北师大版（2019）必修第一册3.1不等式的性质 同步练习（Word版含解析）

第一章　预备知识
§3　不等式
3.1　不等式的性质
基础过关练
题组一　不等关系的表示
1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20 000元.设请木工x人,瓦工y人,则请工人满足的关系式是(　　)
　　　　 　　　　 　　　　
A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200
C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200
2.(2021安徽滁州定远民族中学月考)某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式组可表示为　(　　)
A. B.
C. D.
3.(2020安徽池州一中月考)用不等关系表示“a与b的差是非负数”是　　　　.
4.(2020安徽合肥一中测试)一个工程队规定要在6天内完成300立方米的工程,第1天完成了60立方米,现在要比原计划至少提前2天完成任务,则以后几天平均每天要完成的立方米数x应满足的不等式为　　　　　　　.
题组二　比较大小
5.如果-1A.-a>a>-a2>a2
B.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2
D.a>-a>a2>-a2
6.(2020辽宁六校协作体联考)已知a=,b=-,c=-,则下列选项正确的是(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
7.(2022江西萍乡一联)实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关系成立的是(　　)
A.b>a≥c B.c≥a>b
C.b>c≥a D.c>b>a
8.(2021山东烟台重点中学月考)某商场有三个门市房间需要粉刷,每个房间只用一种颜色的涂料粉刷,且三个房间的颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积分别为x,y,z(单位:m2),且xA.ax+by+cz B.az+by+cx
C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz
9.(2021河南洛阳期中)先后两次购买同一种物品,可采取两种不同的方式,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买该物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品,其中甲在两次购物时均采用第一种方式,乙在两次购物时均采用第二种方式.已知第一次购物时该物品的单价为p1,第二次购物时该物品的单价为p2(p1≠p2).甲两次购物的平均价格记为Q1,乙两次购物的平均价格记为Q2.
(1)求Q1,Q2的表达式(用p1,p2表示);
(2)通过比较Q1,Q2的大小,说明哪种购物方式比较划算.
题组三　不等式的性质及应用
10.(2020福建南平期中)如果a,b,c满足cA.ab>ac B.c(b-a)>0
C.cb211.(2021浙江杭州部分重点中学期中)如果aA.> B.->-
C.ab>a2 D.b2>ab
12.“a>b且c>d”是“a+c>b+d”的(　　)
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
13.(多选)(2021湖北武汉月考)已知6A.∈
B.a+2b∈{x|21C.a-b∈{x|-12D.∈
14.(2022江西宜春奉新一中月考)已知-1<2a+b<2,315.已知实数x,y满足116.(2020山东济宁二中月考)已知a>b>0,c题组四　不等式的证明
17.(2022河南信阳联考)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a5+b5>a2b3+a3b2.
18.已知a,b,x,y都为正数,且>,x>y,求证:>.
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
§3　不等式
3.1　不等式的性质
基础过关练
1.D
2.A
3.答案　a-b≥0
4.答案　3x≥300-60
5.B　不妨令a=-,则a2=,-a=,-a2=-,所以-a>a2>-a2>a,故选B.
6.B　∵a-c=-(-)=2-=->0,
∴a>c.
c-b=--+=(+)-(+),
而(+)2-(+)2=9+2-9-2=2-2>0,∴(+)-(+)>0,∴c>b,∴a>c>b.故选B.
7.D　由a2=2a+c-b-1可得(a-1)2=c-b≥0,
由a+b2+1=0可得a=-b2-1<-1,∴c>b,b-a=b2+b+1=+>0,∴b>a.综上,c>b>a.
8.答案　B
信息提取　①三个房间的粉刷面积分别为x,y,z,且x数学建模　以实际生活中粉刷房间为背景,将粉刷费用问题转化为不等式比较大小问题.利用作差法即可比较出大小,从而得到答案.
解析　∵x∴ax+by+cz-(az+by+cx)
=a(x-z)+c(z-x)
=(x-z)(a-c)>0,
∴ax+by+cz>az+by+cx.
同理ay+bz+cx-(ay+bx+cz)
=b(z-x)+c(x-z)
=(z-x)(b-c)<0,
∴ay+bz+cx同理az+by+cx-(ay+bz+cx)
=a(z-y)+b(y-z)
=(z-y)(a-b)<0,
∴az+by+cx综上可得,总费用最低为az+by+cx.
故选B.
9.解析　(1)设甲两次购物时购物量均为m,则两次购物总费用为p1m+p2m,
购物总量为2m,平均价格为Q1==.
设乙两次购物时所花钱数均为n,则两次购物总费用为2n,购物总量为+,
平均价格为Q2==.
综上,Q1=,Q2=.
(2)∵p1≠p2,
∴Q1-Q2=-==>0,
∴Q1>Q2.
由此可知,第二种购物方式比较划算.
10.C　由题意知c<0,a>0,则A、B、D中不等式一定成立;当b=0时,C中不等式不成立.故选C.
11.B　对于选项A,由a得>,故A错误;
对于选项B,由a得-<-,故B正确;
对于选项C,由a对于选项D,由a故选B.
12.A　a>b且c>d a+c>b+d,但a+c>b+d / a>b且c>d.所以“a>b且c>d”是“a+c>b+d”的充分不必要条件.故选A.
13.AC　A中,15B中,30<2b<36,所以36C中,-18<-b<-15,所以-12D中,=+1∈,故D错误.
故选AC.
14.答案　(5,10)
解析　令4a-b=m(2a+b)+n(a-b)=(2m+n)a+(m-n)b(m,n∈R),
则解得
所以4a-b=(2a+b)+2(a-b).
因为3因为-1<2a+b<2,
所以-1+6<2a+b+2(a-b)<2+8,
即5<4a-b<10,
所以4a-b的取值范围为(5,10).
易错警示
　　同向不等式的两边可以相加,但是这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大所求代数式的取值范围,所以利用不等式的性质求解代数式的取值范围时务必小心谨慎.
15.答案　
解析　因为1====-.
因为116.解析　∵c-d>0,
又a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴0<<.
∵e<0,∴>.
17.证明　a5+b5-a2b3-a3b2=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a3-b3)(a2-b2)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2).
因为a,b都是正数,所以a+b>0,a2+ab+b2>0,
又因为a≠b,所以(a-b)2>0,
所以(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0,
所以a5+b5>a2b3+a3b2.
18.证明　-=
=,
∵>>0,∴b>a>0.
又x>y>0,∴bx>ay,即bx-ay>0.
又x+a>0,y+b>0,∴>0,∴>.