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2022-2023学年冀教版数学九年级上册24.2.3解一元二次方程之因式分解法（含十字相乘）同步测试
一、单选题（每题5分，共50分）
1．（2021九上·莲池期末）方程的解是（ ）
A．6 B．0 C．0或6 D．-6或0
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
解得：；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得出答案。
2．（2021九上·红桥期末）方程的两个根为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
解得
故答案为：D．
【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
3．（2021九上·永年期中）用因式分解法把方程 分解成两个一次方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得， ，
∴ ，
∴ 或 ．
故答案为：C
【分析】先求出，再利用因式分解法求解即可。
4．（2021九上·赣州期中）方程(x－3)(x＋2)＝0的根是 （ ）
A．x＝3 B．x＝2
C．x＝3，x＝－2 D．x＝－3，x＝2
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵(x－3)(x＋2)＝0
∴x－3=0或x＋2＝0
∴x＝3，x＝－2
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法直接求出一元二次方程的解即可。
5．（2021九上·六盘水月考）解一元二次方程最适宜的方法是（ ）
A．直接开平方 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：在一元二次方程的等号两边都有因式（x-1），
∴最适宜用因式分解法解此方程，即提取公因式（x-1）.
故答案为：C.
【分析】观察方程可得含有公因式(x-1)，据此判断.
6．（2021九上·德阳月考）若关于 的一元二次方程 有一根为0，则 的的值为（ ）
A．2 B．-1 C．2或-1 D．1或-2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程（m+1）x2-x+m2-m-2=0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
∴m≠-1，
∵x=0是方程（m+1）x2-x+m2-m-2=0的解，
∴m2-m-2=0，
∴（m-2）（m+1）=0，
∴m=2或m=-1，
∴m=2.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义得出m≠-1，再把x=0代入方程得出m2-m-2=0，得出m=2或m=-1，即可得出m=2.
7．（2021九上·大埔期中）一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（x﹣3）（x﹣7）＝0
∴x1＝3，x2＝7．
∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，
∴腰长是7，底边是3，
周长为：7+7+3＝17．
故答案为：B．
【分析】先求出x1＝3，x2＝7，再求出腰长是7，底边是3，最后计算求解即可。
8．（2021九上·澄海期末）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．4或5 B．3 C． D．3或
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程得，，
当两直角边分别为4和5，则第三边的长，
当斜边为5，第三边的长，
所以此三角形的第三边长为3或．
故答案为：D．
【分析】先求出，，再分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
9．（2021九上·薛城期中）一个三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7.5 D．12
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：x2﹣8x+15＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
x﹣3＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝3，x2＝5，
即三角形的两条边长分别3、5，
而三角形的周长是12，
所以第三边长为12-3-5=4，
因为32+42＝52，
所以此三角形为直角三角形，
所以该三角形的面积＝ ×3×4＝6．
故答案为：B．
【分析】先求出三角形的两条边长分别3、5，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
10．（2021九上·青龙期中）在正数范围内有一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规则，方程 的解是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】根据规则，方程x※（x+1）=5变形为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
故答案为：C．
【分析】根据题干中的定义可将代数式化为，再利用十字相乘法求解即可。
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（2021九上·温岭竞赛）已知 (x2+y2)(x2+y2-4)-12=0，则x2+y2的值为 .
【答案】6
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ (x2+y2)(x2+y2-4)-12=0，
∴（x2+y2）2-4（x2+y2）-12=0
∴（x2+y2-6）（x2+y2+2）=0
∴x2+y2-6或x2+y2+2，
解之：x2+y2=6，x2+y2=-2（不符合题意）
故答案为：6.
【分析】将x2+y2看着整体，将方程转化为（x2+y2）2-4（x2+y2）-12=0，利用因式分解法求出方程的解，可得到x2+y2（x2+y2＞0）的值.
12．（2021九上·江油期末）如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为 ．
【答案】24
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的三边分别为2x-2，2x，2x+2，
∴（2x-2）2+（2x）2=（2x+2）2，
∴x=4或x=0（不符合题意，舍去），
∴直角三角形的三边分别为6，8，10，
∴周长=6+8+10=24.
故答案为：24.
【分析】设直角三角形的三边分别为2x-2，2x，2x+2，根据勾股定理得出方程（2x-2）2+（2x）2=（2x+2）2，解方程求出x的值，得出直角三角形的三边分别为6，8，10，即可得出三角形的周长.
