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专题13 三角形全等的判定（ASA或AAS）
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作的垂线分别交于E，F两点，若，则的长度为（ ）21cnjy.com
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A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用矩形的性质证明，进而得到，根据题干信息求出OE长度便可求出EF的长．
【详解】
解：
四边形ABCD是矩形
，
,
故选：B.
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟知相关性质是解决本题的关键．
2．（2022·宁夏石嘴山·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
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A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【答案】A
【解析】
【分析】
根据ASA：有两角及夹边对应相等的两个三角形全等即可判断．
【详解】
解：由图可知三角形的两个角和夹边可以确定全等三角形，
∴可由ASA判断全等；
故选： A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
3．（2022·浙江台州·八年级期末）小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法．如图，小明直立在河岸边的处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的处（，，三点在同一水平直线上），小明通过测量，之间的距离，即得到，之间的距离．小明这种方法的原理是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
小明直立在河岸边的处，说明
保持和刚才完全一样的姿势说明
∵CO为 与共边．
∴与全等的条件为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形全等的知识点，掌握该知识点是解答本题的关键．
4．（2022·河北保定 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAC，那么AC与AE相等．小飞直接证明△ABC≌△ADE，他的证明依据是（ ）
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A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知∠BAE=∠DAC，证出∠BAC=∠DAE即可解答．
【详解】
∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵AB=AD，∠B=∠D，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AC=AE，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键．
5．（2022·广西·环 ( http: / / www.21cnjy.com )江毛南族自治县教研室八年级期末）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC≌△EDC，从而DE=AB．判定△ABC≌△EDC的依据是（ ）
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A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】
解：在△ABC和△EDC中：
，
∴△ABC≌△EDC（ASA）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，点A，C，D，E在RtMON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OM＝12，OE＝6，BH＝3，DF＝4，FN＝8，图中阴影部分的面积为（ ）
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A．30 B．50 C．66 D．80
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等角的余角相等和全等三角形的判定证明△A ( http: / / www.21cnjy.com )OE≌△BHA，△BHC≌△CFD，进而证得OA=BH=3，AH=OE=6，HC=DF=4，CF=BH=3，利用梯形和三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：∵∠MON＝90°，AE⊥AB，BH⊥ON，
∴∠OAE+∠BAH=90°，∠OAE+∠OEA=90°，∠BHA=∠BHC=90°，
∴∠OEA=∠BAH，∠AOE=∠BHA，
在△AOE和△BHA中，
，
∴△AOE≌△BHA（AAS），
∴OA=BH=3，AH=OE=6，
同理，∵DF⊥ON，BC⊥CD，
∴∠BCH+∠DCF=90°，∠CDF+∠DCF=90°，∠DFC=90°，
∴∠BCH=∠CDF，∠BHC=∠DFC，
在△BHC和△CFD中，
，
∴△BHC≌△CFD（AAS），
∴CF=BH=3，HC=DF=4，
∴梯形EOFD的面积为（DF+OE）·OF=×（4+6）×16=80，
S△AOE= S△BHA =×3×6=9，
S△BHC= S△CFD =×3×4=6，
∴阴影部分的面积为80－2×9－2×6=50，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、垂线定义、梯形的面积公式、三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
7．（2022·四川广元·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（ ）
A．① B．② C．③ D．都可以
【答案】C
【解析】
【分析】
带去的玻璃应该有原玻璃上完整的几个角或几个边，这样可以利用这些角或边去配出与原三角形玻璃全等的新玻璃．
【详解】
①中只有原三角玻璃的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )完整的角，无法判定三角形全等，②中没有原三角形玻璃完整的角或边也无法判定三角形全等，③中有原三角形玻璃完整的两个角和一条边，可以利用角边角判定全等，故可以带③去，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等判定的实际应用，熟悉三角形全等的判定定理是解决本题的关键．
8．（2022·甘肃·天水市秦州区藉口中学八年级期末）如图，，，那么的依据是（ ）
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A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件结合BC＝CB可判定三角形全等．
【详解】
解：∵，，且BC＝CB，
∴在△ABC和△DCB中，满足AAS全等，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
9．（2022·江苏盐城·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
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A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知判断方法．
【详解】
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
【点睛】
此题考查了三角形全等的判定方法，解题关键是明确判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
10．（2022·全国·八年级课时练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
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A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同角的余角相等求出∠A＝∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等、对应角相等，即可解答．
【详解】
∵∠B＝∠E＝90°，
∴∠A+∠1＝90°，∠D+∠2＝90°，
∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，故D错误；
∴∠A＝∠2，故B正确；
∴∠A+∠D＝90°，故A正确；
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
故C正确；
故选：D．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件∠A=∠2．
11．（2022·江苏·八年级）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据ASA证明全等解答即可．
【详解】
解：由图可得，三角形已知一个锐角和一个直角，以及两角的夹边，
所以根据ASA证明三角形全等，
故选：C．
【点睛】
此题考查直角三角形的全等，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
12．（2022·山西阳泉·八年级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，小红同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
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A．带①去 B．带①②去 C．带③去 D．带①和②③去
【答案】C
【解析】
【分析】
已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】
解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；【来源：21cnj*y.co*m】
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
13．（2022·广西百色·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC△≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是：（ ）
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A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS
【答案】A
【解析】
【分析】
由“ASA”可证△EDC≌△ABC．
【详解】
解：∵∠ACB=∠DCE，CD=BC，∠ABC=∠EDC，
∴△EDC≌△ABC（ASA），
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
14．（2022·河北保定·八年级期末）如图，、分别为、边上的点，，．若，，则的长度为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意利用“AAS”易证，从而得出结论AD =AE，AB=AC=7．即可求出AD的长．
【详解】
在和中， ，
∴，
∴AD =AE，AB=AC=7．
∴AD=AE=AC-CE=7-4=3．
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质．根据题意证明是解答本题的关键．
15．（2022·河北保定·八年级期末）如图，在等边三角形DEF中，，点A在DF上，点B在DE上，且DA＝2，，，则CE的长为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质得三个角都是60°，三边相等，证明△ADB≌△CFA（AAS），再根据全等三角形的性质得出DA＝CF，即可得出答案．
【详解】
解：∵∠CAB＝60°，
∴∠FAC+∠DAB＝120°，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠D＝∠F＝60°，DF＝DE＝EF，
∴∠FAC+∠FCA＝120°，
∴∠DAB＝∠FCA，
在△ADB和△CFA中，
，
∴△ADB≌△CFA（AAS），
∴DA＝CF＝2，
∵EF＝6，
∴CE＝EF﹣CF＝6﹣2＝4，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
16．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE=（ ）
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A．1cm B．0.8cm C．4.2cm D．1.5cm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，得，则，再由，得，则，从而证出，进而得出的长．
【详解】
解：∵BE⊥CE，，
，
∴，
，
，
，
又，
，
，，
cm，cm，
cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定定理及性质．
17．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（ ）
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A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
