北师大版（2019）必修第一册4.2对数的运算 同步练习（Word版含解析）

第四章　对数运算与对数函数
§2　对数的运算
基础过关练
题组一　　对数的运算性质
1.(2022陕西宝鸡联考)计算以下两个式子①2log36-log34,②的结果依次为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3,27 B.3,9
C.2,27 D.2,9
2.(多选)(2020北京人大附中期中改编)已知ab>0,给出下面四个等式,其中不正确的有(　　)
A.lg(ab)=lg a+lg b
B.lg=lg a-lg b
C.lg=lg
D.lg(ab)=
3.(2020湖北宜昌部分示范高中联考)若lg x-lg y=a,则lg-lg=(　　)
A.3a B.a
C.a D.
4.阅读下列材料,然后解答问题:对于任意实数x,符号[x]表示“不超过x的最大整数”.在数轴上,当x是整数时,[x]就是x;当x不是整数时,[x]是点x左侧的第一个整数点.这个函数叫作“取整函数”,也叫高斯函数.如[-2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2.则+++[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
5.(lg 5)2+lg 2·lg 50=　　　　.
6.(2020江苏七校联盟联考)计算:=　　　　.
7.(2020山西太原期中)(1)已知logx8=6,求x的值;
(2)已知log3(x2-10)=1+log3x,求x的值.
题组二　换底公式
8.(2021山东潍坊期末)1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算发明了对数;1637年法国数学家笛卡儿开始使用指数运算;1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的关系,指出:对数源于指数,对数的发明先于指数.若2x=5,lg 2≈0.301,则x的值约为(　　)
A.2.301 B.2.322
C.2.507 D.2.699
9.(2020上海理工大学附属中学模拟)若ln 2=a,ln 3=b,则log418=(　　)
A. B.
C. D.
10.(多选)(2020安徽黄山一中月考)下列运算错误的是(　　)
A.10+0.25=2
B.log427·log258·log95=
C.log225·log3·log5=16
D.lg 2+lg 50=10
11.若log23·log325·log5m=2,则m=　.
12.(2022江西井冈山中学段测)若4a=5b=100,则2=　　　　.
题组三　对数运算的综合应用
13.(2020北师大附中期中)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=ex+b(b为常数),则f(-ln 2)等于(　　)
A.- B.1 C.-1 D.-3
14.若a=log53,b=log2.51.5,c=log2012,则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
15.已知a,b,c是△ABC的三边长,且关于x的一元二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
16.(2020海南临高中学期末)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则+的最小值是　　　　.
17.(2020陕西西安临潼校际联考改编)已知函数f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N+),定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的k(k∈N+)叫作企盼数,则在区间[1,2 022]内的企盼数共有　　　　个.
18.若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实数根,求lg(ab)·(logab+logba)的值.
19.(2020重庆一中期中)已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,2x=py.
(1)求p的值;
(2)求证:-=.
20.已知一元二次函数f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a的最大值为3,求实数a的值.
答案与分层梯度式解析
第四章　对数运算与对数函数
§2　对数的运算
基础过关练
1.C　①2log36-log34=log336-log34=log3(36÷4)=log39=2.
②===27.故选C.
2.ABD　当a<0,b<0时,lg(ab)=lg(-a)+lg(-b),
lg=lg(-a)-lg(-b),故A,B中等式不正确;
当ab>0时,>0,lg=lg,故C中等式正确;
当ab=1时,logab10无意义,故D中等式不正确.
故选ABD.
3.A　lg-lg=3(lg x-lg 2)-3(lg y-lg 2)=3(lg x-lg y)=3a,故选A.
4.答案　B
信息提取　① x∈R,[x]表示“不超过x的最大整数”;②在数轴上,当x是整数时,[x]=x,当x不是整数时,[x]是点x左侧的第一个整数点.
数学建模　以取整函数即高斯函数为背景,将对数运算与高斯函数相结合,建立数学模型从而得到最终结果.
解析　+++[log21]+[log22]+[log23]+[log24]=-2-2-1+0+1+1+2=-1.
5.答案　1
解析　(lg 5)2+lg 2·lg 50=(lg 5)2+lg 2·(lg 5+lg 10)=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2=lg 5·(lg 5+lg 2)+
lg 2=lg 5+lg 2=1.
6.答案　1
解析　原式=
==
===1.
7.解析　(1)因为logx8=6,所以x6=8,
所以x====.
(2)因为log3(x2-10)=1+log3x,
所以log3(x2-10)=log3(3x),
所以解得x=5.
8.B　x=log25==≈≈2.322.
9.D　log418===.
10.ABD　对于A, 2lo10+lo0.25=102+0.25=(102×0.25)=25=-2,故A中运算错误;
对于B,log427·log258·log95=··=··=,故B中运算错误;
对于C,log225·log3·log5=log252·log32-4·log53-2=··=16,故C中运算正确;
对于D,lg 2+lg 50=lg 100=2,故D中运算错误.
故选ABD.
11.答案　2
解析　∵log23·log325·log5m=··=··==2,
∴lg m=lg 2,∴m=2.
方法技巧
　　对数式恒等变形的常用策略:一看底数,底数不同时用换底公式化不同底为同底;二看真数,利用对数的运算性质将真数进行适当变形.解题时还要考虑对数恒等式及特殊值.
12.答案　2
解析　由已知得a=log4100,b=log5100,所以+=log1004+2log1005=log100100=1,则2=2.
13.C　∵f(x)在R上是奇函数,∴f(0)=e0+b=0,
∴b=-1,经检验,符合题意.∴f(-ln 2)=-f(ln 2)=-(eln 2-1)=-1.
14.C　a=log53=,b=log2.51.5==,c=log2012==.根据不等式性质:当a>b>m>0时,>>>,所以c>a>b,故选C.
15.B　由题意知Δ=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,化简得2lg a-lg(c2-b2)=0,所以lg=0,所以=1,所以a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.
16.答案　4
解析　lg 2x+lg 8y=xlg 2+3ylg 2=lg 2,
∴x+3y=1,
∴+=·(x+3y)=2++≥4,当且仅当x=,y=时取等号.
∴+的最小值为4.
17.答案　9
解析　令g(k)=f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k),
∵f(k)=log(k+1)(k+2)=,
∴g(k)=··…·==log2(k+2),∴k+2=2t,t∈N+.
∵k∈[1,2 022],∴k+2∈[3,2 024],
即2t∈[3,2 024].
∵22=4,……,210=1 024,211=2 048,
∴t可取2,3,…,10.
∴在区间[1,2 022]内的企盼数共有9个.
18.解析　原方程可变形为2(lg x)2-4lg x+1=0,
∵a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实数根,
∴lg a+lg b=2,lg a·lg b=,
∴lg(ab)·(logab+logba)
=(lg a+lg b)·
=(lg a+lg b)·
=(lg a+lg b)·
=2×=12.
19.解析　设3x=4y=6z=t,t>1,
则x=log3t,y=log4t,z=log6t.
(1)∵2x=py,
∴2log3t=plog4t=p·.
∵log3t≠0,
∴p=2log34=4log32.
(2)证明:∵-=-=logt6-logt3=logt2,==·logt4=·2logt2=logt2,
∴-=.
20.解析　易知lg a≠0,故原函数可化为f(x)=lg a·-+4lg a.
∵f(x)有最大值3,
∴lg a<0,且-+4lg a=3,
整理得4(lg a)2-3lg a-1=0,
解得lg a=1或lg a=-.
又∵lg a<0,∴lg a=-,∴a=1.