2021-2022学年江苏省各地苏科版数学九年级上册期末试题分类选编---1.3一元二次方程的根与系数的关系（Word版，含解析）

1.3 一元二次方程的根与系数的关系
1．（2022·江苏泰州·九年级期末）方程的两根为，则等于（ ）
A．4 B．－4 C．3 D．－3
2．（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·江苏盐城·九年级期末）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
4．（2022·江苏泰州·九年级期末）已知的两个根为、，则的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-5 D．5
5．（2022·江苏扬州·九年级期末）下列各项中，方程的两个根互为相反数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏盐城·九年级期末）设方程的两根分别是，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
7．（2022·江苏淮安·九年级期末）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
8．（2022·江苏·景山中学九年级期末）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x1 x2＝_____．
9．（2022·江苏南京·九年级期末）设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝_____，x1x2＝______．
10．（2022·江苏·射阳县第六中学九年级期末）已知是方程的两个实数根，则x1x2＝____．
11．（2022·江苏南京·九年级期末）若、是方程x2＋2022x＋2021＝0的两个实数根，则＋的值为____．
12．（2022·江苏宿迁·九年级期末）已知，是一元二次方程的两根，则__________．
13．（2022·江苏常州·九年级期末）已知关于的一元二次方程的一个根是2．则另一个根是______．
14．（2022·江苏盐城·九年级期末）实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为____．
15．（2022·江苏泰州·九年级期末）若a、b是方程的两根，则_______________．
16．（2022·江苏盐城·九年级期末）已知一元二次方程：x2-3x-1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22=_____．
17．（2022·江苏南京·九年级期末）已知关于x的方程x2－2x＋n＝0的一个根为1＋，则它的另一个根为_______．
18．（2022·江苏南京·九年级期末）设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣6＝0的两个根，则x1 x2﹣x1﹣x2＝_____．
19．（2022·江苏南京·九年级期末）设，是方程的两个根，则______，________．
20．（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）一元二次方程x2﹣5＝x两根的和为 _____．
21．（2022·江苏江苏·九年级期末）若、是方程的两个根，则______．
22．（2022·江苏盐城·九年级期末）若关于的方程的一个根是3，则另一个根是___．
23．（2022·江苏南京·九年级期末）一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为__________．
24．（2022·江苏南京·九年级期末）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，用两种方法证明：x1＋x2＝－，x1·x2＝．
25．（2022·江苏省南京二十九中教育集团致远中学九年级期末）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1＋x2＝，x1·x2＝．
26．（2022·江苏盐城·九年级期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根．
参考答案：
1．A
【解析】一元二次方程的两根为，则，根据公式可得答案.
解：方程的两根为，
故选A
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“一元二次方程的两根为，则”是解本题的关键.
2．D
【解析】根据韦达定理，可知另一个根为，再根据韦达定理可知的值为根之和，即可求得
的一个根为2，设另一根为
，解得
又
故选D
本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键．
3．A
设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选A．
4．B
【解析】直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
解：∵的两个根为、，
∴
故选：B
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若、为一元二次方程的两个实数根，则有，．
5．B
【解析】设方程的两个根分别为，根据互为相反数的定义得到，即方程中一次项系数为0，分别解方程，，即可得到答案．
解：设方程的两个根分别为，
∵方程的两个根互为相反数，
∴，即二次项系数为1的方程中一次项系数为0，
排除选项C、D，
∵，
∴，方程无解；选项A不符合题意；
∵，
∴，
故选：B．
此题考查了互为相反数的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系正确掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
6．A
【解析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
由可知，其二次项系数，一次项系数，
由韦达定理：，
故选：A．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．
7．B
【解析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，
∴-2+m= ，
解得，m=-1，
故选B．
8．1
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系之和x1 x2=求解．
解：由题意可得，在原方程中，a=1，b=-3，c=1，
∴x1 x2=，
故答案为1．
本题考查一元二次方程根与系数之和的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
9． 3 －1
【解析】利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，
∴ ．
故答案为：3，-1
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．
10．-2
【解析】直接利用根与系数的关系得到x1x2的值．
解：∵x1、x2为一元二次方程x2-3x-2=0的两根，
∴x1x2=-2，
故答案为：-2．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1 x2=．
11．－2022
【解析】根据根与系数的关系可得出＋，此题得解．
解：、是方程x2＋2022x＋2021＝0的两个实数根，
则＋
故答案为：
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键．
12．
【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算x1+x2﹣2x1x2的值．
解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝3，
x1+x2﹣2x1x2＝4﹣2×3＝﹣2．
故答案为﹣2．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，掌握根与系数的关系是解题的关键．
13．
【解析】由根与系数关系来求方程的另一个根．
解：关于的一元二次方程
的一个根是，
设另一个根为x2，
则，，
，
故答案为：．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关内容是解题的关键．
14．
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后代入求解即可．
解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得，
∴；
故答案为．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15．2021
【解析】根据一元二次方程的解的定义可以求得， ，利用根与系数的关系可以求得a+b= -1将其代入所求代数式，可求解．
∵a、b是方程x2 +x- 2022 = 0的两根，
∴ a2+a- 2022 = 0， a+b= -1，
∴a2+a= 2022，
∴a2+ 2a+b=a2 +a+a+b= 2022-1=2021
故答案为：2021
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题时，采用了“整体代入”的数学思想．
16．-3
【解析】根据根与系数的关系，直接带入求值即可.
