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专题14 角平分线的性质定理
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·江苏·八年级）到三角形三边距离相等的点是三条中垂线的交点（ ）
A．正确 B．错误
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角平分线性质得出即可；
【详解】
解：到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，所以到三角形三边距离相等的点是三条中垂线的交点是错误的；
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意:在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线”上．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=8m，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（ ）
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A．2m B．3m C．4m D．6m
【答案】A
【解析】
【分析】
先由由题意可求DC的长，由角平分线的性质可求解．
【详解】
解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
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∵AC＝8m，，
∴DC＝2m，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝2m，
∴点D到AB的距离等于2m，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键．
3．（2022·江苏·八年级专题练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
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A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点．
【详解】
∵要使凉亭到草坪三边的距离相等，
∴凉亭应在三条角平分线的交点处．
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别．
4．（2022·广西崇左·八年级期末）已知BG是的平分线，点D为BG上任意一点，且于点E，于点F，，则DE的长度是（ ）．
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A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论．
【详解】
解：∵BG是∠ABC的平分线
且DEAB，DFBC
∴DE=DF=3
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．
5．（2022·广东河源·八年级期末）如图，AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，于点M，，则点P到AC的距离是（ ）21·世纪*教育网
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线定理的内容可得点P到AC的距离等于PM的长．
【详解】
解：如图：过P做，
( http: / / www.21cnjy.com / )
AD是∠BAC的角平分线，，，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，准确理解并应用角平分线定理的内容是解题关键．21教育名师原创作品
6．（2022·广东·佛山市南海区狮山镇罗 ( http: / / www.21cnjy.com )村第二初级中学八年级阶段练习）如图P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，若PD=2，则PE的长是（ ）
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A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质解答即可．
【详解】
解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E
∴PE=PD=2．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的性质主要有角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7．（2022·四川泸州·八年级期末）如图，在中，的平分线交于点D，于点E，若，则的长为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质定理解答即可．
【详解】
解：∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=3．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（ ）
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A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD=2，然后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是∠BAC的角平分线, CD=3，
∴DE=CD=3，
∵AB=8，
∴△ABD的面积
故选A.
【点睛】
本题主要考查角了平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键.
9．（2022·河北保定·八年级期末）如图所示，在中，，是的角平分线，若，则点到边的距离为（ ）
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A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质即可知点D到AB边的距离等于CD长，即可选择．
【详解】
解：过D作DE⊥AB于E
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∵
∴DC⊥AC
又∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB
∴DE=DC=3
即点D到AB边的距离等于3．
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键．
10．（2022·陕西·无八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )阶段练习）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
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A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．
【详解】
根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．
故本题选A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键．
11．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，中，，BD平分，平分的外角，、交于点，则的度数（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，根据外角性质得出，再由角平分线的性质得出，，最后根据外角性质得出，将，的值代入式子中进而得出结果．21cnjy.com
【详解】
解：设，
根据外角性质可知：，
平分，平分的外角，
，．
根据外角性质：，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线、外角的性质的理解 ( http: / / www.21cnjy.com )与运用能力．主要涉及以下知识点：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半．灵活运用相关知识点是解本题的关键．www.21-cn-jy.com
12．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，中，的平分线与相交于点E，若，则的值为（ ）
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A．6 B．8 C．12 D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质有，根据平行的性质以及角平分线的性质可得，即有，进而有，则问题得解．
【详解】
在平行四边形ABCD中，有、、，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行的性质，等角对等边等知识，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则等于（ ）
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A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【答案】C
【解析】
【分析】
过点作于点，作于点，作于点，根据“角平分线上的点到两边距离相等”，可得，则三个小三角形高相等，面积比等于底边长度比．
【详解】
解：如图，过点作于点，作于点，作于点，
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是的三条角平分线，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的角平分线的性质，熟练地掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键．
14．（2022·江苏·八年级专题练习）点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到两边的距离相等，可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短，即可得出结论．
【详解】
∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴点P到OB的距离为5，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理以及垂线段最短，熟练掌握相关内容是解题的关键．
15．（2022·广东茂名·八年级期末）如图，平分，于点，，点是射线上的任意一点，则的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质及点到直线的距离——垂线段最短即可．
【详解】
解：根据角平分线的性质定理可知，
当DF垂直OB时，DF的值最小，
最小值为DF=DE=4，
故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理及点到直线的距离——垂线段最短．
16．（2022·河北邯郸·八年级期末）如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（ ）
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A．Р为两角平分线的交点 B．P为两边上的高的交点
C．P为两边的垂直平分线的交点 D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】
解：∵P到∠A的两边的距离相等，
∴P在∠A的角平分线上；
∵PA＝PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
17．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AB＝5，CP＝2，则△APB的面积为（ ）
