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2022年苏科版初中数学七年级上册 2.7 有理数的乘方 同步练习
一、夯实基础
1．（2021七上·海曙期末）地球距离太阳约为150000000千米， 这个距离用科学记数法表示为（ ）
A． 千米 B． 千米
C． 千米 D． 千米
【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：∵150000000 =
故答案为：B.
【分析】直接利用科学记数法的定义，得出结果。
2．（2021七上·滨州月考） 表示（ ）
A．3个 相乘 B．3个4相乘的相反数
C．4个 相乘 D．4个3相乘的相反数
【答案】B
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解： 的底数为4，为 ，表示3个4相乘的相反数
故答案为：B．
【分析】根据有理数乘方的意义进行分析可得结论。
3．（2021七上·路北期中）下列说法正确的是（ ）
A． 的底数是-2 B． 的底数是
C． 的底数是-3，指数是4 D． 的幂是-12
【答案】C
【知识点】乘方的定义
【解析】【解答】解：A、-23的底数是2，故此选项不符合题意；
B、2×32中，32的底数是3，故此选项不符合题意；
C、（-3）4的底数是-3，指数是4，符合题意；
D、-34的幂是-81，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用有理数的乘方运算法则及有理数的乘法原酸法则计算得出答案。
4．（2021七上·利辛月考）-12021的相反数是（ ）
A．2021 B．-2021 C．1 D．-1
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵-12021=-1，
∴ -12021的相反数是1.
故答案为：C.
【分析】先计算-12021=-1，再根据相反数的定义即可得出答案.
5．（2021七上·越秀期末）符|﹣1|，（﹣1）2，（﹣1）3这三个数中，等于﹣1的数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【解答】解： ， ， ，
所以等于﹣1的数有1个．
故答案为：B
【分析】根据绝对值，有理数的乘方计算求解即可。
6．（2021七上·惠民期中）下列各组数中，互为相反数的有（ ）．
①-（-2）和- ②（-1）2和-12③23和32；④（-2）3和-23
A．④ B．①② C．①②③ D．①②④
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的乘方
【解析】【解答】解：① ， ，互为相反数；
② ， ，互为相反数；
③ ， ，不互为相反数；
④ ， ，不互为相反数．
综上，互为相反数的是①②．
故答案为：B．
【分析】先利用相反数、绝对值和有理数的乘方化简，再根据相反数的定义判断即可。
7．（2021七上·永州月考）下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）－3 的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝ 时， ，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数及其分类；有理数的乘方
【解析】【解答】解：（1）0是最小的自然数，则原说法错误；
（2）正数和负数不一定都是有理数，正有理数、零和负有理数统称有理数，则原说法错误；
（3） 的底数是3，则原说法错误；
（4） a、b互为相反数，则a＋b＝0 ，原说法正确；
（5）当 时， ，则原说法错误.
综上，正确的个数为1个.
故答案为：A.
【分析】最小的自然数是0；正有理数、零和负有理数统称有理数；an（a≠0）的底数是a，当底数a是负数或分数的时候，一定要加括号；互为相反数的两个数之和等于0，据此一一判断得出答案.
8．（2021七上·南通期中）若 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A．1或-5 B．-1或5 C．1或-1 D．5或-5
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的减法；有理数的乘法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴解得： ，
又∵ ，
∴a=2，b=-3或a=-2，b=3，
∴当 时， ，
∴此时 ；
∴当 时， ，
∴此时 ；
∴综上所述， 的值为5或-5.
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得a=±2，b=±3，结合ab<0可得a、b的值，然后根据有理数的减法法则进行计算.
9．（2019七上·乌鲁木齐月考）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵1- = ，
∴第2次后剩下的绳子的长度为( )2米；
依此类推第六次后剩下的绳子的长度为( )6米.
故答案为：C.
【分析】根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为( )2米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为( )6米.
