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专题16 角平分线的性质实际应用
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（ ）的交点．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．三条角平分线 B．三条中线
C．三条高的交点 D．三条垂直平分线
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．
【详解】
解：∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，
∴探照灯位置是△ABC的三条角平分线上，
故选：A．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质，数据角平分线的性质定理是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【答案】D
【解析】
【分析】
到三条相互交叉的公路距离相等的地点 ( http: / / www.21cnjy.com )应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看成三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系 ( http: / / www.21cnjy.com )实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．
3．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则：：等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．：： B．：：
C．：： D．：：
【答案】C
【解析】
【分析】
过点作于，于，于，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：，依据三角形面积公式求比值即可得．
【详解】
解：过点作于，于，于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
点是三条角平分线交点，
，
：：：：
，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查角平分线的性质及三角形面积公式，理解角平分线的性质是解题关键．
4．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，在中，，AD平分，DE垂直平分AC，若的面积等于2，则的面积为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可判定≌，≌，从而由的面积可得的面积，故可得的面积
【详解】
解：由题意：
中，，AD平分，DE垂直平分AC，可得：
在与中，
，，AD=AD
∴≌
在与中
AD=CD，AE=CE，DE=DE
∴≌
∵的面积等于2
∴的面积等于1
∴的面积为3
故选：B
【点睛】
本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理
5．（2022·全国·八年级）如图为 ( http: / / www.21cnjy.com )三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质，作三角形的三外角平分线，有三个交点，内角平分线有一个交点，但除去深水湖泊那个交点，共有3个．
【详解】
解：根据角平分线上的点到角两边距离相等可知，
三角形内心（即三角形内角角平分线的交点）为1个位置，
另外两外角平分线的交点，到三条公路的距离也相等，可找到3个，
但因为有1个在深水湖泊，
所以，有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．
6．（2022·河北衡水·八年级期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画孤，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画孤，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（ ）21教育网
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A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DE＝CD＝4，根据三角形面积公式即可得答案．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥AB于E．
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由作图可知，AP平分∠CAB，
∵，
∴BC⊥AC，
∵BC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4，
∴S△ABD＝AB DE＝×15×4＝30，
故选：B．
【点睛】
本题考查尺规作角平分线，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
7．（2022·山东济南·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM的一个动点，若PA＝4，则PQ的最小值为（ ）
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A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作PQ⊥OM于Q，根据角平分线的性质和垂线段最短解答．
【详解】
解：作PQ⊥OM于Q，
则此时PQ最小，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PQ＝PA＝4，即PQ的最小值为4，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．（2022·全国·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级）如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质可作直线l2与l3夹角的平分线与直线l1的交点即为符合条件的点．
【详解】
解：作直线l2与l3夹角的平分线OA，OB，交直线l1于A，B两点，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则在l1上到另两条公路的距离相等的位置有点A和点B两个位置．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角平分线上的任意一点点到角的两条边的距离相等，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．21教育名师原创作品
9．（2022·山西晋中·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）2022年左权县将倾力打造泽城村“中国北方国际写生基地”，实现“山水-写生-消费-产业“的全链条发展，为方便百姓利用直播带货，助推家乡产业发展，中国移动通信公司已经资助建设5G直播仓。目前，政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库Р到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在（ ）
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A．三条角平分线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质进行解答即可．
【详解】
解：∵仓库Р到村庄A、B、C的距离相等，
∴仓库P应选在三边的垂直平分线的交点．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，是解题的关键．
10．（2022·全国·八年级课 ( http: / / www.21cnjy.com )时练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（ ）
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A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】B
【解析】
【分析】
由在△ABC中，∠C=90° ( http: / / www.21cnjy.com )，AC=BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD=ED，AC=AE=BC，继而可得△DBE的周长=AB．
【详解】
∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，
∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△DBE的周长是：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=7cm．
故选 B．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
