中小学教育资源及组卷应用平台
绝密★启用前
专题15 角平分线的判定定理
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·湖北随州·八年级期末）到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三边的中垂线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条角平分线的交点
2．（2022·广东深圳·八年级阶段练习）到三角形三边的距离相等的点是三角形（ ）的交点2·1·c·n·j·y
A．三条中线 B．三条高线 C．三个内角平分线 D．三边垂直平分线
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC
4．（2022·广东佛山·八年级期中）到三角形三条边的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高线
5．（2022·山西省运城市实验中学八年级期中）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．等边三角形是锐角三角形 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
6．（2022·河南三门峡·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．点D在的平分线上 D．点D是CF的中点
7．（2022·河北沧州·八年级期末）如图所示，在△ABC中P为BC上一点，PR⊥BC，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正确的是 （ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（2022·黑龙江省二九一农场中学八年级期末）点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（ ）2-1-c-n-j-y
A．110° B．120° C．130° D．140°
9．（2022·福建漳州·八年级期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
10．（2022·山西晋中·八年级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）小明同学发现，只用两把宽度相同的长方形直尺就可以画一个角的平分线．如图，一把直尺压住∠AOB的一边OB，另一把直尺压住∠AOB的另一边OA，并且与第一直尺交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线．他这样做的依据是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
11．（2022·广东清远·八年级期中）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等； B．如果a=0，b=0，那么ab=0；
C．等边对等角 ； D．有两个角互余的三角形是直角三角形。
12．（2022·重庆市珊瑚初级中学校八年级期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形两底角相等 B．全等三角形面积相等
C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．如果，则或
13．（2022·重庆市第十一中学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF=，则线段BE的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．2 D．
14．（2022·安徽铜陵·八年级期末）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则 为（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．36° C．45° D．60°
15．（2022·河南南阳·八年级期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；
B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上；
C．如果，那么；
D．在△ABC中，如果，那么．
16．（2022·江苏·八年级）已知，如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，以下四个结论：①；②是等边三角形；③；④平分．其中正确的结论是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④
17．（2022·江西赣州·八年级期末）如图1，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥连接，平分；⑦为等边三角形．其中正确的有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
18．（2022·全国·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级课时练习）如图，点A、C在∠FBD的两条边BF、BD上，BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，连接AE，若∠BEC＝35°，则∠FAE的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．35° B．45° C．55° D．65°
19．（2022·河北沧州·八年级期末）如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．40° C．50° D．60°
20．（2022·辽宁大连 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）如图．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则下列结论：①PA平分∠BAC，②AS＝AR；③QP∥AR．正确的是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
21．（2022·天津南开·八年级期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连结、．现有以下4个结论：①；②PQ//AE；③；④平分．这些结论中一定成立的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．（2022·江苏常州·八年级期末）如图，∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①：＝AB：BC；②∠APB＋∠ACP＝90°；③∠ABC＋2∠APC＝180°，其中正确的结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
23．（2022·全国·八年级）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，∠AEB的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．35° C．45° D．40°
24．（2022·江苏苏州·八年级期末）苏州素有“园林之城”美誉，以拙政园、留园为代表的苏州园林“咫尺之内再造乾坤”，是中华园林文化的翘楚和骄傲．如图，某园林中一亭子的顶端可看作等腰，其中，若是边上的一点，则下列条件不能说明是角平分线的是（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．点到，的距离相等 B．
C． D．
25．（2022·全国·八年级课时练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，连接AE，则∠AEC的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．45° B．40° C．35° D．30°
26．（2022·全国·八年级）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
27．（2022·江苏·八年级）如图，在四边形中，连接、，已知，，，，则四边形的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．3 C． D．4
28．（2022·全国·八年级课时练习）如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（ ）个
( http: / / www.21cnjy.com / )
① ②连接，则平分 ③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
29．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
30．（2022·广东惠州·八年级期末）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
31．（2022·全国·八年级）如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第II卷（非选择题）
二、填空题
32．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在中，O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为____________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
33．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为___________.（用含的式子表示）
( http: / / www.21cnjy.com / )
34．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③ABCD；④ABD≌CBD．其中所有正确结论的序号是_______．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
35．（2022·重庆綦江·八年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，点P在A上，过点D作DE⊥BP，DF⊥CP，则以上结论中：①BD＝CD；②△ABD ≌△ACD；③△BPC是等腰三角形；④DE＝PE．正确的有________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
36．（2022·全国·八年级课时练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
37．（2022·河北邯郸·八年级期末）如图，于E，于F，若．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：平分
(2)判断与之间的等量关系．
38．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如图，在中，是的垂直平分线，垂足为点E，交于D点，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：；
(2)若，求的长．
