．
(1)3x2﹣1＝4x；
(2)（x＋4）2＝5（x＋4）．
29．（2022·江苏无锡·九年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
30．（2022·江苏扬州·九年级期末）解方程：
(1)（x+2）2﹣9＝0；
(2)x2﹣2x﹣3＝0．
31．（2022·江苏南京·九年级期末）解方程：
(1)x2－4x－1＝0；
(2)100（x－1）2＝121．
32．（2022·江苏·南京市金陵汇文学校九年级期末）解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
33．（2022·江苏盐城·九年级期末）解方程
(1)
(2)
34．（2022·江苏盐城·九年级期末）用适当的方法解一元二次方程．
(1)x（x－3）＝－（x－3）
(2)x2＋4x－3＝0
35．（2022·江苏南京·九年级期末）解方程：（1）x2－2x－3＝0； （2）x (x－2)－x＋2＝0．
36．（2022·江苏南京·九年级期末）解方程：x2－5x－6＝0．
37．（2022·江苏宿迁·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．
38．（2022·江苏盐城·九年级期末）已知关于x的一元二次方程：．
(1)当时，求方程的根；
(2)求证：这个方程总有两个不相等的实数根．
39．（2022·江苏·射阳县第六中学九年级期末）（1）计算：+|1﹣|﹣；
（2）解方程：；
40．（2022·江苏连云港·九年级期末）解方程：x2﹣6x+8＝0．
41．（2022·江苏南京·九年级期末）解方程：
(1)x2－x－2＝0；
(2)3x(x－2)＝2－x．
42．（2022·江苏常州·九年级期末）解下列方程：
（1） （2）
43．（2022·江苏宿迁·九年级期末）解下列方程：
(1)x2﹣4x﹣12＝0；
(2)x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3）．
44．（2022·江苏省南京二十九中教育集团致远中学九年级期末）解下列一元二次方程．
(1)x2-4x+1=0；
(2)x(2x-1)=x．
45．（2022·江苏·景山中学九年级期末）解方程：
(1)x2﹣6x﹣4＝0；
(2)3y (y - 1) = 2 (y - 1)．
46．（2022·江苏镇江·九年级期末）解方程：
(1)；
(2)
47．（2022·江苏南通·九年级期末）解方程：
(1)（2x﹣1）2＝（3﹣x）2；
(2)．
48．（2022·江苏江苏·九年级期末）解方程：
(1)
(2)
49．（2022·江苏南京·九年级期末）解方程：
(1)x2﹣4x+2＝0：
(2)（x﹣1）2﹣x+1＝0．
50．（2022·江苏扬州·九年级期末）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
51．（2022·江苏盐城·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2－（m＋3）x＋m＋2＝0
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．
52．（2022·江苏无锡·九年级期末）已知：关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
53．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m＝0．求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
54．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2-4x+2=0的两根，求BC的长．
55．（2022·江苏南京·九年级期末）已知函数y1＝x＋1和y2＝x2＋3x＋c（c为常数）.