先证△BOE≌△DOF(AAS)，得S△BOE=S△DOF，所以S阴影=2S△BOE，又因为，所以S△BOE=S△AOB，再根据平行四边形性质得S△AOB=，所以S阴影=，把=16代入即可求解．
【详解】
解：∵□ABCD，
∴OB=OD，ABCD，
∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
∴△BOE≌△DOF(AAS)，
∴S△BOE=S△DOF，
∴S阴影=2S△BOE，
∵，
∴S△BOE=S△AOB，
∵□ABCD，
∴S△AOB=，
∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，求得S△BOE=S△AOB，S△AOB=是解题的关键．【出处：21教育名师】
18．（2022·广东深圳·八年级期末）下列命题中，错误的是（ ）
A．经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积
B．过n边形的一个顶点，可以作（n﹣2）条对角线
C．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形中心对称性，n边形对角线，全等三角形判定，平行四边形判定逐项判断．
【详解】
解：∵平行四边形对角线交点是平行四边形的对称中心，
∴经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积，故A正确，不符合题意；
过n边形的一个顶点，可以作（n 3）条对角线，故B错误，符合题意；
斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形，根据AAS可得全等，故C正确，不符合题意；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的定理和概念．
19．（2022·重庆沙坪坝·八年级期末）点为□对角线与的交点，过点交于点，交于点，下列结论一定正确的是（
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先证明，得出，，进而得出结论．
【详解】
解：∵□对角线，的交于点，
∴，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴选项D一定成立，选项A、B、C不一定成立．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
20．（2022·湖北荆 ( http: / / www.21cnjy.com )州·八年级期末）如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点（可移动），连接OP，以线段OP为一边作等边△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系．AO=1，则OC=2．证明△AOP≌△COD求解即可．
【详解】
解：∵△ABC和△ODP都是等边三角形，
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∴∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∴∠CDO=∠AOP，
∴△ODC≌△POA（AAS），
∴AP=OC，
∴AP=OC=AC﹣AO=2．
故选：B．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是利用全等把所求的线段转移到已知的线段上．
21．（2022·福建泉州·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）将两个斜边长相等的直角三角形纸片如图放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°．现把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，点D，E的对应点分别为E1，D1，连接D1B，则∠E1D1B的度数是（ ）
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A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求 ( http: / / www.21cnjy.com )出∠DCE＝60°，旋转的性质可得∠BCE1＝15°，然后求出∠BCD1＝45°，从而得到∠BCD1＝∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C＝∠ABC＝45°，再根据∠E1D1B＝∠BD1C﹣∠CD1E1计算即可得解．连接AD1，根据题意证明△AD1B为等腰直角三角形，求出∠OD1B＝45°，即可解决问题．
【详解】
解：连接BD1，
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∵∠CED＝90°，∠D＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，
∴∠BCE1＝15°，
∴∠BCD1＝60°﹣15°＝45°，
∴∠BCD1＝∠A，
在△ABC和△D1CB中，
，
∴△ABC≌△D1CB（SAS），
∴∠BD1C＝∠ABC＝45°，
∴∠E1D1B＝∠BD1C﹣∠CD1E1＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC和△D1CB全等是解题的关键．
22．（2022·天津河西·八年级期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是（ ）
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A． B．
C．四边形EFPQ是正方形 D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可证得△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，再根据全等三角形的性质和勾股定理，逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠B=90°，
又CQ=BP ，
∴AB-BP=BC-CQ，即AP=BQ
在△AFP和△BPQ中，
∵AF=BP，∠A=∠B，AP=BQ，
∴△AFP≌△BPQ（SAS），
∴∠AFP=∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；
同理：△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，
∴PF=PQ=QE=EF，
∴四边形EFPQ为菱形，
∴EF∥QP，故B选项正确，不符合题意；
∵△AFP≌△BPQ
∴∠BPQ=∠AFP，
又∵∠A=90°，
∴∠AFP+∠APF=90°，
∴∠AFP+∠APF=∠BPQ+∠APF=90°，
∴∠FPQ=180°-（∠BPQ+∠APF）=90°，
∴四边形EFPQ是正方形，故C选项正确，不符合题意；
设正方形ABCD的边长为a，BP=AF=x，则，
∴AB=a，
∴，
∴正方形EFPQ的面积为，
而x的值无法确定，
∴四边形PQEF的面积不一定是四边形ABCD面积的一半，故D选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
23．（2022·山东济南·八年级期末）如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD，，若，，E、F分别是AB和DC的中点，则（ ）
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A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
连接并延长，交延长线于，由，得，，又是中点，即可得，有，，即知，是的中位线，从而可得答案．
【详解】
解：连接并延长，交延长线于，如图：
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，
，，
是中点，
，
，
，，
，
是中点，
是的中位线，
，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形中位线，梯形中位线，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
24．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，已知正方形的边长为4，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：
①；②四边形的周长为8；
③；④；⑤的最小值为．
其中正确结论的序号为（ ）
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A．①②③⑤ B．②③④ C．②③④⑤ D．②③⑤
【答案】C
【解析】
【分析】
由图易知PF=EC，而△PDF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形三边关系得到①错误；先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8，得②正确；延长FP交AB于G，延长AP交EF于H．先证明△AGP≌△FPE，得∠GAP=∠PFE，由∠PFH与∠HPF互余，可得AP⊥EF，得③正确；先证明△AGP≌△FPE，可得AP=EF得④正确；由④得AP最小，则EF最小，所以当AP⊥BD时，EF最小，此时EF=AP=，所以⑤正确．
【详解】
①∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，
∴PF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，
∴PD＝DF
∴PD=．
故①错误；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
又∵PE=CE
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③如图1
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延长FP交AB于G，延长AP交EF于H，
在正方形ABCD中，
∴CD∥AB
又∵PF⊥于CD
∴∠AGP=90°；
由②知四边形PECF是矩形，
∴∠EPF=90°
∴∠AGP=∠EPF；
由①知PF=DF，
又∵AG=DF
∴AG=PF
∴四边形BGPE是正方形，
∴PG=PE
∴△AGP≌△FPE
∴∠BAP=∠PFE
又∵∠APG=∠FPH，∠BAP与∠APG互余
∴∠FPH与∠PFE互余
∴∠PHF=90°即AP⊥EF
故③正确；
④由③知，△AGP≌△FPE
∴AP=EF
故④正确；
⑤当时，AP最小；
∴EF的最小值为．故⑤正确．
综上：②③④⑤正确．
故答案为：C．
【点睛】
此题考查正方形的性质，垂直的证明方法，垂线段最短，勾股定理的运用，熟练掌握正方形的性质和运用“垂线段最短”是解题的关键．2·1·c·n·j·y
25．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形ABCD向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（ ）21·世纪*教育网
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A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
作CE⊥y轴于点E，作DF⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G，由函数解析式确定B的坐标是（0，3），A的坐标是（1，0），根据全等三角形的判定和性质得出△OAB≌△FDA≌△BEC，AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，结合图形求解即可．
【详解】
解：作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G
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在y＝﹣3x+3中，
令x＝0，解得：y＝3，
即B的坐标是（0，3）．
令y＝0，解得：x＝1，
即A的坐标是（1，0）．
则OB＝3，OA＝1．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAF＝90°，
又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，
∴∠DAF＝∠OBA，
在△OAB和△FDA中，
，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，
∴AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，
故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4）．
代入y＝得：k＝4，
则函数的解析式是：y＝．
∴OE＝4，
则C的纵坐标是4，
把x＝3代入y＝得：y＝．即G的坐标是（3，），
∴CG＝4﹣＝，
∴a＝．
故选：C．
【点睛】
题目主要考查反比例函数与一次函数综合问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
26．（2022·广东深圳· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（ ）
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A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