39．（2022·河北唐山·八年级期末）已知：如图，在中，，，，垂足分别为D、E，与交于点O．
( http: / / www.21cnjy.com / )
发现：与有何数量关系？并说明理由；
探索：判断的形状，并说明理由；
拓展：连接并延长，交于点F，请你直接写出一条关于的结论．
40．（2022·全国·八年级专题练习）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF交CE于D，且BD＝CD，求证：点D在∠BAC的平分线上．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
41．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；
(2)求证：点P在∠HAC的平分线上．
42．（2022·全国·八年级）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接CD，BE交于点F．
( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：（1）∠BFC＝120°；
（2）FA平分∠DFE．
43．（2022·河南洛阳·八年级期末）学 ( http: / / www.21cnjy.com )习角的平分线之后，老师留了一道思考题：还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）．下面是两位同学给出的两种方法：
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)同学1：我是用三角板按下面方法画角平分线：如图1，在已知的上，分别取．再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分．21世纪教育网版权所有
(2)同学2：我是用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图2，以为圆心，以任意长为半径画弧与，交于点，，再以任意长为半径画弧与，交于点，，连接，交于点，连接，则平分．你认为同学2这种作角平分线的方法正确吗？若正确，请你给出证明过程；若错误，说出你的理由．
44．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M． 21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)EC＝BF；
(2)EC⊥BF；
(3)连接AM，求证：AM平分∠EMF．
45．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，ΔABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O．求证：AO平分∠BAC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
46．（2022·辽宁·沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）八年级期中）已知：如图，在中，于点F，点E是线段DF上一点，连接AE，BE，BD，，，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
47．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
48．（2022·江苏·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )专题练习）已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：PD＝PE＝PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．
49．（2022·山东·济南育英中 ( http: / / www.21cnjy.com )学八年级期中）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．
(1)如图，若点P在线段AB的延长线上，求证：；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)如图，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)如图，若点P在边AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设，，求∠AEC的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
50．（2022·福建·厦门市松柏中 ( http: / / www.21cnjy.com )学八年级期末）如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始 ( http: / / www.21cnjy.com )终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
51．（2022·全国·八年级）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明．www.21-cn-jy.com
（2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄 ( http: / / www.21cnjy.com )弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
52．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F．21*cnjy*com
（1）求证：AE＝DC；
（2）求∠BFE的度数；
（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
53．（2022·全国·八年级）如图，中，于点，，点在上，，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）延长交于点，连接，求的度数；
（3）过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积．
54．（2022·全国·八年级）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
绝密★启用前
专题15 角平分线的判定定理
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·湖北随州·八年级期末）到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三边的中垂线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条角平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的判定定理，即可求解．
【详解】
解：∵三角形三条角平分线的交点到三条边距离相等，
∴三角形内到三条边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角的内部，到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
2．（2022·广东深圳·八年级阶段练习）到三角形三边的距离相等的点是三角形（ ）的交点21世纪教育网版权所有
A．三条中线 B．三条高线 C．三个内角平分线 D．三边垂直平分线
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的角平分线的性质得出即可．
【详解】
解：如图，△ABC的三角的平分线AE、CD、BF交于O，
( http: / / www.21cnjy.com / )
过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OH⊥AC于H，
∵O在∠BAC的平分线上，OM⊥AB，OH⊥AC，
∴OM=OH，
同理OM=ON，
∴OM=ON=OH，
所以在三角形内，到三边距离相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，能灵活运用角平分线的性质进行推理是解此题的关键．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC
【答案】B
【解析】
【分析】
过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解．
【详解】
解：如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P，
∴PD=PF，PE=PF，
∴PD=PE，
∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC．
故选：B
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
4．（2022·广东佛山·八年级期中）到三角形三条边的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高线
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线的判定定理可得，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，则到三角形三条边距离相等的点是在三角形三个内角角平分线交点．
【详解】
解：到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心，即三个内角平分线的交点．
故选A．
【点睛】
本题主要考查角平分线的判定定理和三角形内心的定义，解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的判定定理和三角形内心的定义.
5．（2022·山西省运城市实验中学八年级期中）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．等边三角形是锐角三角形 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】
分别写出所有命题的逆命题后判断即可．
【详解】
A、逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题；
B、逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题；
C、逆命题是“锐角三角形是等边三角形”，是假命题；
D、逆命题是“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，是真命题．
故选：D
【点睛】
本题考查了命题与逆命题，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题，难度中等．
6．（2022·河南三门峡·八年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．点D在的平分线上 D．点D是CF的中点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【详解】
解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；
B∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（ASA），正确；