10．（2021七上·凌海期中）把写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ．
【答案】；-3；3
【知识点】乘方的定义
【解析】【解答】解：；
底数是-3，指数是3，
故答案为：，-3，3．
【分析】根据乘方的定义可得：；底数是-3，指数是3。
11．（2021七上·本溪期末）计算的结果为 ．
【答案】
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】先将带分数化为假分数，再利用有理数的乘方计算即可。
12．（2020七上·许昌期中）如果a的相反数是2，那么(a＋1)2019的值为 .
【答案】-1
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的乘方
【解析】【解答】解：由a的相反数是2，得a= 2.
(-2＋1)2019=-1，
故答案为：-1.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得a的值，再把a的值代入式子，根据有理数的混合运算法则可得答案.
13．（2021七上·河南期末）下列各数中：① ；② ；③ ，负数为 .（填序号）
【答案】①③
【知识点】正数和负数的认识及应用；绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴负数为①③.
故答案为：①③
【分析】根据绝对值的性质可得|-5|=5，根据有理数的乘方法则可得-22=-4，然后根据负数是小于0的数进行判断.
14．（2021七上·绍兴开学考）已知 ＜0， 则x－y= ．
【答案】7或-7
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的减法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵|x|=3，y2=16，
∴x=±3，y=±4，
∵xy＜0，
∴当x=3时y=-4，x-y=3-（-4）=7；
当x=-3时y=4，x-y=-3-4=-7；
故答案为：7或-7.
【分析】利用绝对值的性质，可求出x的值，利用平方等于16的数有两个，可求出y的值；再根据xy＜0，分情况讨论：当x=3时y=-4；当x=-3时y=4；然后分别代入计算求出x-y的值.
15．（2021七上·岳池期中）将下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”号连接起来.
－(＋3)，|－1.5|，0，(－2)2.
【答案】解：由于﹣（+3）=﹣3，∣﹣1.5∣=1.5，（﹣2）2=4，
将各数表示在数轴上如图所示：
，
由图可知：－(＋3)＜0＜|－1.5|＜(－2)2.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；有理数的乘方
【解析】【分析】先根据绝对值、相反数及乘方法则化简各数，进而根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数0，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数，在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小黑点作好标注，并在小黑点上方写出该点所表示的数，最后根据数轴上的点所表示的数，右边的数总比左边的大即可比出大小即可得出答案.
二、能力提优
16．（2021七上·包头期中）下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．32和23 B．（﹣3+2）3和（﹣3）2+22
C．（﹣2）3和23 D．（﹣3）2×22和（﹣3×2）2
【答案】D
【知识点】有理数大小比较；有理数的乘方
【解析】【解答】解：A、32＝9，23＝8，数值不相等；
B、（ 3＋2）3＝（ 1）3＝ 1，（ 3）2＋22＝9＋4＝13，数值不相等；
C、（ 2）3＝ 8，23＝8，数值不相等；
D、（ 3）2×22＝9×4＝36，（ 3×2）2＝（ 6）2＝36，数值相等．
故答案为：D．
【分析】先利用有理数的乘方化简，再比较大小即可。
17．（2021七上·仁寿期中）化简(-2)2018+(-2)2019的结果是（ ）
A．-2 B．0 C．-22018 D．22018
【答案】C
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解： (-2)2018+(-2)2019= (-2)2018（1-2）=-22018.
故答案为：C.
【分析】利用提公因数法 ，将式子转化为(-2)2018（1-2），再进行计算，可求出结果.
18．（2021七上·费县期中）已知a是相反数等于本身的数，b是倒数等于本身的数，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．1或3
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵a是相反数等于本身的数，b是倒数等于本身的数，
∴a=0，b=±1，
当a=0，b=1时， = ，
当a=0，b=－1时， = ，
∴ 的值为1或3，
故答案为：D．
【分析】有相反数及倒数求出a、b的值，然后分别代入计算即可.
19．（2021七上·威县期末）若|a|＝2，|b|＝1，且|a+b|＝a+b，则（a﹣b）a的结果为（ ）
A．1 B．6 C．9 D．1或9
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝1，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
当，时，，
当，时，
故答案为：D．
【分析】由|a|＝2，|b|＝1，可得，，由，可得，即得a=2，b=1或a=2，b=-1，然后分别代入计算即可.
