北师大版（2019）必修第一册第二章函数 复习提升（Word版含解析）

第二章　函数
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略函数的定义域致误
1.函数f(x)=是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
2.(2021天津第二南开学校期中)已知f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,而且f(x)是减函数,如果f(m-2)+f(2m-3)>0,那么实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C.(1,3) D.
3.(2021辽宁大连育明高中期中)函数f(x)=的单调递增区间为　　　　.
易错点2　忽略分段函数自变量的范围致误
4.(2020黑龙江哈三中段测)已知函数f(x)=若f(a)>1,则实数a的取值范围是　　　　.
5.(2020安徽六安第一中学期中)若函数f(x)=在R上为增函数,则实数a的取值范围为　　　　.
6.(2022山西朔州一中月考)已知max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,例如max{1,2,3}=3,若函数f(x)=max{-x2+4,-x+2,x+3},则f(x)的最小值为　　　　.
易错点3　混淆“单调区间”与“在区间上单调”致误
7.已知函数f(x)=x2+2x-3的单调递减区间为[-2,-1],单调递增区间为(-1,4],则f(x)的值域是　　　　.
8.已知函数f(x)=|2x+a|.
(1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间[3,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
易错点4　忽略对参数取值范围的讨论致误
9.(2021山东临沂期中)已知函数f(x)=x2-kx-8在定义域[5,10]内是单调函数.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使函数f(x)的最小值为7 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
思想方法练
一、数形结合思想
1.(2020江西师大附中期中)已知f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=则F(x)的最值是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.最大值为-3,最小值为-1
B.最大值为7-2,无最小值
C.最大值为3,无最小值
D.既无最大值,又无最小值
2.(2022安徽六安一中月考)已知函数f(x)=若f(3-a2)3.已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是[-2,2],它们在[0,2]上的图象如图所示,则使关于x的不等式f(x)·g(x)<0成立的x的取值范围为　　　　.
4.已知函数f(x)是定义在R上的函数, f(x)的图象关于y轴对称,当x≥0时, f(x)=x2-4x.
(1)求出f(x)的解析式;
(2)画出f(x)的图象;
(3)若函数y=f(x)的图象与直线y=m有四个交点,求m的取值范围.
二、分类讨论思想
5.已知函数f(x)=且f(x)在定义域上是单调函数,则实数t的取值范围为　　　　.
6.(2020山东临沂罗庄期中)已知函数f(x)=2x2+(x-a)2.
(1)讨论f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(x)>2对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若f(x)在[0,1]上有最大值9,求实数a的值.
三、转化与化归思想
7.若函数f(x)为定义在D上的单调函数,且存在区间[a,b] D,使得当x∈[a,b]时, f(x)的取值范围恰为[a,b],则称函数f(x)是D上的正函数.若函数g(x)=x2+m是定义在(-∞,0)上的正函数,则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案与分层梯度式解析
第二章　函数
本章复习提升
易混易错练
1.D　f(x)==x,定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
2.A　∵f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,
∴-10可转化为f(m-2)>-f(2m-3)=f(-2m+3).
∵f(x)是减函数,∴
∴13.答案　[-1,1]
解析　由-x2+2x+3≥0,得-1≤x≤3,所以函数f(x)的定义域为[-1,3].函数f(x)=可看作是由y=,t=-x2+2x+3复合而成的,因为y=在其定义域上单调递增,所以要求函数f(x)=的单调递增区间,只需求t=-x2+2x+3的单调递增区间即可,t=-x2+2x+3在区间[-1,3]上的单调递增区间为[-1,1],所以函数f(x)=的单调递增区间为[-1,1].
易错警示
　　解决函数问题时必须坚持“定义域优先”的原则,需要注意的是求函数定义域之前,不要对函数解析式进行变形,以免引起定义域的变化.
4.答案　(-∞,-2)∪
解析　当a≤-1时,由f(a)=(a+1)2>1,解得a>0或a<-2,故a<-2;
当-11,解得a>-,故-当a≥1时,由f(a)=>1,解得0综上,a∈(-∞,-2)∪.
5.答案　[1,2]
解析　根据题意得解得1≤a≤2,
即实数a的取值范围为[1,2].
易错警示
　　对于分段函数的单调性问题,注意在临界位置的函数值大小比较.
6.答案　3
解析　如图,在同一平面直角坐标系中作出函数y=-x2+4,y=-x+2,y=x+3的图象,则f(x)的图象如图中实线所示:
由图知f(x)min=f(-1)=3.
7.答案　[-4,21]
解析　由题意得,函数的定义域为[-2,4].因为函数f(x)图象的对称轴为直线x=-1,又-1∈[-2,4],图象开口向上,且区间端点4离对称轴较远,所以f(4)>f(-2),因为f(4)=21, f(-1)=-4,所以f(x)的值域是[-4,21].
易错警示
　　单调区间是指一个函数中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在某一个区间上的单调性,二者有本质区别,需要注意的是一个函数的单调区间不一定是一个区间,可能是多个区间.
8.解析　(1)由题意知f(x)=
∴函数f(x)的单调递增区间为,
∴3=-,解得a=-6.
(2)由(1)可知, f(x)的单调递增区间为,
∵f(x)在[3,+∞)上是增函数,
∴-≤3,即a≥-6.
∴实数a的取值范围为[-6,+∞).
9.解析　(1)由题意可知函数f(x)=x2-kx-8的图象的对称轴为直线x=,
因为函数f(x)=x2-kx-8在定义域[5,10]内是单调函数,所以≤5或≥10,
解得k≤10或k≥20,
所以实数k的取值范围是(-∞,10]∪[20,+∞).
