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专题12 三角形全等的判定（SAS）
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，A、B、C、D在同一直线上，，AE=DF,添加一个条件，不能判定△AEC≌△DFB的是（ ）21·cn·jy·com
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A． B．EC=BF C．AB=CD D．∠E=∠F
2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，，，则的依据是（ ）．2·1·c·n·j·y
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A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
3．（2022·湖南·常德市第七中学八年级期末）下列命题是假命题的是（ ）.
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．平面内垂直于同一直线的两条直线平行
D．全等三角形的面积相等
4．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）如图，△ABC是等边三角形，且AD=BE=CF，则△DEF是（ ）21·世纪*教育网
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A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
5．（2022·湖北武汉· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，这里运用了全等三角形的判定和性质，判定三角形全等的依据是（ ）
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A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
6．（2022·青海·西宁市教育科学研究院八年级期末）下列四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（ ）
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( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．（2022·海南·陵水黎族自治县教研培训中心八年级期末）在测量一个小口圆柱形容器的内径时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中，，则可判定的依据是（ ）
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A． B． C． D．
8．（2022·湖北·公安县教 ( http: / / www.21cnjy.com )学研究中心八年级期末）如图，点B，C，E在同一条直线上，△ABC≌△BDE，AC＝7，CE＝2，则DE的长为（ ）
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A．2 B．5 C．7 D．9
9．（2022·福建·厦 ( http: / / www.21cnjy.com )门外国语学校八年级期末）如图，点F在BC上，BC=EF，AB=AE，∠B=∠E，则下列角中，和2∠C度数相等的角是（ ）
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A． B． C． D．
10．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在中，，，AD平分交BC于点D，在AB上截取，则的度数为（ ）
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A．30° B．20° C．10° D．15°
11．（2022·浙江金华·八年级期末）为了 ( http: / / www.21cnjy.com )测量工件的内径，设计了如图所示的工具，点O为卡钳两柄的交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，只要量得CD之间的距离，就可知工件的内径AB．其数学原理是利用△AOB≌△COD，判断的依据是（ ）
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A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
12．（2022·贵州安顺·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分．若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是（ ）
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A．26 B．32 C．34 D．36
13．（2022·广西贵港·八年级期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．正方形的对角线互相垂直平分
C．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成中心对称
14．（2022·广西崇左·八年级期末）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，那么边AB的取值范围为（ ）21cnjy.com
A．1＜AB＜9 B．8＜AB＜13 C．3＜AB＜13 D．5＜AB＜13
15．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图，是线段的垂直平分线，垂足为点，，是上两点．下列结论不正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B． C． D．
16．（2022·四川眉山·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）21教育名师原创作品
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
17．（2022·海南海口·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF，则图中全等三角形共有（ ）
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A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
18．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）如图所示，的周长为18cm，对角线AC与BD相交于点O，交AD于E，连接CE，则的周长为（ ）
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A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
19．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（ ）
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A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝DB
20．（2022·四川凉山·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是（ ）
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A．60° B．65° C．70° D．75°
21．（2022·山东济南·八年级期末）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=，则点B到直线AE的距离是（ ）21教育网
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A． B．2 C． D．3
22．（2022·山东泰安·八年级期末）如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则的面积是（ ）【版权所有：21教育】
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A． B．1 C． D．
23．（2022·山东济南·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．1 B．2 C．3 D．
24．（2022·贵州遵义·八年级期末）在平行四边形中，，是的中点，过点作交于点，则下列结论：①平分，②，③，④，⑤，其中正确的是（ ）
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A．①②⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤
25．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2．其中正确结论有几个（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
26．（2022·福建福州·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE=DF，点M，N分别为AD，BC的中点，P为MN上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（ ）21*cnjy*com
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A．AE B．BN C．BE D．AF
27．（2022·广西南宁·八年级期末）如图，正方形中，平分，点在边上，且．连接交于点，交于点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，连接，．下列四个结论：①；②；③；④，一定成立的有( )个．
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A．1 B．2 C．3 D．4
28．（2022·广东韶关·八年级期末）如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，连接，则的最小值为（ ）
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A．8 B． C． D．
29．（2022·浙江宁波·八年级开 ( http: / / www.21cnjy.com )学考试）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（2，0），以线段OC为边在第一象限内作等边△OBC，点D为x轴正半轴上一动点（OD>2），连结BD，以线段BD为边在第一象限内作等边△BDE，直线CE与y轴交于点A，则点A的坐标为（ ）
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A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
30．（2022·江苏徐州·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，小明用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，则该容器壁的厚度为_____cm．
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31．（2022·吉林长春· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD=AC，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度为8m，则AB间的距离为_____．
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32．（2022·全国·八年级）如图，，，，则、两点之间的距离为______．
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33．（2022·全国·八年级）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得，，则圆形容器的壁厚是_______cm．
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34．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使，则需要添加的条件是_________．
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35．（2022·河南周口·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=6，AC=9，BC=11，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP，交BC于点D，点E在AC边上，AE=AB，连接DE，则△CDE的周长为___．
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36．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为2，其中正确的结论是___．（只填序号）
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37．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝65°，BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF的度数是_____．