11．（2022·海南华侨中学八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DE=3，△ABC的面积为15，AB＝6，则AC的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
过点D作DF⊥AC，根据角平分线的性质得出DE＝DF＝3，根据三角形ABC的面积为15，求出AC的值即可．2·1·c·n·j·y
【详解】
过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝3，
∴，
解得AC＝4．故D正确．
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
12．（2022·四川宜宾·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．在∠B的平分线与DE的交点处
B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得到水池修建在∠ABC的平分线上，根据线段的垂直平分线的性质得到水池修建在DE的垂直平分线上，从而可对各选项进行判断．
【详解】
解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，
则水池修建的位置应该为P点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
13．（2022·全国·八年级课时练习）如图，从内一点 出发，把剪成三个三角形(如图1)，边放在同一直线上，点都落在直线上（如图2），直线，则点是的（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．三条角平分线的交点
B．三条高的交点
C．三条中线的交点
D．三边中垂线的交点
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得点O到三边的距离相等，点O是三角形三条角平分线的交点即可．
【详解】
解：∵直线，
根据平行线性质知点O到BC距离，点O到AC距离，点O到BA距离相等，
∴点O到三边的距离相等
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
故选择A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键．
14．（2022·四川德阳·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【解析】
【分析】
到三条相互交叉的公路距离相等的地点 ( http: / / www.21cnjy.com )应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看成三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】
解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；这是一道生活 ( http: / / www.21cnjy.com )联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．
15．（2022·广东·梅州市学艺中学八年级期中）在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高线的交点
C．三角形三条角平分线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】
利用角平分线的性质进行判断．
【详解】
解：在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点．
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16．（2022·全国·八年级）如图，a、 ( http: / / www.21cnjy.com )b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处
C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意知，超市应该是△ABC的内心，即该三角形的内角平分线的交点．
【详解】
∵如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等，
∴该超市是△ABC的内心，
∴超市应该建在∠α和∠β的平分线的交点处．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
17．（2022·全国·八年级）如图，在中，，AD平分，，，那么点D到直线AB的距离是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm
【答案】B
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB于E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DE=CD，再代入数据求出CD，即可得解．
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠CAB，
∴DE=CD，
∵BC=12cm，BD=8cm，
∴CD=BC-BD=12-8=4cm，
∴DE=4cm．
故选B．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
18．（2022·山东菏泽· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=10，AC=8，BC=4，则△ABD与△ACD的面积比是（ ）21*cnjy*com
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A．5：4 B．1：1 C．4：5 D．4：3
【答案】A
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E，D F⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质，得到DE=DF，根据，计算面积比即可．
【详解】
过点D作DE⊥AB，垂足为E，D F⊥AC，垂足为F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∵，
∴，
∵AB=10，AC=8，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．
19．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．9 B．6 C．3 D．4.5
【答案】C
【解析】
【分析】
作CN⊥OA，利用面积求出CM，根据角平分线的性质定理可得CN=CM，即可得答案．
【详解】
解：过点C作CN⊥OA，
∵CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，
∴S△COM=，
∴，
∵OC为∠AOB的平分线，CN⊥OA，CM⊥OB，
∴CN=CM=3．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形面积，角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题关键．
20．（2022·全国·八年级）如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
到三条相互交叉的公路距离相 ( http: / / www.21cnjy.com )等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处，
共四处，
故选：D．
． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质是正确解题的关键．
21．（2022·陕西·交大 ( http: / / www.21cnjy.com )附中分校八年级期中）如图，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD和△ADC的面积比是（ ）
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A．1:1 B．3:4 C．4:3 D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，过D分别作DE⊥AB ( http: / / www.21cnjy.com )于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，然后利用三角形的面积公式就可以得到△ABD与△ADC的面积比是AB：AC，再利用已知条件即可求出结果．
【详解】
解：如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∴S△ABD：S△ADC=AB DE：AC DF=AB：AC=4：3．
故选C．
【点睛】
本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记等高三角形的面积关系是解题的关键．
22．（2022·山西晋中·八年级期中）如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，过点D作于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.
