(共9张PPT)
第10课时 测量不规则物体的体积
七 包装盒——长方体和正方体
QD 五年级下册
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知 识 点
测量不规则物体的体积
1.填一填。
(1)一个量杯装有320 mL的水，将一个土豆没入水中(水未溢出)，水面上升到510 mL的位置，这个土豆的体积是( )cm3。
(2)
这块石头的体积是( )cm3。
190
600
2. 爸爸在一个底面积为50 dm2的长方体鱼缸里放了一个假山石(假山石完全没入水中，且水未溢出)，水面上升了3 cm。这个假山石的体积有多大？
想：假山石的体积＝( )
( )
长方体鱼缸的底面积
×
水面上升的高度
3 cm＝0.3 dm 50×0.3＝15(dm3)
答：这个假山石的体积为15 dm3。
3. 一个正方体玻璃容器，从里面量棱长是30 cm，容器里装有一些水，放入一块石头后，水深15 cm(石头完全没入水中)，取出石头后，水深10 cm，石头的体积是多少？
30×30×(15－10)＝4500(cm3)
答：石头的体积是4500 cm3。
4. 宾馆前面的长方体水池长12 m，宽10 m，高2 m，注满水后，把3根长3 m，宽2 m，高5 m的长方体石柱立着放入水池中，水池溢出的水的体积是多少？
易 错 点
误认为溢出的水的体积就是放入水中,物体的体积
3×2×2×3＝36(m3)
答：水池溢出的水的体积是36 m3。
辨析：溢出的水的体积就是3根长方体石柱被淹没部分的体积。
5 L＝5 dm3 5÷(2×2)＝1.25(dm) 13 cm＝1.3 dm
2×2×(1.3－1.25)＝0.2(dm3)＝200 cm3
答：这个苹果的体积是200 cm3。
5.一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为2 dm，向容器中倒入5 L水，再把一个苹果放入水中(苹果完全没入水中，且水未溢出)。这时量得容器内的水深是13 cm。这个苹果的体积是多少立方厘米？
提升点1
稍复杂的求不规则物体的体积
6.一个正方体容器，从里面量棱长为5 dm，容器内水深4.6 dm。把一个长和宽都是2 dm的长方体铁块放入水中(铁块完全没入水中)，水溢出了2 L。铁块的高是多少分米？
提升点2
借用排出的水求长方体的高
2 L＝2 dm3 5×5×(5－4.6)＋2＝12(dm3)
12÷(2×2)＝3(dm)
答：铁块的高是3 dm。
50×40×30÷(50×40＋40×30)＝18.75(cm)
答：现在水面的高度是18.75 cm。
7.有两个长方体水箱，甲水箱里装满水，乙水箱空着。甲水箱从里面量长50 cm，宽40 cm，高30 cm；乙水箱从里面量长40 cm，宽30 cm，高25 cm。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两个水箱水面一样高，现在水面的高度是多少厘米？(共9张PPT)
阶段小达标 (10)
七 包装盒——长方体和正方体
QD 五年级下册
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1.填空。(每空1分，共12分)
(1)在括号里填上合适的容积单位或体积单位。
一桶酱油有1.5( )
一个矿泉水瓶的容积是500( )
一块橡皮的体积约是6( )
一节车厢的体积大约是60( )
升
毫升
立方厘米
立方米
(2)5690 mL＝( )dm3
24 L＝( )m3
0.06 m3＝( )dm3＝( )cm3
8790 mL＝( )dm3＝( )L
(3)将一块长2 m的长方体木料截成两段，它的表面积增加了60 cm2，这块木料的体积是( )cm3。
(4)有眼药水0.3升，若每个小瓶最多可以装3毫升，这些眼药水至少可以装( )个小瓶。
5.69
0.024
60
60000
8.79
8.79
6000
100
2. 选择。(将正确答案的字母填在括号里)(每题2分，共8分)
(1)将40升水倒入长0.4米，宽0.2米的长方体玻璃缸中，水深( )分米。
A.50 B．5 C．0.5 D．500
(2)一个从里面测量长为6分米，宽为4分米，高为5分米的长方体纸箱，装棱长为2分米的正方体礼品盒(不外漏)，最多可以装( )个。
A.8 B．12 C．15 D．120
B
B
(3)从一块长18 cm，宽12 cm，高80 cm的长方体木料上锯下一个最大的正方体，锯下的正方体的体积是( )。
A.1728 cm3 B．1152 cm3