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38．（2022·江苏·淮安市浦东实验中学八年级期中）如图，与关于点C成中心对称，若，则______________．
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39．（2022·江苏苏州·八年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，动点E，F分别在线段AB，AD上，且BE＝AF．则EF长度的最小值等于________．
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40．（2022·安徽池州·八年级期末）如图，与中，，，，交于D．给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的序号）．
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41．（2022·四川广元·八年级期末）如图，点P是正方形的对角线上一点，，垂足分别为点E，F，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④一定是等腰三角形．其中正确的结论序号是________________．21世纪教育网版权所有
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42．（2022·山东济南·八年级期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论，其中正确的是 _____．
①△AED≌△AEF；②BE+DC＝DE；③S△ABE+S△ACD＞S△AED；④BE2+DC2＝DE2．
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43．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作交边BC于点F．则：（1）则DE______EF（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（2）线段AE和BF的数量关系是______．
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44．（2022·河南三门峡·八年级期末）如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，，，则的度数为______．
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三、解答题
45．（2022·江苏·八年级）如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．
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(1)求证；
(2)连接，若，，求的长．
46．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，D是AB边上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE．求证：FC//AB．
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47．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．
求证：△ABE≌△DCF．
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48．（2022·黑龙江鸡西·八年级期末）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，证明：△ABD≌△ACD
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49．（2022·江西上饶·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，已知五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等，点F、G分别在边BC、CD上，且FC=GD．
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(1)求证：ΔCDF ≌ ΔDEG；
(2)求∠EHF的大小．
50．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
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(1)求证：△ABE≌△DBE，
(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
51．（2022·福建省厦门集美中学八年级期末）如图：，，和相交于点，求证：．
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52．（2022·四川凉山· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B，A，E在同一直线上，连接BD交AC于点M，连接CE交AD于点N，连接MN，求证：
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(1)BD＝CE；
(2)BM＝CN；
(3)MN∥BE．
53．（2022·安徽芜湖·八年级期末）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．
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(1)求证：．
(2)若，，求证：．
54．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程．
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55．（2022·山东济 ( http: / / www.21cnjy.com )南·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E、F在对角线BD上，且BE=DF，连接AE、CF．求证：AE=CF．
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56．（2022·湖南湘西·八年级期末）如图，线段AD，CE相交于点B，BC＝BD，AB＝EB．求证：∠A＝∠E．2-1-c-n-j-y
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57．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：∠B＝∠D．
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58．（2022·山东济南·八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，连接AE．
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(1)求证：△ABC≌△AEC；
(2)若AB=AC，试判断四边形ACDE的形状，并说明理由．
59．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，在中，AD是的平分线，、，垂足分别为E、F，且．求证：
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(1)；
(2)．
60．（2022·河南周口·八年级期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
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(1)求证：△ABE≌△DBE；
(2)若∠A=100°，∠C=50°，求证：ED=DC．
61．（2022·四川凉山·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，），C（，0），B（－5，0），且，点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
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(1)求A、C两点的坐标；
(2)连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；
(3)当点P在线段BO上运动时，在轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？若存在，请求出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
62．（2022·河北石家庄·八年级期末）1.如图，在等边三角形中，点E是边上一定点，点D是延长线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．求证：．
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小明同学看到题目后，想出了一种方法，并添加了如下的辅助线：过点D作的平行线，交的延长线于点G，然后通过证明三角形全等，解决了问题．请同学们利用小明的思路解答该问题．【出处：21教育名师】
63．（2022·江西吉安·八年级期末）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
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原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．
(1)思路梳理
把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，由，得，即点F、D、G共线，易证______，故、、之间的数量关系为______．（要求写出必要的推理过程）【来源：21·世纪·教育·网】
(2)类比引申
如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系为______，并给出证明．
(3)联想拓展
如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，，求的长．
64．（2022·山东济南·八年级期中）在中，，，D为平面内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，
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(1)若点D为线段BC上一点（不与点B、C重合），如图1，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______；
(2)若点D为内一点，BD的延长线与CE交于点F，
①如图2，BD与CE的数量关系和位置关系分别是什么？并请证明你的结论；
②如图3，连接AF，DC，已知，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．
65．（2022·山东济南·八年级期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G．
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(1)AE，BF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由；
(2)求四边形FGEC的面积．
66．（2022·山东济 ( http: / / www.21cnjy.com )南·八年级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E、F分别是边BC、CD上的两个动点，E点从点B向点C运动，F点从点D向点C运动，设点E、F运动的路径长分别是a和b．
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(1)猜想：如图①，当a=b时，写出线段AE与线段AF的数量关系；
(2)证明：如图②，连接AC，若a+b=6，请证明△ABE≌△ACF；
(3)应用：在（2）的条件下，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，请直接写出这个定值；如果变化，请直接写出该四边形面积的最大值．www.21-cn-jy.com
67．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，直线y＝﹣x+5与y轴、x轴分别交于点A，B，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，E是x轴上一动点，设点E坐标为（m，0）（2＜m＜）．连接AE交BD于点F，作直线CF与y轴相交于点G．
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(1)填空：点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ，点D的坐标是 ；
(2)求证：∠EAB＝∠GCB；
(3)是否存在这样的m值，使GC⊥y轴？若存在，请求出此时的m值；若不存在，请说明理由．
68．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为直线BC上一点，点F在点A的右侧，以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
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(1)当点D在线段BC上时，如图①，求证：CF+CD=CA；
(2)当点D在CB的延长线上时，如图②；当点D在BC的延长线上时，如图③，请分别写出线段CF，CD，CA之间的数量关系，不需要证明；21*cnjy*com
(3)在（1），（2）的条件下，若AC=2，AD=3，则CF=______．
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专题12 三角形全等的判定（SAS）