13．（2021九上·黑山期中）已知方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，则m= ．
【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把方程x2-2x-3=0左边因式分解得，
（x-3）（x+1）=0，
∵方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，
∴m=1，
故答案为：1．
【分析】利用十字相乘法求出方程化简为（x-3）（x+1）=0，即可得到m的值。
14．（2021九上·铁西期末）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x+m）＝0是“倍根方程”，则m的值为 ．
【答案】-1或-4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程为，
∴解得，，
∵(x﹣2)(x+m)=0是倍根方程，
∴或，
∴或．
故答案为：-1或-4．
【分析】先求出方程的解，再根据“倍根方程”的定义可得或， 再求出m的值即可。
15．（2021九上·深圳期中）在实数范围内定义一种运算，其规则为：M※N＝M2﹣MN，根据这个规则，则方程（x﹣3）※5＝0的解为 ．
【答案】x1=3，x2=8
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：原式变形为：（x-3）2-5（x-3）=0，
∴（x-3）（x-3-5）=0，
x-3=0，x-3-5=0，
解得：x1=3，x2=8．
故答案为：x1=3，x2=8．
【分析】根据定义新运算得出方程（x-3）2-5（x-3）=0，解出方程即可.
三、计算题（每题10分，共30分）
16．（2021九上·鄂城期末）解下列方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
即
（2）解：
或
解得：
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先求出判别式的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，然后借助求根公式进行计算；
（2）首先对右边的式子进行分解，然后移至左边，发现含有公因式(2x-1)，提取公因式法因式分解可得(3x-2)(2x-1)=0，据此求解.
17．（2021九上·津南期中）用因式分解法解方程
（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）
（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2
【答案】（1）解：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）
移项得：
或
解得：
（2）解：4x2﹣4x+1＝（x+3）2
整理得：
或
解得：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
18．（2020九上·滕州期中）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】解：① ；
∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=（-3）2-4×1×1=5＞0，
∴
② ；
∴x-1=
∴
③ ；
∴x（x-3）=0
∴x=0或x=3
∴ ， ；
④
∴
∴ ；
∴
∴
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】①利用公式法求解即可．②利用直接开平方法求解即可．③利用因式分解法求解即可；④利用配方法求解即可；
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2022-2023学年冀教版数学九年级上册24.2.3解一元二次方程之因式分解法（含十字相乘）同步测试
一、单选题（每题5分，共50分）
1．（2021九上·莲池期末）方程的解是（ ）
A．6 B．0 C．0或6 D．-6或0
2．（2021九上·红桥期末）方程的两个根为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·永年期中）用因式分解法把方程 分解成两个一次方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·赣州期中）方程(x－3)(x＋2)＝0的根是 （ ）
A．x＝3 B．x＝2
C．x＝3，x＝－2 D．x＝－3，x＝2
5．（2021九上·六盘水月考）解一元二次方程最适宜的方法是（ ）
A．直接开平方 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法
6．（2021九上·德阳月考）若关于 的一元二次方程 有一根为0，则 的的值为（ ）
A．2 B．-1 C．2或-1 D．1或-2
7．（2021九上·大埔期中）一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定
8．（2021九上·澄海期末）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．4或5 B．3 C． D．3或
9．（2021九上·薛城期中）一个三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7.5 D．12
10．（2021九上·青龙期中）在正数范围内有一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规则，方程 的解是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（2021九上·温岭竞赛）已知 (x2+y2)(x2+y2-4)-12=0，则x2+y2的值为 .
12．（2021九上·江油期末）如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为 ．
13．（2021九上·黑山期中）已知方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，则m= ．
14．（2021九上·铁西期末）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x+m）＝0是“倍根方程”，则m的值为 ．
15．（2021九上·深圳期中）在实数范围内定义一种运算，其规则为：M※N＝M2﹣MN，根据这个规则，则方程（x﹣3）※5＝0的解为 ．
三、计算题（每题10分，共30分）
16．（2021九上·鄂城期末）解下列方程：
（1） ；
（2） .
17．（2021九上·津南期中）用因式分解法解方程
（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）
（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2
18．（2020九上·滕州期中）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
① ；② ；③ ；④ ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
解得：；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
解得
故答案为：D．
【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
3．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得， ，
∴ ，
∴ 或 ．
故答案为：C
【分析】先求出，再利用因式分解法求解即可。
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵(x－3)(x＋2)＝0
∴x－3=0或x＋2＝0
∴x＝3，x＝－2
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法直接求出一元二次方程的解即可。
5．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：在一元二次方程的等号两边都有因式（x-1），
∴最适宜用因式分解法解此方程，即提取公因式（x-1）.