20．下列说法：①平方等于64的数是8；②若a．b互为相反数，则 ；③若|-a|=a，则（-a）3的值为负数；④若ab≠0，则 的取值在0，1，2，-2这四个数中，不可取的值是0．正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【解答】①∵（±8）2=64，∴平方等于64的数是±8，故①错；②若a．b互为相反数，且a≠b，则；故②错；③∵|-a|=a，∴a≥0，∴（-a）3的值为零和负数，故③错；④若ab≠0，则a，b同号，或a，b异号，当a，b同号时 为2，或-2；当a，b异号，的值为0，故④错；
故答案为：A。
【分析】互为相反数的两个数的平方相等即可平方等于64的数是±8；不为0的两个数，如果互为相反数，则它们的商为-1；一个数的相反数的绝对值等于这个数，则这个数应该是非负数；如两个数的乘积不为0，则这两个数可能同正，也可能同负，或者一正一负，再根据绝对值的意义即可分别求出的值。
21．（2020七上·渌口期中）计算：(﹣1)1+(﹣1)2+(﹣1)3+…+(﹣1)2030＝ ．
【答案】0
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：原式＝﹣1+1﹣1+1﹣……﹣1+1＝0×1015＝0.
故答案为：0.
【分析】-1的奇次幂仍然是-1，-1的偶次幂是-1的相反数，本题据此进行解答.
22．（2021七上·虎林期末）已知ｘ是有理数，则代数式（2x-5）2+18的最小值是 ．
【答案】18
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵x是有理数，则代数式（2x-5）2+18
∵（2x-5）2≥0，
∴（2x-5）2+18≥18，
当x=2.5时，等号成立，
∴代数式（2x-5）2+18的最小值是18，
故答案为：18．
【分析】根据（2x-5）2≥0，可得（2x-5）2+18≥18，即可得到答案。
23．（2021七上·成都期末）已知|x|＝2，y2＝9，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝ .
【答案】﹣1或﹣5
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵|x|＝2，y2＝9，
∴x＝±2，y＝±3，
∵|x﹣y|＝y﹣x，
∴x﹣y＜0，也就是x＜y，
∴x=﹣2，y=3或x=2，y=3，
当x=﹣2，y=3时，x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5，
当x=2，y=3时，x﹣y＝2﹣3＝﹣1，
综上所述，x﹣y＝﹣1或﹣5.
故答案为：﹣1或﹣5.
【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x、y，再根据负数的绝对值等于它的相反数判断出x﹣y＜0，确定x、y的值，再代入计算即可求解.
24．（2020七上·大田期中）小明有5张写着不同数字的卡片，卡片上的数字分别是 、 、0、3、4，从中抽出2张卡片，用学过的加、减、乘、除、乘方中的一种运算方法进行运算，使结果最大，算式为 ．
【答案】
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：抽取 和4，最大的数为 ，
故答案为： ．
【分析】根据有理数的运算法则求解即可。
25．（2020七上·青白江期中）100米长的小棒，第1次截去 ，第2次截去剩下的 ，第3次截去剩下的 ，如此下去，第5次后剩下的小棒长 米，第49次后剩下的小棒长 米．
【答案】；2
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】∵ ，
∴第5次后剩下的小棒长 米，
∵ ，
∴第49次后剩下的小棒长2米，
故答案为： ，2．
【分析】根据有理数的乘方列式计算即可。
26．（2021七上·江阴期中）有理数 、 在数轴上的位置如图所示，下列说法：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；其中正确的序号有 .
【答案】②③⑤
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：由数轴上点的位置，得 ，
① ，则 错误，故①错误；
② 则 正确，故②正确；
③ 且 ，则 正确，故③正确；
④由已知得 ，所以 错误，故④错误；
⑤由已知可得 ，则 ，所以 正确，故⑤正确；
故答案为：②③⑤.
【分析】根据数轴可得a<027．（2020七上·嘉陵月考）已知 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的平方等于4， 是数轴上到原点的距离为1的数，求： 值．
【答案】解：由题意得 ， ， ， ，
∴原式 ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ．
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；有理数的乘方
【解析】【分析】 由 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的平方等于4， 是数轴上到原点的距离为1的数，可得 ， ， ， ，然后分别代入计算即可.