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，A、B、C、D在同一直线上，，AE=DF,添加一个条件，不能判定△AEC≌△DFB的是（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B．EC=BF C．AB=CD D．∠E=∠F
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题目条件可得AE＝DF，∠A＝∠D，再根据四个选项结合全等三角形的判定定理即可作出判断．
【详解】
解：
A．∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵EC∥BF，
∴∠ACE＝∠DBF，
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFB（AAS），
故此选项不合题意；
B．添加条件EC＝BF，不能证明△AEC≌△DFB，故此选项符合题意；
C．∵AB＝CD，
∴AC＝BD，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
故此选项不合题意；
D．∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AE＝DF，∠E＝∠F，
∴△AEC≌△DFB（ASA），
故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定方法，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，，，则的依据是（ ）．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【答案】C
【解析】
【分析】
根据SAS判定两三角形全等解答即可．
【详解】
解：在△ABD与△CDB中，
∵，
∴（SAS）
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS，HL是解题的关键．
3．（2022·湖南·常德市第七中学八年级期末）下列命题是假命题的是（ ）.
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．平面内垂直于同一直线的两条直线平行
D．全等三角形的面积相等
【答案】B
【解析】
【详解】
解：A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题；
B、有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；
C、平面内垂直于同一直线的两条直线平行，是真命题；
D、全等三角形的面积相等，是真命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫 ( http: / / www.21cnjy.com )做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”的形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
4．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）如图，△ABC是等边三角形，且AD=BE=CF，则△DEF是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知，可知DE=DF=EF，所以为等边三角形．
【详解】
解：∵是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵AD=BE=CF，
∴AB-AD=AC-CF=BC-BE，
∴BD=AF=CE，
在和中，
∴（SAS），
同理，
则，
∴DE=DF=EF，
∴为等边三角形．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是证明．
5．（2022·湖北武汉·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，这里运用了全等三角形的判定和性质，判定三角形全等的依据是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
解：在△ACB与△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB=CD，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
6．（2022·青海·西宁市教育科学研究院八年级期末）下列四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用三角形内角和计算出∠B=50°，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】
解：在△ABC中，∠A=180°-58°-72°=50°，
根据“SAS”可判断选项C的三角形与△ABC全等．
故选：C．
【点睛】
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
7．（2022·海南·陵水黎族自治县教研培训中心八年级期末）在测量一个小口圆柱形容器的内径时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中，，则可判定的依据是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法：边角边判定．
【详解】
解：AD，BC相较于点O，对顶角相等，即∠AOB=∠DOC，
在△OAB和△ODC中：
两边及其夹角对应相等，
∴（SAS），
故选：A
【点睛】
本题考查全等三角形的判定方法边角边（SAS），有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；熟记判定方法是解题关键．
8．（2022·湖北·公安县教学研究中心八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，点B，C，E在同一条直线上，△ABC≌△BDE，AC＝7，CE＝2，则DE的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据可得对应边相等，根据，即可求得长度．
【详解】
解：，
，，
，，
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，正确的掌握全等三角形的性质是解题的关键．
9．（2022·福建·厦门外国语学校八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，点F在BC上，BC=EF，AB=AE，∠B=∠E，则下列角中，和2∠C度数相等的角是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据SAS证明△AEF≌△ABC，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴AF=AC，∠AFE=∠C，
∴∠C=∠AFC，
∴∠EFC=∠AFE+∠AFC=2∠C．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
10．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在中，，，AD平分交BC于点D，在AB上截取，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．20° C．10° D．15°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到∠DEA＝∠C，根据外角的性质可求的度数．
【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠DEA＝∠C，
∵，∠DEA＝∠B +，
∴；
故选：B
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC．
11．（2022·浙江金华·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）为了测量工件的内径，设计了如图所示的工具，点O为卡钳两柄的交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，只要量得CD之间的距离，就可知工件的内径AB．其数学原理是利用△AOB≌△COD，判断的依据是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解析】
【分析】
利用“边角边”证明△ABO和△CDO全等，根据全等三角形对应边相等解答．
【详解】
解：在△ABO和△CDO中
△ABO≌△CDO（SAS）
故选B
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
12．（2022·贵州安顺·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分．若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．26 B．32 C．34 D．36
【答案】B
【解析】
【分析】
根据SAS得到△AOE≌△COF， ( http: / / www.21cnjy.com )进而可得∠EAO＝∠FCO，AE＝CF，进一步证得四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质求得四边形ABCD的周长．
【详解】
解：∵线段EF与AC交于点O且互相平分，
∴OA＝OC，OE＝OF．
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AD∥BC．
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，
∵AD＝BC＝10，AB＝6，
∴CD＝6，
∴四边形EFCD的周长＝AB+BC+CD+DA＝6+10+6+10＝32．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．熟练掌握这些性质判定是解题关键．
13．（2022·广西贵港·八年级期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．正方形的对角线互相垂直平分
C．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成中心对称
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质定理，正方形的性质，全等三角形的判定，中心对称定义依次判断即可．
【详解】
解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，故此选项不符合题意；
B、正方形的对角线互相垂直平分，正确，故此选项不符合题意；
C、斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，正确，故此选项不符合题意；
D、如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成中心对称，错误，
如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
在和中，
，，，
∴，但和不成中心对称．
故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，中心对称的定义等知识．理解和掌握相应的性质、判定及定义是解题的关键．21教育网
14．（2022·广西崇左·八年级期末）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，那么边AB的取值范围为（ ）
A．1＜AB＜9 B．8＜AB＜13 C．3＜AB＜13 D．5＜AB＜13
【答案】C
【解析】
【分析】
作辅助线（延长AD至E，使DE＝AD＝4 ( http: / / www.21cnjy.com )，连接BE）构建全等三角形△BDE≌△ADC（SAS），然后由全等三角形的对应边相等知BE＝AC＝5；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得AB的取值范围．
【详解】
解：延长AD至E，使DE＝AD＝4，连接BE．则AE＝8，
∵AD是边BC上的中线，D是中点，
∴BD＝CD；
又∵DE＝AD，∠BDE＝∠ADC，
∴△BDE≌△ADC，
∴BE＝AC＝5；
由三角形三边关系，得AE﹣BE＜AB＜AE+BE，
即8﹣5＜AB＜8+5，
∴3＜AB＜13；
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，掌握倍长中线法是解题的关键．
15．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图，是线段的垂直平分线，垂足为点，，是上两点．下列结论不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质分析选项即可．
【详解】
解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，故D选项结论正确，不符合题意；
在和中，
∴，
∴，故B选项结论正确，不符合题意；
同理可知：，
∴，故C选项结论正确，不符合题意；
利用排除法可知选项A结论不正确，符合题意．
故选：A
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，利用性质证明，．
16．（2022·四川眉山· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】D
【解析】
【分析】
图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】
解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是ASA．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
17．（2022·海南海口·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF，则图中全等三角形共有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定定理分析判断即可．
