登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2022-2023学年冀教版数学九年级上册第24章 一元二次方程 单元测试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·鄂城期末）关于x的一元二次方程 的一个根是3，则m的值是（ ）
A．3 B． C．9 D．
2．（2021九上·肃州期末）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
3．（2021九上·宜宾期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·镇平县期末）某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2021九上·宜宾期末）方程 的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·遂宁期末）已知 是关于 的方程 的两根，则 的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
7．（2021九上·茂南期末）直线y=+a不经过第四象限，则关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
8．（2021九上·揭西期末）若关于x的方程有实数根，则的值为（ ）
A．－4 B．2 C．－4或2 D．4或－2
9．（2021九上·澄海期末）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．4或5 B．3 C． D．3或
10．（2021九上·南充期末）为落实教育优先发展，南充市财政一般公共预算2019年教育经费投入93.15亿元，2021年教育经费投入99.45亿元，设南充市财政一般公共预算教育经费投入年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·遂宁期末） 是关于 的一元二次方程，则 的值是 .
12．（2021九上·南京期末）设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
13．（2021九上·邗江期末）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 .
14．（2021九上·澄海期末）定义：关于x的方程（a1≠0）与（a2≠0），如果满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个方程互为“对称方程”．若关于x的方程与互为“对称方程”，则的值为 ．
15．（2021九上·九江期末）某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，若主干、枝干和小分支总数共133根，则主干长出枝干的根数x为 ．
16．（2021九上·吉林期末）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要比赛一场．若共赛了28场，设有个球队参赛，根据题意列出x满足的关系式为 ．
三、计算题（共2题，共16分）
17．（2021九上·平凉期中）用适当的方法解下列方程.
（1） ；
（2） .
18．（2020九上·渑池期中）用指定的方法解下列方程：
（1） （配方法）
（2） （公式法）
四、解答题
19．（2021九上·海珠期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
20．（2021九上·丰台期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
21．（2021九上·太原期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元．
22．（2021九上·长沙期末）随着全球疫情的扩散，疫苗需求仍存在较大缺口，某制药企业及时引进一条疫苗生产线生产新冠疫苗，开工第一天生产疫苗10000盒，第三天生产疫苗12100盒，若每天增长的百分率相同.
（1）求每天增长的百分率.
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产疫苗105000盒，在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
23．（2021九上·深圳期末）如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
24．（2021九上·兰州月考）如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 Rt△ABC和 RtDBED 的边长，已知 ，这时我们把关于 x 的形如 二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于 x 的“勾系一元二次方程” ，必有实数根；
（3）若 x = -1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6 ，求△ABC的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程 的一个根是3
m=9
故答案为：C.
【分析】直接将x=3代入原方程中可得关于m的方程，求解即可.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴Δ＝b2 4ac＝12 4×1×（－3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A.当a=0时，是一元一次方程，该选项不符合题意；
B.分母上有未知数，是分式方程，该选项不符合题意；
C.是关于x的一元二次方程，该选项符合题意；
D.经整理后为
，是一元一次方程，该选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一元二次方程的一般形式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0），据此判断.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
则共有6个班级参赛，
故答案为：A.
【分析】先判断出本题是一元二次方程实际问题的“单循环”问题，直接套用公式=总次数，列出一元二次方程求解即可。
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+2x=1
∴x2+2x+1=2
∴（x+1）2=2
故答案为：A.
【分析】给方程两边同时加上1，然后对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是关于
的方程
的两根，
∴ ，
∴ ，
∴
=
=
=2009+12
=2021
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的概念可得a2=2009-3a，根据根与系数的关系可得a+b=-3，然后代入待求式中计算即可.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得直线y=+a一定经过第一、三象限，
∵直线y=+a不经过第四象限，
∴，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元二次方程，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等实数根，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元一次方程，有1个实数解，
综上所述，关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是1个或2个．
故答案为：D
【分析】先求出，再分类讨论求解即可。
8．【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，则原方程可化为，
解得：，，
当时，，即，△，方程无解，
当时，，即，△，方程有实数根，
的值为2，
故答案为：B．
【分析】先求出，，再分类讨论计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程得，，
当两直角边分别为4和5，则第三边的长，
当斜边为5，第三边的长，
所以此三角形的第三边长为3或．
故答案为：D．
【分析】先求出，，再分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可列方程为
；
故答案为：A.
【分析】由题意可得2020年教育经费投入93.15(1+x)，2021年教育经费投入93.15(1+x)2，然后结合2021年教育经费投入99.45亿元就可列出方程.