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A．5 B．10 C．20 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
过P作于E，根据角平分线的性质得到，即可求出点P到边AB的距离，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：如图，过P作于E，
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∵，
∴．
∵AP是角平分线，，
∴．
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等是解决问题的关键．
18．（2022·广西河池·八年级期末）如图，是的平分线上一点，于，于，若，则的长为（ ）
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A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据角平分线的性质得出PE＝PF，再利用HL证明Rt△APE≌Rt△APF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE＝AF＝4．
【详解】
解：∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PE＝PF，∠AEP＝∠AFP＝90°，
在Rt△APE与Rt△APF中，，
∴Rt△APE≌Rt△APF（HL），
∴AE＝AF＝4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．
19．（2022·浙江丽水·八年级期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形．
B．三个内角之比为3:4:5的三角形是直角三角形．
C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离．
D．角平分线上的点到角两边的距离相等．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理、三角形内角和定理、点的坐标、角平分线的性质进行判断即可．
【详解】
A：对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，本选项错误不符合题意；
B：设三个内角分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
则三个内角分别为：45°、60°、75°，
∴三个内角之比为3:4:5的三角形不是直角三角形，本选项错误不符合题意；
C：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，本选项错误不符合题意；
D：角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项正确符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，全等三角形的判定、三角形内角和定理、点的坐标、角平分线的性质，熟记这些性质是解题的关键．
20．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）如图，ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交MG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（ ）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤．
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A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】
【详解】
由角平分线的定义和三角形内角和定理可求∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，由外角的性质和直角三角形的性质可求∠EBC＝5°，故①正确；同理可求∠BFE＝60°，由直角三角形的性质可得BF＝2EF，故②正确；由“ASA”可证△ABE≌△AHE，可得BE＝EH，由直角三角形的性质可得EC≠BE，故③错误；由“SAS”可证△BFN≌△BFG，可得∠BFN＝∠BFG＝60°，由“ASA”可证△AFD≌△AFN，可得AD＝AN，即AB＝BG+AD，故④正确；由角平分线的性质可得NQ＝NP，由全等三角形的性质可得S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，可得，故⑤正确，即可求解．
【解答】
解：①∵∠ACB＝60°，∠BAD＝70°，
∴∠ABC＝50°，
∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，
∴∠BFE＝60°，
∵BE⊥AG，
∴∠FBE＝30°，
∴∠EBC＝5°，故①正确；
②∵ACB＝60°，
∴∠BAD+∠ABC＝120°，
∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，∠BAG＝∠CAG＝∠BAC，
∴∠BFE＝∠ABD+∠BAG＝（∠ABC+∠BAC）＝60°，
∵BE⊥AG，
∴∠FBE＝30°，
∴BF＝2EF，故②正确；
③如图，延长BE，AC交于点H，
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∵∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∠AEB＝∠AEH＝90°，
∴△ABE≌△AHE（ASA），
∴BE＝EH，
∵BC≠AC，
∴EC≠BE，故③错误；
④如图，在AB上截取BN＝BG，连接NF，
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∵BN＝BG，∠ABD＝∠CBD，BF＝BF，
∴△BFN≌△BFG（SAS），
∴∠BFN＝∠BFG＝60°，
∴∠AFD＝∠AFN＝60°，
又∵∠BAG＝∠CAG，AF＝AF，
∴△AFD≌△AFN（ASA），
∴AD＝AN，
∴AB＝BG+AD，故④正确；
⑤如图，过点N作NP⊥BF于P，NQ⊥AF于Q，
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∵∠AFN＝∠BFN＝60°，NP⊥BF，NQ⊥AF，
∴NP＝NQ，
∵S△AFN＝×AF×NQ，S△BFN＝×BF×NP，
∴，
∵△BFN≌△BFG，△AFD≌△AFN，
∴S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，
∴，故⑤正确，
故选：B．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若AB＝10，BC＝8，则点G到直线AB的距离为（ ）
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A． B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
过点作交于点，根据勾股定理得到的长，根据题意得到 平分，故，即可证得，即可得到，设，则， 在中，根据勾股定理即可求得结果．
【详解】
解：过点作交于点，
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， ，，
，
由题意得到 平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中
，
即，
解得，
则点G到直线AB的距离为．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，掌握性质与定理是解题的关键．
22．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，在中，于点D．按下列方法作图：（1）以点B为圆心，以适当长为半径画弧分别交，于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点G；（3）作射线交于H；（4）连接并延长交于M．关于线段，下列说法正确的是（ ）
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A．线段是的一条角平分线 B．线段是的一条中线
C．线段是的一条高 D．线段平分线段
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可证明，得到，再根据，得到，利用可得，即可得到CH平分．
【详解】
解：由题意可知：平分，
∵，，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴CH平分，即线段是的一条角平分线，
故选：A
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的定义性质，解题的关键是证明，进一步证明．
23．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，，点E是AD上的点，连接BE，CE，且，BE平分．以下结论中：①E是AD中点，②，③，④，正确的个数为（ ）21教育网
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A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
延长BE交CD的延长线于点F，证明 ABE ( http: / / www.21cnjy.com ) DFE，得出AE=DE，AB=DF，即可判断①和②正确；过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，由角平分线的性质定理即可判断③④．
【详解】
解：延长BE交CD的延长线于点F，
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∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠F=∠CBE，
∴CF=BC，
∵∠BEC=90°，
∴CE⊥BF，
∴∠BCE=∠FCE，BE=EF，
∵∠AEB=∠FED，
∴ ABE DFE，
∴AE=DE，AB=DF，故①正确；
∵CF=CD+DF，
∴BC=CD+AB，故②正确；
∵∠EDC≠∠ECD，
∴ED≠EC，故③错误；
过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
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∵CE平分∠BCD，
∴EM=EN，
∴，故④正确；
故选：B．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．2·1·c·n·j·y
24．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②若AB＝4，OD=1，则；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD=a，AB+BC+CA＝2b，则．其中正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由角平分线的定义结合三角形的内角和可求 ( http: / / www.21cnjy.com )出∠AOB与∠C的关系，进而判断出①；过点O作OP⊥AB于P，由角平分线的性质可求解出OP=1，再根据三角形的面积公式即可判断出②；在AB上取一点H，使BH=BE，证明△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证明△HAO≌△FAO，得到AF=AH，进而判定③正确；作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证明得出④错误．
【详解】
∵和平分线相交于点O，
∴，，
∴
故①错误；
过O点作于P，
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∵BF平分，
∴OP=OD=1
∵AB=4
∴，
故②正确；
∵
∴
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线