【详解】
解：∵ 平行四边形ABCD，
∴，，，．
∵ ，
∴，
在和中，
，
∴；
同理，在和中，
，
∴；
∵AE=CF，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
在和中，
，
∴；
综上，图中一共有3对全等三角形，
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理是解题的关键，注意认真观察图形，避免遗漏．
18．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）如图所示，的周长为18cm，对角线AC与BD相交于点O，交AD于E，连接CE，则的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】D
【解析】
【分析】
利用SAS定理可得，利用三角形全等的性质即可得AE=CE，则根据周长概念即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=CO，AD=BC，AB=CD
∵平行四边形ABCD周长为18cm
∴DC+AD=9cm
又∵，
∴∠AOE=∠COE=90°，
在△AEO和△CEO中，
，
，
∴AE=CE，
∴的周长为cm，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
19．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝DB
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【详解】
解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（2022·四川凉山·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先证明△DBE≌△ECF，进而得到 ( http: / / www.21cnjy.com )∠EFC＝∠DEB，再根据三角形内角和计算出∠CFE＋∠FEC的度数，进而得到∠DEB＋∠FEC的度数，然后可算出∠DEF的度数．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴∠EFC＝∠DEB，
∵∠A＝50°，
∴∠C＝（180° 50°）÷2＝65°，
∴∠CFE＋∠FEC＝180° 65°＝115°，
∴∠DEB＋∠FEC＝115°，
∴∠DEF＝180° 115°＝65°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是180°．
21．（2022·山东济南·八年级期末）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=，则点B到直线AE的距离是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD ( http: / / www.21cnjy.com )，再结合已知条件利用SAS可证△APD≌△AEB，过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF．21·cn·jy·com
【详解】
解：∵∠EAP=∠BAD=90°，
∴∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∴∠BEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，
∵BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
∵PE==，
∴BE=，
∴BF=EF==2，
∴点B到直线AE的距离是2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、勾股定理的运用等知识，证明三角形全等是解题的关键．
22．（2022·山东泰安·八年级期末）如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合中位线的定义以及性质可得出“DF=BE ( http: / / www.21cnjy.com )，∠EDF=∠DEB”，再由△EDF和△DEB有条公共边利用SAS即可证得△DEF≌△EDB；同理即可证出：△DEF≌△CFE，△DEF≌△FAD．由此即可得出结论．
【详解】
解：∵D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF∥BC，DF=BE=EC=BC，
∴∠EDF=∠DEB．
在△EDF和△DEB中，
，
∴△DEF≌△EDB（SAS）．
同理可证得：△DEF≌△CFE，△DEF≌△FAD．
∵△ABC的面积为2，
∴△DEF的面积是S△ABC=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了中位线的性质以及全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定，解题的关键是根据中位线的性质找出相等的边及角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合已知寻找相等的边和角是关键．
23．（2022·山东济南·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，则当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠EAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠EAC，
∴∠EAP＝∠CAQ，
又∵AE＝AC，AP＝AQ，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ＝EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF，
在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝，
∴AB＝，
∵AE＝AC＝，
∴BE＝AB AE＝，
在Rt△BFE中，∠B＝30°，
∴EF＝BE＝，
故线段CQ长度的最小值是，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质，全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．
24．（2022·贵州遵义·八年级期末）在平行四边形中，，是的中点，过点作交于点，则下列结论：①平分，②，③，④，⑤，其中正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，延长AD、FE交于点G，证明△DEG≌△CEF可得GE＝FE，根据等腰三角形三线合一可得∠GAE＝∠FAE，①正确；在AF上截取AH＝AD，证明△DAE≌△HAE，可得AD＝AH，∠AED＝∠AEH，DE＝HE，再证△HEF≌△CEF，求出HF＝CF，根据线段和差可得③正确；根据，可得AD≠CD，进而判断②错误；根据AF不一定是∠DAB的平分线，可得∠BAF与∠AFB不一定相等，即AB不一定等于BF，④错误；求出，根据S△DEG＝S△CEF，可判断⑤正确．
【详解】
解：如图，延长AD、FE交于点G，
∵在平行四边形中，AD∥BC，是的中点，
∴∠GDE＝∠FCE，DE＝CE，
又∵∠DEG＝∠CEF，
∴△DEG≌△CEF（ASA），
∴GE＝FE，
∵，
∴∠GAE＝∠FAE，即平分，①正确；
在AF上截取AH＝AD，
∵∠DAE＝∠HAE，AE＝AE，
∴△DAE≌△HAE（SAS），
∴AD＝AH，∠AED＝∠AEH，DE＝HE，
∴HE＝CE，
∵∠AEF＝∠AEH＋∠HEF＝90°，
∴∠AED＋∠CEF＝90°，
∴∠HEF＝∠CEF，
又∵EF＝EF，
∴△HEF≌△CEF（SAS），
∴HF＝CF，
∴AF＝AH＋HF＝AD＋CF，③正确，
∵，
∴AD≠CD，
∴AF≠CD＋CF，②错误；
∵AF不一定是∠DAB的平分线，∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF与∠AFB不一定相等，即AB不一定等于BF，④错误；
∵GE＝FE，AE⊥FG，
∴，
∵△DEG≌△CEF，
∴S△DEG＝S△CEF，
∴，⑤正确；
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用，能够作出合适的辅助线，灵活运用各性质进行推理是解题的关键．
25．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2．其中正确结论有几个（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意易得，，则有四边形是矩形，进而可得，，然后可判定①②，连接PC，则有PC=EF，要使EF为最小，则PC为最小，根据点到直线垂线段最短可求解．
【详解】
解：∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，△PEB、△PFD都为等腰直角三角形，
∴，，
∴，故①正确；
∴，故②正确；
连接PC，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形是矩形，
∴PC=EF，
∵∠ABP=∠CBP=45°，AB=BC，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC=EF，故③正确；
要使EF最小，则PC最小，则需满足PC⊥BD，
∴此时△BPC为等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴，即，
∴，
∴的最小值为，故④错误；
综上分析可知，正确的有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质与判定及矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及矩形的判定与性质是解题的关键．
26．（2022·福建福州·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE=DF，点M，N分别为AD，BC的中点，P为MN上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（ ）
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A．AE B．BN C．BE D．AF
【答案】D
【解析】
【分析】
连接CP，根据MN垂直平分BC，可 ( http: / / www.21cnjy.com )知当点E，P，C在同一直线上时，BP＋PE的最小值为CE长，证明△ADF≌△CBE，即可得到BP＋EP的最小值等于线段AF的长．
【详解】
解：如图，连接CP，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题可得，MN垂直平分BC，
∴BP＝CP，
∴BP＋PE＝CP＋PE，
当点E，P，C在同一直线上时，BP＋PE的最小值为CE长，
∵在正方形ABCD中，AD＝CB，∠ADF＝∠CBE＝90°，DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE，
∴BP＋EP的最小值等于线段AF的长，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，线段垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，分析得出点E，P，C在同一直线上时，BP＋PE的最小值为CE长是解题的关键．
27．（2022·广西南宁·八年级期末）如图，正方形中，平分，点在边上，且．连接交于点，交于点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，连接，．下列四个结论：①；②；③；④，一定成立的有( )个．
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由SAS可证明△FAB≌△EBC，得到∠FBA＝∠ECB，求出∠BEC＋∠FBA＝90°即可得到∠BGE＝90°，故①正确；根据等腰三角形三线合一可得∠CBG＝∠CMG，然后求出∠AFB＝∠CBG，∠AMF＝∠CMG，等量代换可得∠AFB＝∠AMF，即AF＝AM，可证，故②正确；根据AB＝AE＋BE，BE＝AM，且AM≠MF，可得③错误；求出PB＝PM，可得当B、P、N三点共线且BN⊥AC时，PM＋PN＝BP＋PN＝BN最短，此时BN＝，进而可得④正确．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：∵在正方形中，AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，AF＝BE，
∴△FAB≌△EBC（SAS），
∴∠FBA＝∠ECB，
∵∠CBE＝90°，
∴∠BEC＋∠BCE＝90°，
∴∠BEC＋∠FBA＝90°，
∴∠BGE＝90°，即，①正确；
∵平分，
∴∠BCE＝∠MCG，
∵，
∴CB＝CM，
∴∠CBG＝∠CMG，
∵在正方形中，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBG，
又∵∠AMF＝∠CMG，
∴∠AFB＝∠AMF，
∴AF＝AM，
∵，
∴，②正确；
∵AB＝AE＋BE，BE＝AM，且AM≠MF，
∴AE＋AM＝AB，，③错误；
连接BP，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CM＝CB，，
∴BG＝MG，即CE垂直平分线段BM，
∴PB＝PM，
∴当B、P、N三点共线且BN⊥AC时，PM＋PN＝BP＋PN＝BN最短，此时BN＝，
∴，④正确；
综上，一定成立的有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等，综合性较强，能够灵活运用各性质进行推理是解题的关键．
28．（2022·广东韶关·八年级期末）如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，连接，则的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接AE，证明△ABE≌△BCF转化线段 A ( http: / / www.21cnjy.com )E=BF，可得到BF+DE=AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC 于E′点，则DH的长为最小值，利用勾股定理求出DH长即可．