11．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴a2-2=2，a-2≠0，
解得：a=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程的概念可得a2-2=2且a-2≠0，求解即可.
12．【答案】3；－1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，
∴ .
故答案为：3，-1.
【分析】若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则x1+x2=
，x1x2=
，据此解答.
13．【答案】m＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝m，
∴（﹣2）2﹣4×1×m＞0，
解得：m＜1.
故答案为：m＜1.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
14．【答案】9
【知识点】一元二次方程的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题可知，
解得
∴
故答案为：9．
【分析】先求出，再将m、n的值代入计算即可。
15．【答案】11
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，则
解得：
经检验：不符合题意；取
答：主干长出枝干的根数x为11
故答案为：11
【分析】先求出再求出最后求解即可。
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：由题意可知：每支球队要和其他球队共比赛场，一共x个球队，共需要 场比赛但每两支球队之间重复了一次，故实际比赛场数为，
，
故答案为：．
【分析】由题意可知：每支球队要和其他球队共比赛场，一共x个球队，共需要 场比赛但每两支球队之间重复了一次，即可得出实际比赛场数。
17．【答案】（1）解：原方程化为： ，
直接开平方，得：2x+3=±4，
解得：x1= ，x2= ，
∴原方程的解为：x1= ，x2= ；
（2）解：原方程化为：（2x+1）（2x﹣2）=0，
∴2x+1=0或2x﹣2=0，
解得：x1= ，x2=1，
∴原方程的解为：x1= ，x2=1.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程是一个完全平方式与一个常数的差，故将常数项移到方程的右边，然后利用直接开方法进行求解；
（2）将方程右边整体移到方程的左边，发现有公因式（2x+1），对原方程因式分解可得(2x+1)(2x-2)=0，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式等于0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
18．【答案】（1）解： ，
，
，
，
， ；
（2）解： ， ， ，
，
则 ，
， .
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）对原方程进行配方可得(x+2)2=3，然后利用开方法进行求解；
（2）求出判别式的值，然后利用求根公式进行求解.
19．【答案】（1）解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
（2）解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，
∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意利用一元二次方程列出不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=1，x1x2=2m-4， 再将其代入（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，再求出m的值即可。
20．【答案】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得，
，
解得，，（舍去），
则上、下通道的宽度为（米），左、中、右通道的宽度（米），
答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列出方程求解即可。
21．【答案】解：设每张书签应降价x元．依题意得
，
整理得，
解得x1=0.05，x2=0.2，
答：每张书签应降价0.05元或0.2元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每张书签应降价x元，根据题意列出方程求解即可。
22．【答案】（1）解：设每天增长的百分率为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）.
答：每天增长的百分率为 .
（2）解：设增加 条生产线，则每条生产线的产量为 盒/天，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， .
又∵要节省投入，
∴ .
答：应该增加9条生产线.
【知识点】一元二次方程的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设每天增长的百分率为x，由题意可得开工第二天生产疫苗10000(1+x)盒，开工第三天生产疫苗10000(1+x)2盒，然后结合第三天生产疫苗12100盒建立方程，求解即可；
（2）设增加y条生产线，则每条生产线的产量为(15000-500y)盒/天，然后根据生产线的条数×每条生产线的产量=总生产量列出方程，求解即可.
23．【答案】（1）解：设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，
依题意得：（x-4）（x-5）=650，
整理得：x2-9x-630=0，
解得：x1=30，x2=-21（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为30m．
（2）解：设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，
依题意得：（30-y）（30-1-y）=812，
整理得：y2-59y+58=0，
解得：y1=1，y2=58（不合题意，舍去）．
答：小道的宽度为1m．
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，根据题意列出方程（x-4）（x-5）=650，求解即可；
（2）设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，根据题意列出方程（30-y）（30-1-y）=812，求解即可。
24．【答案】（1）解：当a=3，b=4，c=5时，
勾系一元二次方程为 ；
（2）证明：依题意得△=（ ）2-4ab=2c2-4ab，
∵a2+b2=c2，∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，
即△≥0，故方程必有实数根；
（3）解：把x=-1代入得a+b= c
∵四边形 ACDE 的周长是6 ，
即2(a+b)+ c=6 ，故得到c=2，
∴a2+b2=4，a+b=2
∵(a+b)2= a2+b2+2ab
∴ab=2，
故△ABC的面积为 ab=1.