（1）若两个函数图像只有一个公共点，求c的值；
（2）点A在函数y1的图像上，点B在函数y2的图像上，A，B两点的横坐标都为m．若A，B两点的距离为3，直接写出满足条件的m值的个数及其对应的c的取值范围．
56．（2022·江苏江苏·九年级期末）解方程：．
57．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）解方程：．
58．（2022·江苏淮安·九年级期末）解方程：
(1)2x（x-2）=5（2-x）
(2)x2-5x+3=0
59．（2022·江苏镇江·九年级期末）【阅读】小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程（a、b、m为常数，）的解是，，求方程的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．
解：在方程中令，则方程可变形为，
根据关于x的方程的解是，，
可得方程的解是，．
把代入得，，把代入得，，
所以方程的解是，．
【理解】
已知关于x的一元二次方程有两个实数根m，n．
(1)关于x的方程的两根分别是______（用含有m、n的代数式表示）；
(2)方程______的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
(3)【猜想与证明】
双察下表中每个方程的解的特点：
方程 方程的解 方程 方程的解
， ，
， ，
， ，
…… …… …… ……
猜想：方程的两个根与方程______的两个根互为倒数；
(4)仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．
参考答案：
1．C
【解析】两边开方得到x=±2．
解：∵x2=4，
∴x=±2，
∴x1=2，x2=-2．
故选：C．
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax2+c=0（a≠0）的方程可变形为，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．
2．C
【解析】把一元二次方程左边变成完全平方式即可．
解：x2﹣8x+1＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣1，
配方得：x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15．
故选：C．
本题考查一元二次方程的求解，熟练掌握配方法的原理及变形步骤是解题关键 ．
3．C
【解析】将方程的常数项移到右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
解：，
移项得：，
配方得：，即，
所以．
故选：C．
此题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
4．D
【解析】由根的判别式 判断即可．
解： =b2-4ac=(-4)2-4×5=-4＜0，方程没有实数根．
故选择D．
本题考查了一元二次方程根与判别式的关系，掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
5．D
【解析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．
解：A、这里，，，
△，
方程没有实数根，本选项不合题意；
B、这里，，，
△，
方程没有实数根，本选项不合题意；
C、这里，，，
△，
方程没有实数根，本选项不合题意；
D、这里，，，
△，
方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；
故选：D．
本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式的意义．
6．A
【解析】根据根的判别式得出△=b-4ac，套入数据求出△的值，由此即可得出结论．
在方程x 2x 3=0中，
△=b 4ac=( 2) 4×1×( 3)=16>0，
故该方程有两个不相等的实数根.
故选A.
此题考查根的判别式，解题关键在于掌握其公式.
7．C
【解析】先计算根的判别式得到△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2，再利用非负数的性质得到△≥0，然后可判断方程根的情况．
解：△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2，
∵（k-1）2≥0，
即△≥0，
∴方程有两个实数根．
故选：C．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
8．D
【解析】整理后得出，求出△，再根据根的判别式的内容得出答案即可．
解：，
整理，得，
△，
方程有两个相等的实数根，
故选：D．
本题考查了根的判别式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容．
9．D
【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0，
解得a＜1且a≠0．
故选：D．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
10．A
【解析】首先把点A坐标代入，求出k的值，再联立方程组求解即可
解：把A代入，得：
∴k=4
∴
联立方程组
解得，
∴点B坐标为（-2，-2）
故选：A
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是正确掌握代入法．
11．D
【解析】若一元二次方程有两个不等的实数根，则根的判别式△=＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围，还要注意二次项系数不为0；
∵ 有两个不等的实数根，
∴△==4-4a＞0，且a≠0，
解得：a＜1且a≠0，
则a的最大整数为-1；
故选：D．
本题考查了一元二次方程的根的情况，正确掌握根与判别式的关系是解题的关键．
12．
【解析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，计算出根的判别式大于0，即可求得k值．
解：方程x2-4x+k+2=0，
这里a＝1，b＝-4，c＝k+2，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2 4ac＝(-4)2 4×1×(k+2)>0，
解得：，
故答案为：．
此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
13．x＝±3
【解析】这个等式左边是一个平方差公式，直接分解因式，然后求出x即可．
解：x2﹣9＝0，
（x+3）（x﹣3）＝0，
或
所以x＝3或x＝﹣3．
故答案为：x＝±3．
本题考查的是利用因式分解解一元二次方程，掌握“利用平方差公式把方程的左边分解因式”是解题的关键.
14．
解：直接开平方得：.
故答案为：．
15．2
【解析】把x=-1代入x2-6x+m2-4m-3=0即可得出m的值．
解：由题意可得：1+6+m2-4m-3=0，
整理，得
∴m=2．
故答案为：2．
本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的根．
16．
【解析】配方法表示方程即可．
解：
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的配方法．解题的关键在于识别方程的形式并正确的表示．
17．
【解析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
解：由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：
，
解得：；
故答案为．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
18．k≥－1且k≠0
解：关于的一元二次方程有实数根，
则
解得：且
故答案为且
19．，##，
【解析】利用因式分解法解方程即可．
解：
，
或，
所以，．
故答案为：，．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20．x=0或x=1
【解析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
解：原方程变形为：x（x﹣1）=0，
∴x=0或x=1，
故答案为：x=0或x=1．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
21．，
【解析】根据解一元二次方程的方法，即可得到答案.