解：根据题意得x1+x2=3，x1 x2=﹣1，
所以x12x2+x1x22=x1x2 （x1+x2）=﹣1×3=﹣3．
故答案为﹣3
本题考查一元二次方程根与系数的关系.提公因式将所求代数式转为根与系数的形式是解题的关键.
17．##
【解析】根据韦达定理可得，再将代入求解即可．
解：方程有根
由韦达定理得
将代入中
得
解得
故答案为：．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理．
18．
【解析】由x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣6＝0的两个根，可得 再整体代入代数式求值即可.
解： x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣6＝0的两个根，
x1 x2﹣x1﹣x2＝
故答案为：
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“一元二次方程根与系数的关系”是解本题的关键.
19．
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
解：∵，是方程的两个根，
∴，．
故答案为：；．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．
20．1
【解析】先将一元二次方程x2﹣5＝x转化为一般形式，然后根据韦达定理x1+x2＝填空．
解：由原方程，得
x2﹣x﹣5＝0，
∴由韦达定理，得
x1+x2＝＝1；
故答案是：1．
本题考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2＝解题时，一定要弄清楚公式中的a、b所表示的含义．
21．2
【解析】根据根与系数的关系公式解答．
解：∵、是方程的两个根，
∴2，
故答案为：2．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系计算公式，熟记公式是解题的关键．
22．2
【解析】设是方程的另一个根，由根与系数的关系得到，即可得到答案．
解：设是方程的另一个根，
则，
即．
故答案为：2．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，即如果方程的两个实数根是，那么，；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．
23．-2
【解析】由根与系数的关系知x1+x2=1、x1x2=-1，代入=x1x2-（x1+x2）+1可得答案．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴x1+x2=1、x1x2=-1，
∴=x1x2-（x1+x2）=-1-1=-2．
故答案为：-2
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及代数式的变形．
24．见解析
【解析】证法一：利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可即可得证．
证法二：方程为a(x－x1)(x－x2)＝0，再去括号，比较相同次数的项的系数从而得出结论．
解：证法一：
由求根公式可得：x1＝，x2＝，
∴ x1＋x2＝
＝
＝－．
x1·x2＝·
＝
＝
＝．
证法二：
设方程为a(x－x1)(x－x2)＝0，
展开得ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2＝0，
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴－a(x1＋x2)＝b，ax1x2＝c．
∵a ≠ 0，
∴x1＋x2＝－， x1·x2＝．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系的推导过程，掌握求根公式是解题的关键．
25．见解析
【解析】利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可得证．
证明：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，
∴当b2-4ac≥0时，，，则
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，则有，．
26．(1)m≤4
(2)m的值为-5，,方程的另一根为5
【解析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根于系数的关系求解即可．
(1)
解：∵关于x的一元二次方程有实数根
∴，
解得；
(2)
解：设方程的另一个根为，
∴，
解得，
∴m的值为-5，方程的另一根为5．
本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活应用一元二次方程的相关知识点是解答本题的关键．