C、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；
D、无法判定，错误；
故选D．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（2022·河北沧州·八年级期末）如图所示，在△ABC中P为BC上一点，PR⊥BC，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正确的是 （ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AP，可证AP是∠BAC的角平分线，再证 ( http: / / www.21cnjy.com )明△APR≌△APS，得AS＝AR，由已知可得∠2＝∠3，得到∠1＝∠3，得QP∥AR，答案可得．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：连接AP，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PR＝PS，PR⊥AB， PS⊥AC，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
在△APR和△APS中:
∴△APR≌△APS，
∴AS＝AR，
故①正确；
又AQ＝PQ，
∴∠2＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴QP∥AR，
故②正确；
BC只是过点P，不能证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查角平分线的判定和平行线的判定；准确作出辅助线是解决本题的关键．
8．（2022·黑龙江省二九一农场中学八年级期末）点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于 ( http: / / www.21cnjy.com )M点，过O点作ON⊥AB于N点，通过全等三角形的性质先证明OB是∠ABC的角平分线，同理可得OA、OC分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，即可求解．
【详解】
解：连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵O到三角形三边距离相等，OM⊥BC，ON⊥AB，
∴OM=ON，∠ONB=∠OMB=90°，
∴Rt△ONB和Rt△OMB中，根据OB=OB，OM=ON，
可得Rt△ONB≌Rt△OMB，
∴∠OBN=∠OBM，
∴BO是∠ABC的角平分线，
同理可证AO，CO分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO∠ABC，∠BCO＝∠ACO∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟知角平分线的性质定理．
9．（2022·福建漳州·八年级期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【解析】
【分析】
过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题 ( http: / / www.21cnjy.com )意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】
如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
10．（2022·山西晋中·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）小明同学发现，只用两把宽度相同的长方形直尺就可以画一个角的平分线．如图，一把直尺压住∠AOB的一边OB，另一把直尺压住∠AOB的另一边OA，并且与第一直尺交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线．他这样做的依据是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
【答案】A
【解析】
【分析】
过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO ( http: / / www.21cnjy.com )，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
【详解】
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
11．（2022·广东清远·八年级期中）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等； B．如果a=0，b=0，那么ab=0；
C．等边对等角 ； D．有两个角互余的三角形是直角三角形。
【答案】B
【解析】
【分析】
分别写出每个命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】
解：A、原命题的逆命题为：到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上，说法正确，为真命题，不符合题意；
B、原命题的逆命题为：如果ab=0，那么a=0且b=0，说法错误，为假命题，符合题意；
C、原命题的逆命题为：等角对等边，说法正确，为真命题，不符合题意；
D、原命题的逆命题为：直角三角形的两个锐角互余，说法正确，为真命题，不符合题意；
故选：B
【点睛】
此题考查了命题的逆命题，判断命题 ( http: / / www.21cnjy.com )的真假，涉及了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质以及乘法的性质，解题的关键是掌握相关基本性质，正确写出命题的逆命题．
12．（2022·重庆市珊瑚初级中学校八年级期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形两底角相等 B．全等三角形面积相等
C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．如果，则或
【答案】B
【解析】
【详解】
解：A、等腰三角形的两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题，不符合题意；
B、全等三角形面积相等的逆命题是面积相等的三角形全等，逆命题是假命题，符合题意；
C、角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，逆命题是真命题，不符合题意；
D、如果，则或的逆命题是如果或，则，逆命题是真命题，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查真假命题的判定，解决本题的关键是要熟练掌握等腰三角形，全等三角形，角平分线的性质，0的意义．21·世纪*教育网
13．（2022·重庆市第十一中学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF=，则线段BE的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接BD，如图，利用角平分线判断定理可判断BD平分∠ABC，则∠ABD=∠ABC=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系确定BE的长．
【详解】
解：连接BD，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵DE=DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=×60°=30°，
在Rt△BDE中，
BD=2DE=2，
∴BE==．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解角平分线的判断，勾股定理，含30角的直角三角形的性质．掌握角平分的判定定理是解题的关键．
14．（2022·安徽铜陵·八年级期末）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则 为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．36° C．45° D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，证明△AHC≌△BCG得到CH=CG，即可证明CE平分∠BEF，即可得到∠BEC= ．
【详解】
解：如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，
∴∠AHC=∠BGC=90°，
∵∠ACB=90°，AF⊥BE，
∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠CAH=∠CBG，
又∵AC=BC，
∴△AHC≌△BCG（AAS），
∴CH=CG，
∵CH⊥EF，CG⊥BE，
∴CE平分∠BEF，
∴∠BEC=．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，角平分线的定义，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
15．（2022·河南南阳·八年级期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；
B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上；
C．如果，那么；
D．在△ABC中，如果，那么．
【答案】C
【解析】
【分析】
先写出各个命题的逆命题，根据线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理、有理数的平方、勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】
解：A.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上的逆命题是线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等，是真命题，不符合题意；
B.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题是角的平分线上的点到角的两边距离相等，是真命题，不符合题意；
C.如果a=b，那么a2=b2的逆命题是如果a2=b2，那么a=±b，故逆命题是假命题，符合题意；
D.在△ABC中，如果BC2+A ( http: / / www.21cnjy.com )C2=AB2，那么∠C=90°的逆命题是在△ABC中，∠C=90°，那么BC2+AC2=AB2，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
16．（2022·江苏·八年级）已知，如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，以下四个结论：①；②是等边三角形；③；④平分．其中正确的结论是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④
【答案】D
【解析】
【分析】
先由判定，证得①正确；再由证明，得到，②正确；过作于，于，由证明可得，得到④正确；易得③不正确．
【详解】
解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故结论①正确；
∵，
∴，
∵，，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