过D作DF⊥BC于F，过A作A ( http: / / www.21cnjy.com )G⊥BC于G，通过判定△CAG≌△DCF（AAS），即可得到CG=DF，再根据等腰直角三角形的性质，用勾股定理进行计算即可得到BD的长．
【详解】
解：如图所示，过D作DF⊥BC于F，过A作AG⊥BC于G，则∠AGC=∠CFD=90°，
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又∵∠B=45°，
∴∠BDF=∠BAG=45°，DF=BF，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠CAD-∠BAG=∠CDA-∠B，
即∠CAG=∠DCF，
又∵CD=CA，
∴△CAG≌△DCF（AAS），
∴CG=DF，
∵CA=EA，AG⊥CE，
∴CG=CE=×4=2，
∴DF=2=BF，
Rt△BDF中，BD=，故A正确．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
27．（2022·河南周口·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（ ）
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A．a+c B．b+c
C．a－b+c D．a+b－c
【答案】D
【解析】
【分析】
先证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b-c）=a+b-c．
【详解】
解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C，
∵AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF=CE=a，BF=DE=b，
∵EF=c，
∴AD=AF+DF=a+（b-c）=a+b-c，
故选D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
28．（2022·山东淄博·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，已知 ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（ ）
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A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4）
【答案】B
【解析】
【分析】
过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于 ( http: / / www.21cnjy.com )M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，求出△DCN≌△BAE，根据全等三角形的性质得出BE=DN，AE=CN，根据A、B、C的坐标求出OM和DM即可．
【详解】
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )
过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，
则四边形EFNM是矩形，
所以EF＝MN，EM＝FN，FN∥EM，
∴∠EAB＝∠AQC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠AQC＝∠DCN，
∴∠DCN＝∠EAB，
在△DCN和△BAE中
，
∴△DCN≌△BAE（AAS），
∴BE＝DN，AE＝CN，
∵A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），
∴CN＝AE＝2﹣1＝1，DN＝BE＝3，
∴DM＝3﹣1＝2，OM＝2+1＝3，
∴D的坐标为（3，2），
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，点的坐标与图形性质等知识点，能正确作出辅助线是解题的关键．
29．（2022·广东顺德德胜学校八年级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝8，则折痕GH的长度为（ ）
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A．4 B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接EC，作GJ⊥CD于J， ( http: / / www.21cnjy.com )EF交GH于点Q，证明四边形BCJG是矩形，求出∠CEF＝∠HGJ，然后证明△EFC≌△GJH（ASA），可得GH＝EC，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接EC，作GJ⊥CD于J，EF交GH于点Q，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴四边形BCJG是矩形，
∴GJ∥BC，GJ＝BC，
由题意得：EF⊥BC，BC＝CD＝EF，
∴EF⊥GJ，GJ＝EF，
∵E，C关于GH对称，
∴EC⊥GH，
∴∠EQH＋∠CEF＝∠GQF＋∠HGJ＝90°，
∵∠EQH＝∠GQF，
∴∠CEF＝∠HGJ，
在△EFC和△GJH中，，
∴△EFC≌△GJH（ASA），
∴GH＝EC，
∵EC＝，
∴GH＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
30．（2022·湖北湖北·八年级期末）如图，点是正方形中边上一点，于点，BF//DE，且交于点，若，，则的长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意和图形，可以证明△ABF≌△DAE ( http: / / www.21cnjy.com )，再根据全等三角形的性质可以得到AF=DE，AE=BF，再利用勾股定理及直角三角形的性质可以求得AE、ED的长，从而可以求得EF的长．21世纪教育网版权所有
【详解】
，，
，，
，
，
四边形是正方形，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
31．（2022·贵州铜仁 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF＋EF的最小值为（ ）
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A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE=AD=5，即BF+EF=5．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：过C作CE⊥AB于E， ( http: / / www.21cnjy.com )交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF，
∴当C、E、F共线且CE⊥AB时CF+EF有最小值CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=5，
即BF+EF=5．
故选B．
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【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．
32．（2022·山东烟 ( http: / / www.21cnjy.com )台·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（ ）
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A．绕点C逆时针旋转90度 B．沿AB的垂直平分线翻折
C．绕AB的中点M顺时针旋转90度 D．沿DE方向平移
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理AAS得到，则BD=CE， CD=AE ．结合平移与旋转的性质进行判断．
【详解】
解：∵△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，
∴AB=AC，∠ADC=∠CEA=∠BCA=90°，
∵∠DCB+∠BCA+∠ECA=180°，
∴∠DBC+∠DCB=∠ECA+∠DCB=90°，
∴∠DBC=∠ECA，
∴，
∴BD=CE， CD=AE，
A、绕点C旋转后，CD与AE不重合，即△BDC与△ACE不重合，故选项A不符合题意；
B、△BDC与△ACE不关于A B的中垂线对称，则沿A B的中垂线翻折后BD与AE不重合，故选项B不符合题意；
C、因为△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合，故选项C符合题意；
D、先沿DE方向平移△BDC，使点E与点D重合后，BD与AE不重合，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了图形的旋转与平移的性质及轴对称．掌握无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的是解题的关键．21*cnjy*com
33．（2022·广东汕 ( http: / / www.21cnjy.com )头·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点H，G分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝8，则GH的长度为（ ）
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A．2 B． C． D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，证明△PDH≌△CFH，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，CH＝PH，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】
解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝8，
∴AE＝AB＝3，CF＝BC＝4，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH与△CFH中，，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝4，CH＝PH，
∴AP＝AD PD＝4，
∴PE＝，
∵点G是EC的中点，
∴GH＝EP＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
34．（2022·湖北十堰·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，△ABC是等边三角形，D是线段AC上一点（不与点A，C重合），连接BD，点E，F分别在线段BA，BC的延长线上，且DE=DF=BD，则△AED的周长等于( )
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A． B．BF C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等边三角形的性质和三角形外角的性质证明∠F=∠ADE，再利用AAS证明△ADE≌△CFD，得AE=CD，从而解决问题．
【详解】
解：∵DE=DF=BD，
∴∠DBE=∠BED，∠DBF=∠DFB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠E+∠F=60°，∠EAD=∠DCF，
∵∠E+∠ADE=60°，
∴∠F=∠ADE，
在△ADE和△CFD中，
∵
∴△ADE≌△CFD（AAS），
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+DE，
∵DE=BD，
∴△AED的周长为AC+BD，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△ADE≌△CFD是解题的关键．
35．（2022·浙江绍兴·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（ ）
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A．34 B．89 C．74 D．109
【答案】C
【解析】
【分析】
过点B作BM⊥l1于点M， ( http: / / www.21cnjy.com )过点D作DN⊥l1于点N，根据正方形的性质，易证△MAB≌△NDA（AAS），可得AN＝MB，再根据题意，即可求出AN和ND，根据勾股定理，可得AD的长，进一步即可求出正方形ABCD的面积．
【详解】
解：过点B作BM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l1于点N，如图所示：
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则有∠BMA＝∠AND＝90°，
∴∠MBA＋∠MAB＝90°，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠MAB＋∠DAN＝90°，
∴∠DAN＝∠MBA，
∴△MAB≌△NDA（AAS），
∴AN＝MB，
∵h1＝5，h2＝2，
∴AN＝MB＝5，ND＝5＋2＝7，
根据勾股定理，得 ，
∴正方形ABCD的面积．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，涉及勾股定理，全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
36．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）如图，菱形中，与交于点O，，E为延长线上一点，使得，连接，分别交、于点F、G，连接，，则下列结论：①；②；③四边形与四边形的面积相等；④由点、、、构成的四边形是菱形．其中正确的结论个数是（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据菱形的性质及，并结合直角三角形的性质可得，从而得到，最后利用平行线的性质可得，故结论①正确；
