北师大版（2019）必修第一册5.2实际问题中的函数模型 同步练习（Word版含解析）

第五章　函数应用
§2　实际问题中的函数模型
基础过关练
题组一　利用已知函数模型解决问题
1.(2022湖南天壹名校联盟联考)某社区超市的某种商品的日利润y(单位:元)与该商品的当日单价x(单位:元)之间的关系为y=-+12x-210,那么该商品的日利润最大时,当日单价为　　　　元.
2.(2021湖南张家界联考)习近平总书记在十九大报告中指出:“着力解决突出环境问题.坚持全民共治、源头防治,持续实施大气污染防治行动,打赢蓝天保卫战.”为落实好这一精神,某市环保局规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中,废气中的污染物含量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系式为P(t)=P0e-kt(e为自然对数的底数,P0为污染物的初始含量).过滤1小时后检测,发现污染物的含量为原来的.
(1)求函数P(t)的关系式;
(2)要使污染物的含量不超过初始值的,至少需过滤几小时 (参考数据:lg 2≈0.3)
题组二　自建函数模型解决问题
3.(2020山东临沂期中)我国工农业总产值从1998年到2018年的20年间翻了两番,设1998年总产值为1,平均每年的增长率为x,则有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.(1+x)19=4 B.(1+x)20=3
C.(1+x)20=2 D.(1+x)20=4
4.(2020山东烟台期中)某山区为加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x年,绿色植被的面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为(　　)
5.(2020湖南益阳箴言中学期中)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形中相邻两边的长x,y(8≤y<24)分别为(　　)
A.15,12
B.12,15
C.14,10
D.10,14
6.(2021江苏徐州沛县中学月考)某公司拟投资100万元,有两种获利的方案可供选择.第一种方案是年利率为10%,按单利的方式计算利息,5年后收回本金和利息;第二种方案是年利率为9%,按复利的方式计算利息,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利 5年后,这种投资比另一种投资可多得利息多少万元 (不计利息税,参考数据:1.094≈1.411 6,1.095≈1.538 6,1.096≈1.677 1)
题组三　拟合函数模型解决问题
7.(2022陕西咸阳期中)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(　　)
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y=2x-2 B.y=(x2-1)
C.y=log2x D.y=lox
8.(2021北京海淀期末)某植物研究员在研究某种植物1到5年内的植株高度时,将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1到5年内的生长规律,则下列函数模型中符合要求的是(　　)
A.y=kax+b(k>0,a>0且a≠1)
B.y=klogax+b(k>0,a>0且a≠1)
C.y=+b(k>0)
D.y=ax2+bx+c(a>0)
9.(2022吉林长春期中)水葫芦原产于巴西,1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾,严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)(单位:月)的关系有函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(参考数据:≈1.414,≈1.732,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求最初投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1 000倍.
能力提升练
题组一　已知函数模型解决实际问题
1.某企业制订奖励条例,对企业产品的销售取得优异成绩的员工给予奖励,奖励金额(元)满足f(n)=k(n)·(n-500)(n为年销售额),而k(n)=若某员工获得400元的奖励,那么该员工一年的销售额为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.800 B.1 000 C.1 200 D.1 500
2.(2020北京房山期末)当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lg (其中A0为常数).装修时电钻发出的声音约为100分贝,普通室内谈话的声音约为60分贝,则装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为(　　)
A. B. C.104 D.e4
3.(2020山东泰安月考)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,t min后物体的温度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)·e-0.24t求得.把温度为100 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约为　.
(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693,保留小数点后两位)
4.(2020安徽六安一中段考)食品安全问题越来越受人们的重视,农药、化肥的滥用对人的健康造成了危害.为了让消费者吃到放心的蔬菜,某农村合作社搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,且每年投入200万元种蔬菜,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验发现,种西红柿的年收入P(万元)、种黄瓜的年收入Q(万元)与投入资金a(万元)分别满足关系式:P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入资金为x万元,每年两个大棚的总收入为f(x)(万元).