故结论②正确；
过作于，于，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
故结论④正确；
当时，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为线段上一动点（不与，重合），
故结论③不正确；
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定与性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
17．（2022·江西赣州·八年级期末）如图1，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥连接，平分；⑦为等边三角形．其中正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【解析】
【分析】
证明①可先证明△ACD≌△BCE，可判断①，再证明△CQB≌△CPA，可判断②，再证明∠PQC=∠DCE=60°，可判断③，利用全等三角形的性质与三角形的内角和定理证明∠AOB=∠ACB，可判断④，证明∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，PD≠CD，可判断⑤，作CM⊥AD，CN⊥BE，证明CM=CN，可判断⑥，由可判断⑦，从而可得答案.
【详解】
解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，故①正确；
由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，
△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ， 故②正确；
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴，③成立，
∵△CQB≌△CPA，
∴∠CBQ=∠CAP，
∵∠APC=∠BPO，
∴∠AOB=∠ACB=60°，故④正确；
∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故⑤DE=DP错误；
作CM⊥AD，CN⊥BE，
∵△ACD≌△BCE ，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴CM=CN，
∴OC平分∠AOE，故⑥正确，
为等边三角形，故⑦正确，
故正确的有①②③④⑥⑦共6个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质及三角形全等的判定与性质；角平分线的判定，熟练应用等边三角形的性质证明三角形全等是正确解答本题的关键．
18．（2022·全国·八年级课时 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）如图，点A、C在∠FBD的两条边BF、BD上，BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，连接AE，若∠BEC＝35°，则∠FAE的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解析】
【分析】
过点E作EH⊥BC，EG ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AC，EM⊥AB，垂足分别为H、G、M，由三角形的角平分线的判定定理可得AE平分∠FAC，结合三角形外角的性质可求得∠BAC＝2∠BEC＝70°，由补角的定义可求解∠FAC的度数，再利用角平分线的定义可求解．
【详解】
解：过点E作EH⊥BC，EG⊥AC，EM⊥AB，垂足分别为H、G、M，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠EBD，∠ACD＝2∠ECD，EH＝EM，EH＝EG，
∴EG＝EM，
∴AE平分∠FAC，
∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，∠ECD＝∠EBC+∠BEC，
∴2∠ECD＝2∠EBD+∠BAC，2∠ECD＝2∠EBD+2∠BEC，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BEC＝35°，
∴∠BAC＝2×35°＝70°，
∵∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠FAC＝180°﹣70°＝110°，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE＝∠FAC＝55°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查角平分线的判定定理、性质定理及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的判定定理及性质定理、三角形外角的性质是解题的关键．2·1·c·n·j·y
19．（2022·河北沧州·八年级期末）如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
过点D作于点F．由题意易证，即得出，说明AD为的角平分线，即可求出的大小，从而可求出的大小．
【详解】
如图，过点D作于点F．
∴在和中，
∴，
∴，
∴AD为的角平分线，
∴，
∴．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选C．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质和判定，角平分线的判定定理．作出常用的辅助线是解题关键．
20．（2022·辽宁大连·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则下列结论：①PA平分∠BAC，②AS＝AR；③QP∥AR．正确的是（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的判定定理可推出 ( http: / / www.21cnjy.com )①根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等可推出②，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可推出③．21*cnjy*com
【详解】
解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
∴①正确
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL）
∴AR=AS，
∴②正确；
连接AP．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，
∴③正确；
∴正确的结论为①②③
故选择D
【点睛】
此题考查角平分线判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
21．（2022·天津南开·八年级期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连结、．现有以下4个结论：①；②PQ//AE；③；④平分．这些结论中一定成立的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可 ( http: / / www.21cnjy.com )知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE； ②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④如图所示，过点C作CG⊥AO于G，CH⊥OE于H，证明△CGA≌△CHB得到CG=CH，可知④正确．【版权所有：21教育】
【详解】
解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∴①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE
∴②正确；
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ
∴③正确；
如图所示，过点C作CG⊥AO于G，CH⊥OE于H，
在△CGA和△CHB中
，
∴△CGA≌△CHB（AAS），
∴CG=CH，
又∵CG⊥AO，CH⊥EO，
∴OC平分∠AOE（角平分线的判定定理），故④正确；
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的判定，熟练应用三角形全等的证明是正确解题的关键．
22．（2022·江苏常州·八年级期末）如图，∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①：＝AB：BC；②∠APB＋∠ACP＝90°；③∠ABC＋2∠APC＝180°，其中正确的结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质，得到PG=P ( http: / / www.21cnjy.com )F，结合面积公式，可以判断结论①；过点P作PM⊥AC，垂足为M，则PF=PM=PG，得到PA平分∠EAC，利用角的平分线定义，∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，得证∠2=∠4，从而判断结论②，利用四边形内角和定理结合角的平分线判断最后结论．
【详解】
∵∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，
∴PG=PF，
∴：＝=AB：BC，
∴结论①正确；
过点P作PM⊥AC，垂足为M，根据题意，得PF=PM=PG，
∴PA平分∠EAC，
∴∠PAG=∠PAM，
∵PA=PA，∠PGA=∠PMA=90°
∴△PAG≌△PAM，同理可证，△PCM≌△PCF，△PBG≌△PBF，
∴∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，
∴∠2=∠4，
∵∠4＋∠ACP＝90°，
∴∠2＋∠ACP＝90°，
∴∠APB＋∠ACP＝90°，
∴结论②正确，
∵∠ABC＋∠BGP+ ∠GPF+∠PFB＝360°，∠BGP=∠BFP＝90°，
∴∠ABC＋∠GPF＝180°，
∵∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，
∴∠GPF=2∠APC，
∴∠ABC＋2∠APC＝180°，
∴结论③正确，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和判定，四边形的内角定理，三角形面积公式，熟练掌握角的平分线的性质和判定是解题的关键．
23．（2022·全国·八年级）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，∠AEB的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．35° C．45° D．40°
【答案】C
【解析】
【分析】
作交的延长线于，于，交的延长线于，先根据角平分线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定可得平分，然后根据角平分线的定义分别可得和的度数，最后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】
解：如图，作交的延长线于，于，交的延长线于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，，