【详解】
如图，过点D作于E，
，，
，
，BD平分，
，
即点D到AB的距离为2，
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
23．（2022·全国·八年级）如图，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD：BD=3：4．若BC=21，则点D到AB边的距离为( )．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7 B．9 C．11 D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
先确定出CD=9，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．
【详解】
解：∵CD：BD=3：4．
可设CD=3x，则BD=4x，
∴BC=CD+BD=7x，
∵BC=21，
∴7x=21，
∴x=3，
∴CD=9，
过点D作DE⊥AB于E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=9，
∴点D到AB边的距离是9，
故选B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，线段的和差，解本题的关键是掌握角平分线的性质定理．
24．（2022·湖南衡阳·八年级期末）小明 ( http: / / www.21cnjy.com )同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是( )
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A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】A
【解析】
【分析】
过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意 ( http: / / www.21cnjy.com )得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】
如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
25．（2022·湖北恩施·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（ ）
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A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【解析】
【分析】
首先过点E作△AEC的高，然后利用角平分线得到性质得到高的长度等于BE的长度，把AC做底，进而求得所求三角形的面积．
【详解】
解：如图所示：
过点E作EF⊥AC，则EF为△AEC的高，
因为AE平分∠BAC，
所以EF=BE=4 (角平分线上的点到角两边的距离相等)，
则△AEC面积=，
故选：B.
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第II卷（非选择题）
二、填空题
26．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知的周长是22，PB、PC分别平分和，于D，且，的面积是________．
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【答案】33
【解析】
【分析】
连接AP，过点P分别作PE⊥A ( http: / / www.21cnjy.com )B于点E，PF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理，可得PD=PE=PF=3，再根据三角形的面积等于三个小三角形的面积之和，即可求解．
【详解】
解：如图，连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PB、PC分别平分和，于D，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PD=PE=PF=3，
∵的周长是22，
∴的面积是 ．
故答案为：33
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
27．（2022·全国·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】4
【解析】
【分析】
作于，先利用角平分线的性质得到，再根据即可得．
【详解】
解：如图，作于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
平分，，
，
，
，
解得，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
28．（2022·重庆江北·八年级期末）如图，已知和都是等腰三角形，，、交于点，连接．下列结论：①；②⊥；③平分；④．其中正确结论的是__________．
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【答案】①②④
【解析】
【分析】
证明△DAC≌△EAB，再利用全等三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质即可判断①；②由全等三角形的性质可得∠ADC=∠AEB，再由∠ADE+∠AED=∠AED+∠EDO+∠ADC=180°-∠EAD =90°，证得∠EOD=90°，即可判断②；过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN，即AO平分∠BOD即可判断④；根据现有条件无法证明OA平分∠CAE即可判断③．
【详解】
解：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠DAE+ ∠EAC=∠BAC+ ∠EAC=∠EAB，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠AEB，故①正确：
∵∠ADE+∠AED=∠AED+∠EDO+∠ADC=180°-∠EAD=90°，
∴∠AED+∠EDO+∠AEB=90°，
∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠EOD=90°，
∴BE⊥CD，故②正确：
如图，过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△DAC≌△EAB，
∴，
∴AM=AN，
∴OA平分∠BOD，
∵BE⊥CD，
∴∠BOD=90°，
∴∠AOD=∠AOB=45°，故④正确；
根据现有条件无法证明OA平分∠CAE，故③错误，
∴正确结论为①②④．
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与定义，以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解答本题的关键．
29．（2022·湖南·安仁县思源实验学校八年级期末）如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】81
【解析】
【分析】
根据作图痕迹可得AD是平分线，EF是线段BC的垂直平分线，根据角与角之间关系即可求解．
【详解】
解：∵，，
∴，
根据作图痕迹可得AD是平分线，
∴，
根据作图痕迹可得EF是线段BC的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：81．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质，解题的关键是掌握相关性质并熟练运用数形结合的思想．
30．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】3
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
31．（2022·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝16，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD＝4，则△ABD 的面积为_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】32．
【解析】
【分析】
作 DE⊥AB 于 E，根据角平分线的性质求出 DE 的长，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：作 DE⊥AB 于 E，
∵AD 平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝4，
∴△ABD 的面积＝×AB×DE＝32，
故答案为：32
． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
