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2022-2023学年冀教版数学九年级上册24.3一元二次方程根与系数的关系 同步测试
一、单选题
1.(2021九上·新兴期末)若,是一元二次方程的两个根,则,的值分别是( )
A.1和6 B.5和-6 C.-5和6 D.5和6
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵,是一元二次方程的两个根,
∴x1+x2=5,x1x2=6,
故答案为:D.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=5,x1x2=6。
2.(2021九上·荆州月考)已知关于x的一元二次方程的两根互为相反数,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:根据题意得,
所以.
故答案为:A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合相反数的概念可得,据此可得b的值.
3.(2021九上·遂宁期末)已知 是关于 的方程 的两根,则 的值是( )
A.2018 B.2019 C.2020 D.2021
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵ 是关于
的方程
的两根,
∴ ,
∴ ,
∴
=
=
=2009+12
=2021
故答案为:D.
【分析】根据一元二次方程根的概念可得a2=2009-3a,根据根与系数的关系可得a+b=-3,然后代入待求式中计算即可.
4.(2021九上·永定期末)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2,x2=4,则m-n的值是( )
A.-10 B.10 C.-6 D.6
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2、x2=4,
∴x1+x2=﹣m=-2+4,解得:m=﹣2,
x1 x2=n=-2×4,解得:n=-8,
∴m-n=﹣2-(-8)=6.
故答案为:D.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,且a≠0)”的两个实数根,利用一元二次方程根与系数x1+x2=
,x1 x2=
,可得x1+x2=﹣m,x1 x2=n,据此分别求出m、n的值,再代入计算即可.
5.(2021九上·南海期末)已知是一元二次方程的一个根,则方程的另外一根为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:是一元二次方程的一个根,设方程的另一个根为n,
∵两根的和为:,
∴,解得:,
故答案为:C.
【分析】设方程的另一个根为n,根据一元二次方程根与系数的关系可得,所以,再求出n的值。
6.(2020九上·惠城期末)已知m,n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根,则下列选项不正确的是( )
A.m+n=﹣2 B.mn=﹣5 C.m2+2m﹣5=0 D.m2+2n﹣5=0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根,
∴mn=﹣5,m+n=﹣2,m2+2m﹣5=0,n2+2n﹣5=0,
∴选项A、B、C不符合题意,选项D符合题意;
故答案为:D.
【分析】利用一元二次方程的根及一元二次方程根与系数的关系逐项判断即可。
7.(2021九上·南昌期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2,则x12+x22的值是( )
A.﹣7 B.7 C.2 D.﹣2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:根据根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=1,
所以x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=32﹣2×1=7.
故答案为:B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=3,x1x2=1,再代入求解即可。
8.(2021九上·东坡期末)已知是方程的根,则的值是( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵x1与x2是方程的根,
∴ ,
∴.
故答案为:B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2==1,x1x2==-1,对待求式进行通分可得,据此计算.
9.(2021九上·密山期末)若是一元二次方程的两根,则的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵是一元二次方程的两根,
∴x1+x2=7.x1·x2=5,
,
=5-7+1,
=-1.
故答案为:B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=7.x1·x2=5,再代入计算即可。
10.(2021九上·黔西南期末)已知关于x的方程x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1,x2满足,则a的值为( )
A.6 B.﹣1 C.6或﹣1 D.1或﹣6
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:根据题意得△,
解得,
根据根与系数的关系得,,
,
,
即,
整理得,
解得,,
而,
的值为-1.
故答案为:B.
【分析】先根据一元二次方程判别式求出a范围,再根据根与系数的关系用含a的代数式表示出x1+x2和x1x2,然后把的左式变形,最后代值得出关于a的一元二次方程求解即可.
二、填空题
11.(2021九上·揭西期末)若一元二次方程的两根分别为m与n,则 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵一元二次方程的两根分别为m与n,
根据根与系数的关系得,mn=2,
所以原式=.
故答案为:.
【分析】利用根与系数的关系求出,mn=2,再代入求解即可。
12.(2021九上·兴宁期末)若m、n是方程x -3x-1=0的解,则m -4m-n的值是 .
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:是方程的解,
,
,
,
、是方程的解,
,
.
故答案为:-2.
【分析】先求出,再求出,最后代入求解即可。
13.(2021九上·宜春期末)若方程两根为、,则 .
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:
由韦达定理可得
∴
故答案为:10
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系先求出,再代入求解即可。
14.(2021九上·玉林期末)已知m,n为一元二次方程 的两个实数根,则 的值为 .