由菱形的性质可得，再证明，得到，最后利用中位线定理可得，故结论②正确；
根据可得，再根据可得，所以四边形与四边形面积相等，故结论③正确；
先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，得到，最后利用菱形的判定可证明四边形是菱形，故结论④正确．
【详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故结论①正确；
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
故结论②正确；
∵，，
∴，，
∴四边形与四边形面积相等，
故结论③正确；
∵，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
故结论④正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，平行线的性质等知识．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
37．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）□中，的角平分线交线段于点，，点是中点，连接，过点作，垂足为，设，若□的面积为8，的长为整数，则整数的值为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．1或3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意和平行四边形的性质，可以得到和的关系，然后根据□的面积为8，的长为整数，从而可以得到整数的值．
【详解】
解：如图所示，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵点是中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵□的面积为8，的长为整数，
∴，
即：，
∴整数为0或1或3．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，，则此时平行四边形的面积不可能是8，故舍去；
∴．
故选：C．
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【点睛】
本题考查平行四边形的性质和面积 ( http: / / www.21cnjy.com )，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，不定方程等知识．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
38．（2022·江苏省锡山高级中学实 ( http: / / www.21cnjy.com )验学校八年级期中）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（ ）
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A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由勾股定理可求AE的长，由“ASA”可证，可得，通过证明四边形NEGM是平行四边形，可得，由，可得当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为AG，由勾股定理即可求解．
【详解】
解：过点D作DH∥MN，交AB于点H，过点E作EG∥MN，过点M作MG∥NE，两直线交于点G，连接AG，如图，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵AB＝3BE＝3，
∴BE＝1，
∴，
∵DH∥MN，AB∥CD，
∴四边形DHNM是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵EG∥MN， MG∥NE，
∴四边形NEGM是平行四边形，
∴，
∴，
∴当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为AG，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
39．（2022·湖北·武汉市粮道街中学八年级期中）如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作AB的中点M，连接ME，过F点作，首先证得是等边三角形，再证明，从而得到，利用勾股定理求得DF的长度，从而得到DE的长度，再根据在中E是中点，从而计算出BC的长度．
【详解】
如下图所示，作AB的中点M，连接ME，过F点作，垂足为N
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在中，M是中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵M、E为中点，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，E是中点，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考虑直角三角形、等边三角形、全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形、等边三角形、全等三角形的相关知识．
40．（2022·江苏·镇江市外国语学校八年级期中）如图1，在中，，，点为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交、所在直线于点、，有以下4个结论：①；②；③；④如图2，当点、落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的是（ ）
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A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】
【分析】
连结CD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质依次判断可求解．
【详解】
解：如图，连接DC，
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∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，
∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDE＝∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE＝BF，∠BFD＝∠CED，DE＝DF，
∴∠BFD+∠DFC＝180°＝∠CED+∠DFC，
如图，当点E、F落在AC、CB的延长线上时，连接CD，
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同理可证△DEC≌△DFB，
∴DE=DF，∠DEC＝∠DFC，故①正确；②错误，
当分别落在上时，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDF+∠CDF＝∠CDE+∠CDF＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴EF2＝DE2+DF2＝2DE2，
当分别落在的延长线上时，同理可得EF2＝DE2+DF2＝2DE2，故③正确；
如图，连接CD，
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同理可证：△DEC≌△DFB，∠DCE＝∠DBF＝135°，
∴S△DEF＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC，
∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．故④正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )和性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线性质,等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．21*cnjy*com
41．（2022·广东东莞·八年级期中）如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有以下结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是（ ）
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A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案．
【详解】
解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COD＝∠EOF，即∠COE+∠COF＝∠DOF+∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；
④在Rt△ECF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得：
OE2＋OF2＝EF2，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，解题的关键是证明出△COE≌△DOF，属于选择压轴题．
42．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
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A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过点作于点，延长交于点，设，只要证得，利用全等三角形的性质可得，，进而得到，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：过点作于点，延长交于点，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
当时，有最小值为，
∴的最小值为，
故选：C
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【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，作出适当的辅助线是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
43．（2022·辽宁·盘山县教师进修学校 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD=AE，BD=3cm，DE=4cm，则CD=__________cm．
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【答案】7
【解析】
【分析】
先证明△ABD≌△ACE，从而证得BD=CE=3cm，进一步计算即可求解．
【详解】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
同理∠ADE=∠AED，
∴180°-∠ADE=180°-∠AED，即∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴BD=CE=3cm，
∴CD=DE+CE=4+3=7(cm)，
故答案为：7．
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证明△ABD≌△ACE．
44．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，已知，请再添上一个条件_________，使（写出一个即可）．21教育名师原创作品
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【答案】
【解析】
【分析】
由题可知△ABC和△ADC有公共边AC，，可根据AAS来判定三角形全等．
【详解】
添加一个条件：，
证明：在三角形△ABC和△ADC中 ，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，三角形全等判定方法有SSS、ASA、SAS、AAS等，关键是要根据题意选择合适的判定方法．
45．（2022·江苏·八年级专题练习） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】5
【解析】
【分析】
如图，作辅助线；首先证明，得到，；其次证明，求出，即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点作于点；
，
，
；
由题意得：；
在与中，
，
，
，；
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
故答案为5．
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【点睛】
本题主要考查了旋转变换的性质、等腰直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造全等三角形；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
46．（2022·江苏·八年级）小明不慎 ( http: / / www.21cnjy.com )将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块．
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【答案】2
