2021-2022学年江苏省各地苏科版九年级数学上册2.4圆周角期末试题分类选编(Word版含答案)

2.4 圆周角
1．（2022·江苏·景山中学九年级期末）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BOC＝64°，则∠BAC的度数为（ ）
A．64° B．32° C．26° D．23°
2．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏淮安·九年级期末）如图，点是⊙O的圆心，点、、在⊙O上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，，∠AOB＝36°，则∠CED的度数为（　　）
A．72° B．36° C．18° D．16°
5．（2022·江苏徐州·九年级期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，若∠BCD＝α，则∠ABD等于（　　）
A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
6．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，点A、B、D都在⊙O上，若∠ABD=40°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40° B．80° C．100° D．140°
7．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．104°
8．（2022·江苏连云港·九年级期末）如图，四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（　　）
A．131° B．119° C．122° D．58°
9．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(3，0)，C为平面内的动点，且满足∠ACB=90°，D为直线y=x上的动点，则线段CD长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，已知OB，OD是的半径，BC、CD、DA是的弦，连接AB，若，则度数为（ ）
A．100° B．120° C．130° D．140°
11．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若，则∠BOD的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·江苏江苏·九年级期末）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O，交AB的延长线于点D，交AC于点E．连接OD，OE，若∠DOE＝130°，则∠A的度数为（　　）
A．45° B．40° C．35° D．25°
13．（2022·江苏淮安·九年级期末）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
14．（2022·江苏江苏·九年级期末）如图，AB是O的直径，CD是O的弦．，则∠D＝（ ）度
A．30 B．40 C．50 D．60
15．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
16．（2022·江苏·射阳县第六中学九年级期末）下列语句中，正确的是（ ）
A．经过三点一定可以作圆 B．等弧所对的圆周角相等
C．相等的弦所对的圆心角相等 D．三角形的外心到三角形各边距离相等
17．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．8 C．2 D．4
19．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，是⊙的直径，、是⊙上的两点，，则_____．
20．（2022·江苏常州·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于ΘO，DA=DC，若∠CBE=40°，则∠DAC的度数是________．
21．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图所示，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE＝65，那么∠BOD等于______．
22．（2022·江苏淮安·九年级期末）如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝40°，则∠COD＝________．
23．（2022·江苏·射阳县第六中学九年级期末）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的点，且∠ACB＝45°，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为 ______________．
24．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则∠ADC＝_____°．
25．（2022·江苏宿迁·九年级期末）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC＝1，则⊙O的直径为_____．
26．（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度数．
27．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图，A、D是上的两点，BC是直径，若，则______．
28．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝42°，则∠D的度数是__________°．
29．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若∠ACO＝25°，则∠B＝____°．
30．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，点C在第四象限的⊙M上，且∠AOC=60°，OC=3，则点B的坐标是___________．
31．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，为的直径，点，，在上，且，若，则的度数为__________．