∴
∴
∴
∴，
如图，在AB上取一点H，使BH=BE，
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∵BF是的角平分线，
∴,
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
作于N，于M，
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∵和的平分线相交于点O，
∴点O在的平分线上，
∴，
∵，
∴
，
故④错误
故选B．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线是解决本题的关键．
25．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，AD是的角平分线，，垂足为E，交ED的延长线于点F，若DE＝DF，AE＝2BF．下列四个结论：①BC平分；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
过点D作DH⊥AB于点H，利用角平分线的性质可证明DE＝DH，进一步可证Rt△ADE ≌Rt△ADH，得到AH＝AE＝2BF，由DE＝DF得到DH＝DF，由，得到∠F＝∠CED＝90°，证得BC平分，进一步证得Rt△BDF≌Rt△BDH，得BH＝BF，AB＝AH＋BH＝AE＋BF＝3BF，可证△CDE≌△BDF，得到CE＝BF，得到AC＝AE＋CE＝AE＋BF＝3BF，则△ABC是等腰三角形，得到，若，∠CAB＝∠CED＝∠F＝90°，四边形ABFE是矩形，则AE＝BF，与AE＝2BF相矛盾，得到②不正确．
【详解】
解：过点D作DH⊥AB于点H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是的角平分线，，
∴DE＝DH，∠CED＝90°，
∵AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴AH＝AE＝2BF，
∵DE＝DF，
∴DH＝DF，
∵，
∴∠F＝∠CED＝90°，
∴DF⊥BF，
∴BC平分，
故①正确；
∵BD＝BD，
∴Rt△BDF≌Rt△BDH（HL），
∴BH＝BF，
∴AB＝AH＋BH＝AE＋BF＝3BF，
故④正确，
∵∠F＝∠CED＝90°，DE＝DF，∠CDE＝∠BDF，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE＝BF，
∵AC＝AE＋CE＝AE＋BF＝3BF，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD是的角平分线，
∴，
故③正确；
若，则∠CAB＝∠CED＝∠F＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴AE＝BF，
与AE＝2BF相矛盾，
∴②不正确；
综上，正确的结论是①③④，
故选：C
【点睛】
此题考查了角平分线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的判定、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
26．（2022·浙江台 ( http: / / www.21cnjy.com )州·八年级期末）如图，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE，①AE平分△ABC的周长，②AE是△ABD的角平分线，③AE是△ABD的中线．以上结论正确的有（ ）
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A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
过点D作DF⊥AB于点F，根据题意可得AC+ ( http: / / www.21cnjy.com )CE=AB+BE，进而可以判断①正确；根据AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DC⊥AC，可得DF=DC，然后证明Rt△ADF≌Rt△ADC，可得AF=AC，然后根据线段的和差可得BE=DE，可得AE是△ABD的中线，进而判断③正确，若②也成立，则AE⊥BC，茅盾，故②不成立即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A→B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，
∴AC+CE=AB+BE，
∴AE平分△ABC的周长，故①正确；
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DC⊥AC，
∴DF=DC，
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴AF=AC，
∵∠B=45°，∠DFB=90°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴DF=BF，
∴AB=AF+FB=AC+CD，
∵AC+CE=AB+BE，
∴AB+BE=AC+CD+DE，
∴BE=DE，
∴AE是△ABD的中线，故③正确，
∵BE=DE，若AE是△ABD的角平分线，则AE⊥BC，
而AE不垂直BC，
∴AE不是△ABD的角平分线，故②错误．
综上所述，结论正确的有①③．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到Rt△ADF≌Rt△ADC．21世纪教育网版权所有
27．（2022·陕西宝鸡·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，∠AOB的内部作射线OM，过点M分别作MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，连接AB，若∠MAB＝20°，则∠AOM的度数为（ ）
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A．15° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【解析】
【分析】
由MA⊥OA于点A，MB⊥O ( http: / / www.21cnjy.com )B于点B，MA＝MB，根据角平分线的判定可得OM平分∠AOB，即∠AOM=∠BOM，则∠AMO=∠BMO，即OM平分∠AMB，根据等腰三角形三线合一得到OM⊥AB，然后利用等角的余角相等即可解答．
【详解】
解：∵由MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB
∴OM平分∠AOB，即∠AOM=∠BOM，
在△OBM和△OAM中
∴△OBM≌△OAM（AAS）
∴∠AMO=∠BMO，即OM平分∠AMB，
∵AM=BM，
∴OM⊥AB，
∵∠MAB+∠OAB=90°，∠AOM+∠OAB=90°，
∴∠AOM=∠MAB
∵∠MAB=20°，
∴∠AOM=∠MAB=20°．
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．
28．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，DC上的点，且∠EAF=45°，下列结论：①；②BE+DF=EF；③当△ABE≌△ADF时，EF的长为；④当EF=4时，△CEF是等腰直角三角形，其中正确结论的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
过点A作AH，使，可得到AE、AF分别是和的角平分线，利用角平分线性质得到点、、三点重合，即可得到BE+DF=EF，再证明，，即可得到，再利用勾股定理可判断③④从而得到答案．
【详解】
解：如下图所示，过点A作AH，使，AH交EF于点H，过点E做，垂足为M，过点F做，垂足为N；
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∵，∠EAF=45°，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴AE、AF分别是和的角平分线，
∵，；，;
∴，；
∵ ，
∴，，
∴,，
∵，
∴，
∴点、、三点重合，
∵，，，
∴，
∵，；
∴BE+DF=EF；
故①②正确；
当△ABE≌△ADF时，，
设，得，
∵,
∴，
解方程得（负数舍去），
∴，
故③正确
当△CEF是等腰直角三角形时，
设，,,
∵,
∴，
解方程得，，
故④不正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形、直角三角形、等腰三角形、角平分线的性质，解题的关键是作辅助线，构造出角平分线，并熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等．
29．（2022·安徽·合肥寿春中学八年级期末）如图，在△AOB和△DOC中，，，，．连接AC、BD交于点M，连接OM．下列结论：①，②；③OM平分∠AOD；④MO平分∠BMC．其中正确的结论个数有（ ）个
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A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
证明△AOC≌△BOD，判断②正确；根据△AOC≌△BOD，推出∠OAC=∠OBD，根据三角形内角和判断①；根据全等的性质得到，推出OE=OF即可判断④；假设∠DOM=∠AOM，证明△COM≌△BOM，推出OA=OC，由与OA＜OC矛盾判断③．
【详解】
∵OA=OB，OC=OD，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCD=∠ODC，
∵∠AOB＝∠COD＝108°，
∴∠OAB+∠OBA＝∠OCD+∠ODC=72°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC＝36°，
∵∠AOB＝∠COD，∠BOD=∠AOB+∠AOD，∠AOC=∠AOD+∠COD，
即∠AOC=∠BOD，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD，∠OAC=∠OBD，故②正确；
∵∠OAB+∠OBA=36°，
∵∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠OAC+∠ABD=∠MAB+∠ABM=∠AMD=36°×2=72°，
∴∠AMB=180°-∠AMD=180°-72°=108°，故①正确；
过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，即有∠OFM=∠OEM=90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD，，
∴OE=OF，
∴Rt△OFM≌Rt△OEM，
∴∠FMO=∠EMO，
∴MO平分∠BMC，故④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠AOD，
假设∠DOM=∠AOM，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠AMD，∠AMB=∠DMC，
∴∠CMO=∠BMO，
∴△COM≌△BOM，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与OA＜OC矛盾，
∴③错误；
故选：B．
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【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，假设法，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
30．（2022·全国·八年级）如图，在矩形中，，将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则下列结论不正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
用折叠性质判断A正确；用折叠性质和平角性质判断B正确；根据折叠性质可知，推出，根据角平分线性质得到，根据，得到，根据含30°角的直角三角形的边的关系推出，可判断C正确；根据折叠性质可知，根据含30°角的直角三角形边的关系推出，可判断D不正确．
【详解】
A.
