第二章函数综合拔高练 北师大版（2019）必修第一册（Word含解析）

第二章　函数
综合拔高练
考点　函数及其性质
1.(2021全国乙理,4)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x-1)-1
B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1
D.f(x+1)+1
2.(2021北京,3)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2020全国Ⅱ文,10)设函数f(x)=x3-,则f(x)(　　)
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
4.(2020全国新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
5.(2021全国甲文,12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f =,则f =(　　)
A.- B.- C. D.
6.(2019课标全国Ⅱ,12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
7.(2019江苏,4)函数y=的定义域是　　　　.
8.(2020江苏,7)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时, f(x)=,则f(-8)的值是　.
9.(2018上海,7)已知α∈
2,3,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=　　　　　.
10.(2018天津,14)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是　　　　.
11.(2019浙江,16)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,则实数a的最大值是　　　　.
应用实践
1.(2022安徽芜湖一中期中)已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(-3)B.f(-2)C.f(π)D.f(π)2.(2022山西朔州怀仁一中月考)已知函数f(x)=x2-2x-3的定义域为[a,b],值域为[-4,5],则实数对(a,b)不可能为(　　)
A.(-2,4) B.(-2,1)
C.(1,4) D.(-1,1)
3.(2021四川内江期末)已知函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
4.(2021江西上饶重点中学月考)已知f(x)=x2+ax(a∈R),且函数f(f(x))与f(x)的值域相同,则a的取值范围为(　　)
A.(-∞,0]∪[2,+∞)
B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.{0,2}
D.[0,2]
5.(2022江苏盐城响水中学期中)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足<0(x1≠x2),且f =3,f(3)=9,则不等式f(x)>3x的解集为(　　)
A.(3,+∞) B.(0,3)
C. D.
6.(多选)关于函数f(x)=+,下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
B.函数f(x+1)是奇函数
C.函数f(x)在(-∞,-1)上不是单调递增的
D.函数f(x)在(-1,3)上先减后增
7.(2022河北唐山迁安期中)已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则不等式f(x2-2x)8.(2022河南商丘一中期中)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.
9.(2020宁夏银川六中期中)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,且f(3)=0,则不等式x·f(x-1)<0的解集是　　　　.
10.(2022山东备考监测二联)根据市场调查,某种商品在最近30天内的售价f(t)(单位:元/件)、日销售量g(t)(单位:件)与时间t(单位:天)的关系分别是f(t)=(t∈N),g(t)=-t+50(0≤t≤30,t∈N).
(1)求该商品的日销售额y(单位:元)与时间t(单位:天)之间的函数关系式;
(2)求这种商品的日销售额的最大值.(日销售额=销售量×售价)
11.(2021江苏盐城滨海中学月考)已知函数f(x)=x+-4,g(x)=x-b,h(x)=x2+2bx.
(1)当a=2时,求函数y=f(x)+g(x)的单调区间(直接写出结果);
(2)当a∈[3,4]时,函数f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m),求实数m的取值范围;
(3)若不等式h(x1)-h(x2)<|g(x1)|-|g(x2)|对任意x1,x2∈[0,2](x1迁移创新
12.(2020山东烟台期中)经过函数性质的学习,我们知道“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”.
(1)若f(x)为偶函数,且当x≤0时,f(x)=2x-1,求f(x)的解析式,并求不等式f(x)>f(2x-1)的解集;
(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究,得到一个真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x+a)为偶函数”.若函数g(x)的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,g(x)=x2-.
①求g(x)的解析式;
②求不等式g(x)>g(3x-1)的解集.
本章达标检测见增分测评卷 P3
答案与分层梯度式解析
第二章　函数
综合拔高练
五年高考练
1.B　解法一:f(x)=-1+,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.
解法二:选项A, f(x-1)-1=-2,此函数既不是奇函数,也不是偶函数;选项B, f(x-1)+1=,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=,此函数既不是奇函数,也不是偶函数;选项D, f(x+1)+1=,此函数既不是奇函数,也不是偶函数,故选B.
2.A　若f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1);若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),则f(x)未必在[0,1]上单调递增.如图.故选A.