32．（2022·福建福建·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC．若AD＝6，则点D到直线AB的距离＝_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】3
【解析】
【分析】
过D作DF⊥AB于点E，根据角平分线的性质解决本题即可．
【详解】
解：如图过D作DF⊥AB，
∵∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠A=∠ABD=∠CBD=30°，
过点D作DE⊥AB，则DE垂直平分AB，
∴，
∴点D到直线距离为3，
故答案为：3．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查角平分线的性质，点到直线的距离，直角三角形的三边关系，能够熟练应用角平分线的性质是解决本题的关键．
33．（2022·陕西·西北大学附中八年级期末）如图，在中，AD是的平分线，，，则____________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】5：4
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质得到DE=DF，再由三角形面积公式可求得结论．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是的平分线，
∴DE=DF
∵，，
∴
故答案为：5：4
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
34．（2022·全国·八年级）如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】50
【解析】
【分析】
作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PF＝PD＝5，然后根据三角形面积公式和S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC得到S△ABC＝（AB+BC+AC），再把△ABC的周长为20代入计算即可．【出处：21教育名师】
【详解】
作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图所示，
∵点P是△ABC三条角平分线的交点，
∴PE＝PF＝PD＝5，
∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝PD AB+PE BC+PF AC
＝（AB+BC+AC）
＝×20
＝50，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：50．
【点晴】
考查了角平分线的性质，解题关键是运用了：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
35．（2022·全国·八年级专题练习）如图，ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，则CD的长是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
过点作于，根据角平分线的性质和已知条件分别求得，再根据三角形面积公式求得，进而求得．
【详解】
过点作于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
AD平分∠BAC，
，
∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
故答案为．
【点睛】
本题考查了勾股定理，角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键．
36．（2022·广西·柳州市柳江中学八年级期末）如图，在中，平分，于点，交BC于点F，点是的中点，若，，则的长为______．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】1.5
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理以及三角形的中位线定理即可得到结论；
【详解】
∵BD平分∠ABC，AF⊥BD，
∴∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴BF=AB=7，AE=EF，
∵BC=10，
∴CF=3，
∵点G是AC的中点，
∴AG=CG，
∴EG=CF=，
故答案为：1.5．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键；
37．（2022·全国·八年级）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，的面积是，则的长为__________21·世纪*教育网
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【答案】4
【解析】
【分析】
过点作的垂线交于点，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积即可求出DH，从而求出结论．
【详解】
解：如图，过点作的垂线交于点，
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由题意可得：平分，
∵，
∴，
∵，的面积为，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题
38．（2022·上海·八年级期末）如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
由角平分线的性质可知，再利用三角形全等证明，根据线段垂直平分线的判定定理可得结论.
【详解】
解：∵是中的平分线，，
∴，
∵，，
∴
∴点、D都在的垂直平分线上
∴
【点睛】
本题综合考查了角平分线及线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质定理及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键.
39．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，在的正方形网格中，请用无刻度直尺按要求作图．
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(1)作平行四边形；
(2)在的延长线上找点E，连，使，再作矩形，使矩形面积为40平方单位；
(3)在图中找格点P，连，使平分，若交于M，则___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的定义画出图形即可．
（2）根据矩形的定义以及题目条件作出图形即可．
（3）取CG的中点P，连接AP交BC于M，利用面积法求解即可．
(1)
解：如图，平行四边形ACBD即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由图可得：ADBC，AD=BC=4，
∴四边形ACBD是平行四边形．
(2)
解：如图，矩形CEFG即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由图可得：AC==AE，
∵CG=EF=，CE=GF=，
∴四边形CEFG是平行四边形，
∵CE2+CG2=20+80=100=102=EG2，
∴∠ECG=90°，
∴四边形CEFG是矩形，
S矩形CEFG=CECG==40；
(3)
解：如图，点，点即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由图可知：CP=PG=，
由（2）知AG=AC=5，
∴AP平分∠CAG，即AP平分∠CAB，
过点作于．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计 ( http: / / www.21cnjy.com )作图，角平分线的性质定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
40．（2022·山东省郓城第一中学八年级阶段练习）如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？
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【答案】1m
【解析】
【分析】
先连接角平分线交点与各个定点，然后过交点作各个边的高，根据三角形的面积和周长来求交点到各个边的距离．
【详解】
如图，连接IA，IB，IC，作于一点D，于点E， 于点F
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵I为的三条角平分线的交点
∴IA，IB，IC分别为三个内角的角平分线
∴ID=IE=IF
∵，㎡
∴
即
∴
∵m
∴
∴m
∴ID=IE=IF=1m
即点I到每条边的距离为1m．
【点睛】
本题考查了三角形角平分线的性质，解题的关键是利用三角形的面积联系三角形的周长求得高．
41．（2022·江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题．
