北师大版（2019）必修第一册5.1.2利用二分法求方程的近似解 同步练习（Word版含解析）

第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.2　利用二分法求方程的近似解
基础过关练
题组一　二分法的概念及适用条件
1.(2021河北张家口第一中学月考)下面关于二分法的叙述,正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任意一位
C.二分法无规律可循
D.只有在求函数零点时才用二分法
2.下列图象对应的函数能用二分法求零点的是　(　　)
3.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续的曲线,且满足f(a)·f(b)<0,f(a)·f >0,则(　　)
A. f(x)在上有零点
B. f(x)在上有零点
C. f(x)在上无零点
D. f(x)在上无零点
4.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是　(　　)
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
5.(2020山东威海三校联考)下列函数不能用二分法求零点的是(　　)
A. f(x)=3x-1 B. f(x)=x3
C. f(x)=|x| D. f(x)=x2-1
题组二　用二分法求函数零点的近似值
6.(2020山西太原期末)已知函数y=f(x)为[0,1]上的连续函数,且f(0)·f(1)<0,使用二分法求函数零点,要求近似值的精确度达到0.1,则需对区间至少等分的次数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
7.(2022湖南长沙联合体联考)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时,若第一次所取的区间为[-2,6],则第三次所取的区间可能是(　　)
A.[-2,-1] B.[-1,1]
C.[2,4] D.[5,6]
8.(2020河北沧州一中月考)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点时,可以取的初始区间是(　　)
A.[-2,-1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
9.(2020江西南昌二中期末)已知用二分法计算函数f(x)=x3+2x-8的零点时,其附近的函数值参考数据如下表所示:
x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.687 5
f(x) -5.00 4.00 -1.63 0.86 -0.46 0.18
则方程x3+2x-8=0的近似解可为(精确度为0.1)(　　)
A.1.50 B.1.66
C.1.70 D.1.75
10.已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续的曲线,且函数f(x)在区间(a,b)上有一个零点x0,f(a)·f(b)<0,用二分法求x0时,当f =0时,函数f(x)的零点是　　　　.
11.(2020广西桂林一中月考)在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即可得出方程的一个近似解为 (精确度为0.1).
12.已知函数f(x)=3x2-1在区间(0,1)上有唯一零点x0,如果用“二分法”求这个零点(精确度ε=0.05)的近似值,那么将区间(0,1)等分的次数至少是　　　　.此时规定只要零点的存在区间(a,b)满足|a-b|<ε,则可用作为零点的近似值,由此求得x0=　　　　.
题组三　二分法思想的应用
13.在当前防疫取得重要进展的时刻,为防范机场带来的境外输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率:每32人为一组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查.若为阴性,则全部放行;若为阳性,则对该组32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组,选其中一组16人的样本混合检查,若为阴性,则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分为两组,选其中一组8人的样本混合检查……依此类推,最终从这32人中认定那名感染者需要经过检测的次数为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
14.已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障),这是一条10 km长的线路,应如何迅速查出故障所在
15.(2020四川广元期中)已知函数f(x)=ax3+2ax+3a-4在区间(-1,1)上有一个零点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若a=,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根.
答案与分层梯度式解析
第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.2　利用二分法求方程的近似解
基础过关练
1.B　只有函数的图象在零点附近是一条连续的曲线,且在该零点两侧的函数值异号时,才可以用二分法求函数零点的近似值,故A错.二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故C错.求方程的近似解也可以用二分法,故D错.
2.C　在A和D中,函数虽有零点,但它们均是不变号零点,因此它们都不能用二分法求零点.在B中,函数无零点.在C中,函数图象是一条连续的曲线,且图象与x轴有交点,并且其零点为变号零点,所以C中对应的函数能用二分法求零点.
3.B　由f(a)·f(b)<0, f(a)·f>0,可知f·f(b)<0,根据零点存在定理可知f(x)在上有零点.
4.C　观察题中图象可知:零点x3两侧的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.
5.C　只有f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(a)·f(b)<0时,才能利用二分法求零点.选项C中,f(x)≥0恒成立,不存在x1=a,x2=b,使得f(a)·f(b)<0,故不能用二分法求零点.故选C.
6.C　设需等分n次,则n满足<0.1,即2n>10,故n的最小值为4,即需对区间至少等分4次,故选C.
7.C　第一次所取的区间为[-2,6],则第二次所取的区间可能是[-2,2],[2,6],第三次所取的区间可能是[-2,0],[0,2],[2,4],[4,6].故选C.
8.A　由于f(-2)=-3<0, f(-1)=4>0,故可以取区间[-2,-1]作为计算的初始区间.
9.B　由题表可知函数零点在区间(1.625,1.687 5)内,结合选项知方程的近似解可为1.66,故选B.
10.答案　
解析　因为f=0,所以函数f(x)的零点是.
11.答案　0.69(答案不唯一)
解析　因为|0.75-0.625|=0.125>0.1,|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1,所以区间[0.687 5,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解,故方程的一个近似解为0.69.
12.答案　5;
解析　开区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n(n∈N+)次操作后,区间长度变为,故有<0.05,即2n>20,因为24=16,25=32,所以n≥5.
故计算5次就可满足要求,所以将区间(0,1)等分的次数至少是5.
f(0)=-1<0,f(1)=2>0.
因为f <0,所以第一次得到的区间为;
因为f >0,所以第二次得到的区间为;
因为f >0,所以第三次得到的区间为;
因为f <0,所以第四次得到的区间为;
因为f >0,所以第五次得到的区间为.
因为-=<0.05,所以函数零点为=.
13.C　第1次检验:32人均分为两组,每组16人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第2次检验:留下的16人均分为两组,每组8人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第3次检验:留下的8人均分为两组,每组4人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第4次检验:留下的4人均分为两组,每组2人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第5次检验:任意检验其中的1人,若该人检测结果为阴性,则另一个人感染,若该人检测结果为阳性,则该人感染.
综上,最终从这32人中认定那名感染者需要进行的检测次数为5.故选C.
14.解析　如图,可首先从中点C开始检查,若AC段正常,则故障在BC段;再从BC段中点D检查,若CD段正常,则故障在BD段;再从BD段中点E检查,……,每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半,这样即可迅速找到故障所在.
15.解析　(1)若a=0,则f(x)=-4,与题意不符.
若a≠0,则易得f(x)在(-1,1)上是单调连续函数,
∵f(x)在区间(-1,1)上有一个零点,
∴f(-1)·f(1)=-4(6a-4)<0,
解得a>,
故实数a的取值范围为.
(2)若a=,则f(x)=x3+x-,
∵f(-1)=-4<0, f(0)=-<0, f(1)=>0,
∴函数f(x)的零点在区间(0,1)上,
又f =0,
∴方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根为.