28．（2019七上·凤山期中）已知 , 且 ,
求：
（1）a，b的值；
（2）当a＜b时，计算 的值.
【答案】（1）解：由 ， 得a=±7，b=±6,，
又因为 ，所以a，b异号，
所以a=7，b=-6或者a=-7，b=6
（2）解：当a＜b时，a=-7，b=6；
原式=（-7+6）2019-（-7-6）2=-170
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【分析】（1）根据绝对值与平方的性质即可求解；（2）根据a＜b得到a,b的值，再代入即可求解.
29．（2021七上·吴兴期末）[阅读理解]求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：5÷5÷5，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）等，类比有理数的乘方，我们把5÷5÷5记作 ，读作“5的圈3次方”，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）记作 ，读作“﹣8的圈4次方”一般的把 记作a ，读作“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ＝ ；
（2）[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
= （n≥2且n为正整数）
（3）[实践应用]
计算
①
② （其中n=2021）
【答案】（1）
（2）；
（3）解：由（2）可知：
①
，
②原式，
令①
则②
②-①得，
∴，
故原式.
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：(1)依题意知，；
(2) ，
；
【分析】（1）根据题意，将4个（-6）连续相除计算即可求解；
（2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据有理数的乘方运算法则，即可分别求解；
（3）①根据（2）中所得结论，依次代入进行计算即可求解；
②根据（2）中所得结论，原式可转化为，令其等于T，两边再同时乘以5，得到5T，两式进行相减，即可解得T，即为原式.
三、延伸拓展
30．（2020七上·内蒙古月考）看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这2个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空……假设悟空一连变了n次，一共产生了512个悟空，则n= ．
【答案】9
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：由题意得：悟空变了n次，共产生 个悟空，
，
解得：n=9.
故答案为：9.
【分析】利用有理数的乘方定义及计算方法求解即可。
31．观察下列三行数并：
－1，2，－3，4，－5，（ ），（ ），…；
1，4，9，16，25，（ ），（ ），…；
0，3，8，15，24，（ ），（ ），….
（1）按规律填写括号里的数。
（2）第一行数按什么规律排列？
（3）第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
（4）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
【答案】（1）第一行：6，-7；
第二行：36，49；
第三行：35，48
（2）解：第一行每一个数的绝对值就是这个数的序号，其排列规律是：当这个数的序号为奇数时，这个数等于序号的相反数；当这个数的序号为偶数时，这个数等于序号。
（3）解：第二行的每一个数是第一行对应的数的平方，第三行的每一个数等于第一行对应的数的平方减1
（4）解：这三个数的和为10＋102＋(102－1)＝209
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【分析】（1）第一行，可看出奇数为负，偶数为正，按照规律填写即可；第二行，可以看出，分别为12，22，32···以此类推即可；第三行可以看出，第一个数为11-1，第二个数为22-1，第三个数为33-1，依次类推即可。
（2）根据第一行数字的排列，可知，当数字所在的排列序号为奇数时为负，为偶数时为正。
（3）根据每行的数观察，第二行为第一行对应数字的平方，第三行数字是第一行的数字的平方减去1得到的。
（4）根据题目每行所得的规律，计算每行的第十个数，将三个数作和即可。
32．阅读材料，求值：1+2+22+23+24+…+22015．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22015，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+…+22015+22016
将下式减去上式得2S﹣S=22016﹣1
即S=1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）
【答案】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，将等式两边同时乘以2，得2S=2+22+23+24+…+211将下式减去上式，得2S﹣S=211﹣1即S=1+2+22+23+24+…+210=211﹣1；（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n，将等式两边同时乘以3，得3S=3+32+33+34+…+3n+1，将下式减去上式，得3S﹣S=3n+1﹣1即2S=3n+1﹣1得S=1+3+32+33+34+…+3n=．