【详解】
解：连接AE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是正方形，
∴.AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，又BE=CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴AE= BF，所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，连接EH、BH，则A、B、H三点共线，且AE=EH，BH=AB=4，
连接DH交BC于E′，则AE+DE=EH+DE≥DH，当点E在E′处时取等号，
∴BF+DE最小值为DH的长度．
在Rt△ADH中，AH=8，AD=4，
∴DH=，
∴BF+DE最小值为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定和性质、最短距离问题，一般求两条线段和最短距离问题，都利用对称性质和两点之间线段最短转化为一条线段长．
29．（2022·浙江宁波·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（2，0），以线段OC为边在第一象限内作等边△OBC，点D为x轴正半轴上一动点（OD>2），连结BD，以线段BD为边在第一象限内作等边△BDE，直线CE与y轴交于点A，则点A的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“手拉手”全等可得∠BCE＝∠BOD＝60°，进而可得∠OCA＝60°，即可求解A点坐标．
【详解】
解：∵△ABC，△BDE为等边三角形，
∴BO＝BC，BD＝BE，∠OBC＝∠DBE=60°，
∴，
∴∠OBD＝∠CBE，
在△OBD和△CBE中，，
∴△OBD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BOD＝60°，
∴∠OCA＝60°，
∵∠COA＝90°，
∴，
∴，
∵点C的坐标为（2，0），
∴，
∴，
∴，
即A点坐标为：，故B正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形中的“手拉手”模型，勾股定理，直角三角形性质，求出∠OCA的度数，是解题关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
30．（2022·江苏徐州·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，小明用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，则该容器壁的厚度为_____cm．
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【答案】1
【解析】
【分析】
只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．
【详解】
解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝6cm，
∵EF＝8cm，
∴圆柱形容器的壁厚是×（8﹣6）＝1（cm），
故答案为：1．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．
31．（2022·吉林长春·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD=AC，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度为8m，则AB间的距离为_____．
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【答案】8m
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
解：在△CDE和△CAB中，
，
∴△CDE≌△CAB（SAS），
∴DE=AB=8m，
故答案为：8m．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
32．（2022·全国·八年级）如图，，，，则、两点之间的距离为______．
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【答案】55
【解析】
【分析】
根据题意首先证明△AOB和△DOC全等，再根据全等三角形对应边相等即可得出答案．
【详解】
解：，，
，即，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的应用以及两点之间的距离，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等．
33．（2022·全国·八年级）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得，，则圆形容器的壁厚是_______cm．21·世纪*教育网
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【答案】##0.5
【解析】
【分析】
由题证明，由全等三角形的性质可得，AB=CD，即可解决问题．
【详解】
在和中，
，
，
，
，
圆柱形容器的壁厚是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．
34．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使，则需要添加的条件是_________．【版权所有：21教育】
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【答案】
【解析】
【分析】
由证明结合可得到添加：，即可得到答案．
【详解】
解：添加： 理由如下：
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
35．（2022·河南周口·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=6，AC=9，BC=11，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP，交BC于点D，点E在AC边上，AE=AB，连接DE，则△CDE的周长为___．
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【答案】14
【解析】
【分析】
直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BD=DE，即可得出答案．
【详解】
解：∵AB=6，AC=9，BC=11，AE=AB，
∴EC=AC-AE=9-6=3，
由作图方法可得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△AED中，
∵，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD=DE，
∴△DEC的周长为：DE+EC+DC=BD+DC+EC=BC+EC=11+3=14．
故答案为：14．
【点睛】
此题主要考查了作图-基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．
36．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为2，其中正确的结论是___．（只填序号）
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【答案】①②④
【解析】
【分析】
连接BE，交FG于点O，由题意得，即可得四边形EFBG为矩形，得，，即可得四边形ABCD为正方形，用SAS即可得，即可判断①；延长DE，交FG于M，交FB于点H，由（1）得，，根据题意和角之间的关系得，即可判断②，根据得，即可判断③，根据垂线段最短得当时，DE最小，根据勾股定理得，即可得FG的最小值为，即可判断即④，即可得．
【详解】
解：如图所示，连接BE，交FG于点O，
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∵，，
∴，
∵，
∴四边形EFBG为矩形，
∴，，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∴，
即①正确；
延长DE，交FG于M，交FB于点H，
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由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即②正确；
∵，
∴，
即③错误，
∵E为对角线AC上的一个动点，
∴当时，DE最小，
∵，，
∴，
∴，
由①知，，
∴FG的最小值为，
即④正确，
综上，①②④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
37．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝65°，BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF的度数是_____．
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【答案】65°
【解析】
【分析】
证明△DBE≌△ECF(SAS)，推出∠BDE= ∠FEC，再由三角形的外角性质得∠DEF+ ∠FEC=∠B+ ∠BDE，即可得出答案．
【详解】
解：在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴∠BDE＝∠FEC，
∵∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE，
∴∠DEF＝∠B＝65°，
故答案为：65°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，证明△DBE≌△ECF是解题的关键，属于中考常考题型．
38．（2022·江苏·淮安市浦东实验中学八年级期中）如图，与关于点C成中心对称，若，则______________．
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【答案】4
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质以及全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】
∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴CA=CD，CB=CE，
∵∠ACB=∠DCE
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=DE，
∵AB=4，
∴DE=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
39．（2022·江苏苏州 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，动点E，F分别在线段AB，AD上，且BE＝AF．则EF长度的最小值等于________．
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【答案】
【解析】
【分析】
连接AC，过点C作CG⊥AB于点G，可得△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC为等边三角形，从而得到∠CAF=∠B=60°，AG=BG=2，再证明△BCE≌△ACF，可得△CEF是等边三角形，从而得到当CE最小时，EF最小，即点E与点G重合时，EF最小，最小值等于CG的长，再由勾股定理，即可求解．
【详解】
解：如图，连接AC，过点C作CG⊥AB于点G，
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在菱形ABCD中，AB=BC=4，
∵∠B＝60°，AD∥BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°， AC=BC，
∴∠CAF=∠B=60°，AG=BG=2
∵BE=AF，
∴△BCE≌△ACF，
∴CE=CF，∠BCE=∠ACF，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE，即∠ECF=∠ACB=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∴当CE最小时，EF最小，即点E与点G重合时，EF最小，最小值等于CG的长，
在中，
．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
40．（2022·安徽池州·八年级期末）如图，与中，，，，交于D．给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的序号）．
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【答案】①③④
【解析】
【分析】
先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据等腰三角形的性质即可得；先根据三角形全等的性质可得，由判断①、③；②假设，根据三角形全等的判定定理与性质可得，由此可得假设不成立；先根据三角形的外角性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得④是否成立．21世纪教育网版权所有
【详解】
在和中，，
，
，
，则结论①正确；
∴，则结论③正确；
由三角形的外角性质得：，
又，
，则结论④正确；
假设，
在和中，，
，
，即AF是的角平分线，
∵AF不一定是的角平分线，
∴假设不一定成立，则结论②错误；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