解：∵，
∴，
∴，，
故答案为：，；
本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是掌握解方程的方法和步骤.
22．m＜4且m≠0
【解析】根据二次函数的定义和判别式的意义得到m≠0且△＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得m≠0且△＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4且m≠0．
故答案为：m＜4且m≠0．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
23．-1
【解析】用公式法解方程，得出方程的解，根据有两个不相等的正整数根，求出整数m的值即可．
解：由题意可知：Δ＝（3﹣m）2﹣4m×（﹣3）
＝m2+6m+9＝（m+3）2≥0，
∴x＝，
∴x＝1或x＝﹣，
由方程有两个不相等的正整数根，可知：m＝﹣1，
故答案为：﹣1
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
24．12
【解析】先求方程x2-6x+8=0的根，再由三角形的三边关系确定出三角形的第三边的取值范围，即可确定第三边的长，利用三角形的周长公式可求得这个三角形的周长．
∵三角形的两边长分别为3和5，∴5-3＜第三边＜5+3，即2＜第三边＜8，
又∵第三边长是方程x2-6x+8=0的根，∴解之得根为2和4，2不在范围内，舍掉，
∴第三边长为4．即勾三股四弦五，三角形是直角三角形．
∴三角形的周长：3+4+5=12．
故答案为12．
本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．属于基础题型，应重点掌握．
25．6或12或10
【解析】根据题意得且，而整数，则；方程变形为，解得，，由于的边长均满足关于的方程，所以的边长可以为、、或4、4、4或、、，然后分别计算三角形周长
解：据题意得且，
解得，
∵整数，
∴；
当时，方程变形为，
解得，，
∵的边长均满足关于x的方程，
∴的边长为、、或4、4、4或、、．
∴的周长为或或．
故答案为：或或．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根，也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系．
26．(1)，
(2)，
【解析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
(1)
解：，
∴，
∴或，
∴，．
(2)
，
∴，
∴或，
∴，．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
27．（1），，（2），．
【解析】（1）用直接开方法解方程即可；
（2）用公式法解方程即可．
解：（1） ，
，
，
或，
，，
（2），
，
，
，．
本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用直接开方法和公式法解一元二次方程．
28．(1)
(2)x1=-4，x2=1
【解析】（1）先计算判别式的值，然后利用公式法解方程；
（2）先移项得到（x+4）2-5（x+4）=0，然后利用因式分解法解方程．
(1)
解： 3x2-4x-1=0，
∵a=3，b=-4，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=（-4）2-4×3×（-1）=16+12=28＞0．
∴，
∴
(2)
解：（x+4）2=5（x+4），
（x+4）2-5（x+4）=0，
（x+4）（x+4-5）=0，
∴x+4=0或x-1=0，
∴x1=-4，x2=1．
本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
29．(1)，
(2)，
【解析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
(1)
解：∵（x-1）2=4，
∴x-1=2或x-1=-2，
解得x1=3，x2=-1；
(2)
解：，
，
，
，
，，
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
30．(1)
(2)
【解析】（1）先运用直接开平方法求得x+2，进而求得x即可；
（2）直接运用因式分解法求解即可．
(1)
解：（x+2）2﹣9＝0
（x+2）2=9
x+2=±3
所以．
(2)
解：x2﹣2x﹣3＝0
（x+1）（x-3）=0
x-3=0或x+1=0
所以．
本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键．