【解析】
【分析】
本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】
解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
47．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为，则b的值为________．
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【答案】
【解析】
【分析】
过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，易得△OCM≌△OAN，根据全等三角形的性质，求出点C坐标，待定系数法求解析式即可．
【详解】
解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N．
则∠OMC=∠ONA,
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∵∠COM+∠MOA＝∠MOA+∠NOA＝90°，
∴∠NOA＝∠COM，
又因为OA＝OC，
∴Rt△OCM≌Rt△OAN（AAS），
∴OM＝ON，CM＝AN，
∵点A的坐标为 ，
∴AN=1，ON=3，
∴OM=3，CM=1，
∴点C的坐标为，
将A、C点坐标代入，
得 ，
解得： ，
故答案为：－5．
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【点睛】
本题考查了一次函数与正方形的综合，构造全等三角形求出点C的坐标是解题的关键．
48．（2022·辽宁抚顺·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为________．
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【答案】5
【解析】
【分析】
由“AAS”可证△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝4，BF＝DE＝3，即可求出AD的长．
【详解】
解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠A+∠D＝90°，∠CED＝∠AFB＝90°，
∴∠C+∠D＝90°，∠CED＝∠AFB＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝4，BF＝DE＝3，
∴AD＝AF﹣EF+DE＝4﹣2+3＝5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，证明△ABF≌△CDE是本题的关键．
49．（2022·广东广州·八年级期末）如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为，，．已知，，则=_____．21·cn·jy·com
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【答案】16
【解析】
【分析】
利用AAS证明△AMB≌△CBN，得BC=AM，再利用勾股定理求出BM的长，从而解决问题．
【详解】
解：如图，
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∵正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，
∴BM=BN，∠MBN=90°，∠MAB=∠NCB=90°，
∴∠MBA+∠CBN=90°，
∵∠MBA+∠AMB=90°，
∴∠AMB=∠CBN，
∴△AMB≌△CBN（AAS），
∴BC=AM，
∵，，
∴AM=1，，
∴由勾股定理得：BM=2，
∴．
故答案为：16
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AMB≌△CBN是解题的关键．
50．（2022·重庆八中八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DC上一点．，，若，矩形ABCD的周长为26，则矩形ABCD的面积为________．
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【答案】
【解析】
【分析】
由矩形的性质可得∠B=∠C=90°，又，则根据等量代换即可得∠EAB=∠FEC，利用AAS求得，可得AB=EC，结合矩形的周长则可求得AB，BC进而可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，∠AEB+∠EAB=90°，
又∵，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠EAB=∠FEC，
在△AEB和△EFC中，
，
∴，
∴AB=EC，
又∵矩形ABCD的周长为26，BE=3
∴，
，
，
∴矩形ABCD的面积为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定及性质、矩形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键．
51．（2022·山东威海 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm．先沿BC边裁剪一个宽为4cm的矩形纸片，再沿AC边裁剪一个边长为4cm的正方形纸片，点D，E均在AB边上，则BC=_____cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】20
【解析】
【分析】
根据题意得：四边形CFDN是矩形，四边形FGEM是正方形，且CF=FG=4，再证得△BDN≌△DEM，可得DM=BN，然后设BN=DM=x，则CN=DF=4+x，可得BC=4+2x，再根据，即可求解．
【详解】
解：如图，
根据题意得：四边形CFDN是矩形，四边形FGEM是正方形，且CF=FG=4，
∴EG=EM=DN=4，DF∥BC，EM∥AC∥DN，AF=6，
∴∠DBN=∠EDM，∠BDN=∠DEM，
∴△BDN≌△DEM，
∴DM=BN，
设BN=DM=x，则CN=DF=4+x，
∴BC=4+2x，
∵，
∴，
解得：x=8，
∴BC=20．
故答案为：20．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
52．（2022·重庆市渝高中学校 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，E是BC的中点，AE与BD交于点F，连接CF．若AE⊥BD，则CF的长为 ________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】6
【解析】
【分析】
延长AE、DC交于点G，先证明△AEB≌△GEC，因此AB=CG，于是CD=CG，即FC为△DFG的中线，又AE⊥BD，所以CF=GD=CD=6．
【详解】
解：延长AE、DC交于点G，
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∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=6，
∴∠ABE=∠GCE，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC（ASA），
∴AB=CG，
∴CD=CG，
即FC为△DFG的中线，
∵AE⊥BD，
CF=GD=CD=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质是解题的关键．
53．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，EF为对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F，连接AO，若，，则______．
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【答案】4.8
【解析】
【分析】
连接BE，由矩形的性质可求B ( http: / / www.21cnjy.com )D，OD的长，利用ASA证明△EDO≌△FBO可得OE=OF，利用勾股定理可求解BE=DE=5，设AE=x，利用勾股定理列方程可解答．
【详解】
解：如图，连接BE，
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∵EF为矩形ABCD的对角线BD的垂直平分线，AO=4，
∴BD=2DO=2AO=8，BE=DE，∠DOE=90°，
∴DO=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
∵OB=OD，∠EOD=∠FOB，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴EO=OF，
∵EF=6，
∴EO=3，
设AE=x，
在中，
在和中，，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：4.8
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，灵活运用勾股定理求解线段长是解题的关键．
54．（2022·江苏泰州·八年级期末）若四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，，，，小红以的速度沿路线B→A→G→E行走到E处，小明以小红速度的1．25倍沿B→A→D→E→F行走到F处．若小红行走的路程为310m，则小明行走的时间为______s．2-1-c-n-j-y
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【答案】92
【解析】
【分析】
连接，由“”可证，可得，由矩形的性质，即可求解．
【详解】
解：如图，连接，
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四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
小红行走的路程为，
，
小明行走的路程，
，
故答案为：92．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用正方形的性质是本题的关键．
55．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于，且，则的长为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】##
【解析】
【分析】
由折叠的性质和矩形的性质可证明可得OA=OE，由OP=OF可得PE=AF，然后设AP=EF=x，则PB=PE=8-x，CF=10-x，DF=10-(8-x)=2+x在中，根据勾股定理列出方程，解出方程．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：四边形ABCD是矩形，
，AD=BC=10，CD=AB=8，
由翻折的性质可知：EP=BP，，CE=CB=10，
，
，
OA=OE，
由OP=OF得AF=EP，
设AP=EF=x，则PB=PE=8-x，
CF=10-x，DF=10-(8-x)=2+x，
在Rt△FCD中，根据勾股定理得：
，
即，
解得：，即AP=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
56．（2022·广东珠海 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为 _____．
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【答案】##
【解析】
【分析】
连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A＝90°，，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】
解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，如图所示：
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∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，，，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10，
∴AE＝AB＝6＝3，CF＝BC＝10＝5，
∵，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵H是DF的中点，
∴DH=FH
∵在△PDH与△CFH中，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝5，CH＝PH，
∴AP＝AD﹣PD＝5，
∴PE＝＝＝，
∵点G是EC的中点，CH＝PH，
∴GH是△CEP的中位线，
∴GH＝EP＝
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质，三角形的中位线，勾股定理，以及平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
三、解答题
57．（2022·江苏·苏州市第十 ( http: / / www.21cnjy.com )六中学八年级期中）如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠DAB＝60°，点 E 是 AD 边的中点， 点 M 是 AB 边上一动点（不与点 A 重合），延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD、AN．
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(1)求证：四边形 AMDN 是平行四边形；
(2)在点 M 移动过程中：①当四边形 AMDN 成矩形时，求此时 AM 的长；