3.A　∵函数f(x)=x3-的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
又∵函数y=x3在(0,+∞)上单调递增,y=在(0,+∞)上单调递减,
∴函数f(x)=x3-在(0,+∞)上单调递增.故选A.
4.D　∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,
又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,
∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:
当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,
∴xf(x-1)≥0;
当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,
∴xf(x-1)≥0.
综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.
5.C　由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f=f=f =,故选C.
6.B　由题可知,当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x=时, f(x)min=-,且当x=时, f(x)=-.当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],则f(x)=2f(x-1).当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],则 f(x)=f(x+1).
∴若x∈(1,2],则当x=时, f(x)min=-,且x=时, f(x)=-.
同理,若x∈(2,3],则当x=时, f(x)min=-1,且x=时, f(x)=-.
∴函数f(x)的大致图象如图所示.
∵f(x)≥-对任意x∈(-∞,m]恒成立,
∴当x∈(-∞,m]时, f(x)min≥-,
由图可知m≤.故选B.
7.答案　[-1,7]
解析　由题意可得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,故该函数的定义域是[-1,7].
8.答案　-4
解析　由函数f(x)是奇函数得f(-8)=-f(8)=-=-4.
9.答案　-1
解析　∵幂函数f(x)=xα为奇函数,
∴α可取-1,1,3,又f(x)=xα在(0,+∞)上递减,
∴α<0,∴α=-1.
10.答案　
解析　当x>0时, f(x)=-x2+2x-2a,
此时只需-x2+2x-2a≤x恒成立,
即2a≥-x2+x恒成立,
因为x>0时,y=-x2+x的最大值为,所以a≥;
当-3≤x≤0时, f(x)=x2+2x+a-2,
此时只需x2+2x+a-2≤-x恒成立,
即a≤-x2-3x+2恒成立,
因为-3≤x≤0时,y=-x2-3x+2的最小值为2,
所以a≤2.
故a的取值范围为.
11.答案　
解析　|f(t+2)-f(t)|=|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|=|a(6t2+12t+8)-2|.
令m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2,则m∈[2,+∞),
设g(m)=f(t+2)-f(t)=am-2,
则|am-2|≤可化为|g(m)|≤.
当a=0时,g(m)=-2,不符合题意.
当a>0时,g(m)∈[2a-2,+∞),
∵|g(m)|≤有解,
∴2a-2≤,解得0当a<0时,g(m)∈(-∞,2a-2],
∵|g(m)|≤有解,
∴2a-2≥-,解得a≥,与a<0矛盾,舍去.
综上可知,0三年模拟练
1.B　因为f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).又当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,且2<3<π,所以f(2)2.D　画出y=x2-2x-3(x∈R)的图象如图所示:
由图可知f(-2)=f(4)=5,f(1)=-4,根据选项可知当f(x)=x2-2x-3的定义域为[a,b],值域为[-4,5]时,实数对(a,b)可能为(-2,4),(-2,1),(1,4),不可能为(-1,1).故选D.
3.A　函数f(x)=的图象如图所示,不妨设x14.A　函数f(x)=x2+ax的图象开口向上,且对称轴为直线x=-,f(x)的值域为,若函数f(f(x))的值域也为,则-a2≤-,即a2-2a≥0,解得a≤0或a≥2,故a的取值范围为(-∞,0]∪[2,+∞),故选A.
5.B　不妨设x1>x2>0,因为定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足<0,所以x2 f(x1)-x1 f(x2)<0,所以 <.
令g(x)=(x∈(0,+∞)),则g(x1)故g(x)=在(0,+∞)上单调递减,
又x>0,f(x)>3x,所以>3,
因为f(3)=9,所以g(3)==3,
所以g(x)>g(3),
因为g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以06.ACD　易得函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,3)∪(3,+∞).
因为f(2-x)=+=+=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确;
f(x+1)=+=+=,显然不是奇函数,故B错误;
f(-3)=+=-, f(-2)=+=-, f(-3)>f(-2),所以函数f(x)在(-∞,-1)上不是单调递增的,故C正确;
f(x)=+==,
设函数g(x)==(x-1)2+1(x∈(-1,3)),易得g(x)在(-1,1]上单调递增,在[1,3)上单调递减,且函数值恒为正数,所以f(x)=在(-1,1]上单调递减,在[1,3)上单调递增,即函数f(x)在(-1,3)上先减后增,故D正确.