∴，
又，
∴平分，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
24．（2022·江苏苏州·八年级期末）苏州素有“园林之城”美誉，以拙政园、留园为代表的苏州园林“咫尺之内再造乾坤”，是中华园林文化的翘楚和骄傲．如图，某园林中一亭子的顶端可看作等腰，其中，若是边上的一点，则下列条件不能说明是角平分线的是（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．点到，的距离相等 B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可判断选项A，根据等腰三角形的性质（三线合一）即可判断选项B、选项C，选项D．
【详解】
解：A．∵点D到AB、AC的距离相等，
∴AD是∠BAC的角平分线，故本选项不符合题意；
B．∵∠ADB=∠ADC，∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD是∠BAC的角平分线，故本选项不符合题意；
C．∵BD=CD，AB=AC，
∴AD是∠BAC的角平分线，故本选项不符合题意；
D．AD=BC不能推出AD是△ABC的角平分线，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质和角平分线的性质是解此题的关键．
25．（2022·全国·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，连接AE，则∠AEC的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．45° B．40° C．35° D．30°
【答案】D
【解析】
【分析】
作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，根据角平分线的性质和判定得到AE平分∠FAG，求出∠EAB的度数，根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，根据三角形内角和定理计算得到的度数，再计算出的度数即可．
【详解】
解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF=EH，EG=EH，
∴EF=EG．
又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAF=150°，
∴∠EAB=75°，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABH=120°，又BE平分∠ABD，
∴∠ABE=60°，
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠ABE=45°，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABD=120°，
∵CE是∠ACB的平分线，BE是∠ABC的外角平分线，
∴∠EBD=60°，∠BCE=45°，
∴∠CEB=60°-45°=15°．
∴
故选：D．
【点睛】
题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意三角形内角和定理和角平分线的定义的正确运用．
26．（2022·全国·八年级）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图和全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理的逆定理对图3进行判断．
【详解】
在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；
在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
在图3中，根据作法可知：
( http: / / www.21cnjy.com / )
AE=AF，AM=AN，
在△AMF和△ANE中，
，
∴△AMF≌△ANE（SAS），
∴∠AMD=∠AND，
∵AE=AF，AM=AN，
∴ME=NF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（AAS），
所以D点到AM和AN的距离相等，
∴AD平分∠BAC．
综上，不能判断射线AD平分∠BAC的是图2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
27．（2022·江苏·八年级）如图，在四边形中，连接、，已知，，，，则四边形的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，延长BC，AD，二线交于点E， ( http: / / www.21cnjy.com )设AC，BD的交点为点M，过点C分别作CG⊥DE，垂足为G，CF⊥DB，垂足为F，证明△AGC≌△BFC即可．
【详解】
如图，延长BC，AD，二线交于点E，设AC，BD的交点为点M，
∵∠ACB=∠ADB=90°，∠ADM=∠BCM，∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠BCM=90°，∠EAC=∠MBC，AC=BC，
∴△ACE≌△BCM，
∴∠AEC=∠BMC，CM=CE，
过点C分别作CG⊥DE，垂足为G，CF⊥DB，垂足为F，
∵∠AEC=∠BMC，CM=CE，
∴△GEC≌△FMC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴GC=FC，
∴DC平分∠BDE，∠GDC=∠FDC=45°，四边形CGDF是正方形，
∵CD=，
∴CG=GD=DF=FC=1，
∵BC=，
∴BF==2，
∵∠GAC=∠FBC，GC=FC，
∴△AGC≌△BFC，
∴AG=BF=2，AD=AG-DG=1，BD=BF+DF=3，
∴
=
==3，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，勾 ( http: / / www.21cnjy.com )股定理，角平分线的判定定理，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握三角形全等，勾股定理，灵活运用角的平分线的判定定理是解题的关键．
28．（2022·全国·八年级课时练习）如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（ ）个
( http: / / www.21cnjy.com / )
① ②连接，则平分 ③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“手拉手”模型证明，从而得到，再结合三角形的外角性质即可求解，即可证明①；作于点，于点，证明，结合角平分线的判定定理即可证明②；利用面积法表示和的面积，然后利用比值即可证明③；利用“截长补短”的思想，在上取点，使得，首先判断出为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出即可证明④．
【详解】
解：①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，故①正确；
②如图所示，作于点，于点，
则，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴平分，故②正确；
③如图所示，作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴整理得：，
∵，
∴，
∴，故③正确；
④如图所示，在上取点，使得，
∵，平分，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，故④正确；
综上，①②③④均正确；
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键．21教育名师原创作品
29．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
【答案】C
【解析】
【分析】
证明，由全等三角形的性质得到，可得，则，得出；，得到，利用角平分线的判定定理得平分，在上截取，根据可证明，得出，由此可以解决问题．
【详解】
解：∵，，，
，
即，
在与中，
，
，
，，故①正确，
，，，
，
，故②正确，
连接，过分别作与，于，如图1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，而，
，
平分，所以③正确，
在上截取，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
；
故④正确；
故选：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，利用全等三角形面积相等证明高相等是解决问题的关键．www.21-cn-jy.com
30．（2022·广东惠州·八年级期末）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
【详解】
解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；
( http: / / www.21cnjy.com / )
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．21·cn·jy·com
31．（2022·全国·八年级）如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到，可判断（1）（2）正确；由，，得到，可判断（3）错误；即可得到答案．
【详解】
解：过点P作PG⊥AB，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB，
∴；故（1）正确；
∴点在的平分线上；故（2）正确；
∵，
又，
∴；故（3）错误；
∴正确的选项有2个；
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．
第II卷（非选择题）
二、填空题
32．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在中，O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为____________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】##88度
【解析】
【分析】
由题意，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，利用三角形内角和即可求得∠A．
【详解】
解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠A＝180° （∠ABC+∠ACB）
＝180° 2（∠OBC+∠OCB）
＝180° 2×（180° ∠BOC）
＝180° 2×（180° 134°）
＝88°
故答案为：88°．
【点睛】
本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．
33．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为___________.（用含的式子表示）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
如图，过点E作三边的垂线，垂足分别为D，F，G，先根据角平分线的性质证得EF=DE，然后根据角平分线的判定证得，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求得∠EBA=，∠BAE=，最后根据三角形内角和求解．21*cnjy*com