32．（2022·江苏连云港·九年级期末）如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为________．
33．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠B＝118°，则∠D的度数为______°．
34．（2022·江苏无锡·九年级期末）一个直角三角形的斜边长cm，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形外接圆的半径为______cm，直角三角形的面积是________．
35．（2022·江苏·沭阳县怀文中学九年级期末）如图，线段，点C为平面上一动点，且，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为______．
36．（2022·江苏常州·九年级期末）如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．
37．（2022·江苏泰州·九年级期末）在平面直角坐标系中，点A（0，－2），B（2，0），P（6，0），点C是线段BP上的动点，点D在直线AC的上方，满足，且，当点C由点B运动到点P时，线段AD扫过的面积是________．
38．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于点P，且DA＝DP．求证：BC＝BP．
39．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图，P是的直径AB上的一点（不与点A、O、B重合），点C在直径AB上方的半圆上（异于点A、B）．
(1)尺规作图：在上作出一点D，使得（作出所有符合条件的点，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）中所作出的符合条件的点中，找到与点C位于直径AB同侧的点D，连接OC、OD，求证．
40．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝40°，求∠ABD的度数．
41．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．直线BE交直线CD于G点．
(1)小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝ ∠ACB，（填写数量关系）
∴∠AEB＝ °．
(2)如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆；
(3)线段AE最大值为 ，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 ．
42．（2022·江苏淮安·九年级期末）（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=　 　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=4，CD=2，求AD的长．
43．（2022·江苏连云港·九年级期末）如图是6×6的正方形网格，顶点均在格点上，请按要求作图并完成填空．(不限作图工具，要保留作图痕迹）
（1）请作出的外接圆，并标出外心O．
（2）将线段BC绕着点O顺时针旋转90°，画出旋转后的线段．
（3）设为度，则___________度（用含x的代数式表示）．
44．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，CD是⊙O的弦，∠DBA＝60°．
(1)若AB是⊙O的直径，求∠C的度数；
(2)若∠C＝30°，求证AB是⊙O的直径．
45．（2022·江苏无锡·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，，cm．点D从A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动；同时，点F从B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，移动过程中始终保持（点E在AB上）．当其中一点到达终点时，另一点也同时停止移动．设移动时间为t（s）（其中）．
(1)当t为何值时，四边形DEFC的面积为18？
(2)是否存在某个时刻t，使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
(3)点E是否可能在以DF为直径的圆上？若能，求出此时t的值，若不能，请说明理由．
46．（2022·江苏徐州·九年级期末）图1为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年．
(1)用数学的眼光观察，图2 　 　．
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
(2)请你用直尺，在图2中作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为3.6cm，允许误差±0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品．如图3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点B、C，测得AB＝2cm，AC＝3cm，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由．
47．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，用两种不同的方法作出圆的一条直径AB．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
48．（2022·江苏盐城·九年级期末）【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．
【数学理解】如图①，在中，AB是弦，，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
(1)若的半径为5，OP的长为3，则AB的长为______．
(2)若的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是______．
(3)【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°．