C.768 cm3 D．512 cm3
(4)一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的( )倍。
A.6 B．8 C．9 D．27
A
B
3.计算下列图形的体积。(单位：dm)。(每小题5分，共10分)
3×3×7＝63(dm3)
2.5×2.5×2.5＝15.625(dm3)
4.解决问题。(共30分)
(1)一块长方体石头，底面积是0.2平方米，高是36分米，每立方米石头大约重2.7吨。这块石头大约重多少吨？(15分)
36分米＝3.6米
0.2×3.6×2.7＝1.944(吨)
答：这块石头大约重1.944吨。
(2)一个正方体的玻璃容器从里面量棱长是6 dm。如果要向这个容器里注入25 cm深的水，需要多少升水？(15分)
6×6＝36(dm2) 25 cm＝2.5 dm
36×2.5＝90(dm3)
90 dm3＝90 L
答：需要90 L水。(共13张PPT)
阶段小达标 (9)
七 包装盒——长方体和正方体
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1.填一填。(每空2分，共10分)
(1)一个长方体的长是15厘米，宽是12厘米，高是8厘米，这个长方体的表面积是( )平方厘米。
(2)一个正方体的棱长是8分米，它的棱长总和是( )，表面积是( )。
792
96分米
384平方分米
(3)一个正方体的棱长是2厘米，把它的棱长扩大到原来的2倍，扩大后的正方体的表面积是( )平方厘米。
(4)一个正方体的表面积是216平方厘米，把它放在桌子上占的面积是( )平方厘米。
96
36
2．选择。(将正确答案的字母填在括号里)(每题3分，共15分)
(1)下面( )图形沿虚线折叠后不能围成长方体。
C
(2)下面的四个图形中，( )可以折成正方体。
(3)如图，它是一个正方体表面的展开图，与a面相对的面是( )。
A．b B．c C．d D．e
C
C
(4)如图是由棱长1 cm的小正方体摆成的图形，它的表 面积是( )。
A．12 cm2 B．16 cm2
C．18 cm2 D．20 cm2
C
(5)如图，它们都是由棱长1厘米的小正方体摆成的，它们的表面积相比，结果是( )。
A．甲>乙
B．甲＝乙
C．甲<乙
D．无法确定
B
3．计算下面长方体和正方体的表面积。(10分)
(1)(20×4＋20×11＋11×4)×2＝688(cm2)
(2)72÷12＝6(dm) 6×6×6＝216(dm2)
4．解决问题。(共25分)
(1)一段方管，管口是边长为4厘米的正方形，管长120厘米，要把它的外面全部涂上防锈漆，涂漆部分的面积是多少平方厘米？(6分)
120×4×4＝1920(平方厘米)
答：涂漆部分的面积是1920平方厘米。
(2) 陈老师制作了一个正方体模型，测得棱长总和是84厘米，这个正方体模型的表面积是多少平方厘米？(6分)
84÷12＝7(厘米)
7×7×6＝294(平方厘米)
答：这个正方体模型的表面积是294平方厘米。
(3)飞飞从左面和上面看一个长方体，得到如图所示的两个长方形，则这个长方体的表面积是多少？(6分)
(2×3＋2×4＋3×4)×2＝52(cm2)
答：这个长方体的表面积是52 cm2。
(4) 在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个边长为4 cm的正方形，正好可以折成一个无盖的铁盒。这个铁盒的表面积是多少？(7分)
40×30－4×4×4＝1136(cm2)
答：这个铁盒的表面积是1136 cm2。(共11张PPT)
阶段小达标 (8)
七 包装盒——长方体和正方体
QD 五年级下册
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1.根据图中数据填空。(每空1分，共6分)
(1)长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。12条棱长的和是( )cm。
(2)正方体的棱长是( )cm。12条棱长的和是( )cm。
8
3
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60
5
60
2.选择。(将正确答案的字母填在括号里)(每题2分，共10分)
(1)一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是2厘米，这个长方体的棱长之和是( )厘米。
A.20 B．40 C．60 D．80
