北师大版（2019）必修第一册3.2基本不等式 同步练习（Word版含解析）

第一章　预备知识
§3　不等式
3.2　基本不等式
基础过关练
题组一　对基本不等式的理解
1.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为(　　)
　　　　 　　　　 　　　　
A.x≥2y B.x>2y
C.x≤2y D.x<2y
2.若x>0,y>0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是(　　)
A.≤ B.+≥1
C.≥2 D.≥1
3.已知a,b∈R,给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的条件个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
4.下列各式中,对任何实数x恒成立的一个式子是(　　)
A.x+1≥2 B.x2+1>2x
C.≤1 D.x+≥2
题组二　利用基本不等式比较大小
5.已知a>0,b>0,且a≠b,则,,,中最小的是(　　)
A. B.
C. D.
6.(2020广东佛山期中)已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则(　　)
A.ab≤ B.ab≥
C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤2
7.若a>b>c,则与的大小关系是　　　　　　　　　　.
题组三　利用基本不等式求最值
8.(2020浙江诸暨期末)已知函数y=x+(x>1),则函数的最小值等于(　　)
A.4 B.4+1
C.5 D.9
9.若正数x,y满足+=1,则3x+4y的最小值是(　　)
A.24 B.28
C.25 D.26
10.中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=12,c=8,则此三角形面积的最大值为(　　)
A.4 B.8
C.4 D.8
11.已知0A. B.
C. D.
12.(2021黑龙江鹤岗第一中学月考)(1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值;
(2)已知x<,求4x-2+的最大值.
题组四　利用基本不等式证明不等式
13.(2020江西临川二中月考)求证:当x<0时,x+≤-2.
14.已知a,b,c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
题组五　利用基本不等式解决实际问题
15.某工厂第一年的产量为A,第二年产量的增长率为a(a>0),第三年产量的增长率为b(b>0),这两年的平均增长率为x(x>0),则(　　)
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
16.(2022山东临沂期中联考)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米40元,侧面造价是每平方米20元,则该容器的最低总造价是　　　　元.
17.(2022广东普宁华侨中学月考)目前电动汽车越来越普及,可以通过固定的充电柱进行充电.某商场计划在地下停车库安装公共充电柱,以满足顾客的需求.据市场分析,公共充电柱的历年总利润y(单位:万元)与营运年数x(x是正整数)成一元二次函数关系,营运三年时总利润为20万元,营运六年时总利润最大,最大为110万元.
(1)求出y关于x的函数关系式;
(2)求营运的年平均总利润的最大值(注:年平均总利润=历年总利润÷营运年数).
能力提升练
题组一　利用基本不等式求最值
1.(2022江西抚州南城二中月考)已知x≥,则有(　　)
　　　　 　　　　 　　　　
A.最大值 B.最小值
C.最大值1 D.最小值1
2.(2021福建三明第一中学月考)已知正实数x,y满足x+2y=2xy,则x+y的最小值为(　　)
A.4 B.
C. D.+
3.(2021河北邢台第一中学月考)已知x>0,y>0,则x+y++的最小值为(　　)
A.4 B.6
C.2 D.3
4.设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值为(　　)
A.0 B.4 C.-4 D.-2
5.设a,b,c都是正实数,且a,b满足+=1,则使a+b≥c恒成立的c的取值范围是(　　)
A.(0,8] B.(0,10]
C.(0,12] D.(0,16]
6.(2020江苏南通期末)若07.(2020辽宁省实验中学月考)已知a,b,c均为实数,且a+b+c=0,abc=16,则正数c的最小值为　　　　.
8.已知x>0,则的最大值为　　　　.
9.(2021吉林长春东北师范大学附属中学段考)已知x>0,y>0,4x2+y2+xy=1,求:
(1)4x2+y2的最小值;
(2)2x+y的最大值.
10.(2022浙江精诚联盟联考)已知a>0,b>0.
(1)若a+b=4,求+的最小值及此时a,b的值;
(2)若2a2+b2=4a+4b,求+的最小值及此时a,b的值;
(3)若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此时a,b的值.
题组二　利用基本不等式证明不等式
11.(2021湖南长沙长郡中学检测)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)++≥8;
(2)≥9.
12.(2020浙江温州十校联考)设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.
题组三　利用基本不等式解决实际问题
13.(2021山东菏泽六校联考)欲在如图所示的锐角三角形空地中建一个内接矩形花园(阴影部分),则矩形花园面积的最大值为　　　　m2.
14.(2021四川绵阳南山中学开学考试)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时间内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月的运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,每1万件产品的进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司的最大月利润是　　　　万元.