(4)已知如图②给定的线段EF和，点Q是内一定点．过点Q作弦AB，满足，请问这样的弦可以作______条．
参考答案：
1．B
【解析】根据题意直接利用圆周角定理即同弧（弦）或等弧（弦）所对的圆周角是圆心角的一半进行求解即可．
解：∵∠BAC＝∠BOC，∠BOC＝64°，
∴∠BAC＝32°，
故选：B．
本题考查圆周角定理，解题的关键是理解圆周角定理即同弧（弦）或等弧（弦）所对的圆周角是圆心角的一半．
2．B
【解析】直接利用圆周角定理即可得．
解：，
由圆周角定理得：，
故选：B．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
3．B
【解析】利用圆周角定理解决问题即可．
解：在⊙O中，
∠ACB＝∠AOB，
∠AOB＝48°，
∴∠ACB＝24°，
故选：B．
本题考查圆周角定理，解题的关键是记住同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
4．C
【解析】点A，B，C，D，E在⊙O上，，∠AOB＝36°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠CED的度数．
解：点A，B，C，D，E在⊙O上，，∠AOB＝36°，
∴．
故选C．
此题考查了圆周角定理．熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半这一定理是解题的关键．
5．C
【解析】由圆周角定理得出∠ADB=90°，∠BAD=∠BCD=α，由直角三角形的性质求出∠ABD=90°-α即可．
解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=∠BCD=α，
∴∠ABD=90°-α．
故选：C．
本题主要考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．B
【解析】根据同弧所对圆周角是圆心角的一半求解．
解：∵∠ABD=40°，
∴∠AOD=2∠ABD=2×40°=80°，
故选：B．
本题考查了圆周角定理，解题关键是掌握据同弧所对圆周角与圆心角的关系．
7．B
【解析】根据圆的基本性质，可得 ，从而得到 ，再由三角形的内角和定理，即可求解．
解：∵MN为⊙O的弦，
∴ ，
∴ ，
∵∠MON＝76°，
∴ ．
故选：B
本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握同圆（或等圆）的半径是解题的关键．
8．B
【解析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的一半即可求解．
解：∵同弧所对的圆心角是圆周角的一半；
∴
根据圆内接四边形对角互补
故选：B
此题考查的是圆周角定理的应用，掌握圆周角定理是解题的关键．
9．C
【解析】取AB的中点E，过点E作直线y=x的垂线，垂足为D，求出DE长即可求出答案．
解：取AB的中点E，过点E作直线y=x的垂线，垂足为D，
∵点A（1，0），B （3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴OE=2，
∴ED=2×=，
∵∠ACB=90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
∴线段CD长的最小值为 1．
故选：C．
本题考查了垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理等知识，确定C，D两点的位置是解题的关键．
10．C
【解析】先根据圆周角定理求出∠A，再根据圆内接四边形的对角互补求出即可．
解：∵，
∴∠A=∠BOD=50°，
∴∠BCD=180°-50°=130°，
故选C．
此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的对角互补．
11．C
【解析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠C=140°，
∴∠A=180° ∠C=180° 140°=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故选：C．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
12．D
【解析】连接DC，根据圆周角定理求出∠ACD＝∠EOD＝65°，根据圆周角定理求出∠ADC＝90°，再根据直角三角形的两锐角互余求出即可．
解：连接DC，
∵∠DOE＝130°，
∴∠ACD＝∠EOD＝65°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ACD＝90°﹣65°＝25°，
故选：D．
此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角；直角三角形两锐角互余；熟记定理并应用是解题的关键．
13．D
解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=∠AOC=55°．
故选D．
14．B
【解析】由AB是⊙O的直径，推出∠ACB=90°，再由∠CAB=50°，求出∠B=40°，根据圆周角定理推出∠D=40°．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=50°，
∴∠B=40°，
∴∠D=40°．
故选：B．
本题主要考查圆周角定理，余角的性质，关键在于推出∠A的度数，正确的运用圆周角定理．
15．C
【解析】连接，根据圆周角定理，可分别求出，，即可求的度数．
解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
故选：C．
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
16．B
【解析】由确定圆的条件、圆周角定理、轴对称图形的概念判断．
A、经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，所以是假命题；
B、等弧所对的圆周角相等，所以是是真命题；
C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以是假命题；
D、三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以是假命题；
故选：B．
考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉性质定理．
17．C