【答案】-7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵m,n是一元二次方程 的两个实数根,
∴m+n=4,mn=-3,
∴
,
故答案为:-7.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m+n=4,mn=-3,将待求式子去括号,再合并后整体代入计算即可.
15.(2021九上·成都月考)已知:m、n是方程x2+2x﹣1=0的两根,则(m2+3m+3)(n2+3n+3)= .
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵m、n是方程x2+2x﹣1=0的两根,
∴m2+2m﹣1=0 ,n2+2n﹣1=0,m+n=-2,mn=-1,
∴m2+2m=1,n2+2n=1,
∴(m2+3m+3)(n2+3n+3)
=(m2+2m+m+3)(n2+2n+n+3)
=(1+m+3)(1+n+3)
=(m+4)(n+4)
=mn+4m+4n+16
=mn+4(m+n)+16
=-1+4×(-2)+16
=7.
故答案为:7.
【分析】根据 m、n 是一元二次的根得出:m2+2m﹣1=0 ,n2+2n﹣1=0,代入原式得到(m+4)(n+4),再根据根与系数的关系求出m+n与mn的值,然后把(m+4)(n+4)展开,再变形,最后代值计算即可.
三、解答题
16.(2021九上·金台期末)若 是方程 的一个根,求方程的另一个根及c的值.
【答案】解:∵ 是此方程的一个根,设另一个解为
则 ,
,即方程的另一个根为
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】设另一根为x2,根据根与系数的关系可得x1+x2=6,据此可得x2,然后根据x1x2=c可得c的值.
17.(2021九上·克东期末)已知关于x的一元二次方程两个不相等的实数根,,若,求m的值.
【答案】解:∵,是一元二次方程的两根
∴由根与系数关系得,,
∵,
∴,
∴,即,
解得,,
∵,
∴
∴.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先求出 ,, 再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
18.(2021九上·南山期中)已知方程关于x的一元二次方程3x2+5x-4k=0的一个根是-2,求k和方程另一个根a的值.
【答案】解:将x=-2代入方程
12-10-4k=0
k=
∴a+-2=-
∴a=
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据方程根的含义求出k的值,继而根据一元二次方程根与系数的关系求出a即可。
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2022-2023学年冀教版数学九年级上册24.3一元二次方程根与系数的关系 同步测试
一、单选题
1.(2021九上·新兴期末)若,是一元二次方程的两个根,则,的值分别是( )
A.1和6 B.5和-6 C.-5和6 D.5和6
2.(2021九上·荆州月考)已知关于x的一元二次方程的两根互为相反数,则( )
A. B. C. D.
3.(2021九上·遂宁期末)已知 是关于 的方程 的两根,则 的值是( )
A.2018 B.2019 C.2020 D.2021
4.(2021九上·永定期末)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2,x2=4,则m-n的值是( )
A.-10 B.10 C.-6 D.6
5.(2021九上·南海期末)已知是一元二次方程的一个根,则方程的另外一根为( )
A. B. C. D.
6.(2020九上·惠城期末)已知m,n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根,则下列选项不正确的是( )
A.m+n=﹣2 B.mn=﹣5 C.m2+2m﹣5=0 D.m2+2n﹣5=0
7.(2021九上·南昌期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2,则x12+x22的值是( )
A.﹣7 B.7 C.2 D.﹣2
8.(2021九上·东坡期末)已知是方程的根,则的值是( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
9.(2021九上·密山期末)若是一元二次方程的两根,则的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
10.(2021九上·黔西南期末)已知关于x的方程x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1,x2满足,则a的值为( )
A.6 B.﹣1 C.6或﹣1 D.1或﹣6
二、填空题
11.(2021九上·揭西期末)若一元二次方程的两根分别为m与n,则 .
12.(2021九上·兴宁期末)若m、n是方程x -3x-1=0的解,则m -4m-n的值是 .
13.(2021九上·宜春期末)若方程两根为、,则 .
14.(2021九上·玉林期末)已知m,n为一元二次方程 的两个实数根,则 的值为 .
15.(2021九上·成都月考)已知:m、n是方程x2+2x﹣1=0的两根,则(m2+3m+3)(n2+3n+3)= .
三、解答题
16.(2021九上·金台期末)若 是方程 的一个根,求方程的另一个根及c的值.
17.(2021九上·克东期末)已知关于x的一元二次方程两个不相等的实数根,,若,求m的值.
18.(2021九上·南山期中)已知方程关于x的一元二次方程3x2+5x-4k=0的一个根是-2,求k和方程另一个根a的值.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵,是一元二次方程的两个根,
∴x1+x2=5,x1x2=6,
故答案为:D.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=5,x1x2=6。
2.【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:根据题意得,
所以.
