2021-2022学年江苏省各地苏科版九年级数学上册2.7弧长及扇形的面积期末试题分类选编（word版 含解析）

2.7 弧长及扇形的面积
1．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）如图，在中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（ ）
A． B． C．π D．2π
3．（2022·江苏无锡·九年级期末）如图，AB是的直径，CD是的弦，且，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图，半圆O的直径，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C在OB上，点E在OA上，点D在弧AB上，四边形OCDE是正方形，则图中阴影部分的面积等于（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏无锡·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，，，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为；③BP存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，则的长为______．（结果保留π）
9．（2022·江苏宿迁·九年级期末）已知圆心角为的扇形面积为，则扇形的半径为______．
10．（2022·江苏南通·九年级期末）若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为_____（结果保留π）．
11．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积 _______cm2．
12．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知扇形的圆心角为，弧长为，则它的半径为______．
13．（2022·江苏南通·九年级期末）若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为__________．
14．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为__．
15．（2022·江苏宿迁·九年级期末）圆锥的底面半径为5cm，侧面展开图的面积是30πcm2，则该圆锥的母线长为________cm
16．（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）如图，⊙O的半径为5，的长为3π，则以∠AOB为内角正多边形的边数为 _____．
17．（2022·江苏泰州·九年级期末）已知圆弧所在圆的半径为36cm．所对的圆心角为60°，则该弧的长度为______cm．
18．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，⊙的半径为3，点是圆上的一个动点，轴，轴，垂足分别为、，是的中点，若点在圆上运动一周，则点运动过的路程长为______．
19．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图，有一张四边形纸片ABCD，已知，，，，小明和小丽各做了如下操作，请你选择他俩当中的一人所剪出的扇形，求出它的弧长等于______．
20．（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留）
21．（2022·江苏·景山中学九年级期末）如图，等边△ABC内接于☉O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD=，则图中阴影部分的面积等于_________．
22．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为_____．
23．（2022·江苏连云港·九年级期末）一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为_______cm2
24．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图示，半圆的直径，，是半圆上的三等分点，点是的中点，则阴影部分面积等于______.
25．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，∠AOB＝120°，的长为6πcm，则该圆锥的侧面积为_______cm2（结果保留π） ．
26．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）如图，将半径为6cm的圆分别沿两条平行弦对折，使得两弧都经过圆心，则图中阴影部分的面积为______cm2．
27．（2022·江苏南京·九年级期末）分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形．如图，等边的边长为2cm，则图中阴影部分的面积为______．
28．（2022·江苏淮安·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若弧EF的长为，则图中阴影部分的面积为_____．
29．（2022·江苏南京·九年级期末）已知⊙O的半径为5，弦AB⊥CD，且AB＝CD＝8，则阴影部分的面积为 _____．
30．（2022·江苏徐州·九年级期末）如图、直线、分别与相切于点、若的半径为，则弧的长为______结果保留
31．（2022·江苏盐城·九年级期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田．
（1）计算弧田的实际面积．
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米 （取近似值为3，近似值为1.7）
32．（2022·江苏扬州·九年级期末）在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧，每个网格设单位长度为1，如图：
(1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______；
(2)求弧AB的长（结果保留π）
(3)点D是上一点，连接AD、BD，则______．
33．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝ ，求阴影部分的面积．
34．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，内接于，是的直径，直线与相切于点，在上取一点使得，线段，的延长线交于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留．
35．（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，CE＝4．求图中阴影部分（弦AC和劣弧AC围成的部分）的面积．
36．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在RtABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，AE平分∠BAC．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若∠EAB＝30°，OD＝5，求图中阴影部分的周长．
37．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，AB、AC分别是半的直径和弦，于点D，过点A作半的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
(1)求证：PC是半的切线；
(2)若，，求由劣弧AC、线段AC所围成图形的面积S．
38．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，直线l经过⊙O上一点C，点A、B在直线l上，且OA＝OB，CA＝CB．
(1)直线l与⊙O相切吗？请说明理由；