【解析】先判断出，从而可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得答案．
解：∵是的直径，
∴
∵
∴
∵所对的弧是
∴
故选C
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直
18．A
【解析】由已知可得三角形ABC是直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求得AB的长即可求得答案.
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∵∠ABC=30°，
∴AB=2AC=8，
∴OA=OB=4，
故选A．
本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
19．
【解析】先利用邻补角计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
，
．
故答案为．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
20．70°##70度
【解析】根据邻补角互补求出，根据圆内接四边形的性质得出，求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
故答案为：．
本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理等知识点，解题的关键是能熟记圆内接四边形的对角互补．
21．130°##130度
【解析】根据圆内接四边形对角互补得到∠A+∠BCD=180°，结合∠DCE+∠BCD=180°得到∠A=∠DCE=65°，再由同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可求解．
解：由圆内接四边形对角互补可知：∠A+∠BCD=180°，
又∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE=65°，
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠BOD=2∠A=130°，
故答案为：130°．
本题考查了圆周角定理及其推论，属于基础题，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本类题的关键．
22．40°
【解析】连接BO，则∠BOC=80°，再由三线合一定理即可得到答案．
解：如图所示，连接BO，
∵∠A=40°，
∴∠BOC=80°，
∵OD ⊥BC，OB=OC，
∴
故答案为：40°．
本题主要考查了圆周角定理，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理和三线合一定理．
23．
【解析】如图所示，连接OB，则∠AOB=90°，由半径相等可得到∠OAB=∠OBA=45°，再由OD⊥AB，得到∠AEO=90°，AB=2AE=2BE，由此根据勾股定理求解即可．
解：如图所示，连接OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵OD⊥AB，
∴∠AEO=90°，AB=2AE=2BE，
∴∠OAE=∠AOE=45°，
∴AE=OE，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为：．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键．
24．
【解析】根据题意，在以为圆心半径为的圆上，设是优弧上任意一点，则四边形是的内接四边形，进而根据圆内接四边形对角互补，圆周角定理求得，即可求得．
解：如图，
AB＝BC＝BD
在以为圆心半径为的圆上，
设是优弧上任意一点，则四边形是的内接四边形
又∠ABC＝112°，
故答案为：
本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，转为圆内接四边形求解是解题的关键．
25．2
【解析】连接，根据圆周角定理可得，进而可得是等边三角形，即可求得半径，从而即可求得直径．
如图，连接，
，
是等边三角形，
⊙O的直径为
故答案为：
本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，掌握圆周角定理是解题的关键．
26．
【解析】由圆周角定理求得∠ADC，再根据四点共圆的性质，得到的值，最后根据与互补，求得的值．
解：由圆周角定理得，∠ADC∠AOC=150°＝75°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴，
∴．
本题考查了圆周角定理及四点共圆的性质，熟练掌握相关几何性质是解题的关键．
27．60°##60度
【解析】连接BD，由BC为直径可得∠BDC=90°，再由∠B=∠A=30°，即可求出∠BCD的度数．
解：连接BD，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠A=30°，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠BCD=90°-30°=60°，
故答案为：60°．
本题考查了圆周角定理，理解圆周角定理是解题的关键．
28．48
【解析】根据圆周角定理推出∠ACB=90°，再由直角三角形的性质得到∠B=90°-∠CAB=48°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=48°．
解：连接CB，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=42°，
∴∠B=90°-∠CAB=48°，
∴∠D=∠B=48°．
故答案为：48．
本题考查圆周角定理，解题的关键是根据圆周角定理推出∠ACB=90°及∠D=∠B，准确找到辅助线的添加方法．
29．65
【解析】根据直径所对圆周角是直角，可得，进而根据已知条件即可求得，根据半径相等，等边对等角即可求得
解： AB是⊙O的直径，
，
∠ACO＝25°，
，
，
，
故答案为：．
本题考查了直径所对圆周角是直角，掌握直径所对圆周角是直角是解题的关键．
30．（，）##（，）
【解析】连接AC，AB，BC，过点C作CH⊥OA于H，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理在Rt△OCH中，先后求得OH，CH，AH，再在Rt△ACH中，求得AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理构建方程求得BC，AB，再在Rt△AOB中，利用勾股定理即可解决问题．