41．（2022·四川广元·八年级期末）如图，点P是正方形的对角线上一点，，垂足分别为点E，F，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④一定是等腰三角形．其中正确的结论序号是________________．
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【答案】①②③
【解析】
【分析】
过点P作PQ⊥AB与点Q，易证四边形PQBE是正方形，四边形PECF是矩形，在根据正方形和矩形得性质，证明△APQ≌△FEP，即可判断①②③，根据等腰三角形两腰相等，可得出只有当DP=(点P与点B重合)，或DP=，或AP=DP（点P在BD中点）时是等腰三角形，其余情况都不是．
【详解】
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过点P作PQ⊥AB与点Q，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD平分∠ABC和∠ADC，
∵PE⊥BC，PQ⊥AB，
∴PQ=PE，
∵AB⊥BC，PE⊥BC，PQ⊥AB，CB⊥AB，
∴四边形PQBE为正方形，
同理可证四边形BCFQ是矩形，
∵AB=BC
∴AB-QB=FQ-PQ，即：AQ=PF，
在△APQ与△FEP中
AQ=PF，∠AQP=∠FPE，PQ=PE，
∴△APQ≌△FEP，
∴AP=EF，故①正确；
∴，故②正确；
∵PF⊥CD，且BD平分∠ADC，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴△PDF为等腰直角三角形，则，
∵PF=EC，
∴，故③正确；
当DP=(点P与点B重合)，或DP=，或AP=DP（点P在BD中点）时是等腰三角形，其余情况都不是，故④不正确，21cnjy.com
综上：①②③正确，
故答案为：①②③
【点睛】
本题主要考查了正方形和矩形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练地掌握各个相关知识点并构造出全等三角形是解题的关键，
42．（2022·山东济南·八年级期中）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论，其中正确的是 _____．www.21-cn-jy.com
①△AED≌△AEF；②BE+DC＝DE；③S△ABE+S△ACD＞S△AED；④BE2+DC2＝DE2．
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【答案】①③④
【解析】
【分析】
依据旋转的性质，即可得到∠BAF=∠C ( http: / / www.21cnjy.com )AD，AF=AD，BF=CD，进而得出△FAE≌△DAE（SAS），即可得到S△AED=S△AEF，可得到S△ABE+S△ACD＞S△AED，再根据勾股定理即可得到BE2+BF2=EF2，进而得到BE2+DC2=DE2．21*cnjy*com
【详解】
解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，∠FAD=90°，
∴AF=AD，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE=45°，
在△AED和△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确，
∴EF=ED，S△AED=S△AEF，
∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴BF=CD，∠ABF=∠C=45°，
∴∠EBF=90°，
∴BE2+BF2=EF2，
∴BE2+DC2=DE2；故④正确，②错误．
∵△ABF≌△ACD，
∴S△ABF=S△ACD，
∴S△ABE+S△ACD=S△ABE+S△ABF=S四边形AFBE=S△BEF+S△AEF，
∴S四边形AFBE＞S△AED，
即S△ABE+S△ACD＞S△AED，故③正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后 ( http: / / www.21cnjy.com )两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质以及勾股定理．
43．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作交边BC于点F．则：（1）则DE______EF（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（2）线段AE和BF的数量关系是______．
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【答案】 =
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证，可得，，由余角的性质和四边形内角和定理可得，可得即可求解；
（2）先证四边形GEHB是矩形，可得，由等腰三角形的性质，由等腰直角三角形的性质求解．
【详解】
解：（1）如图，连接BE，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：=；
（2）如图，过点E作于H，于G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，，
∴四边形GEHB是矩形，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，多边形的内角和，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
44．（2022·河南三门峡·八年级期末）如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，，，则的度数为______．
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【答案】70°
【解析】
【分析】
由题意，可得 ；则，由三角形内角和定理与三角形外角性质，即可求出．
【详解】
∴△ACE≌△ABF（SAS），
故答案为：70°
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，三角形内外角的性质，准确看图为关键．
三、解答题
45．（2022·江苏·八年级）如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．
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(1)求证；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质，结合条件可证明，即可得出；
（2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．
(1)
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)
解：
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由（1）知，，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴．
∴的长为．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质、平行线的性质．掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．21教育名师原创作品
46．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，D是AB边上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE．求证：FC//AB．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
由DE=FE，AE=CE，易证得△ADE≌△CFE，即可得∠A=∠ECF，则可证得FCAB．
【详解】
证明：在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，
∴FC//AB．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
47．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．
求证：△ABE≌△DCF．
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【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】
根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；即可证明；
【详解】
证明：∵点B、C、E、F共线，BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
∴BE=CF，
△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键．
48．（2022·黑龙江鸡西·八年级期末）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，证明：△ABD≌△ACD
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
由“”可证△ABD≌△ACD．
【详解】
证明：在△ABD和△ACD 中，
∴△ABD≌△ACD(SAS)
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
49．（2022·江西上饶· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，已知五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等，点F、G分别在边BC、CD上，且FC=GD．
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(1)求证：ΔCDF ≌ ΔDEG；
(2)求∠EHF的大小．
【答案】(1)见解析
(2)108°
【解析】
【分析】
（1）由五边形ABCDE的各边都相等，各内 ( http: / / www.21cnjy.com )角也都相等知CD＝DE，∠FCD＝∠GDE，再结合FC＝GD，利用“SAS”即可证明△CDF≌△DEG；
（2）由△CDF≌△DEG知∠FDC＝∠GED，据此得∠EHF＝∠GED+∠HDE＝∠FDC+∠HDE＝∠CDE，从而得出答案．
(1)
证明：在ΔCDF与ΔDEG中
∵五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等，
∴CD=DE，∠FCD=∠GDE
又∵FC=GD
在△CDF和△DEG中，
，
∴ΔCDF ≌ ΔDEG（SAS）；
(2)
解：∵ΔCDF ≌ ΔDEG；
∴∠FDC=∠GED
∴∠EHF=∠GED+∠HDE=∠FDC+∠HDE=∠CDE=
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正多边形的性质和全等三角形的判定与性质．
50．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
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(1)求证：△ABE≌△DBE，
(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠AEB＝65°
【解析】
【分析】
（1）由角平分线可得∠ABE＝∠DBE，再证△ABE≌△DBE即可；
（2）根据三角形内角和求出∠ABC＝30°，再根据角平分线求出∠ABE=15°，根据三角形内角和可求．
（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE，在△ABE和△DBE中，，∴△ABE≌△DBE（SAS），
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，∴∠ABC＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、角平分线的定义以及三角形内角和，掌握三角形全等的判定和运用三角形内角和求角度是解题的关键．
51．（2022·福建省厦门集美中学八年级期末）如图：，，和相交于点，求证：．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
由全等三角形的判定证明，即可得出．
【详解】
证明：∵，，（对顶角相等），
∴，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
52．（2022·四川凉山·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B，A，E在同一直线上，连接BD交AC于点M，连接CE交AD于点N，连接MN，求证：
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)BD＝CE；
(2)BM＝CN；
(3)MN∥BE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形定义解得AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝AC，AD＝AE， ∠BAC＝∠DAE，继而整理得BAD＝∠CAE，由SAS证明△ABD≌△ACE，最后由全等三角形对应边相等性质解答；
（2）由△ABD≌△ACE得到∠MBA＝∠ ( http: / / www.21cnjy.com )CAN，再由角的和差证明∠CAN＝∠BAM ，接着由ASA证明△ABM≌△CAN，最后根据全等三角形对应角相等解答；
（3）由（2）证明△AM是等边三角形，从而得到∠ANM＝60°＝∠DAE，最后根据内错角相等两直线平行解答．
（1）证明：∵△ABC和A ( http: / / www.21cnjy.com )DE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE， ∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD＝CE