【知识点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）直接将一组勾股数代入方程即可；
（2）算出方程根的判别式的值，利用勾股定理及完全平方公式将根的判别式变形，进而根据偶数次幂的非负性即可判断求解；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，然后根据完全平方公式求得ab的值即可求解.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2022-2023学年冀教版数学九年级上册第24章 一元二次方程 单元测试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·鄂城期末）关于x的一元二次方程 的一个根是3，则m的值是（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程 的一个根是3
m=9
故答案为：C.
【分析】直接将x=3代入原方程中可得关于m的方程，求解即可.
2．（2021九上·肃州期末）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴Δ＝b2 4ac＝12 4×1×（－3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
3．（2021九上·宜宾期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A.当a=0时，是一元一次方程，该选项不符合题意；
B.分母上有未知数，是分式方程，该选项不符合题意；
C.是关于x的一元二次方程，该选项符合题意；
D.经整理后为
，是一元一次方程，该选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一元二次方程的一般形式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0），据此判断.
4．（2021九上·镇平县期末）某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
则共有6个班级参赛，
故答案为：A.
【分析】先判断出本题是一元二次方程实际问题的“单循环”问题，直接套用公式=总次数，列出一元二次方程求解即可。
5．（2021九上·宜宾期末）方程 的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+2x=1
∴x2+2x+1=2
∴（x+1）2=2
故答案为：A.
【分析】给方程两边同时加上1，然后对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
6．（2021九上·遂宁期末）已知 是关于 的方程 的两根，则 的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是关于
的方程
的两根，
∴ ，
∴ ，
∴
=
=
=2009+12
=2021
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的概念可得a2=2009-3a，根据根与系数的关系可得a+b=-3，然后代入待求式中计算即可.
7．（2021九上·茂南期末）直线y=+a不经过第四象限，则关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得直线y=+a一定经过第一、三象限，
∵直线y=+a不经过第四象限，
∴，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元二次方程，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等实数根，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元一次方程，有1个实数解，
综上所述，关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是1个或2个．
故答案为：D
【分析】先求出，再分类讨论求解即可。
8．（2021九上·揭西期末）若关于x的方程有实数根，则的值为（ ）
A．－4 B．2 C．－4或2 D．4或－2
【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，则原方程可化为，
解得：，，
当时，，即，△，方程无解，
当时，，即，△，方程有实数根，
的值为2，
故答案为：B．
【分析】先求出，，再分类讨论计算求解即可。
9．（2021九上·澄海期末）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．4或5 B．3 C． D．3或
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程得，，
当两直角边分别为4和5，则第三边的长，
当斜边为5，第三边的长，
所以此三角形的第三边长为3或．
故答案为：D．
【分析】先求出，，再分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
10．（2021九上·南充期末）为落实教育优先发展，南充市财政一般公共预算2019年教育经费投入93.15亿元，2021年教育经费投入99.45亿元，设南充市财政一般公共预算教育经费投入年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可列方程为
；
故答案为：A.
【分析】由题意可得2020年教育经费投入93.15(1+x)，2021年教育经费投入93.15(1+x)2，然后结合2021年教育经费投入99.45亿元就可列出方程.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·遂宁期末） 是关于 的一元二次方程，则 的值是 .
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴a2-2=2，a-2≠0，
解得：a=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程的概念可得a2-2=2且a-2≠0，求解即可.
12．（2021九上·南京期末）设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
【答案】3；－1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，
∴ .
故答案为：3，-1.
【分析】若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则x1+x2=
，x1x2=
，据此解答.
13．（2021九上·邗江期末）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 .
【答案】m＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝m，
∴（﹣2）2﹣4×1×m＞0，
解得：m＜1.
故答案为：m＜1.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
14．（2021九上·澄海期末）定义：关于x的方程（a1≠0）与（a2≠0），如果满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个方程互为“对称方程”．若关于x的方程与互为“对称方程”，则的值为 ．
【答案】9
【知识点】一元二次方程的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题可知，
解得
∴
故答案为：9．
【分析】先求出，再将m、n的值代入计算即可。
15．（2021九上·九江期末）某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，若主干、枝干和小分支总数共133根，则主干长出枝干的根数x为 ．
【答案】11
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，则
解得：
经检验：不符合题意；取
答：主干长出枝干的根数x为11
故答案为：11
【分析】先求出再求出最后求解即可。
16．（2021九上·吉林期末）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要比赛一场．若共赛了28场，设有个球队参赛，根据题意列出x满足的关系式为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：由题意可知：每支球队要和其他球队共比赛场，一共x个球队，共需要 场比赛但每两支球队之间重复了一次，故实际比赛场数为，
，
故答案为：．
【分析】由题意可知：每支球队要和其他球队共比赛场，一共x个球队，共需要 场比赛但每两支球队之间重复了一次，即可得出实际比赛场数。
三、计算题（共2题，共16分）
17．（2021九上·平凉期中）用适当的方法解下列方程.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原方程化为： ，
直接开平方，得：2x+3=±4，
解得：x1= ，x2= ，
∴原方程的解为：x1= ，x2= ；
（2）解：原方程化为：（2x+1）（2x﹣2）=0，
∴2x+1=0或2x﹣2=0，
解得：x1= ，x2=1，
∴原方程的解为：x1= ，x2=1.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程是一个完全平方式与一个常数的差，故将常数项移到方程的右边，然后利用直接开方法进行求解；
（2）将方程右边整体移到方程的左边，发现有公因式（2x+1），对原方程因式分解可得(2x+1)(2x-2)=0，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式等于0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
18．（2020九上·渑池期中）用指定的方法解下列方程：
（1） （配方法）
（2） （公式法）
【答案】（1）解： ，
，
，
，
， ；
（2）解： ， ， ，
，
则 ，
， .
