北师大版（2019）必修第一册第一章预备知识 综合拔高练 （Word版含解析）

第一章　预备知识
综合拔高练
考点1　集合及其运算
1.(2021全国新高考Ⅰ,1)设集合A={x|-2　　　　 　　　　 　　　　
A.{2} B.{2,3} C.{3,4} D.{2,3,4}
2.(2021全国新高考Ⅱ,2)若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B={2,3,4},则A∩ UB=(　　)
A.{3} B.{1,6} C.{5,6} D.{1,3}
3.(2020全国Ⅲ理,1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N+,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
4.(2020全国Ⅰ理,2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=(　　)
A.-4 B.-2 C.2 D.4
考点2　常用逻辑用语
5.(2021天津,2)已知a∈R,则“a>6”是“a2>36”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2020天津,2)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点3　基本不等式
7.(2020上海,13)下列不等式恒成立的是(　　)
A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥-2ab
C.a+b≥-2 D.a+b≤2
8.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　　.
9.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.
考点4　不等式的应用
10.(2019北京,14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.
11.(2020全国Ⅲ,23)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥.
应用实践
1.(2022广西钦州浦北中学期中)命题“ x0∈R,-ax0+1≤0”为假命题的充要条件是(　　)
　　　　 　　　　 　　　　
A.a∈[-2,2] B.a∈(-2,1)
C.a∈[-2,1] D.a∈(-2,2)
2.(2021河北石家庄月考)有甲、乙、丙三个条件,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么(　　)
A.丙是甲的充分条件但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充分条件也是甲的必要条件
D.丙不是甲的充分条件也不是甲的必要条件
3.(2022江西宜春月考)已知a>0,b>0,若不等式≤恒成立,则m的最大值为(　　)
A.4 B.16 C.9 D.3
4.(多选)(2022山东枣庄期中)一元二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则(　　)
A.b=-2a B.a+b+c<0
C.a-b+c<0 D.abc<0
5.(多选)(2022辽宁葫芦岛协作校二联)某校举办运动会,高一的两个班共有120名同学.已知参加跑步、拔河、篮球比赛的人数分别为58,38,52,同时参加跑步和拔河比赛的人数为18,同时参加拔河和篮球比赛的人数为16,同时参加跑步、拔河、篮球三项比赛的人数为12,三项比赛都不参加的人数为20,则(　　)
A.同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B.只参加跑步比赛的人数为26
C.只参加拔河比赛的人数为16
D.只参加篮球比赛的人数为22
6.(2021天津塘沽一中月考)已知关于x的不等式x2+bx+c<0(ab>1)的解集为空集,则T=+的最小值为(　　)
A. B.2 C.2 D.4
7.(2022安徽宿州砀山中学一检)若关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则a的取值范围是　　　　.
8.(2021安徽阜阳重点中学月考)已知集合P={1,2,3,4,5},若A,B是P的两个非空子集,则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为　　　　.
9.(2022湖南衡阳田家炳实验中学期中)已知关于x的不等式x2-(b+2)x+c<0的解集为{x|20的解集为A,集合B={x|(x+1)·(4-x)≥0},C={x|m-1≤x<2m}.
(1)求集合A,B,并求A∩B,A∪B;
(2)若B∩C=C,求实数m的取值范围.
10.(2022江西南昌莲塘第一中学月考)某公司有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,公司决定优化产业结构,调整出x(x∈N+)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造的利润为10万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,求最多可调整出多少名员工从事第三产业;
(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润的条件下,若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求a的最大值.
迁移创新
11.(2020山东泰安第四中学月考)我们学习了二元基本不等式:如果a>0,b>0,则≤,当且仅当a=b时,等号成立.利用基本不等式可以证明其他不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值.
(1)对于三元基本不等式,请猜想:设a>0,b>0,c>0,则　　　　≤,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全即可,不需要证明);
(2)利用(1)中猜想的三元基本不等式证明:
当a>0,b>0,c>0时,(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc;
(3)利用(1)中猜想的三元基本不等式求最值:
设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值.
本章达标检测见增分测评卷 P1
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
综合拔高练
五年高考练
1.B　在数轴上表示出集合A,如图,由图知A∩B={2,3}.
2.B　解法一:因为集合U={1,2,3,4,5,6},B={2,3,4},所以 UB={1,5,6},又A={1,3,6},所以A∩ UB={1,6},故选B.
解法二:因为3∈B,所以3 UB,所以3 (A∩ UB),故排除A、D;因为5 A,所以5 (A∩ UB),故排除C,故选B.
3.C　由得或或或所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},故A∩B中元素的个数为4,故选C.
4.B　由已知可得A={x|-2≤x≤2},
B=,
又∵A∩B={x|-2≤x≤1},
∴-=1,
∴a=-2.故选B.
5.A　当a>6时,a2>36,所以充分性成立.
当a2>36时,a<-6或a>6,所以必要性不成立,故“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.故选A.
6.A　由a2>a得a(a-1)>0,∴或
∴a>1或a<0.
据此可知“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件,故选A.
7.B　a2+b2≥-2ab a2+b2+2ab≥0,即(a+b)2≥0恒成立,故B正确.
