北师大版（2019）必修第一册第一章 预备知识 复习提升（Word版含解析）

第一章　预备知识
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略元素的互异性致错
1.(2022浙江S9联盟联考)若x∈{1,2,x2},则x的值为(　　)
　　　　 　　　　 　　　　
A.0或2 B.0或1
C.1或2 D.0或1或2
2.已知M={1,t},N={t2-t+1},若M∪N=M,求t的取值集合.
易错点2　忽略空集致错
3.(2020安徽合肥一中、六中、八中期中联考)已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|mx+1=0},A∪B=A,则m的取值集合是(　　)
A. B.
C. D.
4.(2020北京人大附中期中)设全集是R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2-a<0}.
(1)当a=4时,求A∩B和A∪B;
(2)若( RA)∩B=B,求实数a的取值范围.
易错点3　求参数时对端点值考虑不周致错
5.(2020江苏泰州姜堰中学月考)已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B A,则实数a的取值范围是　　　　.
6.(2020北京八十中期中)设全集U=R,集合A={x|x2-4x+3≤0},B=.
(1)求( RB)∪A;
(2)若集合C={x|(x-a)(x-a-1)<0}(a∈R),且C A,求实数a的取值范围.
易错点4　对充分条件、必要条件概念理解不清致错
7.“x≠2或y≠-2”是“xy≠-4”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.(2022安徽芜湖一中期中节选)已知集合A={x|x2+4x=0},集合B={x|x2+2(a+1)x+1-a=0},若x∈B成立的一个必要不充分条件是x∈A,求实数a的取值范围.
易错点5　忽略基本不等式的应用条件致错
9.(2022山东日照实验高级中学月考)对于任意非零实数a,b,下列不等式一定成立的是(　　)
A.≥ B.a+≥2
C.+≥2 D.+≥2
10.若a>0,b>0,且a+2b-4=0,则ab的最大值为　　　　,+的最小值为　　　　.
11.已知正实数a,b满足a+b=1,求+的最小值.
易错点6　解含参数的不等式时分类不全面或标准不统一致错
12.(2021安徽亳州检测)解关于x的不等式x2-(a+1)x+a≥0,a∈R.
13.解不等式:≤0.(a∈R)
思想方法练
一、转化与化归思想
1.(2021上海交通大学附属中学期中)已知x∈R,则“|x-2|<1”是“x<3”的(　　)
A.既不充分也不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.充分不必要条件
2.(2022山西太原期中)已知a>0,b>0,且a+b+6=ab,求ab的取值范围.
3.(2020北师大附中期中)设函数y=x2+mx+n,已知不等式y<0的解集为{x|1(1)求m和n的值;
(2)若y≥ax对任意x>0恒成立,求a的取值范围.
二、数形结合思想
　　　　　　　　　　　　　　　　
4.(2022安徽芜湖一中期中)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且 U(A∪B)={4},A∩( UB)={3},则B=(　　)
A.{1,2} B.{1,2,4}
C.{2,4} D.
5.已知集合A={x|x<1},B={x|x(1)若A=B,则实数a的值是多少
(2)若A B,则实数a的取值范围是什么
(3)若B A,则实数a的取值范围是什么
6.已知不等式mx2-mx-1<0.
(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
三、分类讨论思想
7.求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,1]上的最大值.
8.(2021四川成都新津中学月考)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数;
(2)当x∈R时,不存在元素x,使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.
9.(2022安徽安庆一中期中)已知集合A={x|-4(1)p:x∈C,q:x∈B,若p是q的充分不必要条件,求m的取值范围;
(2)若A∩B≠ ,求m的取值范围.
10.(2022河北石家庄第二中学期中)已知函数y=mx2-mx-1.
(1)若m=,解不等式:y<0;
(2)若m∈R,解关于x的不等式:y<(m-1)·x2+2x-2m-1.