【详解】
解：过点E作于点D，于点F，于点G，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角，
∴，
∴AE也是∠BAC外角的平分线，
∴∠EBA=，∠BAE=，
∴∠EBA+∠BAE==，
∴∠AEB==．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：．
【点睛】
本题是三角形的综合题，考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，正确理解三角形的有关性质是解本题的关键．
34．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③ABCD；④ABD≌CBD．其中所有正确结论的序号是_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】①②④
【解析】
【分析】
根据垂直平分线及全等三角形的判定和性质依次对各个结论进行判断即可得．
【详解】
解：∵，，
∴BD垂直平分AC，①正确；
在与中，
，
∴，④正确；
由可得：
，
∴BD平分，②正确；
③无法证明；
故正确结论有：①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】
题目主要考查垂直平分线的性质和全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
35．（2022·重庆綦江 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，点P在A上，过点D作DE⊥BP，DF⊥CP，则以上结论中：①BD＝CD；②△ABD ≌△ACD；③△BPC是等腰三角形；④DE＝PE．正确的有________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质即可依次判断．
【详解】
∵在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，
∴BD=CD，①正确；AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°，
又BD=CD，AD=AD
∴△ABD ≌△ACD（SAS），②正确；
∵BD=CD，AD⊥BC
∴AD垂直平分BC
∴BP=CP，③正确；
∴△BPC是等腰三角形
∵PD⊥BC
∴DP平分∠BPC
∵DE⊥BP，DF⊥CP，
∴DE=DF
∵DF≠PE，∴DE≠PE．④错误
故答案为：①②③．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定与性质、垂直平分线与角平分线的性质，解题的关键是熟知其各自的性质特点．
36．（2022·全国·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角形的内角和定理先求解，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：平分 从而可得答案．
【详解】
解：
平分
故答案为：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
37．（2022·河北邯郸·八年级期末）如图，于E，于F，若．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：平分
(2)判断与之间的等量关系．
【答案】(1)证明详见解析
(2)，证明详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形“HL”定理得出，故可得出，所以平分．
（2）由可知，所以，故．
（1）证明：∵于E， 于F，∴，在和中，∴．∴．又∵于E，于F，∴平分．
（2），证明：∴，∴，，∴．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．
38．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如图，在中，是的垂直平分线，垂足为点E，交于D点，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，从而得到，进而得到，再利用角平分线的性质定理的逆定理，即可求证；
（2）根据直角三角形的性质可得，再由线段垂直平分线的性质，即可求解．
(1)
证明∶∵是的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴，
在中，，
∴．
又∵，
∴；
(2)
解∶∵在中，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，角平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质是解题的关键．
39．（2022·河北唐山·八年级期末）已知：如图，在中，，，，垂足分别为D、E，与交于点O．
( http: / / www.21cnjy.com / )
发现：与有何数量关系？并说明理由；
探索：判断的形状，并说明理由；
拓展：连接并延长，交于点F，请你直接写出一条关于的结论．
【答案】发现：BD=CE，理由见详解；
探索：△BOC是等腰三角形，理由见详解；
拓展：AF⊥BC，理由见详解（或者AF平分∠BAC，证明过程同AF⊥BC的证明过程）
【解析】
【分析】
（1）利用AAS定理证明，即可得BD=CE；
（2）结合“发现”中已经证得，可知∠DBC=∠ECB，即有有OC=OB，即△BOC是等腰三角形；
（3）在“探索”中已经证得BO=CO，即根据AB=AC，AO=AO，得，则有∠EAO=∠DAO，再结合AB=AC，AF=AF，得，即有∠AFB=∠AFC=90°，即可得AF⊥BC．
【详解】
发现：BD=CE，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CEB=∠BDC=90°，
又有BC=CB，
∴，
∴BD=CE，
得证；
探索：△BOC是等腰三角形，理由如下：
在“发现”中已经证得，
∴∠DBC=∠ECB，
∴有OC=OB，即△BOC是等腰三角形，
得证；
拓展：AF⊥BC，
理由如下：
如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
在“探索”中已经证得BO=CO，
又∵AB=AC，AO=AO，
∴，
∴∠EAO=∠DAO，
∴AF平分∠BAC，
又∵AB=AC，AF=AF，
∴，
∴∠AFB=∠AFC=90°，
∴AF⊥BC．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
40．（2022·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级专题练习）如图，已知BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF交CE于D，且BD＝CD，求证：点D在∠BAC的平分线上．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由BF⊥AC，CE⊥AB得到∠DE ( http: / / www.21cnjy.com )B＝∠DFC＝90°，则可根据“AAS”判断△DBE≌△DCF，则DE＝DF，然后根据角平分线定理得到D点在∠BAC的平分线上．
【详解】
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△DBE和△DCF中，
，
∴△DBE≌△DCF（AAS），
∴DE＝DF，
又∵BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F、E，
∴D点在∠BAC的平分线上
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质： ( http: / / www.21cnjy.com )判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等，也考查了角平分线定理．
41．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；
(2)求证：点P在∠HAC的平分线上．
【答案】(1)8
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线上一点到角两边距离相等即可证明；
（2）利用如果一点到角的两边距离相等，则这个点在角的角平分线上．
【详解】
（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，
∵BP平分∠ABC，
∴PH＝PQ＝8，
即点P到直线BC的距离为8cm；
（2）证明：∵PC平分∠ACE，且PD⊥AC于点D，
∴PD＝PQ，
而PH＝PQ，
∴PD＝PH，
∴点P在∠HAC的平分线上．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查角平分线性质定理以及逆定理，熟练掌握角平分性质的逆用是解决本题的关键．
42．（2022·全国·八年级）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接CD，BE交于点F．
( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：（1）∠BFC＝120°；
（2）FA平分∠DFE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用△ABD、△AEC都是等边三角形，求证△DAC≌△BAE，根据全等三角形的性质解答即可；
（2）过点A作AH⊥DC，AG⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )BE，垂足分别为H、G．首先证明△DAH≌△BAG，依据全等三角形的性质得到AH=AG，最后依据到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【详解】
证明：（1）∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
令AB与DC的交点为G，
∵∠BGD=∠ABE+∠BFG，∠BGD=∠ADC+∠DAG，
∴∠ABE+∠BFG=∠ADC+∠DAG，
∴∠BFG=∠DAG=60°，
∴∠BFC=180°-∠BFG=120°；
（2）过点A作AH⊥DC，AG⊥BE，垂足分别为H、G．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AH⊥DC，AG⊥BE，
∴∠DHA=∠BGA=90°．
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE．
在△DAH和△BAG中，
∴△DAH≌△BAG．
∴AH=AG．
又∵AH⊥DC，AG⊥BE，
∴FA为∠DFE的角平分线．
【点睛】
本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、角平分线的判定，掌握本题辅助线的做法是解题的关键．【出处：21教育名师】
43．（2022·河南洛阳 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）学习角的平分线之后，老师留了一道思考题：还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）．下面是两位同学给出的两种方法：