（2）由（1）可知△ABD≌△AC ( http: / / www.21cnjy.com )E ∴∠MBA＝∠ACN又∵∠BAM＝∠DAE＝60°∴∠CAN＝180°－60°－60°＝∠BAM 又∵AB=AC∴△ABM≌△ACN（ASA） ∴BM＝CN
（3）由（2）知△ABM≌△ACN，∠CAN＝60°， ∴AM＝AN∴△AM是等边三角形∴∠ANM＝60°＝∠DAE∴MN∥BE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
53．（2022·安徽芜湖·八年级期末）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．
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(1)求证：．
(2)若，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用正方形的性质得出边角相等的关系，证明三角形全等就可证；
（2）利用全等三角形的性质和三角形外角的性质进行计算和变形就可求出β与α之间的数量关系．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，，在和中，，∴（SAS），∴；
（2）证明：由（1）知，，又∵，∴，∴，∴∴．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定，掌握以上知识点结合图形灵活运用是做出本题的关键．
54．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程．
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【答案】①，证明见解析
【解析】
【分析】
可以针对平行四边形的各种判定方法，结合三角形全等解决问题．
【详解】
①或②．
添加①BE＝DF，理由如下：
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
添加②AE∥CF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE∥CF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
55．（2022·山东济南·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E、F在对角线BD上，且BE=DF，连接AE、CF．求证：AE=CF．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据平行四边形性质得出AB=CD，AB∥CD，推出∠ABE=∠CDF，根据SAS推出△ABE≌△CDF即可．21*cnjy*com
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△ABE≌△CDF．
56．（2022·湖南湘西·八年级期末）如图，线段AD，CE相交于点B，BC＝BD，AB＝EB．求证：∠A＝∠E．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
直接利用全等三角形的判定及性质证明即可．
【详解】
证明：在△ABC和△EBC 中
∠A＝∠E．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．
57．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：∠B＝∠D．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
首先根据角平分线的定义，可证得∠BAC＝∠DAC，再根据SAS即可证得△ABC≌△ADC，据此即可证得结论
【详解】
首先根据角平分线的定义得到∠BAC＝∠DAC，再利用SAS定理便可证明其全等，进而可得结论．
证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠B＝∠D．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义及全等三角形的判定和性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
58．（2022·山东济南·八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，连接AE．
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(1)求证：△ABC≌△AEC；
(2)若AB=AC，试判断四边形ACDE的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ACDE是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质得出BC=EC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠ACB=∠DCE=30°，∠BCE=60°，那么∠ACE=30°=∠ACB．再根据SAS即可证明△ABC≌△AEC；
（2）由（1）得△ABC≌△AEC，那么AE ( http: / / www.21cnjy.com )=AB，而AB=AC，等量代换得出AE=AB=AC．根据旋转的性质得出△DEC≌△ABC，那么CD=AC=AB，DE=AB，从而得出AC=CD=DE=AE，进而得到四边形ACDE是菱形．
（1）证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴BC=EC，∠ACB=∠DCE=30°，∠BCE=60°，∴∠ACE=60°-30°=30°，∴∠ACE=∠ACB．在△ABC与△AEC中，，∴△ABC≌△AEC（SAS）；
（2）解：四边形ACDE是 ( http: / / www.21cnjy.com )菱形．理由如下：由（1）得△ABC≌△AEC，∴AE=AB，∵AB=AC，∴AE=AB=AC．∵△DEC是由△ABC旋转而得，∴△DEC≌△ABC，∴CD=AC=AB，DE=AB，∴AC=CD=DE=AE，∴四边形ACDE是菱形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质．
59．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，在中，AD是的平分线，、，垂足分别为E、F，且．求证：
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到DE=DF，利用SAS证明Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得到结论；
（2）利用Rt△BDE≌Rt△CDF得，根据等角对等边可得．
（1）证明：∵AD平分∠BAC， DE⊥AB， DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF．∴．
（2）证明：由（1）知Rt△BDE≌Rt△CDF，∴，∴．
【点睛】
此题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形中“等角对等边”等，证明Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键．
60．（2022·河南周口·八年级期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
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(1)求证：△ABE≌△DBE；
(2)若∠A=100°，∠C=50°，求证：ED=DC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）由角平分线定义得出∠ABE=∠DBE，由SAS证明△ABE≌△DBE即可；
（2）根据全等三角形的性质、三角形外角的性质解答即可．
（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE，在△ABE和△DBE中，，∴△ABE≌△DBE（SAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△ ( http: / / www.21cnjy.com )DBE，∴∠BDE=∠A=100°，∵∠C=50°，∴∠DEC=∠BDE-∠C=100°-50°=50°，∴∠DEC=∠C，∴ED=DC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定定理，熟练掌握角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．
61．（2022·四川凉山·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，），C（，0），B（－5，0），且，点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
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(1)求A、C两点的坐标；
(2)连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；
(3)当点P在线段BO上运动时，在轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？若存在，请求出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（0，4），C（3，0）
(2)当时，或当时，；
(3)存在，或1时，Q的坐标是（0，3）或（0，4）或（0，－3）或（0，－4）
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质分别求出a、b的值，即可求得点A、C两点的坐标；
（2）先求出OB的长，再分类讨论求解即可；
（3）分△QOP≌△AOC和△POQ≌△AOC两种情况求解即可．
（1）解：∵，∴，，∴A的坐标是（0，4），C的坐标是（3，0）；
（2）∵B（－5，0），∴OB＝5①当时，P在线段OB上，如图1，∵OP＝，OA＝4，∴；②当时，P和O重合，此时△APO不存在；③当时，P在射线OC上，如备用图2，∵OP＝，OA＝4，∴； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）解：当P在线段BO上运动时，在轴上存在点，使△POQ与△AOC全等，∵P在线段BO上运动，∴t≤5÷2＝2.5，①当BP＝1，即OP＝4，OQ＝3时，△POQ≌△AOC，此时，Q的坐标是（0，3）或（0，－3）；②当BP＝2，即OP＝3，OQ＝4时，△QOP≌△AOC，此时，Q的坐标是（0，4）或（0，－4）；综上所述，或1，Q的坐标是（0，3）或（0，4）或（0，－3）或（0，－4）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标与图形性质、非负数的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
62．（2022·河北石家庄·八年级期末）1.如图，在等边三角形中，点E是边上一定点，点D是延长线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．求证：．
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小明同学看到题目后，想出了一种方法，并添加了如下的辅助线：过点D作的平行线，交的延长线于点G，然后通过证明三角形全等，解决了问题．请同学们利用小明的思路解答该问题．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
过点D作AB的平行线交AC的延长线于点G，根据等边三角形的判定定理证明为等边三角形，根据等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理求出，最后根据全等三角形的性质定理得出EG=FC即可．
【详解】
过点 D 作的平行线交 的延长线于点 G．
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∵是等边三角形，
，
∵，
，，
又，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
，
∴.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定定理，等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质和判定定理、平行线的性质等知识点，会添加辅助线构造全等三角形解决问题是解答此题的关键．
63．（2022·江西吉安·八年级期末）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
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原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．
(1)思路梳理
把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，由，得，即点F、D、G共线，易证______，故、、之间的数量关系为______．（要求写出必要的推理过程）
(2)类比引申
如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系为______，并给出证明．
(3)联想拓展
如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，，求的长．
【答案】(1)，
(2)，证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，求出，证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；【出处：21教育名师】
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，求出，证明，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；