【知识点】有理数的乘方
【解析】【分析】（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+22+23+…+210的值；
（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+3+32+33+34+…+3n的值
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2022年苏科版初中数学七年级上册 2.7 有理数的乘方 同步练习
一、夯实基础
1．（2021七上·海曙期末）地球距离太阳约为150000000千米， 这个距离用科学记数法表示为（ ）
A． 千米 B． 千米
C． 千米 D． 千米
2．（2021七上·滨州月考） 表示（ ）
A．3个 相乘 B．3个4相乘的相反数
C．4个 相乘 D．4个3相乘的相反数
3．（2021七上·路北期中）下列说法正确的是（ ）
A． 的底数是-2 B． 的底数是
C． 的底数是-3，指数是4 D． 的幂是-12
4．（2021七上·利辛月考）-12021的相反数是（ ）
A．2021 B．-2021 C．1 D．-1
5．（2021七上·越秀期末）符|﹣1|，（﹣1）2，（﹣1）3这三个数中，等于﹣1的数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2021七上·惠民期中）下列各组数中，互为相反数的有（ ）．
①-（-2）和- ②（-1）2和-12③23和32；④（-2）3和-23
A．④ B．①② C．①②③ D．①②④
7．（2021七上·永州月考）下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）－3 的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝ 时， ，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021七上·南通期中）若 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A．1或-5 B．-1或5 C．1或-1 D．5或-5
9．（2019七上·乌鲁木齐月考）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
10．（2021七上·凌海期中）把写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ．
11．（2021七上·本溪期末）计算的结果为 ．
12．（2020七上·许昌期中）如果a的相反数是2，那么(a＋1)2019的值为 .
13．（2021七上·河南期末）下列各数中：① ；② ；③ ，负数为 .（填序号）
14．（2021七上·绍兴开学考）已知 ＜0， 则x－y= ．
15．（2021七上·岳池期中）将下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”号连接起来.
－(＋3)，|－1.5|，0，(－2)2.
二、能力提优
16．（2021七上·包头期中）下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．32和23 B．（﹣3+2）3和（﹣3）2+22
C．（﹣2）3和23 D．（﹣3）2×22和（﹣3×2）2
17．（2021七上·仁寿期中）化简(-2)2018+(-2)2019的结果是（ ）
A．-2 B．0 C．-22018 D．22018
18．（2021七上·费县期中）已知a是相反数等于本身的数，b是倒数等于本身的数，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．1或3
19．（2021七上·威县期末）若|a|＝2，|b|＝1，且|a+b|＝a+b，则（a﹣b）a的结果为（ ）
A．1 B．6 C．9 D．1或9
20．下列说法：①平方等于64的数是8；②若a．b互为相反数，则 ；③若|-a|=a，则（-a）3的值为负数；④若ab≠0，则 的取值在0，1，2，-2这四个数中，不可取的值是0．正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
21．（2020七上·渌口期中）计算：(﹣1)1+(﹣1)2+(﹣1)3+…+(﹣1)2030＝ ．
22．（2021七上·虎林期末）已知ｘ是有理数，则代数式（2x-5）2+18的最小值是 ．
23．（2021七上·成都期末）已知|x|＝2，y2＝9，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝ .
24．（2020七上·大田期中）小明有5张写着不同数字的卡片，卡片上的数字分别是 、 、0、3、4，从中抽出2张卡片，用学过的加、减、乘、除、乘方中的一种运算方法进行运算，使结果最大，算式为 ．
25．（2020七上·青白江期中）100米长的小棒，第1次截去 ，第2次截去剩下的 ，第3次截去剩下的 ，如此下去，第5次后剩下的小棒长 米，第49次后剩下的小棒长 米．
26．（2021七上·江阴期中）有理数 、 在数轴上的位置如图所示，下列说法：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；其中正确的序号有 .
27．（2020七上·嘉陵月考）已知 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的平方等于4， 是数轴上到原点的距离为1的数，求： 值．
28．（2019七上·凤山期中）已知 , 且 ,
求：
（1）a，b的值；
（2）当a＜b时，计算 的值.