解：连接AC，AB，BC，过点C作CH⊥OA于H，
∵∠AOC=60°，则∠OCH=30°，且OC=3，
∴OH=OC=，CH=，
∵点A(4，0)，
∴AO=4，
∴AH= AO- OH=，
在Rt△ACH中，
AC=，
∵∠BOA=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∴∠BCA=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠ABC=60°，则∠BAC=30°，
在Rt△ABC中，BC=AB，
AB2=AC2+BC2，即AB2=()2+(AB)2，
∴AB2=，
在Rt△AOB中，OB2=AB2- AO2=，
∴OB=，
点B的坐标是：（，）．
．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
31．52
【解析】如图，连接OD，BD．利用圆周角定理求出∠DOB，再求出∠OBD=26°，可得结论．
解：如图，连接OD，BD．
∵，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠DOB=2∠DEB=128°，
∴∠OBD=∠ODB=26°，
∴∠ABC=2∠OBD=52°，
故答案为：52．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理．
32．3
【解析】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧所对的圆心角的度数发现一个等腰直角三角形计算．
解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点，此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∴，
∴∠BOM=∠COM，
∵B为弧AM的中点，
∴，
∴∠AOB=∠BOM=∠AOM，
∵∠ANM=20°，
∴∠AOM=40°，
∴∠AOC=3∠AOB=60°，
∴OA=OC=AC，
∵MN=6，
∴OA=MN=3，
∴AC=3．
故答案为：3．
此题主要考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置是本题的关键．
33．124
【解析】连接 AD ，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到∠ADC = ∠ADE ，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC ，进而得到答案．
解：连接 AD ，
∵ ，
∴∠ADC = ∠ADE ，
∵四边形 ABCD 为 O 内接四边形， ∠B =118°，
∴∠ADC =180°- ∠B =180°-118°=62°，
∴∠CDE =2×62°=124°，
故答案为：124
本题考查了的是圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的对角互补．
34． 4
【解析】设一直角边长为x，另一直角边长为（6-x）根据勾股定理，解一元二次方程求出，根据这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，可求外接圆的半径为cm，利用三角形面积公式求即可．
解：设一直角边长为x，另一直角边长为（6-x），
∵三角形是直角三角形，
∴根据勾股定理，
整理得：，
解得，
这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，
∴外接圆的半径为cm，
三角形面积为．
故答案为；．
本题考查直角三角形的外接圆，直角所对弦性质，勾股定理，一元二次方程，三角形面积，掌握以上知识是解题关键．
35．
【解析】先证明△PAM≌△QAE(SAS)，再根据勾股定理得出BE的长，最后得出结论．
解：∵∠ACB=90°，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
∴CD=AB=1，
取AD的中点M，连接PM，P为AC的中点，∴PM为△ACD的中位线，
∴PM=CD=，PM∥CD，
如图，过点A作AE⊥AB，且使AE=AM，连接PE，BE，
∵将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴∠QAC=90°，QA=AP，,
∵∠EAD=90°，
∴∠QAE=∠CAD，
∴△PAM≌△QAE(SAS)，
∴QE=PM=，
∵AB=2，AE=AD=，
∴BE=，
∴BQ≤BE+QE=+=，
∴BQ的最大值为，
故答案为：．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角的性质及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．
36．##
【解析】由已知可证明△ADG≌△ABG，△BAE≌△CDF，进而可证明∠CHD=90°，得H是以CD为直径的圆上一点，取CD中点O，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得BH长度的最小值．
解：
∵ABCD是正方形，
∴△ADG≌△ABG，
∴∠ADG =∠ABG
∵AB=DC，AE=DF，∠BAE=∠CDF
∴△BAE≌△CDF
∴∠ABE =∠DCF
∴∠ADG=∠DCF，
∵∠CDH+∠ADG=90°
∴∠CDH+∠DCF=90°
∴∠CHD=90°，
∴点H是以CD为直径的⊙O上一点．
当B、H、O共线时，BH最小
OB=，
∴BH的最小值为-1，
故答案为：-1．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以CD为直径的圆上一点．
37．2
【解析】连接OD，首先证明点D在第一象限的角平分线上运动，当点C与B重合时，点D与O重合，当点C与P重合时，点D的坐标为（2，2），再根据三角形面积公式求解即可．
解：如图，连接OD．
∵∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴A，O，D，C四点共圆，
∴∠DOC＝∠DAC＝45°，
∴点D在第一象限的角平分线上运动，
当点C与B重合时，点D与O重合，
当点C与P重合时，如图：作DE⊥y轴于E，作DF⊥x轴于F，
∴DE⊥DF，
∴∠ADE＋∠ADF＝∠PDF＋∠ADF＝90°，