由折叠知，，
故A正确；
B.
由折叠知，，且，
∴，
故B正确；
C.
∵，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴，
∵，AD=BC=4，
∴，
∴，
故C正确；
D.
∵，
故D不正确．
故选：D．
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【点睛】
本题主要考查了矩形，折叠，角平分线，含 ( http: / / www.21cnjy.com )30°角的直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握矩形的边角性质，折叠的性质，角平分线的定义和性质，含30°角的直角三角形三边的关系．
31．（2022·全国·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【详解】
∵∠B、∠C的角平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，
∵，
∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，
∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△BDF与△CEF为等腰三角形，
∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，
△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，
∵只有当△ABC是等腰三角形时，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF，
∴②③正确，①④不正确，
∵∠A＝80°，
∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，
∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及角 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
32．（2022·全国·八年级）如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD＋CE＝BC；⑤，其中正确的个数是（ ）个．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
①利用角平分线的性质与三角形内角和等于进行求解；
②利用三角形三条角平分线交于一点进行判断；
③过点作于，于，利用证明，则；
④过点作于，易证，，结合可证；
⑤利用“直角三角形中所对的边是斜边的一半”可得，再由勾股定理得，同理，，故，结合可得．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：①，
．
平分，平分，
，，
，
，①正确；
②三角形的三条角平分线交于一点，
平分，②正确；
③过点作于，于，
，，
，
又，
，
，
即．
平分，，，
．
在与中，
，
，
，③正确；
( http: / / www.21cnjy.com / )
④过点作于，
平分，
，
在与中，
，
，
同理，，
，，
，
即．
，
，
，④正确；
⑤平分，
，
在中，，
，
同理，，
，
又，
，⑤正确．
综上，正确的结论有个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，含角的直角三角形的三边关系，解决本题的关键是熟练掌握相关性质定理，并作出正确的辅助线．【出处：21教育名师】
33．（2022·广东·龙岭初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，连接AD，作DC⊥AD，且BD＝，则下列结论：①AD＝DC；②；③AB＋BC＝12；④若∠BDC＝3∠ADB，则BC＝AB．正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
过点A作于点E，过点D作于点F，作，交BA延长线于点G．用ASA证明，可判断①；根据，可判断②；判断四边形BFDG为正方形，对角线，即可求出，可判断③；利用AAS证明，即可确定为等腰直角三角形，即可得出结论，判断④．
【详解】
如图，过点A作于点E，过点D作于点F，作，交BA延长线于点G．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由作图可知四边形BFDG为矩形，
∴∠FDG＝90°，
∴∠FDA+∠ADG＝90°．
∵∠FDA+∠CDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF．
∵BD平分∠ABC，
∴DG=DF．
又∵∠DGA＝∠DFC＝90°，
∴，
∴AD＝DC，故①正确；
∵四边形BFDG为矩形，DG=DF，
∴四边形BFDG为正方形．
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形BFDG为正方形，对角线，
∴，
∴，故③正确；
∵∠BDC＝3∠ADB，
∴．
∵四边形BFDG为正方形，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，故④正确．
综上可知①②③④均正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质以及勾股定理等知识，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解题关键．21*cnjy*com
34．（2022·浙江·义乌市绣湖中 ( http: / / www.21cnjy.com )学教育集团八年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，，，利用角平分线和中位线的性质求得的长度，根据垂线段最短，即可求解．
【详解】
解：如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAD=45°，AB=10
∴为等腰直角三角形，
由题意可得，垂直平分，，
∴，
∴，
在中，，当、两点重合时，
即的最小值为
故选：B．
【点睛】
此题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰直角三角形的性质，中位线的性质，垂线段最短，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活运用相关性质进行求解．
35．（2022·全国·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．180° B．200° C．210° D．240°
【答案】A
【解析】
【分析】
过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到．
【详解】
解：过点作于，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点 ( http: / / www.21cnjy.com )到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键．
36．（2022·山东泰安·八年级期末）如图，的周长为19，点，在边上，的角平分线垂直于，垂足为，的角平分线垂直于，垂足为，若，则的长度为（ ）
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A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，．
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，
∴DE=BE+CD-BC=5，
∴MN=DE=．
故选：C．
【点睛】
此题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
37．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论正确的是（ ）
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A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．过点作于点，则
【答案】A
【解析】
【分析】
如图1中，作于．只要证明即可；如图2中，作于．只要证明即可得出错误；因为，推出点在线段的垂直平分线上，当时，也能找到这样的点；如图3中，在上取一点，使得，欲证明，只要证明，只要证明即可．由于缺少条件无法证明，故错误，【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：A、如图1中，作于．
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，，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，故A正确，符合题意；
B、如图2中，作于．
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同理可知，
，，
，
，
，
，
，
，
，故B错误，不符合题意．
C、，
点在线段的垂直平分线上，
当时，也能找到这样的点．
故C错误，不符合题意；
D、如图3中，在上取一点，使得，欲证明，只要证明，只要证明即可．
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由于缺少条件无法证明，故D错误，不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
第II卷（非选择题）
二、填空题
38．（2022·广东清远·八年级期末）如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为_________．
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【答案】
【解析】
【分析】
如图，过点作于，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解即可．
【详解】
解：如图，过点作于，
∵平分，点在上，于，，
∴，
∵点是射线上的动点，
∴的最小值为．
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了垂线段最短．理解和掌握角平分线的性质及垂线段最短是解题的关键．
39．（2022·云南昭通·八年级期末）如图，在△ABC中，，AD平分，若，，则△ABD的面积为______．
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【答案】15
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质定理可得DE=CD=3cm，即可求解．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥AB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，AD平分，，
∴DE=CD=3cm，
∵，
∴△ABD的面积为．
故答案为：15
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
40．（2022·福建·漳州三中八年级期中）已知是的平分线，点D在上，且于点E，于点F，，则_________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】5
【解析】
【分析】
直接利用角平分线的性质求解．
【详解】
解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
41．（2022·全国·八年级课时练习）如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为_______．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】5
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质即可求出．
【详解】
解：当时，最小，
平分，，，
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
42．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为 ________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】3
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质，即角平分线上任意一点到角两边的距离相等计算即可；
【详解】
