北师大版（2019）必修第一册4.1函数的奇偶性（Word含答案）

第二章　函数
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
基础过关练
题组一　奇偶性的概念及图象特征
1.(多选)下列说法不正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数
C.若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数
D.图象过原点的奇函数必是单调函数
2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)
3.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数,则必有(　　)
A.f(x)f(-x)>0
B.f(x)f(-x)<0
C.f(x)D.f(x)>f(-x)
4.(2020北京八十中期中)如图,给出了奇函数f(x)的局部图象,那么f(1)等于(　　)
A.-4 B.-2
C.2 D.4
5.(2020山西长治二中期中)已知函数f(x)=ax2+bx+3是定义在[a-3,2a]上的偶函数,则a+b的值是(　　)
A.-1 B.1 C.-3 D.0
题组二　奇偶性的判定
6.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
7.(2020广东揭阳三中月考)下列函数中,既是奇函数又是减函数的是(　　)
A.y=x+1 B.y=-x3
C.y= D.y=x|x|
8.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
题组三　奇偶性的应用
9.(2020广西柳州二中月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=(　　)
A.20 B.12 C.-20 D.-12
10.已知对于任意实数x,函数f(x)满足f(-x)=-f(x).若方程f(x)=0有2 023个实数根,则这2 023个实数根之和为(　　)
A.0 B.1 011
C.1 010 D.2 023
11.(2021四川德阳中学月考)若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中成立的是(　　)
A.f B.f(-1)C.f(2)D.f(2)12.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=x2+2x,若f(2-a2)> f(a),则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,2)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
13.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,则f(-1)=　　　.
14.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时, f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为　　　　.
15.已知函数f(x)=ax5+bx3+cx+8,且f(-2)=10,则f(2)的值是　　　.
16.(2022北京东直门中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象,请补全函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)(x∈R)的单调递增区间;
(2)直接写出函数f(x)(x∈R)的值域;
(3)求出函数f(x)(x∈R)的解析式.
17.(2021山东省实验中学期中)已知函数f(x)=1-.
(1)若函数g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值;
(2)试判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义证明.
能力提升练
题组一　奇偶性的判定
1.(2020黑龙江哈三中月考)下列函数是偶函数的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)=x3-
B.f(x)=
C.f(x)=(x-1)·
D.f(x)=|2x+5|+|2x-5|
2.已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数, f(x)不恒等于零,则F(x)为(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
3.(2020浙江杭州重点中学联考)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,则(　　)
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x)-1是偶函数 D.f(x)-1是奇函数
题组二　函数奇偶性的综合应用
4.若函数f(x)在(-3,0)上单调递减,g(x)=f(x-3)是偶函数,则下列结论正确的是(　　)
A.f B.f(-5)C.f(-5)D.f 5.(2022天津五校期中联考)函数f(x)=的图象大致为(　　)
6.(2020河南郑州期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,则f(3)+f(4)+f(5)的值为(　　)
A.-1 B.1
C.2 D.0
7.如果奇函数f(x)在[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上(　　)
A.是增函数且最小值为-5
B.是减函数且最小值为-5
C.是增函数且最大值为-5
D.是减函数且最大值为-5
8.已知偶函数f(x)满足f(x)=x-(x>0),则{x|f(x+2)>1}=(　　)
A.{x|x<-4,或x>0}
B.{x|x<0,或x>4}
C.{x|x<-2,或x>2}
D.{x|x<-2,或x>4}
9.(2022湖南长沙雅礼中学月考)设定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为(　　)
A.{x|-11}
B.{x|x<-1,或0C.{x|x<-1,或x>1}
D.{x|-110.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上是单调的,求实数a的取值范围.
11.(2020北京西城期末)已知函数f(x)=.
(1)证明:f(x)为偶函数;
(2)用定义证明:f(x)是(1,+∞)上的减函数;
(3)当x∈[-4,-2]时,求f(x)的值域.
12.(2022河北师大附中期中)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上是减函数.