29．（2021七上·吴兴期末）[阅读理解]求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：5÷5÷5，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）等，类比有理数的乘方，我们把5÷5÷5记作 ，读作“5的圈3次方”，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）记作 ，读作“﹣8的圈4次方”一般的把 记作a ，读作“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ＝ ；
（2）[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
= （n≥2且n为正整数）
（3）[实践应用]
计算
①
② （其中n=2021）
三、延伸拓展
30．（2020七上·内蒙古月考）看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这2个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空……假设悟空一连变了n次，一共产生了512个悟空，则n= ．
31．观察下列三行数并：
－1，2，－3，4，－5，（ ），（ ），…；
1，4，9，16，25，（ ），（ ），…；
0，3，8，15，24，（ ），（ ），….
（1）按规律填写括号里的数。
（2）第一行数按什么规律排列？
（3）第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
（4）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
32．阅读材料，求值：1+2+22+23+24+…+22015．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22015，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+…+22015+22016
将下式减去上式得2S﹣S=22016﹣1
即S=1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：∵150000000 =
故答案为：B.
【分析】直接利用科学记数法的定义，得出结果。
2．【答案】B
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解： 的底数为4，为 ，表示3个4相乘的相反数
故答案为：B．
【分析】根据有理数乘方的意义进行分析可得结论。
3．【答案】C
【知识点】乘方的定义
【解析】【解答】解：A、-23的底数是2，故此选项不符合题意；
B、2×32中，32的底数是3，故此选项不符合题意；
C、（-3）4的底数是-3，指数是4，符合题意；
D、-34的幂是-81，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用有理数的乘方运算法则及有理数的乘法原酸法则计算得出答案。
4．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵-12021=-1，
∴ -12021的相反数是1.
故答案为：C.
【分析】先计算-12021=-1，再根据相反数的定义即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【解答】解： ， ， ，
所以等于﹣1的数有1个．
故答案为：B
【分析】根据绝对值，有理数的乘方计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的乘方
【解析】【解答】解：① ， ，互为相反数；
② ， ，互为相反数；
③ ， ，不互为相反数；
④ ， ，不互为相反数．
综上，互为相反数的是①②．
故答案为：B．
【分析】先利用相反数、绝对值和有理数的乘方化简，再根据相反数的定义判断即可。
7．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数及其分类；有理数的乘方
【解析】【解答】解：（1）0是最小的自然数，则原说法错误；
（2）正数和负数不一定都是有理数，正有理数、零和负有理数统称有理数，则原说法错误；
（3） 的底数是3，则原说法错误；
（4） a、b互为相反数，则a＋b＝0 ，原说法正确；
（5）当 时， ，则原说法错误.
综上，正确的个数为1个.
故答案为：A.
【分析】最小的自然数是0；正有理数、零和负有理数统称有理数；an（a≠0）的底数是a，当底数a是负数或分数的时候，一定要加括号；互为相反数的两个数之和等于0，据此一一判断得出答案.
8．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的减法；有理数的乘法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴解得： ，
又∵ ，
∴a=2，b=-3或a=-2，b=3，
∴当 时， ，
∴此时 ；
∴当 时， ，
∴此时 ；
∴综上所述， 的值为5或-5.
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得a=±2，b=±3，结合ab<0可得a、b的值，然后根据有理数的减法法则进行计算.
9．【答案】C
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵1- = ，
∴第2次后剩下的绳子的长度为( )2米；
依此类推第六次后剩下的绳子的长度为( )6米.
故答案为：C.
【分析】根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为( )2米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为( )6米.
10．【答案】；-3；3
【知识点】乘方的定义
【解析】【解答】解：；
底数是-3，指数是3，
故答案为：，-3，3．
【分析】根据乘方的定义可得：；底数是-3，指数是3。
11．【答案】
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】先将带分数化为假分数，再利用有理数的乘方计算即可。
12．【答案】-1
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的乘方
【解析】【解答】解：由a的相反数是2，得a= 2.
(-2＋1)2019=-1，
故答案为：-1.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得a的值，再把a的值代入式子，根据有理数的混合运算法则可得答案.
13．【答案】①③
【知识点】正数和负数的认识及应用；绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴负数为①③.
故答案为：①③
【分析】根据绝对值的性质可得|-5|=5，根据有理数的乘方法则可得-22=-4，然后根据负数是小于0的数进行判断.
