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2022-2023学年冀教版数学九年级上册24.2.4根的判别式 同步测
一、单选题
1．（2021九上·揭东期末）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣9＝0
2．（2021九上·肃州期末）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
3．（2021九上·禅城期末）若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2
4．（2020九上·顺德期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0的系数满足ac＜0，则方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法判断
5．（2021九上·集贤期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
6．（2021九上·茂南期末）直线y=+a不经过第四象限，则关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
7．（2021九上·潮安期末）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ）．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．以上结论都不对
8．（2021九上·普宁期末）对于一元二次方程来说，当时，方程有两个相等的实数根，若将c的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定；
9．（2021九上·毕节期末）已知 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则m的值为（ ）
A． 或1 B． 或3 C． D．3
10．（2021九上·盐湖期中）若关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围中，正整数值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．（2021九上·伊通期末）一元二次方程3x2＝3﹣2x的根的判别式的值为 ．
12．（2021九上·江油期末）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
13．（2021九上·赣州期中）已知 的两边 、 的长是关于 的一元二次方程 的两个实数根，第三边 的长为5，当 是等腰三角形时，则k的值为 ．
14．（2021九上·平凉期中）若直线 不经过第一象限，则关于x的一元二次方程方程 根的存在情况是 .
15．（2021九上·揭阳期末）若k为整数，关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值为 ．
三、解答题
16．（2021九上·通榆期末）关于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0有两个相等的实数根，求k的值．
17．（2021九上·揭西期末）等腰三角形的三边长分别为、、，若，与是方程的两根，求此三角形的周长．
18．（2021九上·凌海期中）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、x2﹣2x+1＝0，判别式，有两个相等的实数根，符合题意；
B、x2﹣3x+2＝0，判别式，有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、x2﹣2x+3＝0，判别式，没有实数根，不符合题意；
D、x2﹣9＝0，判别式，有两个不相等的实数根，不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴Δ＝b2 4ac＝12 4×1×（－3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，
解得：m=±4，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程为ax2+bx+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac，
∵ac＜0，
∴﹣ac＞0，
又∵b2≥0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可。
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：a≠0且b2﹣4ac≥0，
即
解得：a≥ 4且a≠0．
故答案为：D．
【分析】先求出，再计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得直线y=+a一定经过第一、三象限，
∵直线y=+a不经过第四象限，
∴，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元二次方程，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等实数根，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元一次方程，有1个实数解，
综上所述，关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是1个或2个．
故答案为：D
【分析】先求出，再分类讨论求解即可。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵
∴，即
整理得，
方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算得出一元二次方程，根据△=b2-4ac求出判别式的值，然后根据其结果的正负就可确定出方程根的情况.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，，，
当时，
，
当时，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】分类讨论，利用一元二次方程根的判别式求解即可。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得： ，且 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ，
∴m的值为3.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数的关系可得，，由可求出m的范围，由=可得关于m的方程并解之即可.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△ ，且m-3≠0，
解得 ，且m≠3，
则m的取值范围中，正整数值有5、4、2、1．共4个．
故答案为：C．
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△ ，且m-3≠0，即可得出m的范围，解之即可得出结论。
11．【答案】40
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，，
，
故答案为：40．
【分析】先将方程化为一般式，再利用△=b2-4ac进行计算即可.
12．【答案】k≤4且k≠2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程（k-2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴，
∴k≤4且k≠2.
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出，解不等式求出k的取值范围，即可得出答案.
13．【答案】5或4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】△=（2k+1）2-4（k2+k）=4k2+4k+1-4 k2-4k =1，
所以x= ，解得x1=k+1，x2=k，
当k+1=5时，解得k=4，此时△ABC是等腰三角形，
当k=5时，此时△ABC是等腰三角形，
即k为值为：5或4．
故答案为5或4．
【分析】先计算出判别式的值得出△=1，则可利用求根公式得出方程的解，得出此时△ABC是等腰三角形，从而确定k的值。
14．【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线 不经过第一象限，
∴a≤0，
对于关于x的一元二次方程方程 ，有a≠0，且判别式△=16﹣4a=4（4﹣a），
∴当a＜0时，判别式△＞0，方程有两个不相等的实数根.
故答案为：有两个不相等的实数根.
【分析】在直线y=kx+b中，当k＜0时，图象经过二、四象限，b＞0时，图象交y轴的正半轴，b＜0时，图象交y轴的负半轴，当b=0时，图象经过坐标原点，据此并结合题意判断出a≤0，进而根据一元二次方程的定义可知a≠0，然后判断出△的正负，据此可确定出方程根的情况.