(2)若OC＝AC，⊙l的半径为2，求图中阴影部分的面积．
39．（2022·江苏淮安·九年级期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为______；
（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．
40．（2022·江苏江苏·九年级期末）苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．
【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E从点A出发，沿边AD向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边BA向点A运动，它们的运动速度都是2cm/s，当点E运动到点D时，两点同时停止运动，连接CF、BE交于点M，设点E， F运动时问为t秒．
(1)【问题提出】如图1，点E，F分别在方形ABCD中的边AD、AB上，且，连接BE、CF交于点M，求证：．请你先帮小明加以证明．
(2)如图1，在点E、F的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长 cm．
(3)如图2，连接CE，在点E、F的运动过程中．
①试说明点D在△CME的外接圆O上；
②若①中的O与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围．
参考答案：
1．D
【解析】根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积计算即可．
解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=，AB=6，
∴扇形ABF的面积=，
故选择D．
本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．
2．C
【解析】由题意知，，为等边三角形，，可得弧长的值．
解：如图连接、、
∵，
∴，
∴为等边三角形
∴
故选C．
本题考查了圆周角，弧长等知识．解题的关键在于找出弧长所对的圆心角以及半径．
3．C
【解析】如图，连接OC，OD，可知是等边三角形，，，，计算求解即可．
解：如图连接OC，OD
∵
∴是等边三角形
∴
由题意知，
故选C．
本题考查了扇形的面积，等边三角形等知识．解题的关键在于用扇形表示阴影面积．
4．A
【解析】根据旋转的性质可知，由此可得，根据扇形面积公式即可得出结论．
由旋转得：∠B1AB＝60°，
∵，
∴＝＝．
故选：A．
本题主要考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解决本题的的关键根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积．
5．C
【解析】先根据题意判断出△A′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得，然后根据S阴影=S扇形ABA′-S△A′BP直接进行计算即可．
解：连接A′P，
∵A′B是直径，
∴∠A′PB=90°，
∵∠OBA′=45°，
∴△A′PB是等腰直角三角形，
∴PA′=PB=AB=，
∴，
∴S阴影=S扇形ABA′-S△A′BP=，
故选：C．
本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是得出S阴影=S扇形ABA′-S△A′BP．
6．B
【解析】连接OD，交CE于点F．由正方形的性质得出，．即根据扇形面积公式求出扇形AOD的面积即可．
如图，连接OD，交CE于点F．
∵四边形OCDE是正方形，
∴，，
∴．
故选B．
本题考查正方形的性质，扇形的面积公式．理解是解题关键．
7．B
【解析】根据，，点D、E分别是AB、AC的中点．得出∠DAE=90°，AD=AE=，可证∠DAB=∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），可判断①△AEC≌△ADB正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，根据△AEC≌△ADB，得出∠DBA=∠ECA，可证∠P=∠BAC=90°，CP为⊙A的切线，证明四边形DAEP为正方形，得出PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE=，可判断②CP存在最大值为正确；△AEC≌△ADB，得出BD=CE=，在Rt△BPC中，BP最小=可判断③BP存在最小值为不正确；取BC中点为O，连结AO，OP，AB=AC=6，∠BAC=90°，BP=CO=AO=，当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，可求∠ACE=30°，根据圆周角定理得出∠AOP=2∠ACE=60°，当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，可得∠ABD=30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD=60°，点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动轨迹为，L=L可判断④点P运动的路径长为正确即可．
解：∵，，点D、E分别是AB、AC的中点．
∴∠DAE=90°，AD=AE=，
∴∠DAB+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
故①△AEC≌△ADB正确；
作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，
∵△AEC≌△ADB，
∴∠DBA=∠ECA，
∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，
∴∠P=∠BAC=90°，
∵CP为⊙A的切线，
∴AE⊥CP，
∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，
∴四边形DAEP为矩形，
∵AD=AE，
∴四边形DAEP为正方形，
∴PE=AE=3，
在Rt△AEC中，CE=，
∴CP最大=PE+EC=3+，
故②CP存在最大值为正确；
∵△AEC≌△ADB，
∴BD=CE=，
在Rt△BPC中，BP最小=，
BP最短=BD-PD=-3，
故③BP存在最小值为不正确；
取BC中点为O，连结AO，OP，
∵AB=AC=6，∠BAC=90°，
∴BP=CO=AO=，
当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，
∴∠ACE=30°，
∴∠AOP=2∠ACE=60°，
当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，
∴∠ABD=30°，
∴∠AOP′=2∠ABD=60°，
∴点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动轨迹为，
∴L= L．
故④点P运动的路径长为正确；
正确的是①②④．
故选B．
本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．
8．π
【解析】连接OB、OC，构造等腰直角三角形求得中心角和圆的半径，利用弧长公式列式求解即可．
解：连接OB、OC，
∠BOC==90°，
∵BC=2，
∴OB=OC=2，
∴的长为=π，
故答案为：π．
本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造直角三角形，难度不大．
9．8
【解析】根据扇形面积的计算公式进行计算即可得出答案．
解：根据S＝ ，
可得：24π＝，
解得：r＝8．
故答案为：8．
本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行计算是解决本题的关键．
10．3π
【解析】利用弧长公式计算即可．
解：该扇形的弧长＝＝3π，
故答案为：3π．
本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝．
11．
【解析】先求解扇形所在圆的半径，再利用扇形的面积公式求解扇形的面积即可.