四、函数与方程思想
11.(2021浙江台州实验中学月考)关于x的不等式x2-mx+m+2>0对-2≤x≤4恒成立,求m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
本章复习提升
易混易错练
1.A　当x=1时,x2=1,不符合集合中元素的互异性,故舍去;
当x=2时,x2=4,符合集合中元素的互异性;
当x=x2时,x=1(舍去)或x=0,当x=0时,x2=0,符合集合中元素的互异性.
综上,x=0或x=2.
2.解析　易知N≠ ,∵M∪N=M,∴N M,即t2-t+1∈M.
①若t2-t+1=1,则t2-t=0,解得t=0或t=1.
当t=1时,M中的两个元素相同,不符合集合中元素的互异性,舍去.∴t=0.
②若t2-t+1=t,则t2-2t+1=0,∴t=1,
由①知不符合题意,舍去.
综上所述,t的取值集合为{0}.
易错警示
　　根据题意求出参数的值,一定要代回原集合,看是否满足集合中元素的互异性,若不满足,则舍去.
3.D　由已知得A={-1,3},∵A∪B=A,∴B A.当m=0时,B为空集,符合条件;当m≠0时,B=,∴-=-1或-=3,解得m=1或m=-.∴m的取值集合为.
4.解析　(1)A={x|2x2-7x+3≤0}={x|(2x-1)·(x-3)≤0}=.
当a=4时,B={x|x2-4<0}={x|-2∴A∩B=,
A∪B={x|-2(2)由( RA)∩B=B可得B RA,
由(1)知A=,
∴ RA=.
当a≤0时,B= ,满足( RA)∩B=B;
当a>0时,B={x|x2-a<0}={x|-∴0<≤,∴0综上,实数a的取值范围为.
易错警示
　　由于空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,因此涉及含参数的集合是一个确定集合的子集或真子集问题时,要检验含参数的集合是空集的特殊情况.
5.答案　{a|a<-4,或a>2}
解析　当B= 时,2a>a+3,解得a>3,满足题意;
当B≠ 时,需满足或
解得a<-4或2综上,实数a的取值范围为{a|a<-4,或a>2}.
6.解析　(1)∵集合A={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3},
B=={x|x>1},
∴ RB={x|x≤1},∴( RB)∪A={x|x≤3}.
(2)∵C={x|(x-a)(x-a-1)<0}={x|a∴解得1≤a≤2.
故实数a的取值范围为[1,2].
易错警示
　　在求集合中参数的取值范围时,要特别注意该参数的取值范围在边界处能否取等号,否则会导致解题错误.求得参数的范围后要把端点值代入原式检验,看是否符合题目要求.
7.A　由“x≠2或y≠-2”不能推出“xy≠-4”,例如x=3≠2,y=-≠-2,但xy=-4;由“xy≠-4”能推出“x≠2或y≠-2”,这是因为当x=2且y=-2时,必有xy=-4.综上所述,“x≠2或y≠-2”是“xy≠-4”的必要不充分条件.
8.解析　由题意知,x∈A是x∈B的必要不充分条件,因此B是A的真子集.易得A={0,-4}.
①当B= 时,Δ=4(a+1)2-4(1-a)=4a2+12a<0,解得-3②当B={-4}时,有此时无解;
③当B={0}时,有此时无解.
综上,实数a的取值范围为{a|-3易错警示
　　解决与充分条件、必要条件有关的问题时,如果不能正确区分谁是条件,谁是结论,那么就会将子集关系倒置,从而出现错误.
9.D　当a<0,b<0时,<0,>0,<,故A错误;
当a<0时,a+<0<2,故B错误;
当<0时,+<0<2,故C错误;
易知>0,>0,由基本不等式可知,+≥2=2,当且仅当=,即a2=b2时等号成立,故D正确.
易错警示
　　利用基本不等式求最值时应注意:(1)使用基本不等式求最值时,失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视,要注意这三个条件缺一不可;(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“一正、二定、三相等”的条件.
