北师大版（2019）必修第一册1.4一元二次函数与一元二次不等式 同步练习（Word版含解析）

第一章　预备知识
§4　一元二次函数与一元二次不等式
基础过关练
题组一　 一元二次函数的图象与性质
1. (2020江西临川二中月考)已知函数y=ax2+bx+c的图象如图,则此函数的解析式可能为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=x2-x-3 B.y=x2-x+3
C.y=-x2+x-3 D.y=-x2-x+3
2.(2022湖南天壹名校联盟联考)如图为函数y=ax+b的图象,则函数y=x2+ax+b的图象可能为(　　)
3.若一元二次函数y=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1]上的函数值y随自变量x的增大而减小,则(　　)
A.a<-2 B.a≤-2
C.a>-2 D.a≥-2
4.若函数y=ax2+2x-4的图象位于x轴下方,则a的取值范围是　　　　.
5.(2020湖南长沙长郡中学检测)函数y=2(x-1)2+1的图象通过怎样的变换可以得到函数y=x2的图象
题组二　一元二次不等式及其解法
6.(2022河南安阳高级中学期中)已知集合A={-2,0,1,2},B={x|x(x-2)<0},则A∩B=(　　)
A.{1} B.{0,1}
C.{-2,0,2} D.{1,2}
7.不等式组的解集是(　　)
A.(2,3)
B.∪(2,3)
C.∪(3,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
8.(2021福建三明第一中学月考)已知a<0,关于x的一元二次不等式ax2-(2+a)x+2>0的解集为(　　)
A. B.
C. D.
9.(2020山东临沂蒙阴实验中学月考)不等式-x2-3x+4>0的解集为　　　　.
题组三　 三个“二次”之间的关系
10.(2021河北石家庄月考)若关于x的不等式x2-mx+1<0的解集为 ,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,-2]∪[2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.[-2,2]
D.(-2,2)
11.若不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|312.(2020湖南长沙雅礼中学检测)若一元二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的图象与x轴的两个交点分别为(x1,0),(x2,0),且x1,x2都大于1.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若=,求k的值.
题组四　一元二次不等式的实际应用
13. (2020广东揭阳三中月考)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是　　　　.
14.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体形状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,顶部每平方米造价20元.
(1)仓库顶部面积S(平方米)的最大允许值是多少
(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么铁栅应设计为多长
能力提升练
题组一　一元二次不等式及其解法
1.(2020河北辛集中学段考)不等式x2-x-2≥0和x2-(2a+1)x+a2+a>0的解集分别为A和B,且A B,则实数a的取值范围是(　　)
　　　　 　　　　 　　　　
A.(0,1) B.[0,1]
C.[-1,1] D.(-1,1)
2.(2021广东中山实验中学等四校联考)关于实数x的不等式a(x-a)(x+1)>0(a∈R)的解集不可能是(　　)
A.{x|x<-1,或x>a}
B.R
C.{x|-1D.{x|a题组二　三个“二次”的综合应用
3.设b>0,若一元二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列图象中的一个,则a的值为(　　)
　①　　　　　②　　　　 ③　　　　　④
A.1 B.-1
C.±1 D.-±
4.(多选)(2020北京朝阳期中)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2,或x>3},则(　　)
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C.a+b+c>0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为
5.若使不等式x2+(a+2)x+2a≤0成立的任意一个x都满足不等式x-1≤0,则实数a的取值范围为(　　)
A.{a|a>-1} B.{a|a≥-1}
C.{a|a<-1} D.{a|a≤-1}
6.(2021北京北大附属实验学校月考)关于x的不等式(ax-1)2A.-B.-C.-≤a<-或D.-≤a<-或≤a<
7.(2020山东济南历城二中月考)已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M.
(1)当M为空集时,求实数m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求的最小值;
(3)当M不为空集,且M {x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围.
题组三　一元二次不等式的恒(能)成立问题
8.(2022辽宁葫芦岛协作校二联)若命题“ x∈R,ax2-2ax+12>0”是真命题,则a的取值范围为(　　)
A.(0,4) B.[0,4)
C.(0,12) D.[0,12)
9.(2022安徽池州一中期中)若关于x的不等式2x2-5x-1-m>0在[1,3]上有解,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,2)
B.