(2)存在.当k≤10时,函数f(x)=x2-kx-8在区间[5,10]上单调递增,
因此函数在区间[5,10]上的最小值是f(5)=17-5k=7,解得k=2;
当k≥20时,函数f(x)=x2-kx-8在区间[5,10]上单调递减,
因此函数在区间[5,10]上的最小值是f(10)=92-10k=7,解得k=(舍去).
综上,存在k=2,使函数f(x)的最小值为7.
易错警示
　　求含参数的一元二次函数在闭区间上的最大(小)值,关键是要对函数图象的对称轴与所给区间的位置关系进行讨论,解题时防止忽视对参数的讨论导致解题错误.
思想方法练
1.B　F(x)的图象如图中实线部分所示,则F(x)的最大值为函数f(x)与g(x)的图象在x轴左侧交点的纵坐标,无最小值.
作出F(x)的图象,由F(x)的图象可直观看出F(x)取得最值时需满足的条件,采用了数形结合思想.
由得x=2-,
又f(2-)=7-2,
故F(x)的最大值为7-2,无最小值,故选B.
2.答案　(-3,1)
解析　作出函数f(x)=的图象如图所示:
由图象知f(x)为定义域R上的减函数,
又f(3-a2)2a,即a2+2a-3<0,
解得-3利用图象得出f(x)的单调性,进而脱去不等式中的“f ”.
3.答案　(-1,0)∪(1,2)
解析　先通过题中f(x)和g(x)的图象得到f(x)和g(x)异号的区间,再根据奇偶性得到不等式的解集,采用了数形结合思想.
由题图可知,当00,g(x)>0,∴f(x)·g(x)>0;当10,∴f(x)·g(x)<0,∴当0≤x≤2时,f(x)·g(x)<0的解集为(1,2).∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,∴y=f(x)·g(x)是奇函数,由奇函数的对称性可得,当-2≤x<0时, f(x)·g(x)<0的解集为(-1,0).综上,不等式f(x)·g(x)<0的解集是(-1,0)∪(1,2).
4.解析　(1)当x<0时,-x>0, f(-x)=x2+4x,
∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=x2+4x,
∴f(x)=
(2)作出函数f(x)的图象如图所示.
(3)由(2)中图象可知f(x)的最小值为f(-2)=f(2)=-4.
根据图象,直观看出y=f(x)的图象与直线y=m的交点个数,采用了数形结合思想.
当函数y=f(x)的图象与直线y=m有四个交点时,-4思想方法
　　利用数形结合思想画出函数图象,可直观得到函数的单调性、值域、奇偶性以及不等式的解集等.
5.答案　
解析　当t=0时,函数f(x)=其在定义域上不单调,所以t≠0.
函数y=tx2+x+1(t≠0)的图象的对称轴为直线x=-.由题知函数f(x)在定义域上是单调递增函数.
当t大于零和小于零时,函数图象的开口方向以及对称轴和区间的位置关系不同,所以需分类讨论.
当t>0时,函数y=tx2+x+1在区间上单调递减,不符合题意;
当t<0时,函数y=tx2+x+1在区间上单调递增,要使函数f(x)在定义域上单调递增,则需t+≥t3+t+1,即t3≤-,解得t≤-.
故实数t的取值范围为.
6.解析　(1)当a=0时, f(x)为偶函数;当a≠0时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.理由如下:
f(x)的定义域为R,关于原点对称.
a是不是零会影响到f(x)的奇偶性,所以需要分类讨论.
当a=0时, f(x)=2x2+(x-0)2=3x2,满足f(-x)=f(x),又x∈R,所以f(x)为偶函数;
当a≠0时, f(-x)=2x2+(-x-a)2=2x2+(x+a)2≠2x2+(x-a)2,即f(-x)≠f(x),
同理f(-x)≠-f(x),所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)f(x)=3x2-2ax+a2>2对任意实数x恒成立,
即3x2-2ax+a2-2>0对任意实数x恒成立,
只需Δ=4a2-12(a2-2)<0,解得a<-或a>.
(3)f(x)=3x2-2ax+a2,其图象的对称轴为直线x=.
按照对称轴和区间的位置关系进行讨论,采用了分类讨论思想.
①当≤,即a≤时,f(x)max=f(1)=a2-2a+3=9,
解得a=1-或a=1+(舍去);
②当>,即a>时,f(x)max=f(0)=a2=9,
解得a=3或a=-3(舍去).
综上,a=1-或a=3.
思想方法
　　在函数中,参数的取值不同,函数的图象、性质可能有不同的变化,解题时要依据题意对参数进行分类讨论.涉及分段函数时,要注意自变量的取值范围对解题的影响.应用分类讨论思想解决问题的关键是对分类标准的确定,要注意做到分类不重不漏.
7.C　∵函数g(x)=x2+m是定义在(-∞,0)上的正函数,∴存在a∴g(a)=b,g(b)=a,即a2+m=b,b2+m=a,
两式左右分别相减得a2-b2=b-a,即b=-(a+1),
代入a2+m=b得a2+a+m+1=0,
∵a解得-1∴关于a的方程a2+a+m+1=0在区间内有实数根,
把新定义的正函数问题转化为方程有解问题,采用了转化与化归思想.
记h(a)=a2+a+m+1,则h(-1)=1-1+m+1>0且h=-+m+1<0,
解得-1思想方法
　　转化与化归思想在本章中的主要应用有:(1)解决方程的解的个数、不等式恒成立(有解)问题;
(2)利用函数的单调性比较大小、解不等式求参数的取值范围等.要注意转化的过程也是一个探索的过程,抓住函数的内在联系,通过一步一步转化才能使结果慢慢显现出来.