②当四边形 AMDN 成菱形时，求此时 AM 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①AM=1；②AM=2
【解析】
【分析】
（1）由题意可证△DNE≌△AEM，则DN= ( http: / / www.21cnjy.com )AM，即可征四边形AMDN是平行四边形；（2）①若四边形AMDN成矩形，可证△ADM是直角三角形，根据勾股定理可求AM的长；②若四边形AMDN成菱形，可证△ADM是等边三角形，可求AM的长．
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AD=2，AB∥CD，
∴∠NDA=∠DAM，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，且∠NDA=∠DAM，∠NED=∠AEM，
∴△AEM≌△DNE，
∴DN=AM，
∵NC∥AB，
∴四边形AMDN是平行四边形；
(2)
①若四边形AMDN成矩形，则DM⊥AB，
在Rt△ADM中，DM⊥AB，∠DAB=60°，AD=AB=2，
∴∠ADM=30°，
∴AM=AD=1，
∴当AM=1时，四边形AMDN成矩形；
②若四边形AMDN成菱形，则DM=AM，
∵DM=AM，∠DAB=60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴AM=AD=AB=2，
∴当AM=2时，四边形 AMDN 成菱形．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
58．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC．
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【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用角边角证明△CDE≌△ABC，即可证明DE=BC．
【详解】
证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B．
又∵CD=AB，∠DCE=∠A，
∴△CDE≌△ABC(ASA)．
∴DE=BC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
59．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，B是线段AC的中点，，求证：．
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【答案】证明过程见详解
【解析】
【分析】
运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．
【详解】
证明∵B是AC中点，
∴AB=BC，
∵，
∴∠A=∠EBC，
∵，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．
60．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
可证明ABECDF，即可得到结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，ABCD
∴∠BAC=∠DCA
∵BEAC于E，DFAC于F
∴∠AEB=∠DFC=90°
在ABE和CDF中 ，
∴ABECDF（AAS）
∴AE=CF
【点睛】
此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．【版权所有：21教育】
61．（2022·吉林市 ( http: / / www.21cnjy.com )第五中学八年级期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，BE=CF．求证：∠A=∠D．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
由BE=CF，可得出BE+E ( http: / / www.21cnjy.com )C=EC+CF，即BC=EF，结合∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，即可证出△ABC≌△DEF（ASA），再利用全等三角形的性质即可证出∠A=∠D．
【详解】
证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=EC+CF，
即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴∠A=∠D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理ASA，证出△ABC≌△DEF是解题的关键．
62．（2022·广东广州·八年级期末）如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，DC∥AB．求证DC=AB．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由DC∥AB得∠D=∠B，再利用AAS即可证明△COD≌△AOB，即可得出结论．
【详解】
证明：∵DC∥AB，
∴∠D=∠B，
在△COD与△AOB中，
，
∴△COD≌△AOB（AAS），
∴DC=AB．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
63．（2022·广西贵港·八年级期末）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
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(1)证明：四边形是菱形；
(2)当时，请问四边形是什么特殊的四边形？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)正方形，理由见解析
【解析】
【分析】
对于（1），先根据“AAS”证明，可得AF=CD，进而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形ADCF是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案；
对于（2），先根据等腰直角三角形的性质得出AD⊥CD，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案．
（1）解：∵，∴．∵是的中点，∴．又∵，∴，∴，又∵在中，，是的中点，∴，∴，∴四边形是平行四边形．又∵，∴四边形是菱形．
（2）四边形是正方形．理由如下：当时，为等腰直角三角形，∵是的中点，∴，∴菱形是正方形．
【点睛】
本题主要考查了菱形和正方形的判定，灵活的选择特殊平行四边形的判定定理是解题的关键．
64．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如图，等腰直角三角形纸板如图放置．直角顶点在直线上，分别过点、作直线于点，直线于点．
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(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等角的余角相等证明∠ACD=∠CBE，再利用AAS证明△ADC≌△CEB，推出AD=CE；21教育网
（2）在Rt△ADC中，用勾股定理求AC，进一步用勾股定理求AB，即可求解．
（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°．∵AD⊥DC，BE⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠BCE+∠CEB=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC与△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴AD=CE．
（2）解：∵AD=CE，，∴AD=4．在Rt△ADC中，，∴，∴，∴，即的周长为．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质，以及勾股定理等知识点，证明△ADC≌△CEB是解题的关键．
65．（2022·山东济南·八年级期中）四边形ABCD是平行四边形，点P、Q分别是AD、BC上一点，且．
求证：四边形BQDP是平行四边形．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得，AD＝BC，∠A＝∠C，AB＝CD，证明△ABP≌△CDQ（ASA），得AP＝CQ，则PD＝BQ，即可得出结论．
【详解】
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，， ，
∵在与中，
，
，
，
，
，
四边形BQDP是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABP≌△CDQ是解题的关键．
66．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
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(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)若BF＝20，EC＝8，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【解析】
【分析】
（1）求出∠ACB＝∠DEF，BC＝FE，利用AAS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）利用线段和差求出BE的长即可解决问题．
（1）证明：∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝FE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（AAS）；
（2）∵BF＝20，EC＝8，∴BE＋CF＝20 8＝12，∵BE＝CF，∴BE＝CF＝6，∴BC＝BE＋EC＝6＋8＝14．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定、平行线的性质、线段的和差计算等知识，解题的关键是正确寻找证明三角形全等的条件解决问题，属于中考常考题型．
67．（2022·辽宁鞍山·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，AB边上的点，连接AE，过点F作FG⊥AE交AE于点G，交DC于点H，试猜想FH与AE的数量关系，并证明你的结论．
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【答案】FH=AE，理由见解析
【解析】
【分析】
过点B作BM∥FH交DC于M，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定定理得到△MBC≌△EAB，由全等三角形的性质得到BM=AE，证明四边形BFHM是平行四边形，推出FH=AE即可．
【详解】
解：FH=AE，
证明：过点B作BM∥FH交DC于M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵FG⊥AE，
∴BM⊥AE，
∴∠MBC+∠AEB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠MBC=∠EAB，
在△MBC和△EAB中，
∴△MBC≌△EAB（ASA），
∴BM=AE，
∵BM∥FH且BF∥HM，
∴四边形BFHM是平行四边形，
∴BM=FH，
∴FH=AE．
【点睛】
本题考查了正方形性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质和判定的应用，证得△MBC≌△EAB是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
68．（2022·四川成都·八年级期末）如图，在ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
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(1)求证：AB＝AE．
(2)若BC＝2AE，∠E＝32°，求∠DAB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)64°
【解析】
【分析】
（1）由题意易得AB=CD，AB/CD，进而可证△AFE≌△DFC，则有CD=AE，即可求证；
（2）由（1）及BC＝2AE，可得AF=AE，则∠AFE=∠E=32°，然后根据三角形外角的性质可求解．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，BC=AD，∴∠E=∠DCF，∵点F是AD中点，∴AF=DF，在△AFE和△DFC中，，∴△AFE≌△DFC（AAS），∴CD=AE，∴AB=AE；
（2）解：由（1）可得AF=DF ( http: / / www.21cnjy.com )，BC=AD，∴BC=2AF，∵BC=2AE，∴AE=AF，∵∠E=32°，∴∠AFE=∠E=32°，∴∠DAB=2∠E=64°．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
69．（2022·江苏·八年级课时练习） ( http: / / www.21cnjy.com )如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F．
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(1)求证：EF＝DF；
(2)如图2，过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【解析】
【分析】
（1）过点D作DM∥AC，则∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF，进而可得：CE=MD，可证得 DMF ECF，即可得到结论；