解： 扇形的圆心角为150°，弧长为20π，
故答案为：
本题考查的是扇形的弧长，扇形的面积，掌握“利用扇形的公式求解扇形的面积”是解题的关键.
12．
【解析】根据弧长的公式：l＝进行计算即可．
由扇形的弧长公式l＝，得：
解得：
故答案为：3．
本题考查了扇形的弧长的计算，掌握扇形的弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）是解题的关键．
13．
【解析】根据弧长公式求解即可．
扇形的圆心角为，半径为，
则弧长
故答案为：．
本题考查了弧长计算，熟记弧长公式是解题的关键．
14．##
【解析】连接OA、OC，先求出∠ABC的度数，然后得到∠AOC，再由弧长公式即可求出答案．
解：连接OA、OC，如图，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式．
15．6
【解析】根据圆锥底面圆周长=扇形弧长，圆锥侧面积=扇形面积，圆锥母线长=扇形半径，进行求解即可
设扇形弧长为，则
设扇形面积为，则
设扇形半径为，则，即
∴圆锥母线长为6cm
故答案为：6
本题考查了扇形与圆锥之间的关系，熟知以上关系是解题的关键．
16．5
【解析】先利用利用弧长的计算公式计算出∠AOB的度数，即可求得以∠AOB为内角正多边形的边数．
解：∵，
∴n，
∴∠AOB=108°，
设这个正多边形的边数为x．
∵正多边形的一个内角为108°，
∴这个正多边形的每个外角等于72°．
∴=72°．
∴x=5．
故答案为：5．
本题考查的是弧长公式、多边形的内角与外角公式，正确掌握弧长的计算公式是解决本题的关键．求正多边形的边数时，内角转化为外角，利用外角和360°知识求解更简单．
17．
【解析】根据弧长公式直接计算即可．
∵圆的半径为36cm．所对的圆心角为60°，
∴弧的长度为：=12π，
故答案为：12π．
本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式及其使用条件是解题的关键．
18．3π
【解析】如图，连接，由题意知，四边形是矩形，有，是的中点，进而可知的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆，计算圆的周长即可．
解，如图，连接
由题意知，四边形是矩形
∴
∴是的中点
∴的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆
∴点D运动过的路程
故答案为：．
本题考查了矩形的性质，圆的周长．解题的关键在于明确的运动轨迹．
19．或
【解析】分别求出两种扇形的圆心角，半径，再利用弧长公式求解即可．
解：小明的最大的扇形ATE，如图所示：
∵AB=AE=，AD=2，∠D=90°，
∴DE=，
∴AD=DE，
∴∠DAE=45°，
∵∠C=∠D=90°，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=80°，
∴∠DAB=100°，
∴∠BAE=55°，
∵AB=AT，
∴∠ABT=∠ATB=80°，
∴∠BAT=180°-160°=20°，
∴∠EAT=55°-20°=35°，
∴的长=，
小丽的扇形的圆心角为100°，半径为2，
∴扇形的弧长=，
故答案为：或．
本题考查弧长公式，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．
【解析】由，根据圆周角定理得出，根据S阴影=S扇形AOB－可得出结论．
解：∵，
∴，
∴S阴影=S扇形AOB－
，
故答案为：．
本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
21．
【解析】首先连接OB，OC，OD，由等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得∠BOC，∠BOD的度数，则证得△COD是等腰直角三角形，并利用勾股定理求得圆的半径，最后利用S阴影=S扇形OCD-S△OCD进行计算后即可得出答案．
解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°，
∴∠COD＝∠BOC ∠BOD＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝45°，
∴OC2+ OD2＝CD2．即2OC2=50，
∴OC=5，
∴S阴影=S扇形OCD-S△OCD=．
故答案为：．
此题考查了正多边形与圆、扇形面积的计算等知识，掌握辅助线的作法以及数形结合思想的应用是解题的关键．
22．
【解析】如图，连接OC，根据等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，求得，然后根据计算求解即可．
解：如图，连接OC，
∵CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°，
∴∠D+∠COD=90°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵CD=3，
∴，
∴
∴阴影部分的面积为．
故答案是：．
本题考查了切线的性质，扇形面积，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，含30°的直角三角形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
23．3π
【解析】此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式，即可求解.