7.答案　(-1,0]
解析　设f(x)=xα,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以4α=2,解得α=.
易知f(x)==在[0,+∞)上单调递增,因为f(x2-2x)8.答案　2
解析　f(x)===1+,
设g(x)=f(x)-1=,
因为f(x)的最大值为M,最小值为m,
所以g(x)的最大值为M-1,最小值为m-1,
又g(-x)==-g(x),x∈R,关于原点对称,所以g(x)为奇函数,所以M-1+m-1=0,所以M+m=2.
9.答案　(-2,0)∪(4,+∞)
解析　由题意可知f(x)在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,且f(3)=f(-3)=0.将f(x)的图象向右平移1个单位长度得到f(x-1)的图象,画出f(x-1)的大致图象如图所示,由图可知,不等式x·f(x-1)<0的解集是(-2,0)∪(4,+∞).
10.解析　(1)y=f(t)·g(t)
=(t∈N)
=.
(2)令h(t)=.
当0≤t<10且t∈N时,h(t)=-t2+10t+2 000=-(t-5)2+2 025,故当t=5时,h(t)取得最大值,且最大值为2 025.
当10≤t≤30且t∈N时,h(t)==
=100,
因为函数y=x+在区间(10,10)上单调递增,在区间(10,+∞)上单调递减,h(14)=2 100,h(15)=2 100,所以h(t)max=2 100.
因为2 025<2 100,所以这种商品的日销售额的最大值为2 100元.
11.解析　(1)当a=2时,y=f(x)+g(x)=x+-4+x-b=2-4-b.
易知函数y=f(x)+g(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调递减区间为(-1,0)和(0,1).
(2)因为a∈[3,4],且函数y=f(x)在[1,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,f(x)在[1,m]上的最大值为f(m),所以f(m)≥f(1),
即m+-4≥1+a-4,
整理得m2-(a+1)m+a≥0,
所以(m-1)(m-a)≥0,
所以m≥amax,即m≥4,
所以m的取值范围是[4,+∞).
(3)令F(x)=h(x)-|g(x)|,
由h(x1)-h(x2)<|g(x1)|-|g(x2)|对任意x1,x2∈[0,2](x1得h(x1)-|g(x1)|等价于F(x)在[0,2]上单调递增.
F(x)=h(x)-|g(x)|=x2+2bx-|x-b|=
①当b≤-b-,即b≤-时,
结合函数图象(图略)可得-b+≤0,解得b≥,与b≤-矛盾,舍去;
②当-b-易知函数F(x)的图象(图略)从左到右依次为减、增、减、增,但是中间增区间的区间长度小于1,
要使函数F(x)在[0,2]上单调递增,
只需-b+≤0,解得b≥,与-③当b≥-b+,即b≥时,
易知函数F(x)在上单调递增,
要使函数F(x)在[0,2]上单调递增,
只需-b-≤0,解得b≥-,所以b≥.
综上,满足条件的实数b的取值范围是.
12.解析　(1)设x>0,则-x<0,则f(-x)=2(-x)-1=-2x-1,
又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=-2x-1.
所以f(x)=
因为f(x)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,
所以f(x)>f(2x-1)等价于|x|<|2x-1|,
即x2<(2x-1)2,解得x<或x>1.
所以不等式的解集是.
(2)①因为g(x)的图象关于直线x=1对称,所以函数g(x+1)为偶函数,所以g(1+x)=g(1-x),
即g(x)=g(2-x)对任意x∈R恒成立.
又当x<1时,2-x>1,
所以g(x)=(2-x)2-=x2-4x+4+,
所以g(x)=
②任取x1,x2∈[1,+∞),且x1则g(x1)-g(x2)=--
=(x1-x2),
因为x10,>0,
所以(x1-x2)<0,即g(x1)所以函数g(x)在[1,+∞)上是增函数,
又因为函数g(x)的图象关于直线x=1对称,
所以g(x)>g(3x-1)等价于|x-1|>|3x-2|,
即(x-1)2>(3x-2)2,解得所以不等式的解集为.