(2)一个正方体的棱长是4分米，它的棱长之和是( )分米。
A.48 B．64 C．32 D．96
D
A
(3)一个正方体的棱长和是a厘米，它的棱长是( )厘米。
A.6a B．a÷6
C.a÷12 D．12a
(4)一个长方体的长是4厘米，宽是3.5厘米，高是1.5厘米。它的占地面积是( )平方厘米。
A.6 B．14 C．5.25 D．21
C
B
(5)从一个方向观察一个长方体，最多能同时看到它的( )个面。
A.1 B．2 C．3 D．4
C
3.把下面的长方体各个面的面积填在表中。(12分)
300
300
200
200
150
150
4.左面是用棱长为2 cm的小正方体拼成的长方体，右面6个图形中哪一个是这个长方体的面？在括号里打“√”。(6分)
5．一个长方体有两个相对的面是正方形(如图)，正方形的边长是6 cm，这个长方体的棱长总和是100 cm，它的高是多少厘米？(8分)
100－6×8＝52(cm) 52÷4＝13(cm)
答：它的高是13 cm。
6．有一根138 cm长的铁丝，用这根铁丝焊接成一个正方体框架，还剩6 cm，这个正方体框架的棱长是多少厘米？(接头处忽略不计)(8分)
138－6＝132(cm) 132÷12＝11(cm)
答：这个正方体框架的棱长是11 cm。
7．已知一个长方体的棱长总和是64厘米，长是8厘米，宽是5厘米。这个长方体的高是多少厘米？(10分)
64－8×4－5×4＝12(厘米)
12÷4＝3(厘米)
答：这个长方体的高是3厘米。(共18张PPT)
长方体和正方体回顾整理
回顾反思
综合应用
系统梳理
整体回顾
课后作业
7 包装盒——长方体和正方体
一、整体回顾
正方体是特殊的长方体
棱
长方体和正方体的特征
面
顶点
表面积
长方体的表面积
正方体的表面积
体积和容积
长方体的体积
体积单位及换算
正方体的体积
容 积
正方体是特殊的长方体。它们的关系可以用下图表示：
二、系统梳理
长方体
正方体
返回
二、系统梳理
长方体和正方体的特征
名称 长方体 正方体
面 个数
形状
棱 条数
长度
顶点 个数
6个
6个面都是长方形（可能有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同。
12条
相对的4条棱长度相等（可能有8条棱长度相等）
8个
6个
6个面都是正方形，6个面完全相同。
12条
12条棱长度相等
8个
返回
二、系统梳理
长方体和正方体的表面积
意义 展开图 计算方法
长方体
上
下
前
后
左
右
正方体
后
前
左
右
下
上
长×宽×2
长×高×2
宽×高×2
＋
＋
（长×宽+长×高+宽×高）×2
棱长×棱长×6
或棱长2×6
长方体或正方体6个面的总面积，叫作它的表面积。
二、系统梳理
长方体和正方体的体积和容积
意义 常用单位 单位间的关系
体积
容积
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
1升=1000毫升
物体所占空间的大小叫作物体的体积。
容器所能容纳物体的体积，叫作它们的容积。
计量容积一般用体积单位。但是计量液体的体积，如
水、油等，常用容积单位升与毫升。升与毫升可以分别写成L和mL。
计量体积要用体积单位。常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。
二、系统梳理
长方体和正方体的体积
图形 计算方法
b
a
h
a
a
a
长方体的体积＝长×宽×高
V=abh
正方体的体积＝棱长×棱长×
棱长
V=a3
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高
V = Sh
返回
二、系统梳理
回顾长方体、正方体体积公式的推导过程：
现实问题
数学问题
联想已有
知识经验
怎样求可乐箱的体积呢？啤酒箱的体积呢？
怎样求长方体和正方体的体积呢？
面积的大小就是含有“面积单位”的数量，体积的大小应该是含有“体积单位”的数量吧？
二、系统梳理
寻找方法
算一算
可以先把长方体切成1立方厘米的小正方体，再
数一数有多少个，就知道体积是多少了。
一共36个小正方体，所以长方体的体积是36立方厘米。
也可以用1立方厘米的小正方体木块摆一摆。
长6厘米，一行可以摆6个。
宽2厘米，一层可以摆2行。
高3厘米，可以摆3层。
木块总数：
6×2×3=36（个）
体积：
6×2×3=36（立方厘米）
二、系统梳理
归纳结论
回顾刚才的活动过程，想一想，物体的体积与它所含“体积单位”的个数有着怎样的关系？
长方体（或正方体）所含“体积单位”的数量，就是它们的体积。
