数学人教A版2019选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系 课件（共23张ppt）

(共23张PPT)
1.3.1 空间直角坐标系
复习引入
学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算.所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础.
在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题.
新知探索
我们知道，平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成.利用单位正交基底概念，我们还可以这样理解平面直角坐标系：如图，在平面内选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：轴、轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.
新知探索
类似地，在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分.
新知探索
画空间直角坐标系时，一般使(或)，.
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.
问题1：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
新知探索
在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.
在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，
叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标.
新知探索
在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.
有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.
这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
符号具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分.
新知探索
问题2：在空间直角坐标系中，对空间中的任意一点，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标吗？
事实上，如图，过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴、轴和轴于点和.可以证明在轴、轴、轴上的投影向量分别为，，，且.设点和在轴、轴和轴上的坐标分别是，和，那么点(向量)的坐标为.
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是的形式.（）
(2)空间直角坐标系中，在平面内的点的坐标一定是的形式.（）
(3)空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为.（）
答案：×，√，√.
例析
例1.如图，在长方体中，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出四点的坐标；
(2)写出向量，，，的坐标.
解(1):点在轴上，且，所以.所以点的坐标是.同理，点的坐标是.点在轴、轴、轴上的射影分别为，，，它们在坐标轴上的坐标分别为3,0，2，所以点的坐标是.点在轴、轴、轴上的射影分别为，它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2,所以点的坐标是.
例析
例1.如图，在长方体中，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出四点的坐标；
(2)写出向量，，，的坐标.
解(2):；
；
练习
题型一：空间中点的坐标
例1.在棱长为1的正方体中，分别是的中点，在棱上，且，为的中点，试建立恰当的坐标系，写出，的坐标.
解：建立如图所示的空间直角坐标系.点在轴上，它的坐标、坐标均为0，而为的中点，故其坐标为.由作，，垂足分别为，，由平面几何知识知，，故点坐标为.点在轴上，其坐标均为0，又，故点坐标为.由作于，由于为的中点，故，，∴，
故点坐标为.
练习
方法技巧：
求某点的坐标的方法
(1)找到点在轴上的射影；
(2)确定射影在相应坐标轴上的坐标
(3)求出点的坐标.
练习
变1.已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标.
解：因为，
所以各顶点的坐标分别为，
，，
，
练习
题型二：空间向量的坐标表示
例2.如图所示，垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标.
解：∵，平面，，
∴，，是两两垂直的单位向量.
设
，，以为单位正交基底建立空间直角坐标系.如图所示：
∵
∴.
练习
方法技巧：
用坐标表示空间向量的方法步骤
(1)观图形：观察图形特征，寻找两两垂直的三条直线；
(2)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
(3)计算：用基底表示向量；
(4)定结果：确定向量的坐标.
练习
变2.在直三棱柱中，为的中点.在如图所示的空间直角坐标系中，求的坐标.
解：∵
，
∴
∵
∴
练习
题型三：空间中点的对称问题
例3.在空间直角坐标系中，点
(1)求点关于轴的对称点的坐标；(2)求点关于平面的对称点的坐标；
(3)求点关于点的对称点.
解：(1)由于点关于轴对称后，它在轴的分量不变，在轴、轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为.
(2)由于点关于平面对称后，它在轴轴的分量不变，在轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为.
(3)设对称点为，则点为线段的中点，由中点坐标公式，可得
所以.
练习
方法技巧：
在空间直角坐标系中，点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下：
(1)关于坐标原点的对称点为
(2)关于横轴(轴)的对称点为
(3)关于纵轴(轴)的对称点为
(4)关于竖轴(轴)的对称点为
练习
方法技巧：
(5)关于坐标平面的对称点为
(6)关于坐标平面的对称点为
(7)关于坐标平面的对称点为
其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相关”.如关于横轴(轴)的对称点，
横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数.
练习
变3.在空间直角坐标系中，点
(1)求点关于轴的对称点的坐标；(2)求点关于平面的对称点的坐标；
(3)求点关于点的对称点.
解：(1)由于点关于轴对称后，它在轴的分量不变，在轴、轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为.
(2)由于点关于平面对称后，它在轴轴的分量不变，在轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为.
(3)设对称点为，则点为线段的中点，由中点坐标公式，可得
所以.
课堂小结
1.空间向量基本定理：
定理如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得.
其中，叫做空间向量的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
2.单位正交基底与正交分解：
(1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都
为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
(2)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P18的练习1、3、4题；
(3)课本P22的练习2、3题.