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)同学1：我是用三角板按下面方法画角平分线：如图1，在已知的上，分别取．再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分．
(2)同学2：我是用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图2，以为圆心，以任意长为半径画弧与，交于点，，再以任意长为半径画弧与，交于点，，连接，交于点，连接，则平分．你认为同学2这种作角平分线的方法正确吗？若正确，请你给出证明过程；若错误，说出你的理由．
【答案】(1)见解析
(2)同学2这种作角平分线的方法正确．证明过程见解析
【解析】
【分析】
（1）由作法得，则可判断，从而得到平分；
（2）由作法得，则可判断，可得到，因此可证明，再根据，可得，从而得到平分．
（1）证明：由作法得，在和中，，∴，∴，∴平分；
（2）解：同学2这种作角平分线的方法正确.理由如下：由作法得，，可知.在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在与中，，∴，∴.即平分．
【点睛】
本题考查了作图——基本作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）是解题的关键．
44．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)EC＝BF；
(2)EC⊥BF；
(3)连接AM，求证：AM平分∠EMF．
【答案】(1)见解析．
(2)见解析．
(3)见解析．
【解析】
【分析】
（1）先求出∠EAC＝∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE＝90°可得∠ABF+∠BDM＝90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD＝90°，从而得证．
（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥B ( http: / / www.21cnjy.com )F于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；
（1）证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC＝BF；
（2）根据（1），∵△ABF≌△ ( http: / / www.21cnjy.com )AEC，∴∠AEC＝∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，所以EC⊥BF．
（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图： ( http: / / www.21cnjy.com / )∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件找出两组对应边的夹角∠EAC＝∠BAF是证明的关键，也是解答本题的难点．
45．（2022·江苏泰 ( http: / / www.21cnjy.com )州·八年级期末）如图，ΔABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O．求证：AO平分∠BAC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据垂直的定义得到∠ADC＝∠AEB＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，根据全等三角形的判定即可得到△ADC≌△AEB，进而可得BD＝CE，根据AAS得到△BDO≌△CEO，即可得到OD＝OE，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
DB＝EC；
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO＝90°，
在△BDO和△CEO中，
，
∴△BDO≌△CEO（AAS），
∴OD＝OE，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴AO平分∠BAC．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用两次全等解决问题．
46．（2022·辽宁·沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）八年级期中）已知：如图，在中，于点F，点E是线段DF上一点，连接AE，BE，BD，，，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
过B点作，构造全等三角形，利用角平分线判定得到平分，即可求解．
【详解】
过B点作，垂足为点G，
∴∠BGC=90°，
∵，，
∴∠BFE=90°，∠EBC=90°，
∵在中，AB∥CD，
∴∠ABG=90°，
∴∠FBE=∠GBC，
∵∠BFE=∠BGC=90°，，
∴（AAS）
∴BF=BG，
∴平分，
∴，
∴的度数为45°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与定义等，解题关键是正确做出辅助线构造全等三角形．
47．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
【答案】(1)5cm；
(2)见解析．
【解析】
【分析】
（1）过点作于，根据角平分线的性质即可解答；
（2）根据角平分线的性质得到，进而得到，根据角平分线的判定定理即可证明．
（1）解：过点作于， ( http: / / www.21cnjy.com / )
点在的平分线，，，cm，即点到直线的距离为；
（2）证明：点在的平分线，，，，同理：，，，，点在的平分线上．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质与判定，熟知角平分线的性质定理和判定定理，根据题意添加辅助线是解题关键．
48．（2022·江苏·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )专题练习）已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：PD＝PE＝PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质定理可得，由此即可得证；
（2）根据，利用角平分线的判定即可得出结论．
(1)
证明：平分，，
，
平分，，
，
．
(2)
解：点在的平分线上，理由如下：
如图，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
点在的平分线上．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与性质定理，熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题关键．
49．（2022·山东·济南育英中学八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．
(1)如图，若点P在线段AB的延长线上，求证：；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)如图，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)如图，若点P在边AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设，，求∠AEC的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】(1)见解析
(2)△ACE是直角三角形，理由见解析
(3)45°
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论；
（2）分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°，则∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
（3）设CE交AB于G，作GH⊥AC于H，先证GH＝GB，推出∠HCG＝∠BCG，再利用平行线的性质得出∠PEG＝∠BCG， 即可求解．2-1-c-n-j-y
(1)
证明：∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，
∴AB＝BC，BP＝BF，
∴AP＝CF，
在△APE和△CFE中，
∵，
∴△APE≌△CFE（SAS），
∴EA＝EC；
(2)
解：△ACE是直角三角形，
理由是：
∵P为AB的中点，
∴PA＝PB，
∵PB＝PE，
∴PA＝PE，
∵四边形BPEF是正方形，
∴∠APE＝90°，
∴∠PAE＝45°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形；
(3)
解：如图3，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设CE交AB于G，
∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴，，EP平分∠ACE
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB＝45°，
∴，
∴在中，，
∴，
又∵，
∴GH＝GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG＝∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG＝∠BCG，
∴∠AEC＝∠ACB＝45°．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理解直角三角形等，最后一问有一定难度，正确作辅助线，证明∠HCG＝∠BCG是解题的关键．
50．（2022·福建·厦门市松 ( http: / / www.21cnjy.com )柏中学八年级期末）如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终 ( http: / / www.21cnjy.com )有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)∠BAC=60°，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据∠BDC=∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论．
(2)过点A作AM⊥CD于点M ( http: / / www.21cnjy.com )，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
(1)
证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
(2)
证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
由(1)可知：∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN (AAS)
∴AM=AN．
∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
(3)
解：∠BAC的度数为60°，理由如下：
在CD上截取CP=BD，连接AP，如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP (SAS) ，