15.(2022江苏苏州期中)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与(4x+1)成正比;若在距离车站10 km处建仓库,则y1与y2的值分别为2和8.2.记两项费用之和为w万元.
(1)求w关于x的解析式;
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小 并求出最小值.
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
§3　不等式
3.2　基本不等式
基础过关练
1.B　因为基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数,又x-2y≠0,所以x-2y>0,即x>2y.故选B.
2.B　∵0∵4≥x+y≥2,∴≤2(当且仅当x=y时,等号成立),故C不成立;
又0+=≥=,∵0<≤<2,
∴≥,∴+≥1(当且仅当x=y时,等号均成立),故B成立.故选B.
3.C　当,均为正数时,+≥2,故只需a,b同号即可,∴①③④均满足要求.故选C.
4.C　对于A,当x<0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不恒成立;对于D,当x=-2时,x+=-2-=-<2,故D不恒成立;对于C,x2+1≥1,所以≤1恒成立.故选C.
5.D　≤=≤≤ (当且仅当a=b时,等号均成立).
又∵a≠b,∴等号均不成立,
∴最小.故选D.
6.C　由2=a+b≥2得ab≤1,当且仅当a=b=1时,等号成立.a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥4-2=2,当且仅当a=b=1时,等号成立.故选C.
7.答案　≥
解析　因为a>b>c,所以=≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立.
8.C　因为x>1,所以y=x+=(x-1)++1≥2+1=5,当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立.故选C.
9.C　∵正数x,y满足+=1,
∴3x+4y=(3x+4y)=13++≥13+3×2×=25,当且仅当x=2y=5时,等号成立,
∴3x+4y的最小值是25.故选C.
10.答案　B
信息提取　三角形的边长分别为a,b,c,则其面积S=,p为三角形周长的一半.
数学建模　以中国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”为背景,将三角形的面积问题转化为基本不等式问题.先根据条件求出p,代入公式后,再利用基本不等式即可求出结果.
解析　由题意,得p=10,
∴S=
=
≤×=8,
当且仅当a=b=6时取“=”.
∴此三角形面积的最大值为8.故选B.
11.B　x(3-3x)=×3x(3-3x)≤×=,当且仅当3x=3-3x,即x=时取等号.
12.解析　(1)∵1=4a+b≥2=4,
∴≤,∴ab≤,
当且仅当4a=b,即a=,b=时取等号,
故ab的最大值为.
(2)∵x<,∴5-4x>0,
∴4x-2+=-+3
≤-2+3=1,
当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立,
故4x-2+的最大值为1.
13.证明　因为x<0,所以-x>0,->0,
所以-x+≥2=2,即-≥2,当且仅当-x=-,即x=-1时,等号成立,所以x+≤-2.
14.证明　∵a,b,c都是正数,
∴a+b≥2 >0,当且仅当a=b时,等号成立,b+c≥2>0,当且仅当b=c时,等号成立,c+a≥2>0,当且仅当c=a时,等号成立.
∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.
15.B　依题意有A(1+x)2=A(1+a)(1+b)(a,b,x>0),
∴1+x=≤[(1+a)+(1+b)]=1+,当且仅当a=b时取等号.∴x≤.故选B.
16.答案　320
解析　设容器底面相邻的两边长分别为a m,b m,总造价为y元.
∵长方体容器的容积为4 m3,高为1 m,
∴底面面积S=ab=4(m2),
∴y=40S+20[2(a+b)]=40(a+b)+160.
∵a+b≥2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,
此时y取得最小值320,故该容器的最低总造价是320元.
17.解析　(1)因为营运六年时总利润最大,最大为110万元,
所以一元二次函数的图象开口向下,且顶点坐标为(6,110),
可设y=a(x-6)2+110(a<0).
又营运三年时总利润为20万元,所以20=a×(3-6)2+110,解得a=-10,
则y=-10(x-6)2+110=-10x2+120x-250(x∈N+).
(2)由(1)得年平均总利润为=-10+120≤-20+120=20,
当且仅当x=,即x=5时取“=”.
所以营运的年平均总利润的最大值为20万元.
能力提升练
1.D　∵x≥,∴x-2>0,∴==≥×2×=1,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立,故有最小值1.
2.D　由已知得+=1,
则x+y=(x+y)·=+1++≥+2=+,
当且仅当=,即x=,y=时,等号成立.故x+y的最小值为+.
3.B　由已知得x+y++=+≥2+2=2×2+2=6,
当且仅当x=且y=,即x=2且y=1时取等号,
故x+y++的最小值为6.
易错警示
　　多个不等式相加,所有不等式的等号同时成立,相加之后的不等式等号才能成立.