根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为.
本题扇形面积的计算.熟记扇形面积公式是解题的关键.
24．
【解析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后计算扇形面积就可．
连接OC、OD、CD，如图所示：
∵△COD和△CDE等底等高，
∴S△COD=S△ECD．
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠COD=180°÷3=60°，
∴阴影部分的面积=S扇形COD=．
故答案为．
此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积是解题关键．
25．27π
【解析】首先求得扇形的半径长，然后求得扇形的面积即可．
解：设cm
的长为6πcm，
解得：cm
圆锥的侧面积为cm2
故答案为：27π．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．
26．
【解析】设该圆圆心为O，并用大写字母表示出其它点，作于点C．根据所作图形可知，再根据题意可知，，即得出．结合勾股定理，在中，可求出的长，即可求出AB的长，最后根据，结合圆的面积公式、扇形的面积公式，三角形面积公式求出结果即可．
如图，设该圆圆心为O，其它点如图所示，并作于点C．
根据垂径定理可知，．
∵该圆分别沿两条平行弦对折，且两弧都经过圆心，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
∴．
故答案为：
本题考查不规则图形的面积计算，涉及垂径定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，圆的面积公式，扇形的面积公式．正确的作出辅助线是解答本题的关键．
27．
【解析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其阴影面积三块扇形的面积相加，再减去三个等边三角形的面积，求出即可．
解：过作于，
是等边三角形，
，，
，
，，
的面积为，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，解题的关键是能根据图形得出阴影部分的面积三块扇形的面积相加、再减去三个等边三角形的面积．
28．2-
【解析】由切线的性质和平行四边形的性质得到BA⊥AC，∠ACB＝∠B＝45°，∠DAC＝∠ACB＝45°＝∠FAE，根据弧长公式求出弧长，得到半径，即可求得结果．
如图所示，连接AC，
∵CD与⊙A相切，
∴CD⊥AC，
在平行四边形ABCD中，
∵AB＝DC，AB∥CD，AD∥BC，
∴BA⊥AC，
∵AB＝AC
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵，AD∥BC
∴∠FAE＝∠B＝45°，∠DAC＝∠ACB＝45°＝∠FAE，
∴，
∴的长度＝，解得R＝2，
∴S阴影＝S△ACD S扇形＝×22 ＝2 ．
故答案为：2 ．
本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，弧长的求法，扇形面积的求法，知道S阴影＝S△ACD S扇形是解题的关键．
29．
【解析】过点作，垂足分别为，设交于点，连接，证明，，进而求得，，根据求解即可
如图，过点作，垂足分别为，设交于点，连接
，
同理可得
四边形是矩形
四边形是正方形
，，
故答案为：
本题考查了垂径定理，求扇形面积，三角形全等的性质与判定，圆周角定理，添加辅助线是解题的关键．
30．
【解析】连接，，根据切线的性质得到，根据四边形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论．
解：连接，，
直线、分别与相切于点A、，
，
，
，
的半径为，
的长．
故答案为：．
本题主要考查了切线的性质，弧长的计算，正确作出辅助线是解题的关键．
31．（1）弧田的实际面积为；（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差．
【解析】（1）先利用勾股定理及含的直角三角形的性质求解AO与AB的长度，接着算出的面积，再通过扇形面积公式求解扇形AOB的面积，最后利用割补法求解弧田面积．
（2）利用题中的公式求解出弧田面积，然后让该结果与题（1）中的结果相减，求出两者之差．
（1）解：弦AB，
由垂径定理可知：平分AB，并且OD还平分．
，
在中，对应的角的为
设，则．
由勾股定理可知：
解得（舍去）
，．
，扇形AOB的面积为
弧田实际面积为．
（2）解：由题（1）可得圆心到弦的距离等于1，故矢长为1．
按照题中弧田的面积公式得：弧田面积为，
∴两者之差面积之差为．
本题主要是考察了扇形面积公式以及圆和直角三角形的相关性质，注意此题利用了割补法求解弧田面积，这是初中数学求解面积常用的方法之一，一定要熟练掌握．
32．(1)
(2)
(3)
【解析】(1)连接AC，由∠ABC=90°，结合90°的圆周角所对的弦为直径得到AC为圆P的直径，进而求出AC的中点即为圆P的圆心；
(2)连接BP、AP，得到∠BPA=90°，求出圆的半径为，再由弧长公式即可求解；
(3)过圆心P作PH⊥AB于H，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到∠D=∠BPA，再由垂径定理得到∠BPH=∠BPA，进而得到∠D=∠BPH=45°，最后 即可．
(1)
解：由题意可知：连接AC，如下图所示：
∵∠ABC=90°，
∴AC为圆P的直径，
且A(1,1)，C(3,3)，
故AC的中点圆心P的坐标为(2,2)；
(2)
解：连接BP、AP，如下图所示：
则∠BPA=90°，