长方体（或正方体）所含“体积单位”的数量等于长、宽、高的乘积。
2cm
6cm
3cm
木块总数：
6×2×3 = 36（个）
体积：
6×2×3 = 36（立方厘米）
体积：
5×4×2 = 40（立方厘米）
木块总数：
5×4×2 = 40（个）
4cm
5cm
2cm
3×3×3 = 27（立方厘米）
3cm
3cm
3cm
木块总数：
3×3×3 = 27（个）
体积：
b
ɑ
h
长方体的体积 ＝ 长×宽×高
V = ɑbh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
V = ɑ·ɑ·ɑ
ɑ
ɑ
ɑ
二、合作探索
根据以上探索过程，如果V表示长方体、正方体的体积，用你能总结出长方体和正方体的体积计算公式吗？
长
宽
高
棱长
棱长
棱长
ɑ·ɑ·ɑ也可以写作“ɑ3”,读作“ɑ的立方”，表示3个ɑ相乘。正方体的体积公式一般写成：
V = ɑ3
二、系统整理
解决问题、
解释应用
产生新问题
可乐箱的体积：
7×3×2 = 42（dm3）
啤酒箱的体积：
3×3×3 = 27（dm3）
你会求可乐箱的体积了吗？
答：可乐箱的体积是42 dm3。
答：啤酒箱的体积是27 dm3 。
是不是所有立体图形的体积都等于底面积乘高呢？
二、系统梳理
方法整理：
现实问题
怎样求可乐箱的体积？
数学问题
联想已有知识经验
归纳结论
解决问题、解释应用
产生新问题
怎样求长方体的体积？
体积的大小也就是含有 “体积单位” 数量的多少。
猜想、验证、总结体积公式：V=abh
运用公式求出长方体的体积，解决求饮料箱体积的问题。
是不是所有立方体的体积都等于底面积乘高。
返回
寻找方法
切一切、摆一摆、数一数、算一算。
三、综合应用
1.填一填。
3m2=( )dm2
300
5000cm2=( )dm2
0.05m3=( )dm3=( )cm3
3560mL=( )L=( )dm3
0.32m3=( )L
50
50
50000
3.56
3.56
320
三、综合应用
2.填一填。
长方体 长 宽 高 表面积 体积
1 8cm 5cm 4cm
2 18m 12m 7.5m
3 8.1dm 5dm 162dm3
184cm2
160cm3
882m2
1620m3
4dm
185.8dm2
3.计算下面图形的表面积和体积。
三、自主练习
（8×4＋4×6＋6×8）×2
=（32+24+48）×2
=104×2
=208（cm2）
表面积：
8×6×4=192（cm3）
体积：
（5×5）×6
=25×6
=150（cm2）
表面积：
5×5×5=125（cm3）
体积：
4×4×2＋4×12×4
=32+192
=224（cm2）
表面积：
4×4×12=192（cm3）
体积：
8cm
6cm
4cm
5dm
5dm
5dm
4cm
4cm
12cm
4.
240÷12=20（厘米）
答：至少需用2400平方厘米纸板。
20×20×20=8000（立方厘米）
答：这个纸盒的体积是8000立方厘米。
20×20×6=2400（平方厘米）
三、综合应用
用240厘米长的铁丝做一个最大的正方体框架，然后用纸板将6个面包起来做一个正方体纸盒，至少需用多少平方厘米纸板？这个纸盒的体积是多少立方厘米？
四、回顾反思(共21张PPT)
第12招 长方体、正方体表面积和体积的综合应用
QD 五年级下册
学习第7单元后使用
经典例题
将表面积分别为54 平方厘米，96 平方厘米和150 平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗)，这个大正方体的体积是多少立方厘米？
思路分析：
正方体6个面都相等
54＝6×(3×3)，96＝6×(4×4)，150＝6×(5×5)
三个铁质正方体的棱长分别是3 cm，4 cm和5 cm
三个铁质正方体的体积＝大正方体的体积
54＝6×(3×3) 96＝6×(4×4) 150＝6×(5×5)
规范解答：
3×3×3＋4×4×4＋5×5×5＝216(立方厘米)
答：这个大正方体的体积是216 立方厘米。
1
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提示：点击 进入题组训练
已知体积求表面积
已知表面积求体积
逆用体积公式
5
6
1．从一个长方体的上端截下一个体积为800 cm3的长方体后，正好剩下一个棱长为10 cm的正方体。原来长方体的表面积是多少平方厘米？
应用 1
已知体积求表面积
截下长方体的底面积是10×10＝100(cm2)