（2）过点D作DM∥AC，由（1）得 DMF ECF，可得到MF=CF，根据等腰三角形三线合一，可得：BG=MG，进而可得到结论．
（1）证明：过点D作DM∥AC，如图， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF，∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴BD=MD，∵CE＝BD，∴CE=MD，在 DMF和 ECF中，∵， ∴ DMF ECF（AAS），∴EF＝DF；
（2）证明：过点D作DM∥AC，如图， ( http: / / www.21cnjy.com / )
由第（1）题得：BD=MD， D ( http: / / www.21cnjy.com )MF ECF，∴MF=CF，∵DG⊥BC，∴BG=MG（等腰三角形三线合一），∴BC=BM+CM=2(GM+FM)=2FG，
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质定理以及等腰三角形的性质定理，添加合适的辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．
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绝密★启用前
专题13 三角形全等的判定（ASA或AAS）
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作的垂线分别交于E，F两点，若，则的长度为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．1 B．2 C． D．
2．（2022·宁夏石嘴山·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
3．（2022·浙江台州·八年级期末）小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法．如图，小明直立在河岸边的处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的处（，，三点在同一水平直线上），小明通过测量，之间的距离，即得到，之间的距离．小明这种方法的原理是（ ）
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A． B． C． D．
4．（2022·河北保定·八年级期末）风 ( http: / / www.21cnjy.com )筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAC，那么AC与AE相等．小飞直接证明△ABC≌△ADE，他的证明依据是（ ）
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A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．（2022·广西·环江毛南族自治县 ( http: / / www.21cnjy.com )教研室八年级期末）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC≌△EDC，从而DE=AB．判定△ABC≌△EDC的依据是（ ）
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A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
6．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，点A，C，D，E在RtMON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OM＝12，OE＝6，BH＝3，DF＝4，FN＝8，图中阴影部分的面积为（ ）
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A．30 B．50 C．66 D．80
7．（2022·四川广元·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．① B．② C．③ D．都可以
8．（2022·甘肃·天水市秦州区藉口中学八年级期末）如图，，，那么的依据是（ ）
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A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
9．（2022·江苏盐城·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
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A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
10．（2022·全国·八年级课时练习）已 ( http: / / www.21cnjy.com )知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
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A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
11．（2022·江苏·八年级）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
12．（2022·山西阳泉·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，小红同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
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A．带①去 B．带①②去 C．带③去 D．带①和②③去
13．（2022·广西百色· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC△≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是：（ ）
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A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS
14．（2022·河北保定·八年级期末）如图，、分别为、边上的点，，．若，，则的长度为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
15．（2022·河北保定·八年级期末）如图，在等边三角形DEF中，，点A在DF上，点B在DE上，且DA＝2，，，则CE的长为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE=（ ）
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A．1cm B．0.8cm C．4.2cm D．1.5cm
17．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（ ）
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A． B． C．2 D．3
18．（2022·广东深圳·八年级期末）下列命题中，错误的是（ ）
A．经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积
B．过n边形的一个顶点，可以作（n﹣2）条对角线
C．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
19．（2022·重庆沙坪坝·八年级期末）点为□对角线与的交点，过点交于点，交于点，下列结论一定正确的是（
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A． B． C． D．
20．（2022·湖北荆州·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点（可移动），连接OP，以线段OP为一边作等边△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
21．（2022·福建泉州·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）将两个斜边长相等的直角三角形纸片如图放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°．现把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，点D，E的对应点分别为E1，D1，连接D1B，则∠E1D1B的度数是（ ）
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A．15° B．30° C．45° D．60°
22．（2022·天津河西·八年级期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是（ ）
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A． B．
C．四边形EFPQ是正方形 D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
23．（2022·山东济南·八年级期末）如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD，，若，，E、F分别是AB和DC的中点，则（ ）
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A．4 B．4.5 C．5 D．6
24．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，已知正方形的边长为4，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：
①；②四边形的周长为8；
③；④；⑤的最小值为．
其中正确结论的序号为（ ）
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A．①②③⑤ B．②③④ C．②③④⑤ D．②③⑤
25．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形ABCD向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．2 B． C． D．3
26．（2022·广东深圳·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（ ）
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A．2 B． C．4 D．
27．（2022·河南周口·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（ ）
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A．a+c B．b+c
C．a－b+c D．a+b－c
28．（2022·山东淄博·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，已知 ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（ ）
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A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4）
29．（2022·广东顺德德胜学校八年级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝8，则折痕GH的长度为（ ）
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A．4 B．
C． D．
30．（2022·湖北湖北·八年级期末）如图，点是正方形中边上一点，于点，BF//DE，且交于点，若，，则的长是（ ）
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A． B． C． D．
31．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF＋EF的最小值为（ ）
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A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
32．（2022·山东烟 ( http: / / www.21cnjy.com )台·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（ ）
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A．绕点C逆时针旋转90度 B．沿AB的垂直平分线翻折
C．绕AB的中点M顺时针旋转90度 D．沿DE方向平移
33．（2022·广东汕头·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点H，G分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝8，则GH的长度为（ ）【出处：21教育名师】
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A．2 B． C． D．5
