北师大版（2019）必修第一册4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较+4.5 信息技术支持的函数研究（Word版含解析））

第四章　对数运算与对数函数
§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5　信息技术支持的函数研究
基础过关练
题组一　不同函数模型增长的比较
1.下列函数中,增长速度越来越慢的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=6x B.y=log6x
C.y=x6 D.y=6x
2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系,可选用(　　)
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数型模型
D.对数函数型模型
3.(2020广东惠州期末)下面关于函数f(x)=lox、g(x)=和h(x)=在区间(0,+∞)上的说法正确的是(　　)
A. f(x)的递减速度越来越慢,g(x)的递减速度越来越快,h(x)的递减速度越来越慢
B. f(x)的递减速度越来越快,g(x)的递减速度越来越慢,h(x)的递减速度越来越快
C. f(x)的递减速度越来越慢,g(x)的递减速度越来越慢,h(x)的递减速度越来越慢
D. f(x)的递减速度越来越快,g(x)的递减速度越来越快,h(x)的递减速度越来越快
4.(2020北京石景山期末)三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x成对数型函数、指数型函数、幂型函数关系的变量依次是(　　)
A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1 D.y3,y1,y2
5.(多选)以下四种说法中,正确的是(　　)
A.幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快
B.已知a>1,则对任意的x>0,ax>logax
C.对任意的x>0,xa>logax
D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xa>logax
6.函数f(x)=x2与g(x)=ln x在区间(1,+∞)上增长较快的是　　　　.
7.若x∈(0,+∞),试分别写出使不等式:①log2x<2x题组二　函数图象的确定与选择
8.(2020山东菏泽期中)函数y=2x-x2的图象大致是(　　)
9.函数y=ax,y=logax,y=log(a+1)x,y=(a-1)x2的图象所对应的曲线的序号依次为(　　)
A.①②③④ B.①③②④
C.②③①④ D.①④③②
10.向高为H的水瓶内注水,一直到注满为止,如果注水量V与水深h的函数图象如图所示,那么水瓶的形状大致是(　　)
11.如图所示,阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数,则关于该函数的图象正确的是(　　)
12.(2021福建莆田一中期中)水滴进玻璃容器,如图所示(设单位时间内进水量相同),那么水的高度是如何随时间变化的 请填上与容器匹配的图象的序号.
a:　　　　;b:　　　　;c:　　　　;d:　　　　.
13.函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 022),g(2 022)的大小.
答案与分层梯度式解析
第四章　对数运算与对数函数
§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5　信息技术支持的函数研究
基础过关练
1.B　一次函数的增长速度不变,选项A、C中函数的增长速度越来越快,只有B中对数函数的增长速度越来越慢,符合题意.故选B.
2.D　一次函数匀速增长;二次函数和指数型函数增长时,都是开始增长慢,后来越来越快;对数型函数增长时,先快后慢,满足题意.故选D.
3.C　观察函数f(x)=lox、g(x)=和h(x)=在区间(0,+∞)上的图象(图略),由图可知:函数f(x)在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢.同样,函数g(x)在区间(0,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢.函数h(x)在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢.故选C.
4.C　指数型函数增长变化率最快,对数型函数增长变化率最慢,幂型函数增长变化率趋于中间,所以y1是幂型函数,y2是指数型函数,y3是对数型函数,故选C.
5.BD　对于A,幂指数与一次项系数不确定时,增长速度不能比较,故A错误;
对于B,因为a>1,所以ax>logax,故B正确;
对于C,当a=时,由y=和y=x的图象(图略)知,对任意的x>0,xa>logax不恒成立,故C错误;
对于D,当a<1时,ax>xa>logax不成立,故D正确.
6.答案　f(x)=x2
解析　任取a,a+1∈(1,+∞),令==2a+1,==ln,因为a>1,所以2a+1>3, ln,所以函数g(x)=ln x在区间(1,+∞)上的增长速度慢于函数f(x)=x2的增长速度,故增长较快的为f(x)=x2.
7.解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=x2,y=log2x的图象,可得22=4,24=42=16,下面借助图象解决问题.
①∵log2x<2x∴自变量x的取值范围为(2,4).
②∵log2x4,
∴自变量x的取值范围为(0,2)∪(4,+∞).
8.A　易知在区间(0,+∞)上,当x∈(0,2)时,2x>x2,即y>0;当x∈(2,4)时,2xx2,即y>0.当x=-1时,y=2-1-1<0,据此可知只有A选项符合条件.
9.B　①是y=ax,②是y=log(a+1)x,③是y=logax,④是y=(a-1)x2,故选B.
10.B　水深h为自变量,随着h的增大,A项中V的增长速度越来越快,C项中先慢后快,D项中增长速度不变,只有B项中V的增长速度越来越慢.
11.C　由题可知,当 h∈[0,H]时,S是减函数,故A、B错;由题中阴影面积的变化趋势来看,函数图象变化得越来越慢,故选C.
12.答案　(3);(2);(4);(1)
解析　容器a和b的水面上升速度是匀速的,且容器a的水面上升得快,因此a对应(3),b对应(2);容器c的水面开始是缓慢上升,后来上升得快,而容器d的水面是开始上升得快,中间较缓慢,后来加快,因此c对应(4),d对应(1).
13.解析　(1)曲线C1对应的函数为g(x)=x3,曲线C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f(1)=2>g(1)=1, f(2)=4g(10)=1 000,
∴1由题图可以看出,当x1∴f(6)当x>x2时, f(x)>g(x),∴f(2 022)>g(2 022).
又g(2 022)>g(6),∴f(2 022)>g(2 022)>g(6)>f(6).