截下长方体的高是800÷100＝8(cm)
原长方体的高是8＋10＝18(cm)
800÷(10×10)＝8(cm) 8＋10＝18(cm)
10×10×2＋18×10×4＝920(cm2)
答：原来长方体的表面积是920 cm2。
2．一个长方体，如果长减少2 cm，宽、高都不变，它的体积减少48 cm3；如果宽增加3 cm，长、高都不变，它的体积增加99 cm3；如果高增加4 cm，长、宽都不变，它的体积增加352 cm3。原来长方体的表面积是多少平方厘米？
根据长减少2 cm，宽、高都不变，体积减少48 cm3
用减少的体积除以减少的长即得左面或右面的面积
用同样的方法可以求出前面或后面、上面或下面的面积
48÷2＝24(cm2) 99÷3＝33(cm2)
352÷4＝88(cm2)
(24＋33＋88)×2＝290(cm2)
答：原来长方体的表面积是290 cm2。
3．一个长方体木块，从上部和下部分别截去高2 cm和3 cm的长方体后，便成了一个正方体，表面积减少了120 cm2，原来长方体的体积是多少立方厘米？
应用 2
已知表面积求体积
120÷4÷(2＋3)＝6(cm)
6×6×(6＋2＋3)＝396(cm3)
答：原来长方体的体积是396 cm3。
4．有一个长方体，它的底面是正方形，它的表面积是190 cm2，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，这两个长方体表面积的和为240 cm2。原来长方体的体积是多少立方厘米？
截成的两个长方体表面积的和减去原长方体的表面积就是增加的两个底面的面积
再除以2可以得到原长方体的底面积
再用原长方体的表面积减去两个底面积就是侧面积
侧面积除以底面周长就是高
(240－190)÷2＝25(cm2) 25＝5×5
5×4＝20(cm)
(190－25×2)÷20＝7(cm)
25×7＝175(cm3)
答：原来长方体的体积是175 cm3。
5．如图，A面是18 平方米，B面是12 平方米，高h是4 米。现在把A的土运到B上面，使A，B同样高。这样B地升高了多少米？
应用 3
逆用体积公式
先求出以A为底面，高是4 米的长方体的体积
再除以A，B两个面的面积之和
得B可以升高多少米
18×4÷(18＋12)＝2.4(米)
答：这样B地升高了2.4 米。
6．把一块长32 cm的长方形铁皮，在四角上剪去边长为4 cm的小正方形，再做成无盖的盒子，盒子的容积是768 mL。做这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？
逆用体积公式先求出盒子的宽，再求用了多少平方厘米的铁皮。
32－4×2＝24(cm) 768 mL＝768 cm3
768÷24÷4＝8(cm) 8＋4×2＝16(cm)
32×16－4×4×4＝448(cm2)
答：做这个盒子用了448 cm2的铁皮。(共17张PPT)
第9招 用“类比思想”解决涂色问题
QD 五年级下册
学习第7单元后使用
经典例题
把一个棱长是4 厘米的正方体表面涂上红色，然后将其锯成棱长为1 厘米的小正方体，在这些小正方体中，三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体各有多少个？
思路分析：
三面涂色的在顶点上找，正方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个
两面涂色的在棱上找，类似于求棱长总和，每条棱上有4－2＝2(个)，12条棱上有2×12＝24(个)
一面涂色的在面上找，类似于求表面积，每个面上有(4－2)×(4－2)＝4(个)，6个面上有4×6＝24(个)
没有涂色的在正中间找，类似于求体积，共有(4－2)×(4－2)×(4－2)＝8(个)
规范解答：
三面涂色：8个
两面涂色：(4－2)×12＝24(个)
一面涂色：(4－2)×(4－2)×6＝24(个)
没有涂色：(4－2)×(4－2)×(4－2)＝8(个)
答：三面涂色的有8个，两面涂色的有24个，一面涂色的有24个，没有涂色的有8个。
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正方体涂色问题
长方体涂色问题
逆用涂色规律解题
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1．把一个棱长是5 厘米的正方体表面涂上绿色，然后将它锯成棱长为1 厘米的小正方体，在这些小正方体中，三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体各有多少个？