故答案为：C.
【分析】观察方程可得含有公因式(x-1)，据此判断.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程（m+1）x2-x+m2-m-2=0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
∴m≠-1，
∵x=0是方程（m+1）x2-x+m2-m-2=0的解，
∴m2-m-2=0，
∴（m-2）（m+1）=0，
∴m=2或m=-1，
∴m=2.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义得出m≠-1，再把x=0代入方程得出m2-m-2=0，得出m=2或m=-1，即可得出m=2.
7．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（x﹣3）（x﹣7）＝0
∴x1＝3，x2＝7．
∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，
∴腰长是7，底边是3，
周长为：7+7+3＝17．
故答案为：B．
【分析】先求出x1＝3，x2＝7，再求出腰长是7，底边是3，最后计算求解即可。
8．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程得，，
当两直角边分别为4和5，则第三边的长，
当斜边为5，第三边的长，
所以此三角形的第三边长为3或．
故答案为：D．
【分析】先求出，，再分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
9．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：x2﹣8x+15＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
x﹣3＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝3，x2＝5，
即三角形的两条边长分别3、5，
而三角形的周长是12，
所以第三边长为12-3-5=4，
因为32+42＝52，
所以此三角形为直角三角形，
所以该三角形的面积＝ ×3×4＝6．
故答案为：B．
【分析】先求出三角形的两条边长分别3、5，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
10．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】根据规则，方程x※（x+1）=5变形为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
故答案为：C．
【分析】根据题干中的定义可将代数式化为，再利用十字相乘法求解即可。
11．【答案】6
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ (x2+y2)(x2+y2-4)-12=0，
∴（x2+y2）2-4（x2+y2）-12=0
∴（x2+y2-6）（x2+y2+2）=0
∴x2+y2-6或x2+y2+2，
解之：x2+y2=6，x2+y2=-2（不符合题意）
故答案为：6.
【分析】将x2+y2看着整体，将方程转化为（x2+y2）2-4（x2+y2）-12=0，利用因式分解法求出方程的解，可得到x2+y2（x2+y2＞0）的值.
12．【答案】24
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的三边分别为2x-2，2x，2x+2，
∴（2x-2）2+（2x）2=（2x+2）2，
∴x=4或x=0（不符合题意，舍去），
∴直角三角形的三边分别为6，8，10，
∴周长=6+8+10=24.
故答案为：24.
【分析】设直角三角形的三边分别为2x-2，2x，2x+2，根据勾股定理得出方程（2x-2）2+（2x）2=（2x+2）2，解方程求出x的值，得出直角三角形的三边分别为6，8，10，即可得出三角形的周长.
13．【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把方程x2-2x-3=0左边因式分解得，
（x-3）（x+1）=0，
∵方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，
∴m=1，
故答案为：1．
【分析】利用十字相乘法求出方程化简为（x-3）（x+1）=0，即可得到m的值。
14．【答案】-1或-4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程为，
∴解得，，
∵(x﹣2)(x+m)=0是倍根方程，
∴或，
∴或．
故答案为：-1或-4．
【分析】先求出方程的解，再根据“倍根方程”的定义可得或， 再求出m的值即可。
15．【答案】x1=3，x2=8
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：原式变形为：（x-3）2-5（x-3）=0，
∴（x-3）（x-3-5）=0，
x-3=0，x-3-5=0，
解得：x1=3，x2=8．
故答案为：x1=3，x2=8．
【分析】根据定义新运算得出方程（x-3）2-5（x-3）=0，解出方程即可.
16．【答案】（1）解：
即
（2）解：
或
解得：
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先求出判别式的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，然后借助求根公式进行计算；
（2）首先对右边的式子进行分解，然后移至左边，发现含有公因式(2x-1)，提取公因式法因式分解可得(3x-2)(2x-1)=0，据此求解.
17．【答案】（1）解：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）
移项得：
或
解得：
（2）解：4x2﹣4x+1＝（x+3）2
整理得：
或
解得：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
18．【答案】解：① ；
∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=（-3）2-4×1×1=5＞0，
∴
② ；
∴x-1=
∴
③ ；
∴x（x-3）=0
∴x=0或x=3
∴ ， ；
④
∴
∴ ；
∴
∴
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】①利用公式法求解即可．②利用直接开平方法求解即可．③利用因式分解法求解即可；④利用配方法求解即可；
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