∴∠ADE＝∠PDF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△PDF（AAS），
∴AE＝PF，DE＝BD，
设点D的坐标为（x，y），
∴DE＝x＝BD＝y，
∵A（0， 2），P（6，0），AE＝PF，
∴2＋x＝6 x，解得：x＝y＝2，
∴点D的坐标为（2，2），
∴当点C由点B运动到点P时，
线段AD扫过的面积即△OAD的面积＝×OA×DE＝×2×2＝2，
故答案为：2．
本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的性质，轨迹，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹．
38．见解析
【解析】由等腰的性质判定∠P＝∠A；根据圆周角定理可以推知∠C＝∠A，则∠P＝∠C，由“等角对等边”证得结论．
证明：∵DA＝DP，
∴∠P＝∠A．
又∵∠C＝∠A，
∴∠P＝∠C．
∴BC＝BP．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
39．(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）过C点作AB的垂线交⊙O于E，根据垂径定理得到AB垂直平分CE，则AB平分∠CPE，延长EP交⊙于D点，延长CP交⊙O于D′，则D点和D′点满足条件；
（2）利用PC=PE得到∠PCE=∠PEC，再利用三角形外角性质得到∠CPD=2∠PEC，而根据圆周角定理得到∠COD=2∠DEC，从而得到结论．
(1)
解：如图，点D和D'即为所求；
(2)
证明：∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∴∠CPD=∠PEC+∠PCE=2∠PEC，
∵∠COD=2∠DEC，
∴∠CPD=∠COD．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
40．50°
【解析】根据圆周角定理可求∠ADB＝90°，即可求∠ABD的度数．
解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BCD＝40°，
∴∠BAD＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°-40°=50°．
本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可求∠ADB＝90°是本题的关键．
41．(1)，45；
(2)见解析；
(3)8，
【解析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答；
（2）由题意知，CD垂直平分BE，连接BF，则BF=EF，求得∠EBF=∠AEB＝45°，利用外角的性质得到∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°，即可得到结论；
（3）当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为4+4=8，当MF⊥BC时线段MF最小，根据BC的中点M，得到CF=BF，设BG=FG=x，则CF=BF=x，CG=(+1)x，由勾股定理得，求出，根据，即可求出．
（1）
解：∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝∠ACB，
∴∠AEB＝45°．
故答案为：，45；
（2）
解：由题意知，CD垂直平分BE，
连接BF，则BF=EF，
∴∠EBF=∠AEB＝45°．
∴∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴A、B、F、C在以AB为直径的圆上，即A、B、F、C四点共圆；
（3）
解：当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为4+4=8，
当MF⊥BC时线段MF最小，
∵BC的中点M，
∴CF=BF，
设BG=FG=x，则CF=BF=x，CG=(+1)x，
∵，
∴，
得，
∵，
∴，
得，
故答案为：8， ．
．
此题考查了圆周角定理，四点共圆的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．
42．（1）45；（2）∠BAC=25°，（3）AD=+3．
【解析】（1）如图1，由已知易得点B，C，D在以点A为圆心，AD为半径的圆上，则由“圆周角定理”可得∠BDC=∠BAC=23°；
（2）如图2，由已知易得A、B、C、D在以BD的中点O为圆心，OB为半径的圆上，由此可由“圆周角定理”可得∠BAC=∠BDC=28°；
（3）如图3，由已知易得点A、C、D、F在以AC为直径的同一个圆上，由此可得∠EFC=∠DAC；同理可得：∠DFC=∠CBE；由已知易得∠DAC=∠EBC，这样即可得到∠EFC=∠DFC.
（1）如图1，∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠BDC=∠BAC=23°；
(2)证明：取BD中点O，连接AO、CO，
∵在Rt△BAO中，∠BAD=90°，
∴AO=BD=BO=DO，
同理：CO=BD，
∴AO=DO=CO=BO，
∴点A、B、C、D在以O为圆心、OB为半径的同一个圆上，
∴∠BAC=∠BDC=28°
(3)∵CF⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
∴点A、C、D、F在以AC为直径的同一个圆上，
∴∠EFC=∠DAC，
同理可得：∠DFC=∠CBE，
∵在△ADC中，∠DAC+∠ACD=90°，在△BEC中，∠EBC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠EBC，
∴∠EFC=∠DFC.
43．（1）见详解；（2）见详解；（3）．
【解析】（1）选格点，分别作出边BC、AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是点O，然后作出的外接圆即可；
（2）由旋转的性质，找出点B、C旋转后的对应点、，连接线段即可；
（3）由圆周角定理，即可求出答案
解：（1）如图：
（2）如图：
（3）由上图可知，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
本题考查了复杂作图，作线段的垂直平分线，作旋转图形，圆周角定理等知识，解题的关键是正确的画出图形．
44．(1)30°；
(2)证明见详解.