34．（2022·湖北十堰·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，△ABC是等边三角形，D是线段AC上一点（不与点A，C重合），连接BD，点E，F分别在线段BA，BC的延长线上，且DE=DF=BD，则△AED的周长等于( )21教育名师原创作品
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A． B．BF C． D．
35．（2022·浙江绍兴·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（ ）
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A．34 B．89 C．74 D．109
36．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）如图，菱形中，与交于点O，，E为延长线上一点，使得，连接，分别交、于点F、G，连接，，则下列结论：①；②；③四边形与四边形的面积相等；④由点、、、构成的四边形是菱形．其中正确的结论个数是（ ）21教育网
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A．4 B．3 C．2 D．1
37．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）□中，的角平分线交线段于点，，点是中点，连接，过点作，垂足为，设，若□的面积为8，的长为整数，则整数的值为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．1或3
38．（2022·江苏省 ( http: / / www.21cnjy.com )锡山高级中学实验学校八年级期中）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（ ） 21cnjy.com
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A．4 B． C． D．
39．（2022·湖北·武汉市粮道街中学八年级期中）如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
40．（2022·江苏·镇江市外国语学校八年级期中）如图1，在中，，，点为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交、所在直线于点、，有以下4个结论：①；②；③；④如图2，当点、落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的是（ ）
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A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
41．（2022·广东东莞·八年级期中）如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有以下结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是（ ）
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A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
42．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）21·cn·jy·com
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A．2 B． C．3 D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
43．（2022·辽宁·盘山县教师进 ( http: / / www.21cnjy.com )修学校八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD=AE，BD=3cm，DE=4cm，则CD=__________cm．【来源：21cnj*y.co*m】
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44．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，已知，请再添上一个条件_________，使（写出一个即可）．
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45．（2022·江苏·八年级专题练习）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为__________．
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46．（2022·江苏·八年级）小明 ( http: / / www.21cnjy.com )不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块．21·世纪*教育网
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47．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为，则b的值为________．
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48．（2022·辽宁抚顺·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为________．
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49．（2022·广东广州·八年级期末）如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为，，．已知，，则=_____．
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50．（2022·重庆八中八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DC上一点．，，若，矩形ABCD的周长为26，则矩形ABCD的面积为________．
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51．（2022·山东威海·八年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm．先沿BC边裁剪一个宽为4cm的矩形纸片，再沿AC边裁剪一个边长为4cm的正方形纸片，点D，E均在AB边上，则BC=_____cm．
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52．（2022·重庆市 ( http: / / www.21cnjy.com )渝高中学校八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，E是BC的中点，AE与BD交于点F，连接CF．若AE⊥BD，则CF的长为 ________．
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53．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，EF为对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F，连接AO，若，，则______．
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54．（2022·江苏泰州·八年级期末）若四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，，，，小红以的速度沿路线B→A→G→E行走到E处，小明以小红速度的1．25倍沿B→A→D→E→F行走到F处．若小红行走的路程为310m，则小明行走的时间为______s．【版权所有：21教育】
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55．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于，且，则的长为______．
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56．（2022·广东珠 ( http: / / www.21cnjy.com )海·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为 _____．
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三、解答题
57．（2022·江苏·苏州市第十六中学八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠DAB＝60°，点 E 是 AD 边的中点， 点 M 是 AB 边上一动点（不与点 A 重合），延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD、AN．2-1-c-n-j-y
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(1)求证：四边形 AMDN 是平行四边形；
(2)在点 M 移动过程中：①当四边形 AMDN 成矩形时，求此时 AM 的长；
②当四边形 AMDN 成菱形时，求此时 AM 的长．
58．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC．
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59．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，B是线段AC的中点，，求证：．
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60．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF．www.21-cn-jy.com
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61．（2022·吉林市第五中 ( http: / / www.21cnjy.com )学八年级期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，BE=CF．求证：∠A=∠D．
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62．（2022·广东广州·八年级期末）如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，DC∥AB．求证DC=AB．
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63．（2022·广西贵港·八年级期末）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
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(1)证明：四边形是菱形；
(2)当时，请问四边形是什么特殊的四边形？并说明理由．
64．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如图，等腰直角三角形纸板如图放置．直角顶点在直线上，分别过点、作直线于点，直线于点．
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(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
65．（2022·山东济南·八年级期中）四边形ABCD是平行四边形，点P、Q分别是AD、BC上一点，且．
求证：四边形BQDP是平行四边形．
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66．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
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(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)若BF＝20，EC＝8，求BC的长．
67．（2022·辽宁鞍山·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，AB边上的点，连接AE，过点F作FG⊥AE交AE于点G，交DC于点H，试猜想FH与AE的数量关系，并证明你的结论．
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68．（2022·四川成都·八年级期末）如图，在ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
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(1)求证：AB＝AE．
(2)若BC＝2AE，∠E＝32°，求∠DAB的度数．
69．（2022·江苏· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级课时练习）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F．
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(1)求证：EF＝DF；
(2)如图2，过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG．
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