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）对原方程进行配方可得(x+2)2=3，然后利用开方法进行求解；
（2）求出判别式的值，然后利用求根公式进行求解.
四、解答题
19．（2021九上·海珠期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
【答案】（1）解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
（2）解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，
∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意利用一元二次方程列出不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=1，x1x2=2m-4， 再将其代入（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，再求出m的值即可。
20．（2021九上·丰台期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
【答案】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得，
，
解得，，（舍去），
则上、下通道的宽度为（米），左、中、右通道的宽度（米），
答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列出方程求解即可。
21．（2021九上·太原期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元．
【答案】解：设每张书签应降价x元．依题意得
，
整理得，
解得x1=0.05，x2=0.2，
答：每张书签应降价0.05元或0.2元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每张书签应降价x元，根据题意列出方程求解即可。
22．（2021九上·长沙期末）随着全球疫情的扩散，疫苗需求仍存在较大缺口，某制药企业及时引进一条疫苗生产线生产新冠疫苗，开工第一天生产疫苗10000盒，第三天生产疫苗12100盒，若每天增长的百分率相同.
（1）求每天增长的百分率.
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产疫苗105000盒，在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【答案】（1）解：设每天增长的百分率为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）.
答：每天增长的百分率为 .
（2）解：设增加 条生产线，则每条生产线的产量为 盒/天，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， .
又∵要节省投入，
∴ .
答：应该增加9条生产线.
【知识点】一元二次方程的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设每天增长的百分率为x，由题意可得开工第二天生产疫苗10000(1+x)盒，开工第三天生产疫苗10000(1+x)2盒，然后结合第三天生产疫苗12100盒建立方程，求解即可；
（2）设增加y条生产线，则每条生产线的产量为(15000-500y)盒/天，然后根据生产线的条数×每条生产线的产量=总生产量列出方程，求解即可.
23．（2021九上·深圳期末）如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
【答案】（1）解：设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，
依题意得：（x-4）（x-5）=650，
整理得：x2-9x-630=0，
解得：x1=30，x2=-21（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为30m．
（2）解：设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，
依题意得：（30-y）（30-1-y）=812，
整理得：y2-59y+58=0，
解得：y1=1，y2=58（不合题意，舍去）．
答：小道的宽度为1m．
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，根据题意列出方程（x-4）（x-5）=650，求解即可；
（2）设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，根据题意列出方程（30-y）（30-1-y）=812，求解即可。
24．（2021九上·兰州月考）如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 Rt△ABC和 RtDBED 的边长，已知 ，这时我们把关于 x 的形如 二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于 x 的“勾系一元二次方程” ，必有实数根；
（3）若 x = -1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6 ，求△ABC的面积.
【答案】（1）解：当a=3，b=4，c=5时，
勾系一元二次方程为 ；
（2）证明：依题意得△=（ ）2-4ab=2c2-4ab，
∵a2+b2=c2，∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，
即△≥0，故方程必有实数根；
（3）解：把x=-1代入得a+b= c
∵四边形 ACDE 的周长是6 ，
即2(a+b)+ c=6 ，故得到c=2，
∴a2+b2=4，a+b=2
∵(a+b)2= a2+b2+2ab
∴ab=2，
故△ABC的面积为 ab=1.
【知识点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）直接将一组勾股数代入方程即可；
（2）算出方程根的判别式的值，利用勾股定理及完全平方公式将根的判别式变形，进而根据偶数次幂的非负性即可判断求解；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，然后根据完全平方公式求得ab的值即可求解.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
