北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数 综合拔高练（Word版含解析）

第三章　指数运算与指数函数
综合拔高练
五年高考练
考点1　指数型函数的图象
1.(2019课标全国Ⅲ,7)函数y=在[-6,6]的图象大致为(　　)
考点2　指数型函数的性质及其应用
2.(2020北京,6)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
3.(2018课标全国Ⅰ,12)设函数f(x)=则满足f(x+1)　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
C.(-1,0) D.(-∞,0)
4.(2017北京,5)已知函数f(x)=3x-,则f(x)(　　)
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
5.(2017课标全国Ⅲ,16)设函数f(x)=则满足f(x)+f >1的x的取值范围是　　　　.
三年模拟练
1.(2020北京丰台月考)已知a=0.20.3,b=0.20.5,c=1.20.2,则a,b,c的大小关系是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.c>b>a
2.(2020湖北宜昌第一中学月考)函数y=的单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
3.(2020吉林长春十一高中月考)已知函数f(x)=ax-2(a>1), f(x0)=0且x0∈(0,1),则(　　)
A.12
C.a≥2 D.a=2
4.(2022广西“三新”学术联盟联考)已知f(x+2)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)在[0,+∞)上单调递增,则不等式f(-2x+1+2)>f(10)的解集为(　　)
A.{x|0C.{x|x>2} D.{x|x>3}
5.(2022河南商丘期末)对于定义在R上的函数f(x),如果存在实数x0使f(x0)=x0,那么x0叫作函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=存在两个不动点,则实数m的取值范围是(　　)
A.[0,1] B.[-1,0]
C.(-∞,1] D.[-1,+∞)
6.(多选)(2022广东揭阳月考)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=-,g(x)=[f(x)],则下列叙述中正确的是(　　)
A.g(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是{-1,0,1}
7.(2022辽宁丹东凤城一中月考)若函数f(x)=2|x|+1在区间[a,+∞)上单调递增,则实数a的最小值为　　　　.
8.(2021江西南昌外国语学校期中)已知f(x)=4x-m·2x+1,g(x)=,若存在不相等的实数a,b同时满足方程g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,求实数m的取值范围.
迁移创新
9.(2022上海长宁一模)已知函数f(x)=(x∈R).
(1)求证:函数f(x)是R上的减函数;
(2)已知函数f(x)的图象存在对称中心(a,b)的充要条件是g(x)=f(x+a)-b的图象关于原点对称.判断函数f(x)的图象是否存在对称中心,若存在,求出该对称中心的坐标,若不存在,说明理由;
(3)若对任意x1∈[1,n](n>1),都存在x2∈及实数m,使得f(1-mx1)+f(x1x2)=1,求实数n的最大值.
答案与分层梯度式解析
第三章　指数运算与指数函数
综合拔高练
五年高考练
1.B　设f(x)=(x∈[-6,6]),则f(-x)==-f(x),∴f(x)为奇函数,排除选项C;当x=-1时, f(-1)=-<0,排除选项D;当x=4时,f(4)=≈7.97,排除选项A.故选B.
2.D　不等式f(x)>0等价于不等式2x>x+1,作出函数y=2x和函数y=x+1的图象,如图所示,易知两个函数图象的交点坐标为(1,2)和(0,1),观察函数图象可知,当x>1或x<0时,函数y=2x的图象在函数y=x+1图象的上方,此时2x>x+1,故不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞),故选D.
3.D　函数f(x)=的图象如图所示:
由f(x+1)∴x<0,故选D.
4.A　易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,
∵f(-x)=3-x-=-3x=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
又∵y=3x在R上为增函数,y=-在R上为增函数,∴f(x)=3x-在R上是增函数.
5.答案　
解析　当x≤0时, f(x)+f=x+1+x-+1>1,∴x>-,∴-当01恒成立;
当x>时, f(x)+f =2x+>1恒成立.
综上,x的取值范围为.