14．【答案】7或-7
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的减法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵|x|=3，y2=16，
∴x=±3，y=±4，
∵xy＜0，
∴当x=3时y=-4，x-y=3-（-4）=7；
当x=-3时y=4，x-y=-3-4=-7；
故答案为：7或-7.
【分析】利用绝对值的性质，可求出x的值，利用平方等于16的数有两个，可求出y的值；再根据xy＜0，分情况讨论：当x=3时y=-4；当x=-3时y=4；然后分别代入计算求出x-y的值.
15．【答案】解：由于﹣（+3）=﹣3，∣﹣1.5∣=1.5，（﹣2）2=4，
将各数表示在数轴上如图所示：
，
由图可知：－(＋3)＜0＜|－1.5|＜(－2)2.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；有理数的乘方
【解析】【分析】先根据绝对值、相反数及乘方法则化简各数，进而根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数0，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数，在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小黑点作好标注，并在小黑点上方写出该点所表示的数，最后根据数轴上的点所表示的数，右边的数总比左边的大即可比出大小即可得出答案.
16．【答案】D
【知识点】有理数大小比较；有理数的乘方
【解析】【解答】解：A、32＝9，23＝8，数值不相等；
B、（ 3＋2）3＝（ 1）3＝ 1，（ 3）2＋22＝9＋4＝13，数值不相等；
C、（ 2）3＝ 8，23＝8，数值不相等；
D、（ 3）2×22＝9×4＝36，（ 3×2）2＝（ 6）2＝36，数值相等．
故答案为：D．
【分析】先利用有理数的乘方化简，再比较大小即可。
17．【答案】C
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解： (-2)2018+(-2)2019= (-2)2018（1-2）=-22018.
故答案为：C.
【分析】利用提公因数法 ，将式子转化为(-2)2018（1-2），再进行计算，可求出结果.
18．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵a是相反数等于本身的数，b是倒数等于本身的数，
∴a=0，b=±1，
当a=0，b=1时， = ，
当a=0，b=－1时， = ，
∴ 的值为1或3，
故答案为：D．
【分析】有相反数及倒数求出a、b的值，然后分别代入计算即可.
19．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝1，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
当，时，，
当，时，
故答案为：D．
【分析】由|a|＝2，|b|＝1，可得，，由，可得，即得a=2，b=1或a=2，b=-1，然后分别代入计算即可.
20．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【解答】①∵（±8）2=64，∴平方等于64的数是±8，故①错；②若a．b互为相反数，且a≠b，则；故②错；③∵|-a|=a，∴a≥0，∴（-a）3的值为零和负数，故③错；④若ab≠0，则a，b同号，或a，b异号，当a，b同号时 为2，或-2；当a，b异号，的值为0，故④错；
故答案为：A。
【分析】互为相反数的两个数的平方相等即可平方等于64的数是±8；不为0的两个数，如果互为相反数，则它们的商为-1；一个数的相反数的绝对值等于这个数，则这个数应该是非负数；如两个数的乘积不为0，则这两个数可能同正，也可能同负，或者一正一负，再根据绝对值的意义即可分别求出的值。
21．【答案】0
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：原式＝﹣1+1﹣1+1﹣……﹣1+1＝0×1015＝0.
故答案为：0.
【分析】-1的奇次幂仍然是-1，-1的偶次幂是-1的相反数，本题据此进行解答.
22．【答案】18
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵x是有理数，则代数式（2x-5）2+18
∵（2x-5）2≥0，
∴（2x-5）2+18≥18，
当x=2.5时，等号成立，
∴代数式（2x-5）2+18的最小值是18，
故答案为：18．
【分析】根据（2x-5）2≥0，可得（2x-5）2+18≥18，即可得到答案。
23．【答案】﹣1或﹣5
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵|x|＝2，y2＝9，
∴x＝±2，y＝±3，
∵|x﹣y|＝y﹣x，
∴x﹣y＜0，也就是x＜y，
∴x=﹣2，y=3或x=2，y=3，
当x=﹣2，y=3时，x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5，
当x=2，y=3时，x﹣y＝2﹣3＝﹣1，
综上所述，x﹣y＝﹣1或﹣5.