15．【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，且，
为整数，
整数k的最大值为3，
故答案为：3．
【分析】根据一元二次方程根的判别式及定义可得，再求出k的值即可。
16．【答案】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
解得．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先求出 ， 再计算求解即可。
17．【答案】解：①若是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6，
代入方程得：，
解得或，
∴当时，
方程可化为，
解得，，
∴三角形三边长分别为4、6、6，
周长为：；
当时，
方程可化为，
解得，；
三角形三边长分别为6、6、10，
周长为：；
∴三角形的周长为16或22；
②若是三角形的底边，则b、c为腰，即，则方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
∴原方程可化为，
解得，
此时，，，不能构成三角形，舍去；
综上所述，三角形的周长为16或22．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质，列方程求解即可。
18．【答案】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴此方程根的判别式 ，即 ，
则 ，
，
，
．
【知识点】代数式求值；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先求出 此方程根的判别式 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
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2022-2023学年冀教版数学九年级上册24.2.4根的判别式 同步测
一、单选题
1．（2021九上·揭东期末）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣9＝0
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、x2﹣2x+1＝0，判别式，有两个相等的实数根，符合题意；
B、x2﹣3x+2＝0，判别式，有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、x2﹣2x+3＝0，判别式，没有实数根，不符合题意；
D、x2﹣9＝0，判别式，有两个不相等的实数根，不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
2．（2021九上·肃州期末）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴Δ＝b2 4ac＝12 4×1×（－3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
3．（2021九上·禅城期末）若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，
解得：m=±4，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
4．（2020九上·顺德期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0的系数满足ac＜0，则方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法判断
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程为ax2+bx+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac，
∵ac＜0，
∴﹣ac＞0，
又∵b2≥0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可。
5．（2021九上·集贤期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：a≠0且b2﹣4ac≥0，
即
解得：a≥ 4且a≠0．
故答案为：D．
【分析】先求出，再计算求解即可。
6．（2021九上·茂南期末）直线y=+a不经过第四象限，则关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得直线y=+a一定经过第一、三象限，
∵直线y=+a不经过第四象限，
∴，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元二次方程，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等实数根，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元一次方程，有1个实数解，
综上所述，关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是1个或2个．
故答案为：D
【分析】先求出，再分类讨论求解即可。
7．（2021九上·潮安期末）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ）．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．以上结论都不对
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵
∴，即
整理得，
方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算得出一元二次方程，根据△=b2-4ac求出判别式的值，然后根据其结果的正负就可确定出方程根的情况.
8．（2021九上·普宁期末）对于一元二次方程来说，当时，方程有两个相等的实数根，若将c的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定；
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，，，
当时，
，
当时，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】分类讨论，利用一元二次方程根的判别式求解即可。
9．（2021九上·毕节期末）已知 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则m的值为（ ）
A． 或1 B． 或3 C． D．3
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得： ，且 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ，
∴m的值为3.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数的关系可得，，由可求出m的范围，由=可得关于m的方程并解之即可.
10．（2021九上·盐湖期中）若关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围中，正整数值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△ ，且m-3≠0，
解得 ，且m≠3，
则m的取值范围中，正整数值有5、4、2、1．共4个．
故答案为：C．
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△ ，且m-3≠0，即可得出m的范围，解之即可得出结论。
二、填空题
11．（2021九上·伊通期末）一元二次方程3x2＝3﹣2x的根的判别式的值为 ．
【答案】40
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，，
，
故答案为：40．
【分析】先将方程化为一般式，再利用△=b2-4ac进行计算即可.
12．（2021九上·江油期末）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤4且k≠2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程（k-2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴，
∴k≤4且k≠2.
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出，解不等式求出k的取值范围，即可得出答案.
13．（2021九上·赣州期中）已知 的两边 、 的长是关于 的一元二次方程 的两个实数根，第三边 的长为5，当 是等腰三角形时，则k的值为 ．
【答案】5或4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】△=（2k+1）2-4（k2+k）=4k2+4k+1-4 k2-4k =1，
所以x= ，解得x1=k+1，x2=k，
当k+1=5时，解得k=4，此时△ABC是等腰三角形，
当k=5时，此时△ABC是等腰三角形，
即k为值为：5或4．
故答案为5或4．
【分析】先计算出判别式的值得出△=1，则可利用求根公式得出方程的解，得出此时△ABC是等腰三角形，从而确定k的值。
14．（2021九上·平凉期中）若直线 不经过第一象限，则关于x的一元二次方程方程 根的存在情况是 .
【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线 不经过第一象限，
∴a≤0，
对于关于x的一元二次方程方程 ，有a≠0，且判别式△=16﹣4a=4（4﹣a），
∴当a＜0时，判别式△＞0，方程有两个不相等的实数根.
故答案为：有两个不相等的实数根.
【分析】在直线y=kx+b中，当k＜0时，图象经过二、四象限，b＞0时，图象交y轴的正半轴，b＜0时，图象交y轴的负半轴，当b=0时，图象经过坐标原点，据此并结合题意判断出a≤0，进而根据一元二次方程的定义可知a≠0，然后判断出△的正负，据此可确定出方程根的情况.
15．（2021九上·揭阳期末）若k为整数，关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，且，
为整数，
整数k的最大值为3，
故答案为：3．
【分析】根据一元二次方程根的判别式及定义可得，再求出k的值即可。
三、解答题
16．（2021九上·通榆期末）关于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0有两个相等的实数根，求k的值．
【答案】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
解得．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先求出 ， 再计算求解即可。
17．（2021九上·揭西期末）等腰三角形的三边长分别为、、，若，与是方程的两根，求此三角形的周长．
【答案】解：①若是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6，
代入方程得：，
解得或，
∴当时，
方程可化为，
解得，，
∴三角形三边长分别为4、6、6，
周长为：；
当时，
方程可化为，
解得，；
三角形三边长分别为6、6、10，
周长为：；
∴三角形的周长为16或22；
②若是三角形的底边，则b、c为腰，即，则方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
∴原方程可化为，
解得，
此时，，，不能构成三角形，舍去；
综上所述，三角形的周长为16或22．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质，列方程求解即可。
18．（2021九上·凌海期中）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，求 的值．
【答案】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴此方程根的判别式 ，即 ，
则 ，
，
，
．
【知识点】代数式求值；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先求出 此方程根的判别式 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
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