类型 1
正方体涂色问题
在顶点上找
在棱上找
在面上找
在正中间找
三面涂色：8个
两面涂色：(5－2)×12＝36(个)
一面涂色：(5－2)×(5－2)×6＝54(个)
没有涂色：(5－2)3＝27(个)
答：三面涂色的有8个，两面涂色的有36个，一面涂色的有54个，没有涂色的有27个。
2．用棱长为1的小正方体拼成棱长为6的大正方体后，在大正方体的表面涂上黄色。在这些小正方体中，三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体各有多少个？
在顶点上找
在棱上找
在面上找
在正中间找
三面涂色：8个
两面涂色：(6－2)×12＝48(个)
一面涂色：(6－2)×(6－2)×6＝96(个)
没有涂色：(6－2)3＝64(个)
答：三面涂色的有8个，两面涂色的有48个，一面涂色的有96个，没有涂色的有64个。
3．一个长方体木块，长6 dm，宽5 dm，高4 dm，现在在它的六个面上都涂上绿色，然后把它锯成棱长是1 dm的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，有多少个三面有绿色？两面、一面有绿色的各有多少个？六个面都没有绿色的有多少个？
类型 2
长方体涂色问题
三面涂色的在顶点上找，有8个顶点，就有8个小正方体木块
两面涂色的在棱上找，类似于求棱长总和
一面涂色的在面上找，类似于求表面积
没有涂色的在正中间找，类似于求体积
三面有绿色：8个
两面有绿色： [(6－2)＋(5－2)＋(4－2)]×4＝36(个)
一面有绿色：[(6－2)×(5－2)＋(6－2)×(4－2)＋(5－2)×(4－2)]×2＝52(个)
六个面都没有绿色：(6－2)×(5－2)×(4－2)＝24(个)
答：有8个三面有绿色，两面有绿色的有36个，一面有绿色的有52个，六个面都没有绿色的有24个。
类型 3
逆用涂色规律解题
4．给一个正方体的6个面上涂上蓝色，然后将它锯成若干个棱长为1 厘米的小正方体，其中一个面涂色的小正方体有96个，那么没有涂色的小正方体有多少个？
一面涂色的在面上找，
没有涂色的在正中间找。
96÷6＝16(个)
16＝4×4
43＝64(个)
答：没有涂色的小正方体有64个。
5．给一个正方体木块的6个面涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1 cm的小正方体木块，有两面涂红色的共有108个，那么只有一面涂红色的有多少个？
一面涂色的在面上找，类似于求表面积。
正方体的棱长：108÷12＋2＝11(cm)
只有一面涂红色：(11－2)2×6＝486(个)
答：只有一面涂红色的有486个。(共16张PPT)
第4招 长方体、正方体体积的解题技巧
QD 五年级下册
学习第7单元后使用
经典例题
把两个完全一样的小长方体拼成一个大长方体(如图)，这个大长方体的表面积比原来两个小长方体的表面积和减少了50 平方厘米，如果拼成的大长方体的长是20 厘米，那么一个小长方体的体积
是多少立方厘米？
思路分析：
拼成一个大长方体，表面积的和减少了50 cm2
也就是减少了两个侧面面积
一个侧面面积是50÷2＝25(cm2)
大长方体的长是20 cm，
那么小长方体的长是20÷2＝10(cm)
侧面面积×长就是一个小长方体的体积
50÷2×(20÷2)＝250(立方厘米)
规范解答：
答：一个小长方体的体积是250 立方厘米。
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用“等体积变形法”解决问题
用“排水法”解决问题
用“公式法”求体积
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用“操作法”求容积
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1．一个封闭的长方体容器(如下图所示)，长20 cm，宽15 cm，高10 cm，里面的水深6 cm，如果把这个容器向左转，竖起来，里面的水深是多少厘米？
技巧 1
用“等体积变形法”解决问题
水的体积不变
20×15×6÷(15×10)＝12(cm)
答：里面的水深应该是12 cm。
2．如图，有一块长方形地，A处比B处高5 m，现在要把这块地推平，要从A处取多少米厚的土填在B处？
(10－6)×6×5÷(10×6)＝2(m)
5－2＝3(m)
答：要从A处取3 m厚的土填在B处。