10.答案　2;
解析　∵a>0,b>0,且a+2b-4=0,∴a+2b=4,∴ab=a·2b≤×=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立,∴ab的最大值为2.∵+=·=×≥×=,当且仅当=,即a=b=时等号成立,∴+的最小值为.
11.解析　+=a2+b2+++4=(a2+b2)+4=[(a+b)2-2ab]+4=(1-2ab)·+4.
由a+b=1,得ab≤=当且仅当a=b=时,等号成立,
所以1-2ab≥1-=,≥16,
所以+≥×(1+16)+4=当且仅当a=b=时,等号成立,
所以+的最小值为.
12.解析　不等式x2-(a+1)x+a≥0可化为(x-a)(x-1)≥0.
当a<1时,解得x≤a或x≥1;
当a=1时,解得x∈R;
当a>1时,解得x≤1或x≥a.
综上,当a<1时,不等式的解集是{x|x≤a,或x≥1};
当a=1时,不等式的解集为R;
当a>1时,不等式的解集是{x|x≤1,或x≥a}.
13.解析　≤0 ax(x+1)≤0且x+1≠0.
当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≤0且x+1≠0 -1此时原不等式的解集为{x|-1当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≥0且x+1≠0 x<-1或x≥0,
此时原不等式的解集为{x|x<-1,或x≥0}.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1易错警示
　　在解决含参的不等式问题时,对参数的讨论要明确、统一,要不重不漏.
思想方法练
1.D　由|x-2|<1可得1∵{x|1∴“|x-2|<1”是“x<3”的充分不必要条件.
将不等式间的关系转化为集合间的包含关系,进而转化为逻辑关系.
故选D.
方法点拨
　　已知A,B为两个集合,若A是B的子集,则“x∈A”是“x∈B”的充分条件,“x∈B”是“x∈A”的必要条件;若A是B的真子集,则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件;若A=B,则“x∈A”是“x∈B”的充要条件.
2.解析　∵a>0,b>0,∴ab=a+b+6≥2+6,当且仅当a=b时等号成立,
∴ab≥4+12,
∴-4-12≥0,
即(-6)(+2)≥0,
∴≥6或≤-2(舍去),∴ab≥36.
利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式,解不等式即可.
3.解析　(1)由题意知x1=1,x2=4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实根,
由不等式的解集得到对应一元二次方程的根,体现了转化与化归思想.
所以-m=x1+x2=5,n=x1x2=4,
故m=-5,n=4.
(2)由(1)得y=x2-5x+4,
则x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立,
即a≤x+-5对任意x>0恒成立.
将恒成立问题转化为函数的最值问题,体现了转化与化归思想.
又因为x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立),
所以x+-5≥-1,
所以a≤-1.
思想方法
　　转化与化归思想在本章中主要体现在集合的运算性质与集合之间关系的转化,充分条件、必要条件与集合之间的子集关系的转化,命题的真假与相关数学知识的转化,恒成立问题与最值之间的转化,“三个二次”之间的转化,即利用集合、方程、不等式等知识求解参数的值或取值范围.
4.A　因为U={1,2,3,4}, U(A∪B)={4},所以A∪B={1,2,3},
因为A∩( UB)={3},所以3∈A且3 B,作出Venn图如图所示:
画出Venn图,利用数形结合的思想解决.
由Venn图得B={1,2}.
5.解析　(1)∵集合A={x|x<1},B={x|x(2)如图,
根据集合间的关系,将集合表示在数轴上,借助数轴可直观得出结果,体现了数形结合思想.
由图可知a≥1,即实数a的取值范围是{a|a≥1}.
(3)如图,
由图可知a<1,即实数a的取值范围是{a|a<1}.
6.解析　(1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;
②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立等价于解得-4综上可知,实数m的取值范围是{m|-4(2)①当m=0时,原不等式可化为-1<0,显然恒成立;
②当m>0时,若对于x∈{x|1≤x≤3},不等式恒成立,则由函数y=mx2-mx-1的图象开口向上知,
只需在x=1,x=3时的函数值均为负即可,
即解得m<,此时0③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=,若当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,结合函数图象知,只需在x=1时的函数值为负即可,此时m∈R,所以m<0符合题意.