三年模拟练
1.C　因为函数f(x)=0.2x在R上递减,所以1=0.20>0.20.3>0.20.5,即b1.20=1,即c>1,所以b2.C　设u=-x2+x+2,则u=-+.
所以u=-x2+x+2在上递增,在上递减,
又y=是减函数,所以y=的单调递增区间为.故选C.
3.B　∵x0∈(0,1), f(x0)=0,且函数f(x)是增函数,∴由f(x)的图象(图略)可得f(0)<0且f(1)>0,
即∴a>2.故选B.
4.C　易知f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,2)上单调递减,
所以f(-2x+1+2)>f(10)等价于|-2x+1+2-2|>|10-2|,所以2x+1>8,即2x+1>23,解得x>2,故不等式的解集为{x|x>2}.
5.C　当x<0时,f(x)=,令=x,解得x=-1或x=1(舍去),所以-1是函数f(x)的一个不动点.
要使函数f(x)存在两个不动点,只需 y=x与y=-m(x≥0)的图象有且只有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出y=x与y=-m(x≥0)的图象,如图.
由图可得-m≥-1,解得m≤1,故实数m的取值范围为(-∞,1].
6.BC　根据题意知, f(x)=-=-.
∵x∈R,g(1)=[f(1)]==0,g(-1)=[f(-1)]==-1,
∴g(1)≠g(-1),∴函数g(x)不是偶函数,A错误;
∵f(-x)=-=-=-f(x),f(x)的定义域为R,关于原点对称,∴f(x)是奇函数,B正确;
易知f(x)=-在R上是增函数,C正确;
∵2x>0,∴1+2x>1,∴-∴g(x)=[f(x)]={-1,0},D错误.
故选BC.
7.答案　0
解析　函数f(x)=2|x|+1的图象如图所示:
由图象知f(x)的减区间是(-∞,0],增区间是[0,+∞),
又因为函数在区间[a,+∞)上单调递增,所以a≥0,
所以实数a的最小值为0.
8.解析　易知函数f(x),g(x)的定义域均为R.由g(-x)===-g(x)可得,函数g(x)=是奇函数,所以由g(a)+g(b)=0,可得a+b=0,即b=-a,所以方程f(a)+f(b)=0有解,即4a-m·2a+1+4-a-m·2-a+1=0有解,即4a+4-a-2m·(2a+2-a)=0有解.令t=2a+2-a,则t≥2,当且仅当a=0时取等号,此时a=b=0,不符合题意,故t>2,则4a+4-a-2m·(2a+2-a)=0有解,即t2-2-2mt=0在t∈(2,+∞)上有解,即2m=t-在t∈(2,+∞)上有解,又函数y=t-在区间(2,+∞)上单调递增,所以y>1,即2m>1,解得m>.故实数m的取值范围为.
9.解析　(1)证明:任取x3,x4∈R,且x3则f(x3)-f(x4)=-==.
因为x3,x4∈R,且x30,(+1)(+1)>0,所以f(x3)-f(x4)>0,即f(x3)>f(x4),
所以函数f(x)是R上的减函数.
(2)假设函数f(x)的图象存在对称中心,且对称中心的坐标为(a,b),
则g(x)=f(x+a)-b=-b的图象关于原点对称,
由于函数g(x)的定义域为R,
所以g(-x)+g(x)=-b+-b=0恒成立,
即(1-2b)(2x+a+2-x+a)+2-2b-2b·22a=0恒成立,
所以解得
所以函数f(x)的图象存在对称中心,且对称中心的坐标为.
(3)因为对任意x1∈[1,n](n>1),都存在x2∈及实数m,使得f(1-mx1)+f(x1x2)=1,
所以+=1,即=1,
所以1-mx1+x1x2=0,所以x2==m-.
因为x1∈[1,n],所以m-∈,
因为x2∈,所以 ,
所以即
所以≥=,所以n≤2,
又n>1,所以实数n的取值范围为(1,2],
故实数n的最大值为2.