∵在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴，
∵，
∴；
故答案是3．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质应用，准确计算是解题的关键．
43．（2022·北京大 ( http: / / www.21cnjy.com )兴·八年级期中）如图，在 ABCD中，AD＝10，AB＝7，AE平分∠BAD交BC于点E，则EC的长为 _____．www-2-1-cnjy-com
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【答案】3
【解析】
【分析】
先根据角平分线及平行四边形的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得出BE=AB，从而求出EC的长．
【详解】
解：∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=10，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=7，
∴EC=BC-BE=10-7=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了角平分线、平行四边形的性质及等边对等角，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键．
44．（2022·陕西省汉阴县初级中学八年级期末）如图，在中，，平分，，点到的距离为5.6，则___．
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【答案】
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出CD＝DE，再求出BD长，即可得出BC的长．
【详解】
解：如图，过D作DE⊥AB于E，
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∵∠C＝90°，
∴CD⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∵D到AB的距离等于5.6cm，
∴CD＝DE＝5.6cm，
又∵BD＝2CD，
∴BD＝11.2cm，
∴BC＝5.6＋11.2＝cm，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了角平分线性质的应用，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
45．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如图，为菱形的对角线上一点，于，，，则点到边的距离等于______．
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【答案】3
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出，根据菱形的对角线平分一组对角可得AC是∠BAD的平分线，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等求解．
【详解】
解：∵，
∴是直角三角形，
∴．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC是∠BAD的平分线．
∵PE⊥AB于点E，PE=3，
∴点P到的距离等于3．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，菱形的对角线平分一组对角的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握菱形和角平分线的性质是解题的关键．
46．（2022·湖南常德·八年级期末）如图，在中，，平分，交于点，若，的面积为60，则长______．
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【答案】6
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=CD，再由△ABD的面积为60，可得DE=6，即可求解．21·cn·jy·com
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
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∵AD平分∠BAC，，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵AB=20，△ABD的面积为60，
∴=60，
解得：DE=6，
∴CD=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．
47．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为___________．【版权所有：21教育】
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【答案】6
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得，，再由平行线的性质和角平分线的性质求出，从而得出其长．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，．
，
平分，
，
，
，
故答案是：6．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，解题的关键是求出的长．
48．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，已知中，，是的平分线，，，则的面积是_________．
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【答案】
【解析】
【分析】
过点作的垂线，交于 点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，得到，即可算出的面积．
【详解】
解：过点作的垂线，交于 点．
∵是的平分线，，，
∴cm，
在中，，cm
∴．
故答案为：．
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【点睛】
本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．解本题的关键在于熟练掌握角平分线的性质．
49．（2022·重庆沙坪坝·八年级期末）如图，在□中，，平分交于点，连接．若，平分．则□的周长为___________．
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【答案】
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质及角平分线的性质，通过角之间的转化，再利用等角对等边即可求出各边的长，从而求得平行四边形的周长．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴平行四边形的周长是．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等角对等边等知识．灵活运用相关的结论是解题关键．
50．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P，PF⊥AB，垂足为F，PF＝3，则点P到AC的距离为 _____．
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【答案】3
【解析】
【分析】
运用角平分线的性质添加辅助线PH⊥AC于点H，PG⊥BC于点G，等量代换得到PH=PF，即可得出答案．
【详解】
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如图，作PH⊥AC于点H，PG⊥BC于点G，
∵BD平分∠CBF，CE平分∠HCB
∴PG=PF，PG=PH
∴PH= PF
∵PF=3
∴PH=3
∴点P到AC的距离为3，
故答案为：3．
【点睛】
三角形中有公共边的两个外角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等．
51．（2022·辽宁辽阳·八年级期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，，分别以点，为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，若，的面积为3，则_________．
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【答案】
【解析】
【分析】
作，根据角平分线的性质得到AD=DE，再根据三角形的面积可求得结果．
【详解】
解：过点D作BC的垂线于一点E，如图所示，
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由基本做题可知，BD平分，
∴，
在和中,
∴，
∴AD=DE，
∵,，
∴，
即，
故答案为：
【点睛】
本题考查了基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
52．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，已知（）．请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
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(1)在边上找一点，使得直线平分的面积，请在图（1）中作图；
(2)在边上找一点，使得点到边的距离等于线段的长，请在图（2）中作图．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)作BC的垂直平分线交BC于点D，连接AD即可；
(2)过点B作BC的垂线交CA延长线于点F，作∠AFB的角平分线，交BC于点E即可；
(1)
解：如图所示，
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(2)
解：如图所示，
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【点睛】
本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的垂直平分线和角平分线，是解题的关键．
53．（2022·山东菏泽·八年级期末）已知：如图，是的角平分线．
求证：．
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【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=DC，在直角三角形BED中，，可得，从而结论即可得证．
【详解】
证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分，DE⊥AB，，
∴DE=DC，
∵在直角三角形BED中，，
∴，
∴．
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【点睛】
本题考查了角平分线的性质、含角的直角三角形，熟记角平分线的性质、在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．21*cnjy*com
54．（2022·福建省福州教育学院附属中学八年级期末）如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数．
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【答案】
【解析】
【分析】
根据平分，得到，根据垂直平分，求证，进而得到，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】
解：平分，
，
又垂直平分，
，
，
，
，，
，
，
即，
．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
55．（2022·广东潮州·八年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，CD=3．
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(1)求AB和DE的长；
(2)求△ADB的面积．
【答案】(1)AB=10，DE=3；
(2)△ADB的面积为15
【解析】
【分析】
（1）根据根据勾股定理得到AB，根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．
（1）解：∵∠C=90°，∴AB==10；∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；