C.(-∞,-4)
D.
10.(2020广西南宁三中期末)已知a>0时,对任意x>0,有(x-a)(x2+bx-a)≥0恒成立,则的取值范围是　　　　　.
题组四　一元二次不等式的实际应用
11.(2022福建厦门一中月考)为配制一种药液,进行了三次稀释,先在容积为V(V>10)的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出10升后用水补满,搅拌均匀,第二次倒出8升后用水补满,第三次倒出10升后用水补满.若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%,则V的取值范围是　　　　.
12.(2020山东枣庄期中)经观测,某段公路在某时间段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间满足函数关系y=(v>0).
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量y最大 最大车流量为多少 (精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时,汽车的平均速度应控制在什么范围内
13.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 200元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时(租金增加为50元的整数倍),未租出的车将会增加1辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车
(2)设租金为(3 200+50x)元/辆(x∈N),用x表示租赁公司的月收益y(单位:元);
(3)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
§4　一元二次函数与一元二次不等式
基础过关练
1.A　由题图可知,函数图象开口向上,a>0,排除C、D;顶点的横坐标x=->0,故b<0;图象与y轴交于负半轴,故c<0,排除B.故选A.
2.A　由题图可知a<0,b<0,所以->0,所以函数y=x2+ax+b的图象的对称轴在y轴右侧,令x=0,得y=b<0,所以函数图象与y轴交于负半轴.故选A.
3.B　由题意,得-≥1,解得a≤-2.
4.答案　a<-
解析　依题意,得
解得a<-.
5.解析　将函数y=2(x-1)2+1的图象向左平移1个单位长度,得到函数y=2x2+1的图象,再向下平移1个单位长度,得到函数y=2x2的图象,然后横坐标不变,纵坐标缩短为原来的,得到函数y=x2的图象.
6.A　易得B={x|07.B　∵x2-4x+3<0,∴(x-1)(x-3)<0,∴1∵2x2-7x+6>0,∴(x-2)(2x-3)>0,∴x<或x>2.
∴原不等式组的解集为∪(2,3).
8.B　由题意,得(ax-2)(x-1)>0,
又因为a<0,所以(x-1)<0,且<1,故9.答案　(-4,1)
解析　原不等式可化为x2+3x-4<0,解得-410.C　由题意,得Δ=(-m)2-4≤0,解得-2≤m≤2,∴实数m的取值范围为[-2,2].故选C.
11.解析　由题意知ax2+bx-1=0的两根为3,4,且a≠0,
由根与系数的关系知
解得
12.解析　(1)由题意可知,x1,x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根,
∴x1+x2=2k+1,x1x2=k2+1.
又x1>1,x2>1,
∴
解得k>且k≠1.
∴实数k的取值范围是kk>,且k≠1.
(2)由得
∴x1x2=·=k2+1,
即k2-8k+7=0,解得k1=7,k2=1(舍去).
∴k的值为7.
13.答案　20
解析　由题意得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20.
14.解析　(1)设铁栅长为x米,一侧砖墙长为y米,则顶部面积S=xy平方米.由题意,知40x+2×45y+20xy≤3 200,由基本不等式,得3 200≥2 +20xy=120+20xy=120+20S(当且仅当40x=90y时取“=”),
所以S+6-160≤0,即(-10)(+16)≤0,
解得-16≤≤10.
由题意知>0,故0<≤10,从而0故仓库顶部面积S(平方米)的最大允许值是100.
(2)S取得最大值100的条件是40x=90y,且xy=100,解得x=15,即铁栅应设计为15米.
能力提升练
1.D　由已知得A={x|x≤-1,或x≥2},B={x|xa+1}.
若A B,则故-12.B　当a>0时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)>0,解得x>a或x<-1;
当a=0时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为0>0,此时不等式的解集为 ;
当-10可化为(x-a)(x+1)<0,解得-1当a=-1时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x+1)2<0,此时不等式的解集为 ;
当a<-1时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)·(x+1)<0,解得a故A、C、D都有可能,B不可能.
故选B.