圆P的半径为，
由弧长公式可知：；
(3)
解：过圆心P作PH⊥AB于H，如下图所示：
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠D=∠BPA，
由垂径定理可知：∠BPH=∠BPA=×90°=45°，
∴∠D=∠BPH=45°，
且，
∴．
本题考查了垂径定理、圆周角定理及其推论，属于基础题，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本题的关键．
33．
【解析】根据圆的轴对称性可将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，因此计算出扇形OBD面积即为所求．
解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝（垂径定理），弧BC=弧BD
故S△OCE＝S△ODE，∠COB＝∠DOB，
∴S阴＝S扇形OBD ，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝∠DOB=60°（圆周角定理），
∴∠OCB=30°
∴OC＝，
解得：，
故S扇形OBD＝ ＝，
即阴影部分的面积为．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键．
34．(1)见解析
(2)
【解析】（1）连接OC，由DA＝DC得∠DCA＝∠DAC，由OA＝OC得∠OCA＝∠OAC，而直线l与⊙O相切于点A，则∠OCD＝∠OAD＝90°，可证得直线DC是⊙O的切线；
（2）先证明△BOC是等边三角形，则OC＝BC＝4，再根据勾股定理求出CE的长，由S阴影＝S△COE S扇形COB求出图中阴影部分的面积即可．
（1）
证明：如图，连接OC，
∵DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DCA＋∠OCA＝∠DAC＋∠OAC，
∴∠OCD＝∠OAD，
∵直线l与⊙O相切于点A，
∴直线l⊥OA，
∴∠OCD＝∠OAD＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且DC⊥OC，
∴直线DC是⊙O的切线.
（2）
解：∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝2×30°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC＝BC＝4，
∵∠OCE＝90°，∠COE＝60°，
∴∠E＝30°，
∴OE＝2OC＝2×4＝8，
∴CE＝，
∴S阴影＝S△COE S扇形COB＝．
此题考查圆的切线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、扇形的面积计算等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
35．（1）见解析；（2）
【解析】（1）连结OA，根据圆周角定理求得∠AOC=90°，又因AD∥OC，根据平行线的性质可得∠OAD=90°，即OA⊥AD，即可证得 AD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2 ，在Rt△OAE中，根据勾股定理列出方程，解方程求得R的长，即可求得⊙O的半径；再求出阴影部分的面积．
（1）证明：连结OA，如图，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∵OC∥AD，
∴∠AOC+∠OAD=180°
∴∠OAD=90°，即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-4，AE=2 ，
在Rt△OAE中，
∵AO2+OE2=AE2，
∴R2+（R-4）2=（2 ）2，
解得R=6或R=-2（舍去），
即⊙O的半径为6；
∴S阴影=S扇形OAC-S△OAC
=
本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、勾股定理及阴影部分的面积，第（2）问利用勾股定理求得半径的长是解决问题的关键.．
36．(1)见解析
(2)
【解析】（1）连接OE，根据AE平分∠BAC，可得∠CAE＝∠EAD，从而得到∠OEA＝∠CAE，进而得到OE∥AC，可得到OE⊥BC，即可求证；
（2）根据圆周角定理可得∠EOD＝60°，从而得到 ∠B＝30°，进而得到OB＝2OE＝2OD＝10，得到BD＝5，BE＝，即可求解．
(1)
证明：如图1，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠EAD，
∵OA＝OE，
∴∠EAD＝∠OEA
∴∠OEA＝∠CAE
∴OE∥AC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
(2)
解：∵∠EAB＝30°
∴∠EOD＝60°
∴∠OEB＝90°
∴∠B＝30°
∴OB＝2OE＝2OD＝10
∴BD＝5
∴BE＝＝
∴弧DE的长为= =
∴C阴影＝ ＝ ．
本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，求弧长，直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理，切线的判定定理，求弧长，直角三角形的性质是解题的关键．
37．(1)见解析
(2)
【解析】（1）连接OC，由题意可证△OCP≌△OAP（SSS），利用全等三角形的对应角相等以及切线的性质定理可得，即可证得结论；