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(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
【答案】(1)=
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题目挖掘条件证明△ACD≌△ABD即可
（2）在AB边上取点E，使AC=AE，证明△ACD≌△AED，利用全等对应角和∠ABD+∠ACD=180°得到∠DEB=∠B，从而推出结论
（1）∵∠B+∠C=180 ( http: / / www.21cnjy.com )°，∠B=90°∴∠C=90°∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠BAD∵AD=AD∴△ACD≌△ABD（AAS）∴BD=CD
（2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD平分∠BAC∴∠C ( http: / / www.21cnjy.com )AD=∠EAD∵AD=AD，AC=AE∴△ACD≌△AED（SAS）∴DC=DE，∠AED=∠C∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°∴∠DEB=∠B∴DE=DB∴DB=DC
【点睛】
本题考查全等三角形的证明，以及角平分线常见辅助线；注意第二小题难点在于辅助线
42．（2022·贵州·遵义市新蒲新区天 ( http: / / www.21cnjy.com )立学校八年级期中）如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P．按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程）
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等；线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作图即可得答案．
【详解】
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线l，
作∠MON的平分线OQ，
OQ交直线l于P，
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P点即为所求．
【点睛】
本题考查了角平分线、线段垂直平分线的尺规作图方法，掌握这两种尺规作图方法是解题关键．
43．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知．
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(1)请用尺规作图．在内部找一点，使得点到、、的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）；【版权所有：21教育】
(2)若的周长为，面积为，求点到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意作的角平分线的交点，即为所求；
（2）根据（1）的结论，设点到的距离为，则，解方程求解即可．
(1)
如图，点即为所求，
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(2)
设点到的距离为，
由（1）可知点到、、的距离相等
则
解得：
点到的距离为
【点睛】
本题考查了作角平分线，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
44．（2022·四川省渠县中学八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）我国农村实行“村村通”惠民工程以后，A、B、C三个村庄都已互通了公路．若连接三个村庄的公路刚好围成一个直角三角形（如图），现在要修一个汽车站P，使其到三条公路的距离相等．已知连接三个村庄的公路长分别为5，12，13．（单位km ）
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(1)请用尺规作图设计出汽车站P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)汽车站位置设计方案的数学依据是 ；
(3)汽车站P到公路BC的距离为 km ．
【答案】(1)见解析
(2)角平分线上的点到角的两边距离相等
(3)2
【解析】
【分析】
（1）分别作的角平分线，交于点，点即为所求；
（2）根据角平分线的性质即可求解；
（3）过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥CB于点F，PG⊥AB于点G．连接PB．先证明是直角三角形，进而根据等面积法即可求解．
(1)
如图，点P即为所求；
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(2)
汽车站位置设计方案的数学依据是：角平分线上的点到角的两边距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等．
(3)
过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥CB于点F，PG⊥AB于点G．连接PB．
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∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵S△ABC= AC BC= AB PE+ AB PG+ BC PF，PE=PF=PG，
∴PE==2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
45．（2022·山东青岛·八年级期中）在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F．
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(1)求证：；
(2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)相等，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）根据BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBF，再根据DF⊥BC，得到∠DFB=∠BAD=90°，即可得到，即可证得AB=BF；
（2）先证明，即可得到∠BGE=∠BDF，再根据∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，得到∠AGD=∠ADB，即有AG=AD．
(1)
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠BAD=90°，
又∵BD=BD，
∴，
∴∠ADB=∠BDF，AB=BF；
(2)
AD=AG，理由如下：
∵AE是斜边BC上的高，
∴AE⊥BC，
又∵DF⊥BC，
∴，
∴∠BGE=∠BDF，
又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，
∴∠AGD=∠ADB，
∴AG=AD．
【点睛】
本题主要考查了角平分线性质、全等三角形的判定和性质、平行的判定和性质、等角对等边等知识，得到是解答本题的关键．21*cnjy*com
46．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知：如图，平分，C，D分别在上，若，求证：．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
如图，作辅助线，证明△PMC≌△PND，得到PM=PN，即可解决问题．
【详解】
证明：过P作PE⊥OA于点E，过P作PF⊥OB于点F，
则∠PEO=∠PFO=∠PFD=90°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠1=∠2，
在△POE和△POF中
，
≌，
∴PE=PF，
∵∠PCO+∠PDO=180°，∠PCO+∠PCE=180°，
∴∠PCE=∠PDF，
在△PCE和△PDF中，
∴△PEC≌△PFD，
∴PC=PD．
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【点睛】
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线；牢固掌握定理是灵活运用、解题的基础和关键．
47．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点．www.21-cn-jy.com
（1）求证：DE＝DF；
（2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积．
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【答案】（1）见解析； （2）
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质直接可得；
（2）根据已知条件证明，，再根据全等三角形的面积相等，即可求得.