（2）解：由（1）知，AB=10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB DE=×10×3=15．
【点睛】
本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
56．（2022·辽宁·沈阳市第四十三中学八年级阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于，交于，且．
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(1)求证：；
(2)_______°．
【答案】(1)证明见解析
(2)30
【解析】
【分析】
（1）依据线段垂直平分线的性质可知DB=D ( http: / / www.21cnjy.com )C，故此可得到∠C=∠DBC，然后利用角平分线的性质定理的逆定理可得到BD平分∠ABC，故此可证得∠ABD=∠C；
（2）依据∠C+∠ABC=90°求解即可．
(1)
证明：∵DE⊥BC，∠A=90°即DA⊥AB且AD=DE，
∴BD平分∠ABC．
∴∠ABD=∠DBC．
∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD．
∴∠DBC=∠C．
∴∠ABD=∠C．
(2)
∵∠ABC+∠C=90°，∠ABD=∠CBD=∠C，
∴3∠C=90°．
∴∠C=30°．
【点睛】
本题主要考查的是线段垂直平分线和角平分线的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．
57．（2022·全国·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )专题练习）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：AB＝AC
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【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△BDE Rt△CDF(HL)，根据全等三角形的性质得到结论．
【详解】
证明：∵AD是△ABC的角平分线
又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°
又∵BD=CD
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）
∴∠B=∠C
∴AB=AC．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．
58．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得，再用HL证明．
【详解】
证明：∵，
∴为的角平分线，
又∵点P在上，，，
∴，，
又∵（公共边），
∴．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．
59．（2022·江苏·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法）
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
作∠ABC的角平分线交AD于点P，点P即为所求，根据角平分线的性质定理可得到点P到AB的距离等于PD的长．
【详解】
解：如图，点P即为所求．
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【点睛】
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
60．（2022·河北保定·八年级期末）如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．
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(1)若，，则∠ADB＝___°．
(2)若，设△ABD和△CBD的面积分别为和，已知，则BC的长为___．
(3)如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设，求∠BHC与∠HFC的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)9
(3)∠BHC＝90°＋α，∠HFC＝α
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）如图（1），过作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
（1），是的角平分线，，，故答案为：71；
（2）如图，过作于，于， ( http: / / www.21cnjy.com / )是的角平分线，，，，故答案为：9；
（3）在中，由，可得，平分，平分，，，在中，，为的外角，设，，平分，平分，，．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
61．（2022·广东广州·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC上一点，DE、AE分别为∠ADC、∠DAB的平分线．
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(1)∠DEA＝ ；（需说明理由）
(2)求证：CE＝EB；
(3)探究CD、DA、AB三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)90°；
(2)见详解；
(3)CD+AB=DA．
【解析】
【分析】
（1）由∠B=∠C=90 可得CD∥AB，再由平行线的性质和角平分线的性质可得∠EDA+∠DAE=90 ，因此∠DEA=90 ．
（2）作EF丄AD于F，由角平分线的性质定理可得EC=EF=EB，结论得证．
（3）先由HL证明Rt△DCE≌Rt△DFE，因此得DC=DF，同理可证AF=AB，结论得证．
（1）解：∵∠B=∠C=90 ，∴∠B+∠C=180 ，∴AB∥CD，∴∠ADC+∠DAB=180 ．∵DE、AE分别为∠ADC、∠DAB的平分线，∴∠EDA=∠ADC，∠DAE=∠DAB，∴∠EDA+∠DAE=（∠ADC + ∠DAB ）==90°． ∴∠DEA=180 -(∠EDA+∠DAE)=90 ．故答案为90°．
（2）证明：作EF丄AD于F
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∵DE平分∠ADC，且∠C=90 ，EF丄AD，∴CE=FE．∵AE平分∠DAB，且∠B=90 ，EF丄AD，∴FE=EB，∴CE=EB．
（3）在Rt△DCE和Rt△DFE中 ∴Rt△DCE≌Rt△DFE，∴DC=DF．同理可证：Rt△AFE≌Rt△ABE，∴AF=AB，∴CD+AB=DF+AF=AD．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
62．（2022·河南南阳·八年级期末）如图所示中，，，的平分线相交于点，于点，于点．
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(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，，则的长为_________．
【答案】(1)见解析
(2)2
【解析】
【分析】
（1）先证明四边形为矩形，再利用角平分线的性质求出，可得四边形为正方形；
（2）利用勾股定理求出AB，然后根据列式得出，据此求出CE即可．
（1）证明：过点作于点，∵，于点，于点，∴，∴四边形为矩形，又∵，的平分线交于点，∴，∴四边形为正方形；
（2）解：∵，，，∴，∵四边形为正方形，∴，如图，连接CD，∵，∴，∴，∴，故答案为：2． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了矩形的判定，正方形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的性质以及正方形的判定与性质是解题的关键．
63．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，正方形中，是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线上移动，另一边交于Q．
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(1)如图1，当点Q在边上时，探究与所满足的数量关系；
小明同学探究此问题的方法是：过P点作于E点，于F点，根据正方形的性质和角平分线的性质，得出，再证明，可得出结论，他的结论应是______________；并证明该结论．
(2)如图2，当点Q落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）过P作，先证明四边形为正方形，再证明，即可得到结论；
（2）过P作，先证明四边形为正方形，再证明，从而可得结论．
（1）解：结论：，理由：过P作，如图所示： ( http: / / www.21cnjy.com / )∵P，C为正方形对角线上的点，∴平分，，∴，∴四边形为正方形，∵，∴，在和中，∴，∴．故答案为．
（2），理由如下：证明：过P作，∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )∵P，C为正方形对角线上的点，∴平分，，∴，∴四边形为正方形，∵，∴，∴，∴．
【点睛】
本题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
64．（2022·山东泰安·八年级期末）如图，中，，过点B作的平行线，与的平分线交于点D，点E是上一点，于点F，连接．
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(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先证明，，再根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，继而证明，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形解答；
（2）由菱形的性质得到菱形，，，继而证明，解出AC=4，最后由勾股定理解出．
（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵∴四边形是平行四边形，∵，∴是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，，∴，∴， ∴，∵，∴． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
65．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交CD、CA于点F、E．
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(1)求∠ACB的度数；
(2)试说明∠CEF＝∠CFE；
(3)若AC＝3CE，AB＝4BD，△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S△ABC＝60，则S△CEF﹣S△BDF＝ （仅填结果）．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)5
【解析】
【分析】
（1）证明∠BCD+∠ACD=90°，即可得到结论；
（2）由角平分线定义可得∠ABE=∠CBF， 进一步可得结论；
（3）分别求出S△BCE=20，S△BCD=15 ，再利用S△CEF－S△BDF=S△BCE－S△BCD求解即可．
（1）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC交CD，∴∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BE＝∠CBF，∵∠CEF＝∠A+∠ABE，∠CFE＝∠BCF+∠CBF，∠A＝∠BCF，∠CBF＝∠ABE，∴∠CEF＝∠CFE；
（3）解：∵AC＝3CE，即CE＝AC，∴S△BCE＝S△ABC＝×60＝20，∵AB＝4BD，即BD＝AB，∴S△BCD＝S△ABC＝×60＝15，∴S△BCE﹣S△DBC＝20﹣15＝5，即S△CEF﹣S△BDF＝5．故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查直角三角形两锐角互余，角平分线性质，三角形的面积公式，掌握相关概念与性质是解题的关键．
66．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，已知：E是的平分线上一点，，，C、D是垂足，连接，且交于点F．