结合一元二次函数的图象分类讨论不等式恒成立的条件.
综上所述,实数m的取值范围是.
思想方法
　　数形结合思想在本章主要体现在集合与一元二次函数中:
(1)在集合中主要是集合关系与Venn图或数轴的结合,通过Venn图或数轴可使问题更直观;
(2)在一元二次函数中,主要是通过函数图象研究一元二次函数的一些性质及解一元二次不等式等.
7.解析　函数y=-x(x-a)=-+的图象的对称轴为直线x=.下面分<-1,-1≤≤1,>1,即a<-2,-2≤a≤2,a>2三种情形讨论.
先求出对称轴方程,再根据对称轴与区间的位置关系进行讨论,体现了分类讨论思想.
①当a<-2时,由图①可知,在[-1,1]上,函数值y随自变量x的增大而减小,当x=-1时,y最大=-1-a;
②当-2≤a≤2时,由图②可知,在[-1,1]上,函数值y随自变量x的增大先增大后减小,当x=时,y最大=;
③当a>2时,由图③可知,在[-1,1]上,函数值y随自变量x的增大而增大,当x=1时,y最大=a-1.
综上,y最大=
8.解析　(1)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以A的非空真子集的个数为28-2=254.
(2)因为不存在元素x,使x∈A与x∈B同时成立,所以A∩B= .
A∩B= 分两种情况:B= 和B≠ ,所以需分类讨论,体现了分类讨论思想.
①若B= ,则m+1>2m-1,解得m<2,满足条件.
②若B≠ ,则要满足的条件是或
解得m>4.
综上,实数m的取值范围为m<2或m>4.
9.解析　(1)因为p:x∈C,q:x∈B,p是q的充分不必要条件,
所以集合C是集合B的真子集,
所以
解得-2≤m≤-1,
所以m的取值范围为[-2,-1].
(2)分B= 和B≠ 两种情况讨论.
当B= 时,2m>m+3,解得m>3,此时A∩B= ;
当B≠ 时,若A∩B= ,
则或
解得1综上可知,当m≤-7或m>1时,A∩B= ,
所以当-7所以m的取值范围为(-7,1].
10.解析　(1)当m=时,y=x2-x-1,不等式y<0,即x2-x-1<0,即(x-2)(x+1)<0,解得-1(2)由y=mx2-mx-1得不等式为mx2-mx-1<(m-1)·x2+2x-2m-1,即x2-(m+2)x+2m<0,即(x-m)(x-2)<0.
对m与2的大小关系进行分类讨论,得到不等式的解集.
当m<2时,原不等式的解集为{x|m2时,原不等式的解集为{x|2思想方法
　　分类讨论思想在本章中主要应用在集合、不等式、一元二次函数中:
(1)在集合、不等式中主要是因为题目中的参数可能会导致集合为空集或不等式无解,所以需对集合是不是空集、不等式是否有解进行分类讨论;
(2)在一元二次函数中主要是因为题目中的参数可能会使函数图象的对称轴或区间发生变化,所以需分对称轴在区间左侧、中间、右侧进行分类讨论.
11.解析　设函数y=x2-mx+m+2,其图象的对称轴为直线x=,
设出不等式对应的函数,根据函数图象的特点,列出满足条件的关系式求解.
①当≤-2,即m≤-4时,有(-2)2-m×(-2)+m+2>0,解得m>-2,
又∵m≤-4,∴无解;
②当-2<<4,即-40,解得2-2又∵-4③当≥4,即m≥8时,有42-m×4+m+2>0,
解得m<6,
又∵m≥8,∴无解.
综上所述,m的取值范围为{m|2-2思想方法
　　函数、方程、不等式三者密不可分,很多不等式问题都可以从函数的角度进行求解,如y>a(y是关于x的函数,a为参数)恒成立等价于ymin>a.