故答案为：﹣1或﹣5.
【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x、y，再根据负数的绝对值等于它的相反数判断出x﹣y＜0，确定x、y的值，再代入计算即可求解.
24．【答案】
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：抽取 和4，最大的数为 ，
故答案为： ．
【分析】根据有理数的运算法则求解即可。
25．【答案】；2
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】∵ ，
∴第5次后剩下的小棒长 米，
∵ ，
∴第49次后剩下的小棒长2米，
故答案为： ，2．
【分析】根据有理数的乘方列式计算即可。
26．【答案】②③⑤
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：由数轴上点的位置，得 ，
① ，则 错误，故①错误；
② 则 正确，故②正确；
③ 且 ，则 正确，故③正确；
④由已知得 ，所以 错误，故④错误；
⑤由已知可得 ，则 ，所以 正确，故⑤正确；
故答案为：②③⑤.
【分析】根据数轴可得a<027．【答案】解：由题意得 ， ， ， ，
∴原式 ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ．
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；有理数的乘方
【解析】【分析】 由 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的平方等于4， 是数轴上到原点的距离为1的数，可得 ， ， ， ，然后分别代入计算即可.
28．【答案】（1）解：由 ， 得a=±7，b=±6,，
又因为 ，所以a，b异号，
所以a=7，b=-6或者a=-7，b=6
（2）解：当a＜b时，a=-7，b=6；
原式=（-7+6）2019-（-7-6）2=-170
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【分析】（1）根据绝对值与平方的性质即可求解；（2）根据a＜b得到a,b的值，再代入即可求解.
29．【答案】（1）
（2）；
（3）解：由（2）可知：
①
，
②原式，
令①
则②
②-①得，
∴，
故原式.
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：(1)依题意知，；
(2) ，
；
【分析】（1）根据题意，将4个（-6）连续相除计算即可求解；
（2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据有理数的乘方运算法则，即可分别求解；
（3）①根据（2）中所得结论，依次代入进行计算即可求解；
②根据（2）中所得结论，原式可转化为，令其等于T，两边再同时乘以5，得到5T，两式进行相减，即可解得T，即为原式.
30．【答案】9
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：由题意得：悟空变了n次，共产生 个悟空，
，
解得：n=9.
故答案为：9.
【分析】利用有理数的乘方定义及计算方法求解即可。
31．【答案】（1）第一行：6，-7；
第二行：36，49；
第三行：35，48
（2）解：第一行每一个数的绝对值就是这个数的序号，其排列规律是：当这个数的序号为奇数时，这个数等于序号的相反数；当这个数的序号为偶数时，这个数等于序号。
（3）解：第二行的每一个数是第一行对应的数的平方，第三行的每一个数等于第一行对应的数的平方减1
（4）解：这三个数的和为10＋102＋(102－1)＝209
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【分析】（1）第一行，可看出奇数为负，偶数为正，按照规律填写即可；第二行，可以看出，分别为12，22，32···以此类推即可；第三行可以看出，第一个数为11-1，第二个数为22-1，第三个数为33-1，依次类推即可。
（2）根据第一行数字的排列，可知，当数字所在的排列序号为奇数时为负，为偶数时为正。
（3）根据每行的数观察，第二行为第一行对应数字的平方，第三行数字是第一行的数字的平方减去1得到的。
（4）根据题目每行所得的规律，计算每行的第十个数，将三个数作和即可。
32．【答案】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，将等式两边同时乘以2，得2S=2+22+23+24+…+211将下式减去上式，得2S﹣S=211﹣1即S=1+2+22+23+24+…+210=211﹣1；（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n，将等式两边同时乘以3，得3S=3+32+33+34+…+3n+1，将下式减去上式，得3S﹣S=3n+1﹣1即2S=3n+1﹣1得S=1+3+32+33+34+…+3n=．
【知识点】有理数的乘方
【解析】【分析】（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+22+23+…+210的值；
（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+3+32+33+34+…+3n的值
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