31．(1)x1＝2＋，x2＝2－
(2)x1＝，x2＝－
【解析】（1）运用公式法求解即可；
（2）运用直接开平方法求解即可．
(1)
解：∵ a＝1，b＝－4，c＝－1，
∴＝42－4×1×（－1）＝20＞0．
则x＝ ＝＝2±．
即x1＝2＋，x2＝2－．
(2)
解∶ （x－1）2＝，
x－1＝±，
即x1＝，x2＝－．
本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法．
32．(1)
(2)
【解析】（1）利用因式分解法求解；
（2）利用直接开方法求解．
(1)
解：，
，
解得：；
(2)
解：，
，
解得：．
此题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握常见的解法：如公式法、因式分解法、配方法．
33．(1)，
(2)，
【解析】（1）用直接开方法解方程即可；
（2）用公式法解方程即可．
（1）
解： ，
，
，
或，
，；
（2）
，
，
，
，．
本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用直接开方法和公式法解一元二次方程．
34．(1)x1=-1，x2=3
(2)x1=-2+，x2=-2-
【解析】（1）利用移项法则、提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用配方法解出方程．
(1)
解：x(x-3)=-(x-3)
x(x-3)+(x-3)=0，
(x+1)(x-3)=0，
x1=-1，x2=3；
(2)
解：x2+4x-3=0，
x2+4x=3，
x2+4x+4=7，
(x+2)2=7，
x+2=，
x1=-2+，x2=-2-．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
35．（1）x1＝3，x2＝－1；（2）x1＝2， x2＝1
【解析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
（1）解：x2－2x－3＝0
x2－2x＋1＝3＋1
(x－1)2＝4
x－1＝±2
∴x1＝3，x2＝－1；
（2）解：x (x－2)－(x－2)＝0
(x－2)(x－1)＝0
x-2=0或x-1=0
∴x1＝2， x2＝1．
本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的求解方法，并根据题意灵活选择适当的解题方法是解题关键．
36．x1＝6，x2＝－1
【解析】根据根的判别式判断方程根的个数，再利用配方法解方程．
∵a＝1，b＝－5，c＝－6，
∴，
解：
则x＝，
即x1＝6，x2＝－1．
本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解决本题的关键．
37．(1)见解析
(2)1或2或3
【解析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ=（m-6）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式得到x1=m-4，x2=2，则m-4＜0，从而得到正整数m的值．
（1）解：证明：∵Δ=（m-2）2-4（2m-8）
=m2-12m+36
=（m-6）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）x=，∴x1=m-4，x2=2，
∵方程有一个根是负整数，
∴m-4＜0，
∴正整数m的值为1或2或3．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
38．(1)
(2)见解析
【解析】（1）当k＝2时，方程为，用因式分解法解方程即可；
（2）利用根的判别式进行证明即可．
（1）
当k＝2时，方程为
即 或
（2）
恒成立
不论k取何值，这个方程总有两个不相等的实数根．
本题考查了解一元二次方程及一元二次方程的根的判别式的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
39．(1)；(2)，
【解析】(1)根据，平方根的概念，绝对值的概念等逐个求解；
(2)根据一元二次方程公式法求解．
解：(1)原式
．
(2)由题意可知：，
，
∴，
．
本题考查、平方根的概念、绝对值及一元二次方程的解法等，属于基础题，计算过程中细心即可．
40．x1＝2 x2＝4．
【解析】应用因式分解法解答即可.
解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2 x2＝4．
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解答关键是根据方程特点进行因式分解.