(1)比较f与f的大小关系;
(2)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性,并证明你的判断;
(3)若f(a-1)-f(2a)>0恒成立,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第二章　函数
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
　　　 4.1　函数的奇偶性
基础过关练
1.ABD　A项,若定义域不包含0,则图象与y轴不相交;B项,令f(x)=x2,此时满足f(0)=0,但f(x)不是奇函数;易知C项说法正确;D项,图象过原点的奇函数不一定是单调函数.故选ABD.
2.B　选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数;选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除.故选B.
3.B　∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
又f(x)≠0,∴f(x)f(-x)=-[f(x)]2<0.
4.B　由题图可得f(-1)=2,又函数为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-2,故选B.
5.B　∵函数f(x)=ax2+bx+3是定义在[a-3,2a]上的偶函数,∴a-3+2a=0,解得a=1,
由f(x)=f(-x)得b=0,∴a+b=1,故选B.
6.B　∵F(x)的定义域为(-a,a),关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数.
7.B　由-x+1≠-(x+1),得函数y=x+1不是奇函数,排除A;
由-(-x)3=x3,x∈R得y=-x3是奇函数,又y=-x3是减函数,故B正确;
由=-,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)得y=是奇函数,但是y=在定义域内不是减函数,排除C;
由-x|-x|=-x|x|,x∈R得y=x|x|是奇函数,又y=x|x|=显然单调递增,排除D.故选B.
8.解析　(1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x=±1,
因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0.
∵f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数,也是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(3)易得函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
9.B　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,∴f(-2)=2×(-2)3+(-2)2=-12,∴f(2)=-f(-2)=12,故选B.
10.A　因为对于任意实数x,函数f(x)满足f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,则f(0)=0.
因为方程f(x)=0有2 023个实数根,
所以大于0的根与小于0的根各有1 011个,且关于原点对称,故和为0,即这2 023个实数根之和为0.
11.D　∵f(x)是偶函数,∴f(2)=f(-2),
又f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
∴f(-2)即f(2)12.C　∵f(x)是奇函数,∴当x<0时, f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)> f(a),得2-a2>a,解得-213.答案　-3
解析　令y=g(x)=f(x)+x2,因为g(x)是奇函数,所以g(-1)=-g(1),即f(-1)+(-1)2=-[f(1)+12],又因为f(1)=1,所以f(-1)=-3.
14.答案　5
解析　因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a×(-3)=-6,解得a=5.
15.答案　6
解析　令g(x)=f(x)-8=ax5+bx3+cx(x∈R),
∴g(-x)=-ax5-bx3-cx=-g(x),
∴g(x)为奇函数,
∴g(2)=-g(-2)=-[f(-2)-8]=-2.
又g(2)=f(2)-8,∴f(2)=6.
16.解析　(1)根据偶函数的图象关于y轴对称,作出函数在R上的图象,如图.
结合图象可得f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).
(2)由图象得当x=1或x=-1时,f(x)取得最小值-1,易知f(x)无最大值,
故f(x)的值域为[-1,+∞).
(3)当x>0时,-x<0,因为当x≤0时,f(x)=x2+2x,
所以f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x.
因为f(x)为偶函数,所以f(x)=x2-2x,
综上,f(x)=
17.解析　(1)由已知得g(x)=f(x)-a=1-a-,
∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),
即1-a-=-,解得a=1.
(2)函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=,
∵00,
∴<0,∴f(x1)∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
能力提升练
1.D　选项A, f(x)=x3-(x≠0),定义域关于原点对称, f(-x)=-x3+=-f(x),所以f(x)是奇函数;
选项B, f(x)==(-1≤x≤1,且x≠0),定义域关于原点对称, f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数;
选项C, f(x)=(x-1)·(-1≤x<1),定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;
选项D, f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x∈R),定义域关于原点对称, f(-x)=|-2x+5|+|-2x-5|=|2x+5|+|2x-5|=f(x),所以f(x)是偶函数.故选D.