【详解】
解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
（2）在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质＼全等三角形的判断和性质；解决本题的关键是掌握好全等三角形的判定和性质．
48．（2022·全国·八年级）已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在中，、分别平分、，过点作直线分别交、于点、，若，解答下列问题：
（1）证明：；
（2）若，，，，求的长．
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【答案】（1）见解析；（2）4
【解析】
【分析】
（1）连接由可得是等腰三角形，由三条角平分线交于一点可证平分即可；
（2）在上取点，使得，设，则，易证为等边三角形，可得，，可证≌（SAS）可得，，
，再证≌（SAS）可得，可证为等边三角形，由构造方程解之即可．
【详解】
（1）证明：连接，
，
是等腰三角形，
、分别平分、，
平分，
；
（2）解：在上取点，使得，设，则，
，
为等边三角形，
，，
在和中，
，
≌（SAS），
，，，
，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在和中，
，
≌（SAS），
，
又，
，
又，
为等边三角形，
，
，
即，
．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质，角平分线性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，利用构造方程是解题关键．21·cn·jy·com
49．（2022·广东·梅州市学艺中学八年级期中）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）证明，；进而证明 ，即可解决问题；
（2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：（1）平分，， ，
，；
在和中，
，
，
；
（2）平分，，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
平分，， ，
，
．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
50．（2022·四川广安·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.）
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C ( http: / / www.21cnjy.com )、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P．
【详解】
如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求．
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绝密★启用前
专题16 角平分线的性质实际应用
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·江苏·八年级专题练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（ ）的交点．21教育网
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A．三条角平分线 B．三条中线
C．三条高的交点 D．三条垂直平分线
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
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A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
3．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则：：等于（ ）
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A．：： B．：：
C．：： D．：：
4．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，在中，，AD平分，DE垂直平分AC，若的面积等于2，则的面积为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．6
5．（2022·全国·八年级） ( http: / / www.21cnjy.com )如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022·河北衡水·八年级期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画孤，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画孤，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（ ）21·cn·jy·com
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A．15 B．30 C．45 D．60
7．（2022·山东济南· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM的一个动点，若PA＝4，则PQ的最小值为（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B．2 C．4 D．
8．（2022·全国·八年级）如图，l ( http: / / www.21cnjy.com )3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
9．（2022·山西晋中·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）2022年左权县将倾力打造泽城村“中国北方国际写生基地”，实现“山水-写生-消费-产业“的全链条发展，为方便百姓利用直播带货，助推家乡产业发展，中国移动通信公司已经资助建设5G直播仓。目前，政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库Р到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在（ ）
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A．三条角平分线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点
10．（2022·全国·八年级课时练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（ ）
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A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
11．（2022·海南华侨中学 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DE=3，△ABC的面积为15，AB＝6，则AC的长是（ ）
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A．8 B．6 C．5 D．4
12．（2022·四川宜宾·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．在∠B的平分线与DE的交点处
B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
13．（2022·全国·八年级课时练习）如图，从内一点 出发，把剪成三个三角形(如图1)，边放在同一直线上，点都落在直线上（如图2），直线，则点是的（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．三条角平分线的交点
B．三条高的交点
C．三条中线的交点
D．三边中垂线的交点
14．（2022·四川德阳·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
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A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
15．（2022·广东·梅州市学艺中学八年级期中）在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是（ ）21·世纪*教育网
A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高线的交点
C．三角形三条角平分线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点
16．（2022·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级）如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（ ）
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A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处
C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处
17．（2022·全国·八年级）如图，在中，，AD平分，，，那么点D到直线AB的距离是（ ）21教育名师原创作品
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A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm
18．（2022·山东菏泽·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=10，AC=8，BC=4，则△ABD与△ACD的面积比是（ ）21*cnjy*com
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A．5：4 B．1：1 C．4：5 D．4：3
19．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（ ）
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A．9 B．6 C．3 D．4.5
20．（2022·全国·八年级）如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
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A． B． C． D．