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(1)求证：垂直平分．
(2)若，请你探究，之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)OE=4EF
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线定理得 ( http: / / www.21cnjy.com )到ED=EC，利用HL得到Rt△ODE≌Rt△OCE；得出OD=OC，得出点O、点E在线段CD的垂直平分线上，即可得出结论；
（2）由OE为角平分线，且∠AOB=60° ( http: / / www.21cnjy.com )，得到∠DOE=∠EDF=30°，在直角三角形ODE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到OE=2DE，在直角三角形DEF中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到DE=2EF，等量代换即可得证．
（1）证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴ED=EC，在Rt△ODE和Rt△OCE中，，∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），∴OD=OC；∴点O、点E在线段CD的垂直平分线上，∴OE是CD的垂直平分线；
（2）解：OE=4EF，证明 ( http: / / www.21cnjy.com )：∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF，
【点睛】
此题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
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专题14 角平分线的性质定理
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·江苏·八年级）到三角形三边距离相等的点是三条中垂线的交点（ ）
A．正确 B．错误
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=8m，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．2m B．3m C．4m D．6m
3．（2022·江苏·八年级专题练习） ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
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A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
4．（2022·广西崇左·八年级期末）已知BG是的平分线，点D为BG上任意一点，且于点E，于点F，，则DE的长度是（ ）．
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A．3 B．6 C．8 D．9
5．（2022·广东河源·八年级期末）如图，AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，于点M，，则点P到AC的距离是（ ）21cnjy.com
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A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·广东·佛山市南海区狮山镇 ( http: / / www.21cnjy.com )罗村第二初级中学八年级阶段练习）如图P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，若PD=2，则PE的长是（ ）21·cn·jy·com
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A．2 B．3 C． D．4
7．（2022·四川泸州·八年级期末）如图，在中，的平分线交于点D，于点E，若，则的长为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．12 B．10 C．8 D．6
9．（2022·河北保定·八年级期末）如图所示，在中，，是的角平分线，若，则点到边的距离为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．1 B． C．2 D．3
10．（2022·陕西·无八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级阶段练习）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
11．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，中，，BD平分，平分的外角，、交于点，则的度数（ ）
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A． B． C． D．
12．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，中，的平分线与相交于点E，若，则的值为（ ）【出处：21教育名师】
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A．6 B．8 C．12 D．18
13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则等于（ ）
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A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
14．（2022·江苏·八年级专题练习）点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·广东茂名·八年级期末）如图，平分，于点，，点是射线上的任意一点，则的最小值是（ ）
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A．6 B．5 C．4 D．3
16．（2022·河北邯郸·八年级期末）如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（ ）
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A．Р为两角平分线的交点 B．P为两边上的高的交点
C．P为两边的垂直平分线的交点 D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点
17．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AB＝5，CP＝2，则△APB的面积为（ ）
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A．5 B．10 C．20 D．12
18．（2022·广西河池·八年级期末）如图，是的平分线上一点，于，于，若，则的长为（ ）
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A．1 B．2 C．4 D．8
19．（2022·浙江丽水·八年级期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形．
B．三个内角之比为3:4:5的三角形是直角三角形．
C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离．
D．角平分线上的点到角两边的距离相等．
20．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）如图，ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交MG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（ ）www-2-1-cnjy-com
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤．
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A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
21．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若AB＝10，BC＝8，则点G到直线AB的距离为（ ）【版权所有：21教育】
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A． B．3 C．4 D．
22．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，在中，于点D．按下列方法作图：（1）以点B为圆心，以适当长为半径画弧分别交，于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点G；（3）作射线交于H；（4）连接并延长交于M．关于线段，下列说法正确的是（ ）21*cnjy*com
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A．线段是的一条角平分线 B．线段是的一条中线
C．线段是的一条高 D．线段平分线段
23．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，，点E是AD上的点，连接BE，CE，且，BE平分．以下结论中：①E是AD中点，②，③，④，正确的个数为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．4 B．3 C．2 D．1
24．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②若AB＝4，OD=1，则；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD=a，AB+BC+CA＝2b，则．其中正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
25．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，AD是的角平分线，，垂足为E，交ED的延长线于点F，若DE＝DF，AE＝2BF．下列四个结论：①BC平分；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（2022·浙江台州·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE，①AE平分△ABC的周长，②AE是△ABD的角平分线，③AE是△ABD的中线．以上结论正确的有（ ）
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A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
27．（2022·陕西宝鸡·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，∠AOB的内部作射线OM，过点M分别作MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，连接AB，若∠MAB＝20°，则∠AOM的度数为（ ）21教育名师原创作品
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A．15° B．20° C．30° D．40°
28．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，DC上的点，且∠EAF=45°，下列结论：①；②BE+DF=EF；③当△ABE≌△ADF时，EF的长为；④当EF=4时，△CEF是等腰直角三角形，其中正确结论的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2022·安徽·合肥寿春中学八年级期末）如图，在△AOB和△DOC中，，，，．连接AC、BD交于点M，连接OM．下列结论：①，②；③OM平分∠AOD；④MO平分∠BMC．其中正确的结论个数有（ ）个
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A．4 B．3 C．2 D．1
30．（2022·全国·八年级）如图，在矩形中，，将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则下列结论不正确的是（ ）