3．有一个长方体容器长90 cm，宽45 cm，高40 cm，水深25 cm，现在放入一个棱长为18 cm的正方体铁块，这时水深多少厘米？
技巧 2
用“排水法”解决问题
水上升的高度＝正方体铁块的体积÷长方体容器的底面积
25＋18×18×18÷(90×45)＝26.44(cm)
答：这时水深26.44 cm。
4．有一个长方体水箱，从里面量长40 cm，宽30 cm，深35 cm，箱中水面高10 cm。放入一个棱长为20 cm的正方体铁块后，铁块顶部仍高于水面。这时水面上升了多少厘米？
40×30×10÷(40×30－20×20)－10＝5(cm)
答：这时水面上升了5 cm。
5．一个长方体的表面积是67.92 dm2，底面积是19 dm2，底面周长是17.6 dm，这个长方体的体积是多少立方分米？
技巧 3
用“公式法”求体积
表面积－底面积×2＝侧面积，
侧面积÷底面周长＝高，
底面积×高＝体积。
67.92－19×2＝29.92(dm2)
29.92÷17.6＝1.7(dm)
19×1.7＝32.3(dm3)
答：这个长方体的体积是32.3 dm3。
6．用一张长40 厘米、宽20 厘米的铁皮做一个深5 厘米的无盖铁皮盒子，怎样做使铁皮盒子的容积最大？并求出最大容积。(请画图表示制作方法)
(40－5×4)×20×5＝2000(立方厘米)
答：最大容积是2000 立方厘米。
技巧 4
用“操作法”求容积(共18张PPT)
第3招 长方体、正方体表面积的解题技巧
QD 五年级下册
学习第7单元后使用
经典例题
在一个棱长为4 厘米的正方体的上面正中间挖去一个棱长为1 厘米的小正方体。求所得立体图形的表面积。
思路分析：
除了上面，其余5个面没有变化
将小正方体的底面补到原来正方体的上面，那么上面也没有变化
小正方体四周的4个小正方形面是新增加的面
4×4×6＋1×1×4＝100(平方厘米)
规范解答：
答：所得立体图形的表面积是100 平方厘米。
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用“观察法”求组合图形的表面积
用“割补法”求组合图形的表面积
根据增加或减少的表面积求长方体的表面积
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1．有一个形状如下图的零件，求它的表面积。
技巧 1
用“观察法”求组合图形的表面积
(12×8＋12×6＋8×6)×2＋3×3×4＝468(cm2)
答：它的表面积是468 cm2。
将正方体的上表面补到长方体的上表面，得物体的总面积=长方体的表面积+正方体4个侧面的面积
2．如下图所示的立体图形是由9个棱长为1 cm的正方体搭成的，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？
露在外边的面一共有
(5＋5＋6)×2＝32(个)
(5＋5＋6)×2＝32(个)
1×1×32＝32(cm2)
答：这个立体图形的表面积是32 cm2。
3．有一个棱长为4 cm的正方体，从它的右上方截去一个长、宽、高分别为4 cm，2 cm，1 cm的长方体(如图)，求剩下部分的表面积。
技巧 2
用“割补法”求组合图形的表面积
从右上方截去一个长方体，表面积减少了2个长2 cm、宽1 cm的长方形的面积。
4×4×6－1×2×2＝92(cm2)
答：剩下部分的表面积是92 cm2。
4．如图，有一块长10 cm、宽2 cm、高7 cm的长方体木块，在它的左上角和右上角各切掉一块棱长为2 cm的小正方体，剩下部分的表面积是多少？
总面积＝原长方体的上、下表面面积＋左右两个面的面积＋前后两个面的面积，前后面的面积可拆成两个小长方形计算，如图。
[10×(7－2)＋(10－2－2)×2]×2＋10×2×2＋2×7×2＝192(cm2)
答：剩下部分的表面积是192 cm2。
5．一个长方体正好可以锯成4个完全一样的正方体，表面积增加了180 cm2，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？
技巧 3
根据增加或减少的表面积求长方体的表面积
有两种情况
情况一：如图 ，增加6个正方形面，每个正方形面的面积是180÷6＝30(cm2)，原长方体共有4×4＋2＝18(个)这样的面，故原长方体的表面积是30×18＝540(cm2)。
情况二：如图 ，增加8个正方形面，每个正方形面的面积是180÷8＝22.5(cm2)，原长方体共有4×2＋2×4＝16(个)这样的面，故原长方体的表面积是22.5×16＝360(cm2)。
情况一：