21．（2022·陕西· ( http: / / www.21cnjy.com )交大附中分校八年级期中）如图，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD和△ADC的面积比是（ ）
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A．1:1 B．3:4 C．4:3 D．不能确定
22．（2022·山西晋中·八年级期中）如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于( )21cnjy.com
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A．4 B．3 C．2 D．1
23．（2022·全国·八年级）如图，已知△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD：BD=3：4．若BC=21，则点D到AB边的距离为( )．21世纪教育网版权所有
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A．7 B．9 C．11 D．14
24．（2022·湖南衡阳 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是( )
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A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
25．（2022·湖北恩施·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．15 B．30 C．45 D．60
第II卷（非选择题）
二、填空题
26．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知的周长是22，PB、PC分别平分和，于D，且，的面积是________．
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27．（2022·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级课时练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是___．【版权所有：21教育】
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28．（2022·重庆江北·八年级期末）如图，已知和都是等腰三角形，，、交于点，连接．下列结论：①；②⊥；③平分；④．其中正确结论的是__________．
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29．（2022·湖南·安仁县思源实验学校八年级期末）如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算______．
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30．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是_____．
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31．（2022·全国·八年级）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝16，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD＝4，则△ABD 的面积为_____．2-1-c-n-j-y
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32．（2022·福建福建 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC．若AD＝6，则点D到直线AB的距离＝_____．
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33．（2022·陕西·西北大学附中八年级期末）如图，在中，AD是的平分线，，，则____________．
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34．（2022·全国·八年级）如图所示，已 ( http: / / www.21cnjy.com )知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是______．
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35．（2022·全国·八年级专题练习）如图，ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，则CD的长是______．
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36．（2022·广西·柳州市柳江中学八年级期末）如图，在中，平分，于点，交BC于点F，点是的中点，若，，则的长为______．
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37．（2022·全国·八年级）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，的面积是，则的长为__________
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三、解答题
38．（2022·上海·八年级期末）如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF
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39．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，在的正方形网格中，请用无刻度直尺按要求作图．
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(1)作平行四边形；
(2)在的延长线上找点E，连，使，再作矩形，使矩形面积为40平方单位；
(3)在图中找格点P，连，使平分，若交于M，则___________．
40．（2022·山东省郓城第一中学八年级阶段练习）如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？
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41．（2022·江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题．
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(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
42．（2022·贵州·遵义市新蒲新区天立学 ( http: / / www.21cnjy.com )校八年级期中）如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P．按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程）
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43．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知．
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(1)请用尺规作图．在内部找一点，使得点到、、的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）；
(2)若的周长为，面积为，求点到的距离．
44．（2022·四川省渠县中学八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）我国农村实行“村村通”惠民工程以后，A、B、C三个村庄都已互通了公路．若连接三个村庄的公路刚好围成一个直角三角形（如图），现在要修一个汽车站P，使其到三条公路的距离相等．已知连接三个村庄的公路长分别为5，12，13．（单位km ）
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(1)请用尺规作图设计出汽车站P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)汽车站位置设计方案的数学依据是 ；
(3)汽车站P到公路BC的距离为 km ．
45．（2022·山东青岛·八年级期中）在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F．
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(1)求证：；
(2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由．
46．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知：如图，平分，C，D分别在上，若，求证：．
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47．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点．21*cnjy*com
（1）求证：DE＝DF；
（2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积．
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48．（2022·全国·八年级）已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在中，、分别平分、，过点作直线分别交、于点、，若，解答下列问题：【来源：21cnj*y.co*m】
（1）证明：；
（2）若，，，，求的长．
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49．（2022·广东·梅州市学艺中学八年级期中）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC．【出处：21教育名师】
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF．
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50．（2022·四川广安·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.）
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