故答案为:A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合相反数的概念可得,据此可得b的值.
3.【答案】D
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵ 是关于
的方程
的两根,
∴ ,
∴ ,
∴
=
=
=2009+12
=2021
故答案为:D.
【分析】根据一元二次方程根的概念可得a2=2009-3a,根据根与系数的关系可得a+b=-3,然后代入待求式中计算即可.
4.【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2、x2=4,
∴x1+x2=﹣m=-2+4,解得:m=﹣2,
x1 x2=n=-2×4,解得:n=-8,
∴m-n=﹣2-(-8)=6.
故答案为:D.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,且a≠0)”的两个实数根,利用一元二次方程根与系数x1+x2=
,x1 x2=
,可得x1+x2=﹣m,x1 x2=n,据此分别求出m、n的值,再代入计算即可.
5.【答案】C
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:是一元二次方程的一个根,设方程的另一个根为n,
∵两根的和为:,
∴,解得:,
故答案为:C.
【分析】设方程的另一个根为n,根据一元二次方程根与系数的关系可得,所以,再求出n的值。
6.【答案】D
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根,
∴mn=﹣5,m+n=﹣2,m2+2m﹣5=0,n2+2n﹣5=0,
∴选项A、B、C不符合题意,选项D符合题意;
故答案为:D.
【分析】利用一元二次方程的根及一元二次方程根与系数的关系逐项判断即可。
7.【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:根据根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=1,
所以x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=32﹣2×1=7.
故答案为:B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=3,x1x2=1,再代入求解即可。
8.【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵x1与x2是方程的根,
∴ ,
∴.
故答案为:B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2==1,x1x2==-1,对待求式进行通分可得,据此计算.
9.【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵是一元二次方程的两根,
∴x1+x2=7.x1·x2=5,
,
=5-7+1,
=-1.
故答案为:B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=7.x1·x2=5,再代入计算即可。
10.【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:根据题意得△,
解得,
根据根与系数的关系得,,
,
,
即,
整理得,
解得,,
而,
的值为-1.
故答案为:B.
【分析】先根据一元二次方程判别式求出a范围,再根据根与系数的关系用含a的代数式表示出x1+x2和x1x2,然后把的左式变形,最后代值得出关于a的一元二次方程求解即可.
11.【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵一元二次方程的两根分别为m与n,
根据根与系数的关系得,mn=2,
所以原式=.
故答案为:.
【分析】利用根与系数的关系求出,mn=2,再代入求解即可。
12.【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:是方程的解,
,
,
,
、是方程的解,
,
.
故答案为:-2.
【分析】先求出,再求出,最后代入求解即可。
13.【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:
由韦达定理可得
∴
故答案为:10
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系先求出,再代入求解即可。
14.【答案】-7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵m,n是一元二次方程 的两个实数根,
∴m+n=4,mn=-3,
∴
,
故答案为:-7.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m+n=4,mn=-3,将待求式子去括号,再合并后整体代入计算即可.
15.【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵m、n是方程x2+2x﹣1=0的两根,
∴m2+2m﹣1=0 ,n2+2n﹣1=0,m+n=-2,mn=-1,
∴m2+2m=1,n2+2n=1,
∴(m2+3m+3)(n2+3n+3)
=(m2+2m+m+3)(n2+2n+n+3)
=(1+m+3)(1+n+3)
=(m+4)(n+4)
=mn+4m+4n+16
=mn+4(m+n)+16
=-1+4×(-2)+16
=7.
故答案为:7.
【分析】根据 m、n 是一元二次的根得出:m2+2m﹣1=0 ,n2+2n﹣1=0,代入原式得到(m+4)(n+4),再根据根与系数的关系求出m+n与mn的值,然后把(m+4)(n+4)展开,再变形,最后代值计算即可.
16.【答案】解:∵ 是此方程的一个根,设另一个解为
则 ,
,即方程的另一个根为
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】设另一根为x2,根据根与系数的关系可得x1+x2=6,据此可得x2,然后根据x1x2=c可得c的值.
17.【答案】解:∵,是一元二次方程的两根
∴由根与系数关系得,,
∵,
∴,
∴,即,
解得,,
∵,
∴
∴.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先求出 ,, 再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
18.【答案】解:将x=-2代入方程
12-10-4k=0
k=
∴a+-2=-
∴a=
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据方程根的含义求出k的值,继而根据一元二次方程根与系数的关系求出a即可。
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