2.B　依题意得F(x)的定义域为R,且F(-x)=(-x3+2x)f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,故选B.
3.D　解法一:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,令x1=x2=0,可得f(0)=2f(0)-1,解得f(0)=1;令x1=-x,x2=x,则有f(0)=f(x)+f(-x)-1,整理可得f(x)+f(-x)=2,因此函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,A,B错误;对于f(x)+f(-x)=2,变形可得[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0,因此函数f(x)-1是奇函数,故C错误,D正确.
解法二:设F(x)=f(x)-1,由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,可得f(x1+x2)-1=f(x1)-1+f(x2)-1,则F(x1+x2)=F(x1)+F(x2).令x1=x2=0,得F(0)=0;令x1=x,x2=-x,得F(0)=F(x)+F(-x)=0,所以F(x)=f(x)-1是奇函数,故选D.
4.C　由g(x)=f(x-3)是偶函数,可知f(x)的图象关于直线x=-3对称,则f(-5)=f(-1),f =f .又函数f(x)在(-3,0)上单调递减,所以f(-1)5.B　易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,因为f(-x)===-f(x),所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D;当x>0时,f(x)<0,排除A.故选B.
解题模板
　　已知函数解析式判断函数图象,可由解析式得到性质,再由性质选择图象,从易到难,一般先判断函数的奇偶性,再判断函数值的符号,函数的单调性、最大(小)值等.
6.D　∵f(x)是定义在R上的奇函数, f(1)=1,
∴f(-1)=-f(1)=-1, f(0)=0.
依题意得f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-1,
f(4)=f(0+4)=f(0)=0, f(5)=f(1+4)=f(1)=1.
∴f(3)+f(4)+f(5)=-1+0+1=0,故选D.
陷阱提示
　　在有关奇函数f(x)的求值问题中,要注意当f(x)在x=0处有意义时, f(0)=0,否则可能会出现已知条件不足,导致问题解决不了的情况.
7.C　因为奇函数f(x)在[3,7]上是增函数且最小值为5,而奇函数的图象关于原点对称,所以f(x)在区间[-7,-3]上是增函数且最大值为-5,故选C.
8.A　由题易得偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=1,故f(x+2)>1等价于f(|x+2|)>f(2),即|x+2|>2,
解得x<-4或x>0,故选A.
9.D　∵f(1)=0,f(x)为定义在R上的奇函数,
∴f(-1)=-f(1)=0,f(-x)=-f(x),
由x[f(x)-f(-x)]<0可得2xf(x)<0,即xf(x)<0.
当x<0时,得f(x)>0=f(-1),又f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴-1当x>0时,得f(x)<0=f(1),又f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴0因此原不等式的解集为{x|-110.解析　(1)设x<0,则-x>0,
则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以x<0时, f(x)=x2+2x.
当x=0时,满足f(x)=-x2+2x,
所以f(x)=
(2)根据(1)作出函数f(x)的图象,如图所示:
结合函数f(x)的图象,知所以1故实数a的取值范围是(1,3].
11.解析　(1)证明:易得函数f(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠±1},任取x∈{x|x∈R,且x≠±1},
都有f(-x)===f(x),
∴f(x)为偶函数.
(2)证明:当x>1时, f(x)===,
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=,
∵10,x2-1>0,x2-x1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(1,+∞)上是减函数.
(3)由(1)(2)知函数f(x)在[-4,-2]上是增函数,
∴f(x)min=f(-4)==,
f(x)max=f(-2)==1,
∴f(x)的值域为.
12.解析　(1)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f =f ,
又因为a2+2a+=(a+1)2+≥,函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,
所以f ≤f .
(2)函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,证明如下:
任取x1-x2>0,由f(x)在[0,+∞)上是减函数可知f(-x1)又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),
所以f(x1)(3)f(a-1)-f(2a)>0恒成立即f(a-1)>f(2a)恒成立,
因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,
所以|a-1|<|2a|,解得a>或a<-1.
因此实数a的取值范围为(-∞,-1)∪.