3.B　由①与②,知函数图象与x轴的两个交点为对称点,则两根之和为0.已知x1+x2=-≠0,故可排除.由③与④,知一个根为0,另一个根为正数,即x1+x2=->0,又b>0,∴a<0,图象开口向下,应为③.由图象过原点(0,0),得a2-1=0,解得a=-1或a=1(舍去).故选B.
4.ABD　∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2,或x>3},∴a>0,A正确;易知-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,∴则则a+b+c=-6a<0,C错误;不等式bx+c>0即-ax-6a>0,即x+6<0,解得x<-6,B正确;不等式cx2-bx+a<0即-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-或x>,D正确.故选ABD.
5.B　不等式x-1≤0的解集为{x|x≤1}.
由题意得不等式x2+(a+2)x+2a≤0的解集是{x|x≤1}的子集.
不等式x2+(a+2)x+2a≤0,即(x+2)(x+a)≤0.
①当a=2时,不等式的解集为{-2},满足{-2} {x|x≤1};
②当a<2时,不等式的解集为{x|-2≤x≤-a},
若{x|-2≤x≤-a} {x|x≤1},
则-a≤1,所以-1≤a<2;
③当a>2时,不等式的解集为{x|-a≤x≤-2},满足{x|-a≤x≤-2} {x|x≤1}.
综上所述,实数a的取值范围为{a|a≥-1}.
故选B.
6.B　不等式(ax-1)2∴(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1.
当a>1时,不等式的解集为,
∵0<<,∴2个整数解为1,2,
∴2<≤3,即2a-2<1≤3a-3,解得≤a<;
当a<-1时,不等式的解集为,
∵-<<0,∴2个整数解为-1,-2,
∴-3≤<-2,即-2(a+1)<1≤-3(a+1),
解得-综上所述,实数a的取值范围是-7.解析　(1)∵M为空集,
∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,
解得-1∴实数m的取值范围为{m|-1(2)由(1)知-1∴=
=(m+1)+≥2=4,
当且仅当m+1=,即m=1时等号成立.
∴的最小值为4.
(3)设函数y=x2-2mx+m+2,结合其图象(图略)可知,
当M不为空集时,由M {x|1≤x≤4},得
解得2≤m≤.
综上,实数m的取值范围为.
8.D　当a=0时,原式为12>0,符合题意;当a>0时,Δ=4a2-48a<0,解得09.A　令y=2x2-5x-1,故问题转化为求函数y=2x2-5x-1在[1,3]上的最大值.
因为抛物线y=2x2-5x-1的对称轴为直线x=,且<,所以ymax=2×9-5×3-1=2,故m<2.
10.答案　(-∞,-1)∪(0,+∞)
解析　因为对任意x>0,有(x-a)(x2+bx-a)≥0恒成立,所以x=a为方程x2+bx-a=0的根,即a2+ba-a=0,又a>0,所以a+b-1=0,所以b=1-a,
所以==-1+.
因为a>0,所以1-a<1,所以<0或>1,
所以<-1或>0.
11.答案　10解析　第2次倒出后桶中剩余纯药液升,依题意(V-10)-×8≤V×60%,即V2-45V+200≤0,解得5≤V≤40,
又V>10,∴1012.信息提取　①某段公路在某时间段内的车流量y与汽车的平均速度v之间的函数关系是y=;②求v为多少时,y最大;③当y≥10时,求v的范围.
数学建模　以某段公路在某时间段内的车流量与汽车的平均速度之间的关系为背景,将问题转化为基本不等式问题.在该函数关系式中,分子、分母同除以v,分母即可应用基本不等式.
解析　(1)y==≤=≈11.08,当且仅当v=,即v=40时,车流量最大,最大车流量为11.08千辆/时.
(2)根据题意有≥10,
化简得v2-89v+1 600≤0,
即(v-25)(v-64)≤0,所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内.
13.解析　(1)由题意得=8,100-8=92,即能租出92辆车.
(2)y=(3 200+50x)(100-x)-150(100-x)-50x
=-50x2+1 900x+305 000(x∈N).
(3)由(2)知y=-50(x-19)2+323 050,
当x=19时,y最大=323 050,
3 200+50×19=4 150,
∴当每辆车的月租金定为4 150元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是323 050元.