(4－1)×2＝6(个) 180÷6＝30(cm2)
(4×4＋2)×30＝540(cm2)
情况二：
180÷(4×2)＝22.5(cm2)
22.5×(4×2＋2×4)＝360(cm2)
答：原来这个长方体的表面积是540 cm2或360 cm2。
6．一个长方体，如果把它从平行于底面的方向锯掉3 cm高的一段，正好得到一个正方体，此时表面积减少了72 cm2，原来长方体的表面积是多少平方厘米？
减少了4个小长方形面
每个小长方形面的面积是72÷4＝18(cm2)
原长方体的长和宽是18÷3＝6(cm)，高是3＋6＝9(cm)
72÷4÷3＝6(cm)
6＋3＝9(cm)
6×6×2＋6×9×4＝288(cm2)
答：原来长方体的表面积是288 cm2。(共19张PPT)
第2招 长方体、正方体棱长总和的解题技巧
QD 五年级下册
学习第7单元后使用
经典例题
晓东用一根铁丝刚好焊接成一个棱长为8 厘米的正方体框架，如果用这根铁丝焊接成一个长10 厘米、宽7 厘米的长方体框架，它的高是多少厘米？
思路分析：
由题意可知，棱长总和不变
先根据“棱长×12”求出正方体的棱长总和，也就是长方体的棱长总和
再运用“高＝棱长总和÷4－长－宽”就可以求出长方体的高
8×12＝96(厘米)
规范解答：
96÷4－10－7＝7(厘米)
答：它的高是7 厘米。
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联系实际求棱长总和
利用观察法求包装带的长
运用画图法求长方体、正方体的棱长总和
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根据正方体的特征求棱长总和
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根据增加的面求增加的棱长和
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1．小玥家有一个长方体形状的蚊帐(如图)，长2 m，宽1.5 m，高1.8 m。蚊帐的顶和四周由钢管固定(地面的四周没有钢管)。固定这样一个蚊帐至少需要多长的钢管？
技巧 1
联系实际求棱长总和
2×2＋1.5×2＋1.8×4＝14.2(m)
答：固定这样一个蚊帐至少需要14.2 m长的钢管。
2．爸爸给小玥买了一份生日礼物，所用的包装盒的长是30 cm，宽是20 cm，高是15 cm，现在要用彩带把这个包装盒捆上(如图)，接头处长18 cm，一共需要多少厘米的彩带？
技巧 2
利用观察法求包装带的长
(30＋20＋15×2)×2＋18＝178(cm)
答：一共需要178 cm的彩带。
3．用两个相同的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和比原来两个正方体木块的棱长总和减少了24 cm，这两个正方体木块的棱长总和是多少厘米？
画图分析： 列式解答：
技巧 3
运用画图法求长方体、正方体的棱长总和
两个相同的正方体拼成一个长方体，减少了8条棱
棱长总和减少了24 cm
每条棱的长是24÷8＝3(cm)
24÷8＝3(cm) 3×12×2＝72(cm)
答：这两个正方体木块的棱长总和是72 cm。
画图略。
4．一个长方体，正好截成3个完全一样的正方体，这3个正方体的棱长总和比原来长方体的棱长总和增加了80 cm，原来长方体的棱长总和是多少厘米？
画图分析： 列式解答：
一个长方体截成3个正方体，一共增加了4个面，16条棱
又知棱长总和增加了80 cm
正方体每条棱的长度是80÷16＝5(cm)
原长方体的长是5×3＝15(cm)，宽和高都是5 cm
80÷(4×4)＝5(cm) 5×3＝15(cm)
(15＋5＋5)×4＝100(cm)
答：原来长方体的棱长总和是100 cm。
画图略。
5．一个正方体的棱长是6 cm，如果用8个这样的正方体拼成一个大正方体，这个大正方体的棱长总和是多少厘米？
技巧 4
根据正方体的特征求棱长总和
大正方体的棱长是小正方体棱长的2倍
大正方体的棱长是6×2＝12(cm)
6×2＝12(cm) 12×12＝144(cm)
答：这个大正方体的棱长总和是144 cm。
6．把一个棱长为12 cm的正方体木块切割成3个相同的长方体，切割成的3个长方体的棱长总和比原来正方体的棱长总和增加多少厘米？
技巧 5
根据增加的面求增加的棱长和
割成3个相同的长方体，要切2次
增加4个正方形面
每个正方形面有4条边
增加16条棱
(3－1)×2×4×12＝192(cm)
答：增加192 cm。