（2）根据AB＝6，∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，可求得OD、AC，然后根据S＝S扇形AOC－S△AOC即可求得结果．
（1）
证明：如图，连接OC，
∵PA是半⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴CD＝AD，
∴PC＝PA，
∵OC＝OA，OP＝OP，
∴△OCP≌△OAP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP＝90°，
∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切线．
（2）
解：∵AB是⊙O的直径，且AB＝6，
∴OA＝OB＝3，
∵∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，
∴OD＝OA＝，
∴，
∴AC＝2AD＝，
∴，
∵∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴∠AOC＝180°－60°＝120°，
∴S扇形AOC＝，
∴S＝S扇形AOC－S△AOC＝．
本题主要考查了切线的性质和判定、扇形的面积公式、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂径定理和直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半．熟练掌握切线的性质和判定、扇形的面积公式和做辅助线的方法是解题的关键．
38．(1)相切，理由见解析
(2)4-π
【解析】（1）连接OC，证明△AOC≌△BOC，得到∠OCA=∠OCB=90°，根据切线的判定定理即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到AC=BC=2，求得AC=OC=BC=AB，再分别计算△AOB的面积和扇形的面积，相减可得结果．
(1)
解：相切，理由：如图，连接OC，
在△AOC≌△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OCA=∠OCB=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
(2)
∵△AOC≌△BOC，OC=AC=2，
∴AC=BC=2，
∴AC=OC=BC=AB，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB的面积为×2×4=4，扇形面积为：=π，
∴阴影部分的面积=△AOB的面积-扇形面积=4-π．
本题考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
39．（1）画图见解析；（2）；（3）
【解析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；
（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积=S扇形B1OB，然后计算即可得解．
解：（1）△A1OB1如图所示；
（2）由勾股定理得，BO=，
所以，点B所经过的路径长=，
故答案为：；
（3）由勾股定理得，OA=，
∵AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OB
BO扫过的面积=S扇形B1OB，
∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA-S扇形B1OB+S扇形B1OB，
=S扇形A1OA，
=．
考点：1.作图-旋转变换；2.勾股定理；3.弧长的计算；4.扇形面积的计算．
40．(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②
【解析】（1）根据正方形的性质以及动点的路程相等，证明，根据同角的余角相等，即可证明，即；
（2）当t＝0时，点M与点B重合，当时，点随之停止，求得运动轨迹为圆，根据弧长公式进行计算即可；
（3）①根据（2）可得△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点，继而判断点D、C、M、E在同一个圆（）上；②当与AB相切时，与正方形的各边共有5个交点，如图5则有6个交点，所以“当与AB相切时”是临界情况．如图4，当与AB相切（切点为G），连接OG，并延长GO交CD于点H，在Rt△CHO中求得半径,进而勾股定理求得，即可求得当时，与正方形的各边共有6个交点．
(1)
四边形是正方形，
，
又的运动速度都是2cm/s，
即
(2)
∵．
∴点M在以CB为直径的圆上，如图1，当t＝0时，点M与点B重合；
如图2，当t＝3时，点M为正方形对角线的交点．点M的运动路径为圆，其路径长．
故答案为：
(3)
①如图3．由前面结论可知：
∴△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点，
则
在Rt△CDE中，，O是CE的中点．
∴，
∴
∴点D、C、M、E在同一个圆（）上，
即点D在△CME的外接圆上；．
②．
如图4，当与AB相切时，与正方形的各边共有5个交点，如图5则有6个交点，所以“当与AB相切时”是临界情况．
如图4，当与AB相切（切点为G），连接OG，并延长GO交CD于点H．
∵AB与相切，
∴，
又∵，
∴，
设的半径为R．由题意得：
在Rt△CHO中，，解得
∴
∴，即
∴如图5，当时，与正方形的各边共有6个交点．
本题考查了求弧长，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形的外心，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．