8.答案　4
解析　由已知得a+b>0,
∴++=++=+≥2=4,当且仅当=,即a+b=4时取等号,结合ab=1,解得a=2-,b=2+或a=2+,b=2-,故所求最小值为4.
9.答案　
解析　由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=,∴x2+y2=+y2==+≥2=,当且仅当=,即y2=,x2=时取“=”.故x2+y2的最小值为.
10.答案　①130　②15
解析　①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130(元).
②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意得(m-x)×80%≥m×70%,
所以x≤,而m≥120,
为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤,而=15,所以x≤15.
所以x的最大值为15.
11.证明　(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]=-(a2+b2+c2)<0.
(2)不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a=-(b+c),
所以a>0,b<0,c<0.由bc≤,可得abc≤,故a≥,所以max{a,b,c}≥.
三年模拟练
1.D　求命题“ x0∈R,-ax0+1≤0”为假命题的充要条件,即求命题“ x∈R,x2-ax+1>0”为真命题的充要条件.若命题“ x∈R,x2-ax+1>0”为真命题,则Δ=a2-4<0,解得-22.A　因为甲是乙的必要条件,所以乙 甲.因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙 乙,但乙 /丙.结构示意图如图所示,
综上有丙 乙 甲,即丙 甲,甲 /丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
3.B　问题等价于m≤==3+10恒成立.由基本不等式可知3+10≥6+10=16,当且仅当=,即a=b时取“=”,所以m≤16.故m的最大值为16.
4.ACD　由题图可知,此一元二次函数的图象开口向下,对称轴为直线x=1,
故-=1,则b=-2a,故A正确;
当x=1时,y=a+b+c>0,故B错误;
当x=-1时,y=a-b+c<0,故C正确;
易知a<0,b=-2a>0,
当x=0时,y=c>0,故abc<0,故D正确.
故选ACD.
5.BCD　设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x,根据题意可作出Venn图如图,易得58+38+52-18-16-x+12=120-20,解得x=26,则只参加跑步比赛的人数为58-18-26+12=26,只参加拔河比赛的人数为38-16-18+12=16,只参加篮球比赛的人数为52-16-26+12=22.故选BCD.
6.D　由题意得>0,b2-≤0,即c≥.
∴T=+≥,
令ab-1=m,则m>0,T≥=++2≥4,
当且仅当=,即m=2时,等号成立.
故T=+的最小值为4.
故选D.
7.答案　(5,8]
解析　作出函数y=x2-6x+a的大致图象如图:
易得图象的对称轴为直线x=3,若关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,
则解得5所以a的取值范围是(5,8].
8.答案　49
解析　当A中的最大数为1,即A={1}时,B={2}或{3}或{4}或{5}或{2,3}或{2,4}或{2,5}或{3,4}或{3,5}或{4,5}或{2,3,4}或{2,3,5}或{2,4,5}或{3,4,5}或{2,3,4,5},则满足题意的集合对(A,B)的个数为15;
当A中的最大数为2,即A={2}或{1,2}时,B={3}或{4}或{5}或{3,4}或{3,5}或{4,5}或{3,4,5},则满足题意的集合对(A,B)的个数为14;
当A中的最大数为3,即A={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}时,B={4}或{5}或{4,5},则满足题意的集合对(A,B)的个数为12;
当A中的最大数为4,即A={4}或{1,4}或{2,4}或{3,4}或{1,2,4}或{1,3,4}或{2,3,4}或{1,2,3,4}时,B={5},则满足题意的集合对(A,B)的个数为8.
所以满足题意的集合对(A,B)的总个数为15+14+12+8=49.
9.解析　(1)因为关于x的不等式x2-(b+2)x+c<0的解集为{x|2所以2和3是关于x的方程x2-(b+2)x+c=0的两根,
所以解得
不等式bx2-(c+1)x-c>0即为3x2-7x-6>0,解得x>3或x<-,
即集合A=∪(3,+∞).
易得B={x|(x+1)·(4-x)≥0}=[-1,4].
所以A∩B=∪(3,4],
A∪B=R.
(2)由(1)知B=[-1,4].
因为B∩C=C,所以C B.
若C= ,则有m-1≥2m,解得m≤-1.
若C≠ ,则需满足解得0≤m≤2.
所以实数m的取值范围为(-∞,-1]∪[0,2].
10.解析　(1)由题意得,10(1 000-x)(1+0.4x%)≥10×1 000,即x2-750x≤0,又x>0,所以0故最多可调整750名员工从事第三产业.
(2)由(1)知0从事第三产业的员工创造的年总利润为10x万元,
从事原来产业的员工创造的年总利润为10(1 000-x)(1+0.4x%)万元,
则10x≤10(1 000-x)(1+0.4x%),
即ax-≤1 000+4x-x-x2,
即ax≤+1 000+3x,
所以a≤++3在x∈(0,750]上恒成立,
因为+≥2=4,当且仅当=,即x=500时等号成立,所以a≤7.
又a>0,所以011.解析　(1)对照二元基本不等式,可以得到当a>0,b>0,c>0时,≤,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)证明:由(1)可得当a>0,b>0,c>0时,≥,
∴·≥·==abc,当且仅当a=b=c时等号成立,
∴(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc.
(3)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,
∴1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0,
∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≤===,当且仅当b+c=a+c=a+b,即a=b=c=时取等号,故(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为.