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A． B． C． D．
31．（2022·全国·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
32．（2022·全国·八年级）如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD＋CE＝BC；⑤，其中正确的个数是（ ）个．
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A．2 B．3 C．4 D．5
33．（2022·广东·龙岭初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，连接AD，作DC⊥AD，且BD＝，则下列结论：①AD＝DC；②；③AB＋BC＝12；④若∠BDC＝3∠ADB，则BC＝AB．正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
34．（2022·浙江·义乌市绣湖中学教育 ( http: / / www.21cnjy.com )集团八年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
35．（2022·全国·八年级课时练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
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A．180° B．200° C．210° D．240°
36．（2022·山东泰安·八年级期末）如图，的周长为19，点，在边上，的角平分线垂直于，垂足为，的角平分线垂直于，垂足为，若，则的长度为（ ）
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A． B．2 C． D．3
37．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论正确的是（ ）
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A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．过点作于点，则
第II卷（非选择题）
二、填空题
38．（2022·广东清远·八年级期末）如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为_________．
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39．（2022·云南昭通·八年级期末）如图，在△ABC中，，AD平分，若，，则△ABD的面积为______．21*cnjy*com
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40．（2022·福建·漳州三中八年级期中）已知是的平分线，点D在上，且于点E，于点F，，则_________．
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41．（2022·全国·八年级课时练习）如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为_______．21·世纪*教育网
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42．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为 ________．
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43．（2022·北京大兴·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，在 ABCD中，AD＝10，AB＝7，AE平分∠BAD交BC于点E，则EC的长为 _____．
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44．（2022·陕西省汉阴县初级中学八年级期末）如图，在中，，平分，，点到的距离为5.6，则___．
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45．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如图，为菱形的对角线上一点，于，，，则点到边的距离等于______．
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46．（2022·湖南常德·八年级期末）如图，在中，，平分，交于点，若，的面积为60，则长______．
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47．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为___________．
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48．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，已知中，，是的平分线，，，则的面积是_________．
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49．（2022·重庆沙坪坝·八年级期末）如图，在□中，，平分交于点，连接．若，平分．则□的周长为___________．
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50．（2022·辽宁大连·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P，PF⊥AB，垂足为F，PF＝3，则点P到AC的距离为 _____．21教育网
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51．（2022·辽宁辽阳·八年级期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，，分别以点，为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，若，的面积为3，则_________．www.21-cn-jy.com
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三、解答题
52．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，已知（）．请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
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(1)在边上找一点，使得直线平分的面积，请在图（1）中作图；
(2)在边上找一点，使得点到边的距离等于线段的长，请在图（2）中作图．
53．（2022·山东菏泽·八年级期末）已知：如图，是的角平分线．
求证：．
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54．（2022·福建省福州教育学院附属中学八年级期末）如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数．
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55．（2022·广东潮州·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，CD=3．
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(1)求AB和DE的长；
(2)求△ADB的面积．
56．（2022·辽宁·沈阳市第四十三中学八年级阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于，交于，且．
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(1)求证：；
(2)_______°．
57．（2022·全国·八年级专题练习） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：AB＝AC
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58．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．
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59．（2022·江苏·八年级专题练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法）
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60．（2022·河北保定·八年级期末）如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．
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(1)若，，则∠ADB＝___°．
(2)若，设△ABD和△CBD的面积分别为和，已知，则BC的长为___．
(3)如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设，求∠BHC与∠HFC的度数（用含的式子表示）．
61．（2022·广东广州·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC上一点，DE、AE分别为∠ADC、∠DAB的平分线．
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(1)∠DEA＝ ；（需说明理由）
(2)求证：CE＝EB；
(3)探究CD、DA、AB三条线段之间的数量关系，并说明理由．
62．（2022·河南南阳·八年级期末）如图所示中，，，的平分线相交于点，于点，于点．
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(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，，则的长为_________．
63．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，正方形中，是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线上移动，另一边交于Q．
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(1)如图1，当点Q在边上时，探究与所满足的数量关系；
小明同学探究此问题的方法是：过P点作于E点，于F点，根据正方形的性质和角平分线的性质，得出，再证明，可得出结论，他的结论应是______________；并证明该结论．
(2)如图2，当点Q落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想．
64．（2022·山东泰安·八年级期末）如图，中，，过点B作的平行线，与的平分线交于点D，点E是上一点，于点F，连接．
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(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
65．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交CD、CA于点F、E．
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(1)求∠ACB的度数；
(2)试说明∠CEF＝∠CFE；
(3)若AC＝3CE，AB＝4BD， ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S△ABC＝60，则S△CEF﹣S△BDF＝ （仅填结果）．
66．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，已知：E是的平分线上一点，，，C、D是垂足，连接，且交于点F．
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(1)求证：垂直平分．
(2)若，请你探究，之间有什么数量关系？并证明你的结论．
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