41．(1)x1＝2，x2＝－1
(2)x1＝－，x2＝2
【解析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
(1)
解：x2－x－2＝0，
(x－2)(x＋1)＝0，
x－2＝0或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1．
(2)
解：3x(x－2)＝2－x，
3x(x－2)＋(x－2)＝0，
(3x＋1)(x－2)＝0，
3x＋1＝0或x－2＝0，
x1＝－，x2＝2．
本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
42．（1）；（2）
【解析】（1）运用十字相乘法进行因式分解，然后求解一元二次方程即可．
（2）运用提公因式法进行因式分解，然后求解一元二次方程即可．
（1）解：
解得：，．
（2）解：
解得：，．
本题主要是考查了因式分解求解一元二次方程，熟练掌握各类因式分解的方法，是求解该题的关键．
43．(1)x1＝6，x2＝﹣2
(2)x1＝3，x2＝﹣2
【解析】（1）用分解因式法解一元二次方程即可；
（2）先移项然后用分解因式法解一元二次方程即可．
(1)
解：x2﹣4x﹣12＝0，
分解因式得：（x﹣6）（x+2）＝0，
则x﹣6＝0或x+2＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣2．
(2)
x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），
移项得：x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x﹣3＝0或x+2＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
44．(1)，
(2)x1=0，x2=1
【解析】（1）利用配方法解出方程；
（2）利用因式分解法解出方程．
(1)
解：x2-4x+1=0
∴x2-4x+4=-1+4
∴（x-2）2=3
∴
∴，
(2)
解：x（2x-1）=x
x（2x-1）-x=0
x（2x-2）=0
x=0或2x-2=0
x1=0，x2=1．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
45．(1)，
(2)，
【解析】（1）求根公式求解即可；
（2）因式分解求解即可．
(1)
解：由方程可得：
∴或
∴方程的解为或．
(2)
解：原方程去括号得：
解得，
∴方程的解为或．
本题考查了求根公式、因式分解解一元二次方程．解题的关键在于用适当的方法求解．
46．(1)x1=-3，x2=1
(2)x1=-1，x2=1
【解析】（1）直接去括号，再合并同类项，再利用十字相乘法分解因式，解方程即可；
（2）直接提取公因式（x+1），进而分解因式解方程即可．
(1)
解：x2+2x 3=0，
（x+3）（x-1）=0，
则x+3=0或x-1=0，
解得：x1=-3，x2=1；
(2)
（x+1）（1-x）=0，
则x+1=0或1-x=0，
解得：x1=-1，x2=1．
此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．
47．(1)或
(2)或
【解析】（1）先移项，用平方差公式进行因式分解，然后求解即可；
（2）先配方，然后直接开平方计算求解即可．
（1）解：∴或解得或∴方程的解为或．
（2）解：∴或解得或∴方程的解为或．
本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于用适当的方式进行求解．
48．(1)
(2)
【解析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
(1)
解：，
，
，
，
；
(2)
解：，
，
，
．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
49．(1)，
(2)
【解析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利分解因式法求出解即可．
(1)
x2﹣4x+2＝0
方程整理得：x2-4x=-2，
配方得：x2-4x+4=2，即（x-2）2=2，
开方得：x-2=±
解得，，；
(2)
（x﹣1）2﹣x+1＝0
（x﹣1）2﹣(x-1)＝0
∴
此题考查了解一元二次方程-公式法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
50．(1)，
(2)，
【解析】（1）用配方法解即可；
（2）用因式分解法即可．
(1)
方程配方得：
开平方得：
解得：，
(2)
原方程可化为：
即
∴或
解得：，
本题考查了解一元二次方程的配方法和因式分解法，根据方程的特点采用适当的方法可使解方程简便．
51．（1）见解析；（2）-3或-1
【解析】（1）先求出判别式△的值，再对“△”利用完全平方公式变形即可证明；
（2）根据求根公式得出x1=m+2，x2=1，再由方程两个根的绝对值相等即可求出m的值．
解：（1）∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，.
∵方程两个根的绝对值相等，
∴.
∴或-1.