4.C　由++≥0,得k≥--,即k≥---2,又++2≥4(当且仅当a=b时取等号),所以-≤-4,因此要使k≥-恒成立,需k≥-4,故实数k的最小值为-4.
5.D　由已知得a+b=(a+b)=10++≥10+2=16,当且仅当=,即b=3a时,等号成立,此时a=4,b=12,∴a+b≥16.要使a+b≥c恒成立,需06.答案　9+4
解析　令1-x=y,则x+y=1,
+=+=(x+y)=9++≥9+2=9+4,当且仅当=,即x=时,等号成立,故+的最小值为9+4.
7.答案　4
解析　因为c为正数,所以由a+b+c=0,abc=16知a<0,b<0,且(-a)+(-b)=c,ab=.
又(-a)+(-b)≥2(当且仅当a=b时取等号),
∴c≥2,∴c2≥,∴≥0,∴c3≥64,∴c≥4.∴正数c的最小值为4.
8.答案　4
解析　∵x>0,∴3x+3>0,9x+1>0,
∴=
≤=4,
当且仅当3x+3=9x+1,即x=时,等号成立.
∴的最大值为4.
9.解析　(1)∵4x2+y2≥2·2x·y=4xy,∴xy≤,当且仅当2x=y时等号成立,
又4x2+y2+xy=1,∴1=4x2+y2+xy≤4x2+y2+,
∴4x2+y2≥,当且仅当x=,y=时等号成立,
∴4x2+y2的最小值是.
(2)由4x2+y2+xy=1,得(2x+y)2-1=3xy.
又∵2xy≤,当且仅当2x=y时等号成立,
∴(2x+y)2-1≤×,
∴(2x+y)2≤,∴2x+y≤,
当且仅当x=,y=时等号成立,
∴2x+y的最大值是.
10.解析　(1)∵a+b=4,a>0,b>0,
∴+=(a+b)=++≥+2=,当且仅当4a2=b2,即a=,b=时取等号,
∴+的最小值为,此时a=,b=.
(2)∵2a2+b2=4a+4b,
∴+===+≥2=,
当且仅当2a2=b2,即a=1+,b=+2时取等号,
∴+的最小值为,此时a=1+,b=+2.
(3)∵a2+3b2+4ab-6=0,∴(a+3b)(a+b)=6,∴5a+9b=2(a+3b)+3(a+b)≥2=12,当且仅当2(a+3b)=3(a+b),即a=,b=时取等号,∴5a+9b的最小值为12,此时a=,b=.
11.证明　(1)∵a+b=1,a>0,b>0,
∴++=++=2,
+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时,等号成立,
∴++≥8.
(2)证法一:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+=1+=2+,
同理,1+=2+,
∴=
=5+2≥5+4=9,
当且仅当a=b=时,等号成立,
∴≥9.
证法二:由(1)知,++≥8,
故=1+++≥9,
当且仅当a=b=时,等号成立.
12.证明　∵a,b,c都是正数,
∴,,都是正数,
∴+≥2c,当且仅当a=b时,等号成立,+≥2a,当且仅当b=c时,等号成立,+≥2b,当且仅当a=c时,等号成立.
三式相加,得2≥2(a+b+c),即++≥a+b+c,
当且仅当a=b=c时,等号成立.
13.答案　400
解析　如图,设矩形花园的一边DE的长为x m(x>0),其邻边长为y m(y>0),则矩形花园的面积为xy m2,
易知△ADE与△ABC相似,
∴=,又∵AG=BC=40,∴AF=DE=x,
又FG=y,∴AG=AF+FG=x+y=40.
由基本不等式可得x+y≥2,则xy≤400,
当且仅当x=y=20时,等号成立,故矩形花园的面积的最大值为400 m2.
14.答案　37.5
解析　由题意,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3-,
即t=-1(1设月利润为y万元,
则y=x-32x-3-t=16x--3=16x-+-3
=45.5-≤45.5-2=37.5,
当且仅当16(3-x)=,即x=时取等号,
故该公司的最大月利润为37.5万元.
15.解析　(1)设y1=,y2=k2(4x+1),
∵在距离车站10 km处建仓库时,y1与y2的值分别为2和8.2,
∴k1=2×10=20,k2==0.2,
∴y1=,y2=0.2(4x+1)=0.8x+0.2,
∴w=y1+y2=+0.8x+0.2(x>0).
(2)∵w=+0.8x+0.2≥2+0.2=8.2,当且仅当=0.8x,即x=5时等号成立,
∴这家公司应该把仓库建在距离车站5 km处,才能使两项费用之和最小,最小值为8.2万元.