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
51．（2022·全国·八年级）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明．
（2）如图②，△ABC和△ADE互为 ( http: / / www.21cnjy.com )“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）∠BAD+∠BAC＝∠BAE，理由见解析；（2）见解析；（3）∠B+∠C＝180°，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠DAE，进而得到∠CAE＝∠BAD，得到答案；（2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的对应高相等得到AG＝AH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）延长DC至点P，使DP＝AD，证明△BAD≌△CAP，得到∠B＝∠ACP，根据邻补角的定义证明即可．
【详解】
（1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE，
理由如下：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC＝∠BAE；
（2）证明：如图②，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，
∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AG＝AH，
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AM平分∠BME．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）∠B+∠C＝180°，
理由如下：如图③，延长DC至点P，使DP＝AD，
∵∠ADP＝60°，
∴△ADP为等边三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAP，
在△BAD和△CAP中，
，
∴△BAD≌△CAP（SAS），
∴∠B＝∠ACP，
∵∠ACD+∠ACP＝180°，
∴∠B+∠ACD＝180°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，以及角平分线的判定，以及等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并证明是本题关键．
52．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F．
（1）求证：AE＝DC；
（2）求∠BFE的度数；
（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）18.23cm
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的性质可知 ( http: / / www.21cnjy.com )∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE．从而可证∠DBC＝∠ABE．即可利用“SAS”可证明△DBC≌△ABE，得出结论AE＝DC．
（2）过点B作BN⊥CD于N，BH ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AE于H．由△DBC≌△ABE可知∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF．再结合等边三角形的性质可求出∠FDA+∠DAF＝120°，进而求出∠DFA＝180°-120°＝60°，即求出∠DFE＝180°-60°＝120°．即可利用“AAS”证明△BEH≌△BCN，得出结论BH＝BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE＝60°．
（3）延长BF至Q，使FQ ( http: / / www.21cnjy.com )＝AF，连接AQ．根据所作辅助线可知∠AFQ＝∠BFE＝60°，即证明△AFQ是等边三角形，得出结论AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°．又可证明∠DAF＝∠BAQ．利用“SAS”可证明△DAF≌△BAQ，即得出DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，最后即可求出CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．
【详解】
（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE，
∴∠DBA+∠ABC＝∠EBC+∠ABC，即∠DBC＝∠ABE，
∵在△DBC和△ABE中，，
∴△DBC≌△ABE（SAS），
∴AE＝DC；
（2）解：如图，过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△DBC≌△ABE，
∴∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BDA+∠BAD＝120°，
∴∠FDA+∠DAF＝120°，
∴∠DFA＝180°-120°＝60°，
∴∠DFE＝180°-60°＝120°，
在△BEH和△BCN中，
，
∴△BEH≌△BCN（AAS），
∴BH＝BN，
∴BF平分∠DFE，
∴∠BFE＝∠DFE＝×120°＝60°；
（3）解：如图，延长BF至Q，使FQ＝AF，连接AQ．
则∠AFQ＝∠BFE＝60°，
∴△AFQ是等边三角形，
∴AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴∠DAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAQ，即∠DAF＝∠BAQ，
在△DAF和△BAQ中，，
∴△DAF≌△BAQ（SAS），
∴DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，
∴CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题为三角形综合题．考查等边三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及角平分线的判定和性质．正确的作出辅助线也是解答本题的关键．
53．（2022·全国·八年级）如图，中，于点，，点在上，，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）延长交于点，连接，求的度数；
（3）过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积．
【答案】（1）见解析；（2）∠CFD=135°；（3）△NBC的面积为21．
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△BDE≌△CDA，可得BE=CA；
（2）过点D作DG⊥AC于G， ( http: / / www.21cnjy.com )DH⊥BF于H，由全等三角形的性质可得∠DBE=∠ACD，S△BDE=S△ADC，由面积关系可求DH=DG，由角平分线的性质可得∠DFG=∠DFH=45°，即可求解；
（3）在CD上截取DE=AD=5，连接BE，延长BE交AC于F，由△BEN≌△MCN，可得EN=CN，由三角形的面积公式可求解．
【详解】
证明（1）在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=CA；
（2）如图2，过点D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△BDE≌△CDA，
∴∠DBE=∠DCA，S△BDE=S△ADC，
∵∠DBE+∠A=∠ACD+∠A=90°，
∴∠AFB=∠CFB=90°，
∵S△BDE=S△ADC，
∴，
∴DH=DG，
又∵DG⊥AC，DH⊥BF，
∴∠DFG=∠DFH=45°，
∴∠CFD=135°；
（3）如图3，在CD上截取DE=AD=5，连接BE，延长BE交AC于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由（1）、（2）可得BE=AC，BF⊥AC，BD=CD=12，
∵CM⊥CA，
∴BF∥CM，
∴∠M=∠FBN，
∵CM=CA，
∴CM=BE，
在△BEN和△MCN中，
，
∴△BEN≌△MCN（AAS），
∴EN=CN，
∵EC=CD-DE=12-5=7，
∴，
∴△NBC的面积，
故△NBC的面积为21．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
54．（2022·全国·八年级）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______．
【答案】（1）见解析；（2）DE= B E+DC.
【解析】
【分析】
（1）过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F ( http: / / www.21cnjy.com )，先证明∠BAG=∠CAF，然后证明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；
（2）过A作∠CAH=∠BAE，证 ( http: / / www.21cnjy.com )明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再证明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系.
【详解】
证明:（1）如图1，过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AG⊥BD，AF⊥DC，
∴∠AGD=∠F=90°，
∴∠GAF+∠BDC=180°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠GAF=∠BAC，
∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，
∴∠BAG=∠CAF，
在△BAG和△CAF中
∴△BAG≌△CAF（AAS），
∴AG=AF，
∴∠BDA=∠CDA，
（2）BE、DE、DC三条线段之间的等量关系是DE= B E+DC，理由如下：
如图2，过A作∠CAH=∠BAE交DC的延长线于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，
∵∠CAH=∠BAE，
∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，
在△EAD和△HAD中
，
∴△EAD≌△HAD（ASA），
∴DE=DH，AE=AH，
在△EAB和△HAC中
，
∴△EAB≌△HAC（SAS），
∴BE=CH，
∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，
∴DE=DC+BE.
故答案是：DE=DC+BE.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，线段和差的证明，掌握截长法和补短法是解答此题的突破口．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