【解析】（1）根据圆周角定理得出∠ADB=90°，根据三角形的内角和定理求出∠DAB=30°，根据圆周角定理得出∠C=∠DAB即可；
（2）根据圆周角定理得出∠A=∠C＝30°，再根据∠A＋∠DBA＝90°，得出结论．
(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠A＋∠DBA＝90°．
∵∠DBA＝60°，
∴∠A＝30°．
∴∠C＝∠A＝30°．
(2)
∵∠C＝30°，
∴∠A＝∠C＝30°．
∵∠DBA＝60°，
∴∠A＋∠DBA＝90°．
∴∠ADB＝90°．
∴AB是⊙O的直径．
本题考查了直角三角形的性质及圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
45．(1)
(2)不存在，说明见解析
(3)能，
【解析】（1）由题意知，四边形为梯形，则，，求t的值，由得出结果即可；
（2）假设存在某个时刻t，则有，解得t的值，若，则存在；否则不存在；
（3）假设点E在以DF为直径的圆上，则四边形DEFC为矩形，，故有，求t的值，若，则存在；否则不存在．
（1）解：∵∴是等腰直角三角形，∵∴，∴是等腰直角三角形，四边形为直角梯形∴∵∴∵∴解得或．∵且∴∴．
（2）解：假设存在某个时刻t，使得．∴化简得解得或∵∴不存在某个时刻t，使得．
（3）解：假设点E在以DF为直径的圆上，则四边形DEFC为矩形∴，即解得∵∴当时，点E在以DF为直径的圆上．
本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直径所对的圆周角为90°，矩形的性质，等腰三角形等知识点．解题的关键在于正确的表示线段的长度．
46．(1)C
(2)见解析
(3)这枚古钱币是真品，理由见解析
【解析】（1）根据中心对称图形，轴对称图形的定义判断即可；
（2）正方形的对角线的交点即为所求；
（3）利用勾股定理求出BC，即可判断．
(1)
解：图2既是轴对称图形又是中心对称图形，
故答案为：C；
(2)
如图4中，点O即为所求；
(3)
如图5中，连接BC．
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∵BC＝（cm），
∴这枚古钱币是真品．
本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是作为中心对称图形，轴对称图形的定义，灵活运用所学知识解决问题．
47．见解析
【解析】方法一：作一条弦的垂直平分线，线段即为所作；方法二：作的圆周角，线段即为所作．
方法一：如图1，作一条弦的垂直平分线，线段即为所求；
方法二： 如图2，在圆上，作任意弦，以点作圆弧交于点，，作的垂直平分线，交圆于点，连接，则线段即为所求．
本题考查了作图复杂作图，掌握基本作图方法是解题的关键．
48．(1)8；
(2)②；
(3)90°；
(4)2条．
【解析】（1）连接OA，由勾股定理求出AP=4，再根据垂径定理得出答案；
（2）设⊙O的半径为r（r＞0）（定值），OP=x（x＞0），利用勾股定理得，从而得出答案；
（3）连接OA，OB，由题意知OP=AP，则∠AOP=45°，可得答案；
（4）作 ，则AB=EF，根据圆的轴对称性可知，这样的弦可以作2条．
（1）
解：连接OA，如图，
∵OP⊥AB，
∴AP=BP=AB，
在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP==4，
∴AB=2AP=8，
故答案为：8；
（2）
解：设⊙O的半径为r（r＞0）（定值），OP=x（x＞0），
由（1）知，AB=2AP，
AP=，
，
∵二次项-4x2的系数-4＜0，
∴x＞0时，AB2随x的增大而减小，
∵OP＞0，
∴AB2随x的增大而减小，
∴AB也随x的增大而减小，
即AB的长随OP的长增大而减小，
故正确结论的序号是②，
故答案为：②；
（3）
解：连接OA，OB，
∵弦心距等于该弦长的一半，
∴OP=AP，
∴∠AOP=45°，
∴∠AOB=2∠AOP=90°，
故答案为：90；
（4）
解：如图，作，则AB=EF，
根据圆的轴对称性可知，这样的弦可以作2条，
故答案为：2．
本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些性质，熟练掌握基本作图方法．