（3）把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，连接，求出，由勾股定理可得，然后证明（SAS），根据全等三角形的性质可得答案．
（1）解：如图1，把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，由旋转得：，，，，∴，即点F、D、G共线，∵四边形为正方形，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；故答案为：，；
（2）；证明：如图2，把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，则点G在上，由旋转得：，，，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）如图3，把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，连接，由旋转得：，，，∵，，∴，∴，∴，∵，，由勾股定理得：， ∵，，∴，∵，∴，，∴，又∵，，∴（SAS），∴． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度．
64．（2022·山东济南·八年级期中）在中，，，D为平面内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，
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(1)若点D为线段BC上一点（不与点B、C重合），如图1，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______；
(2)若点D为内一点，BD的延长线与CE交于点F，
①如图2，BD与CE的数量关系和位置关系分别是什么？并请证明你的结论；
②如图3，连接AF，DC，已知，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，；
(2)①，；证明见解析；②，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）证明，可得到，，，，线段BD在线段BC上，即．
（2）①证明，可得到，，再利用三角形内角和求得，得证；
②作，，易知，从而FA平分，即可证出，从而证出平行．
（1）∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴，，∴∠BAC=∠DAE=90°，∵，，∴，在和中，∴，∴，，又∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，即，∵线段BD在线段BC上，∴．
（2）①∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴，，∴∠BAC=∠DAE=90°，∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，即，∴∴，∴即．②，理由如下： ( http: / / www.21cnjy.com / )如图，过A作于G，于H，由①知，∴，，∴，又∵，，∴AF平分，又∵，∴，∵，∴，∴，∴．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定与 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、平行线的判定、垂直的判定、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点的联系与运用是解题的关键．
65．（2022·山东济南·八年级期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G．
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(1)AE，BF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由；
(2)求四边形FGEC的面积．
【答案】(1)，见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正方形的性质及E，F分别是BC，CD的中点得出，，，再由全等三角形的判定与性质得出结论．（2）由（1）已知，利用全等三角形的性质得，等量代换得，则，由勾股定理、三角形面积公式建立等式得出，，最后由直角三角形的面积公式得出，，对进行计算即可得出四边形FGEC的面积．
（1）四边形为正方形，，．E，F分别是BC，CD的中点，． ．（边角边）．
（2）由（1）知，．,．．正方形的边长为4，，，．，，．，， ．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理的理解与综合应用能力．涉及正方形四个边相等，四个角都为；全等三角形对应边相等，对应角相等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成边角边或SAS）；在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方等知识点．灵活运用全等三角形的性质与判定是解本题的关键．
66．（2022·山东济南·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E、F分别是边BC、CD上的两个动点，E点从点B向点C运动，F点从点D向点C运动，设点E、F运动的路径长分别是a和b．
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(1)猜想：如图①，当a=b时，写出线段AE与线段AF的数量关系；
(2)证明：如图②，连接AC，若a+b=6，请证明△ABE≌△ACF；
(3)应用：在（2）的条件下，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，请直接写出这个定值；如果变化，请直接写出该四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)不变，
【解析】
【分析】
（1）证明△ABE≌△ACF，可得结论；
（2）根据SAS证明三角形全等即可；
（3）证明四边形的面积=△ABC的面积，即可解决问题．
（1）解：结论：AE=AF．理由：如图①中， ( http: / / www.21cnjy.com / )∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF；www-2-1-cnjy-com
（2）证明：如图②中， ( http: / / www.21cnjy.com / )∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=DA=6，∠B=∠D=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠BAC=∠ACD=60°=∠B，AC=AB，∵a+b=6，即BE+DF=6=BC，∴BE=CF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（3）解：不变，四边形AECF的面积为，理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF，故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC=×62=9．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了菱形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、垂线段最短的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
67．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，直线y＝﹣x+5与y轴、x轴分别交于点A，B，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，E是x轴上一动点，设点E坐标为（m，0）（2＜m＜）．连接AE交BD于点F，作直线CF与y轴相交于点G．
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(1)填空：点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ，点D的坐标是 ；
(2)求证：∠EAB＝∠GCB；
(3)是否存在这样的m值，使GC⊥y轴？若存在，请求出此时的m值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)（0，5），（2，0），（7，2），（5，7）
(2)见解析
(3)存在，
【解析】
【分析】
（1）过C作CK⊥x轴于K，过D作DT⊥y轴于T，在y＝﹣x+5中，令x＝0得y＝5，令y＝0得x＝2，得A（0，5），B（2，0），OA＝5，OB＝2，证明△BCK≌△ABO≌△DAT（AAS），可得BK＝OA＝DT＝5，CK＝OB＝AT＝2，即可得C（7，2），D（5，7）；
（2）由四边形ABCD是正方形，可证△BCF≌△BAF（SAS），即得∠BCF＝∠BAF，即∠GCB＝∠EAB；2-1-c-n-j-y
（3）由B（2，0），D（5，7）可得直线BD解析式为y＝x﹣，令y＝2得x＝，F（，2），用待定系数法可得直线AF解析式为y＝﹣x+5，把E（m，0）代入即得m＝．
（1）解：过C作CK⊥x轴于K，过D作DT⊥y轴于T，如图： ( http: / / www.21cnjy.com / )在y＝﹣x+5中，令x＝0得y＝5，令y＝0得x＝2，∴A（0，5），B（2，0），OA＝5，OB＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD，∴∠CBK＝90°﹣∠ABO＝∠BAO＝90°﹣∠TAD＝∠TDA，∵∠CKB＝∠AOB＝∠ATD＝90°，∴△BCK≌△ABO≌△DAT（AAS），∴BK＝OA＝DT＝5，CK＝OB＝AT＝2，∴OK＝OB+BK＝7，OT＝OA+AT＝7，∴C（7，2），D（5，7）；故答案为：（0，5），（2，0），（7，2），（5，7）；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC ( http: / / www.21cnjy.com )＝AB，∠ABF＝∠CBF＝45°，∵BF＝BF，∴△BCF≌△BAF（SAS），∴∠BCF＝∠BAF，即∠GCB＝∠EAB；
（3）解：存在这样的m值，使GC⊥y轴，理由如下：由B（2，0），D（5，7）可得直线BD解析式为y＝x﹣，若GC⊥y轴，则yF＝yC＝2，在y＝x﹣，中，令y＝2得x＝，∴F（，2），设直线AF解析式为y＝kx+b，将A（0，5），F（，2）代入得：，解得，∴直线AF解析式为y＝﹣x+5，把E（m，0）代入y＝﹣x+5得：﹣m+5＝0，解得m＝，答：存在这样的m值，使GC⊥y轴，此时m的值为．
【点睛】
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，全等三角形判定与性质，正方形性质及应用等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
68．（2022·黑龙江牡丹江·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为直线BC上一点，点F在点A的右侧，以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)当点D在线段BC上时，如图①，求证：CF+CD=CA；
(2)当点D在CB的延长线上时，如图②；当点D在BC的延长线上时，如图③，请分别写出线段CF，CD，CA之间的数量关系，不需要证明；
(3)在（1），（2）的条件下，若AC=2，AD=3，则CF=______．
【答案】(1)见解析
(2)如图②：；如图③：
(3)或
【解析】
【分析】
（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，结合图形即可得到结论；
（3）在 (1)条件下，因为AD>A ( http: / / www.21cnjy.com )C，所以不存在，在（2）条件下，过点A作AG⊥BC于G，先由等腰直角三角形性质求出AG长，再在在Rt△AGD中，由勾股定理求出DG长，从而求得BG长，然后由CF=BD=DG-BG或CF=BD=DG+BG求解即可．
（1）证明：∵AB=AC，，∴，∴，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，，∴，∴， ∴ΔABD≌ΔACF(SAS)．∴CF=BD的，.∵BC=BD+CD，∴．
（2）解：如图2，当点D在CB的延长线上时，，理由：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∴CD-BC=CF，∴CD-CF=BC；由（1）知：，∴如图3，当点D在线段BC的延长线上时，；理由：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°＋∠DAC，∠CAF=90°＋∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∴BC+CD=CF，∴CF-CD=BC；由（1）知：，∴．
（3）解：在（1）的条件下，即点D在BC边上，所以AC>AD，而已知AD=3，AC=2，所以此条件下不存在；在（2）的条件下，当点D在CB的延长线上时，如图②，过点A作AG⊥BC于G， ( http: / / www.21cnjy.com / )∵∠BAC=90°，AB=AC=2，∴BC=AC=2，∵AG⊥BC，∴BG=BC=，∴AG=BG=，在Rt△AGD中，DG=，∴BD=DG-BG=由（2）得：CF=BD=；当点D在BC的延长线上时，如图③，过点A作AG⊥BC于G， ( http: / / www.21cnjy.com / )∵∠BAC=90°，AB=AC=2，∴BC=AC=2，∵AG⊥BC，∴BG=BC=，∴AG=BG=，在Rt△AGD中，DG=，∴BD=DG+BG=由（2）得：CF=BD=；故答案为：CF=或．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定与性质，等腰直角三形的性质，勾股定理，本题属四边形综合题目，证明△BAD≌△CAF（SAS）是解题的关键．
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