本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
52．(1)见解析
(2)，
【解析】（1）进行判别式的值得到，利用平方非负数的性质得，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根；
（2）根据方程有两个相等的实数根得，先求出的值，再代入一元二次方程中求解即可．
(1)
由题意得：，
，
，
∴方程总有两个实数根；
(2)
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
此时方程为，
∴，
∴．
本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．
53．见解析
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=（m+1）2+8＞0，由此即可证出：无论实数m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4m＝m2+6m+9﹣4m＝m2+2m+9＝（m+1）2+8，
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+8＞0，
则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，解题的关键是：牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．
54．（1）k≤2且k≠0；（2）．
【解析】（1）已知一元二次方程有实数根，可得△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围；
（2）由于AB=2是方程kx2-4x+2=0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．
解：（1）∵关于x的方程有实数根，
∴△=（-4）2-8k≥0，
解得k≤2，
又k≠0，
∴k的取值范围为k≤2且k≠0．
（2）∵AB=2是方程的根，
∴4k-8+2=0,
解得k=，
则原方程为，
解得，
∴BC的长为．
本题考查一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
55．（1）c＝2；（2）当c＞5时，m有0个；当c＝5时，m有1个；当－1＜c＜5时，m有2个；当c＝－1时，m有3个；当c＜－1时，m有4个
【解析】（1）只需求出y1=y2时对应一元二次方程有两个相等的实数根的c值即可；
（2）根据题意，AB=｜m2＋2m＋c－1｜=3，分m2＋2m＋c－1＞0和m2＋2m＋c－1＜0两种情况，利用一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可．
解：（1）根据题意，若两个函数图像只有一个公共点，
则方程x2＋3x＋c＝x＋1有两个相等的实数根，
∴△=b2－4ac＝22－4(c－1)＝0，
∴c＝2；
（2）由题意，A（m，m+1），B（m，m2＋3m＋c）
∴AB=｜m2＋3m＋c－m－1｜=｜m2＋2m＋c－1｜=3，
①当m2＋2m＋c－1＞0时，m2＋2m＋c－1=3，即m2＋2m＋c－4=0，
△=22－4（c－4）=20－4c，令△=20－4c=0，解得：c=5，
∴当c＜5时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m有2个；
当c=5时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m有1个；
当c＞5时，△＜0，方程无实数根，即m有0个；
②当m2＋2m＋c－1＜0时，m2＋2m＋c－1=－3，即m2＋2m＋c+2=0，
△=22－4（c+2）=－4c－4，令△=－4c－4=0，解得：c=－1，
∴当c＜－1时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m有2个；
当c=－1时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m有1个；
当c＞－1时，△＜0，方程无实数根，即m有0个；
综上，当c＞5时，m有0个；
当c＝5时，m有1个；
当－1＜c＜5时，m有2个；
当c＝－1时，m有3个；
当c＜－1时，m有4个．
本题考查函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根的判别式与根的关系、坐标与图形，解答的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系：△＞0，方程有两个不相等的实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程无实数根．
56．，
【解析】原式运用公式法求解即可得到答案．
解：
这里
∴，
本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用解题方法是解答本题的关键．
57．，
【解析】移项将方程转化为一般形式，然后利用因式分解法求解即可.
解：
∴或，
解得：，.
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，先将方程转化为一般形式，然后将左面因式分解是解决此题的关键.
58．(1)
(2)
【解析】（1）用因式分解法解方程即可；
（2）先计算根的判别式大于零，再利用公式法解方程即可．
(1)
或
解得
(2)
由题意得
本题考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
59．(1)m2，n2
(2)ax2+2bx+4c=0
(3)cx2+bx+a=0
(4)见解析
【解析】[理解]（1）令，根据题意可得或，即可求解方程；
（2）由题意可知，，由于方程的两个根分别是，，则，，即可写出符合条件的方程；
[猜想与证明]（1）由表格可得：的两个根与方程，，的两个根互为倒数；
（2）先将变形为，设，方程可变形为，设方程的解是，，则可得方程的解为，，把代入得，；把代入得，，即可证明．
(1)
解：[理解]（1）令，
方程可化为，
有两个实数根，，
或，
或，
或，
故答案为：，；
(2)
方程有两个实数根，，
或，
，，
方程的两个根分别是，，
，，
方程的两个根为，，
故答案为：；
(3)
[猜想与证明]由表格可得：的两个根与方程，，的两个根互为倒数，
故答案为：；
(4)
证明：由两边同除以，得，
设，方程可变形为，
设方程的解是，，
可得方程的解是，，
把代入得，；把代入得，，
所以方程的解是，，
即方程的两个根与方程的两个根互为倒数．
本题考查无理方程的解，理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活运用换元法解方程是解题的关键．