(1)求f(50)的值;
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入资金,才能使总收入最高
题组二　自建函数模型解决实际问题
5.(2020江西新余期末)一直角墙角的平面图如图所示,两墙的长度足够长,在点P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(06.(多选)(2021辽宁沈阳联合体期中)某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则(　　)
A.甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元
B.甲厂的总费用y1与印制证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
C.当印制证书不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5 元
D.当印制证书超过2千个时,乙厂的总费用y2与印制证书数量x之间的函数关系式为y2=x+
7.(2020福建龙岩期末)原有一片面积为a的森林,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等.经计算,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林的剩余面积为原面积的.
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,已经砍伐了多少年
(3)今后最多还能砍伐多少年
题组三　拟合函数模型解决实际问题
8.(2022北师大附中期中)长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下:
(1)调度后每座水库的蓄满指数仍在区间[0,100]内;
(2)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低;
(3)调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变.
记x为调度前某水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面三个y关于x的函数解析式:①y=-x2+6x;②y=10;③y=.则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是　　　　.
9.(2021江苏宿迁期末)某厂家为增加某种商品的销售量,决定增加广告投入费用,据市场调查,增加的销售量x(单位:千件)与广告投入费用H(x)(单位:万元)满足下列数据:(其中0≤x≤16)
增加的销售量x(千件) 0 1 2 4 5
广告投入费用H(x)(万元) 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500
为了描述增加的销售量与广告投入费用的关系,现有以下三种函数模型供选择:H(x)=ax3+bx2+cx,H(x)=0.5x+a,H(x)=klogax+b(a>0,a≠1,b∈R).
(1)选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)你认为销售量增加达到多少时,才能使每千件的广告投入费用最少
10.(2022重庆八中期中)航天工程对人们的生活产生方方面面的影响,有关部门对某航模专卖店的商品销售情况进行调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售单价P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=2+(k>0).该商品的日销售量Q(x)(百个)与时间x(天)的部分数据如表所示:
x(天) 5 10 17 26
Q(x)(百个) 4 5 6 7
已知第10天该商品的日销售收入为3 500元.
(1)求实数k的值;
(2)给出以下三种函数模型:①Q(x)=px+q;②Q(x)=a|x-18|+b;③Q(x)=m+n.请你依据表中的数据,从以上三种函数模型中,选择你认为最合适的一种函数模型,来描述该商品的日销售量Q(x)(百个)与时间x(天)的关系,并说明你选择的理由.借助你选择的模型,预估该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N+)(元)在第几天达到最低.
答案与分层梯度式解析
第五章　函数应用
§2　实际问题中的函数模型
基础过关练
1.答案　150
解析　y=-+12x-210=-(x-150)2+690,所以当该商品的日利润最大时,当日单价为150元.
2.解析　(1)根据题意,得P0=P0e-k,
易知P0≠0,
∴e-k=,∴P(t)=P0.
(2)令P(t)=P0≤P0,
得≤,
两边同时取以10为底的对数,并整理,
得t(1-3lg 2)≥3,∴t≥30.
因此至少需过滤30小时.
3.D　增长率模型为幂函数型模型,由题可得(1+x)20=4.
4.D　设山区第一年绿色植被的面积为a,则y==(1+10.4%)x,易知其定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),且随x的增大,y增长的速度越来越快.故选D.
5.A　如图所示,过点D作DE⊥BC于点E,交GI于点H,则=,即=,整理得y=24-x.
∴截取的矩形面积S=x=-(x-15)2+180(0由此可知,当x=15时,S取得最大值,此时y=12,故选A.
6.解析　按第一种方案5年后本利和y1=100+100×10%×5=150(万元).
按第二种方案5年后本利和y2=100(1+9%)5≈153.86(万元).
∵y2>y1,∴按第二种方案投资更有利.
∵y2-y1=153.86-150=3.86(万元),
∴5年后,按第二种方案投资比按第一种方案投资可多得利息3.86万元.
7.B　由题中表格可知函数在(0,+∞)上是增函数,且增长速度越来越快,分析选项可知B符合,故选B.
8.B　由题图可知,植株高度增长越来越缓慢,故选择对数函数型模型,故选B.
9.解析　(1)∵y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢,
∴由题可知应选y=kax(k>0,a>1).
由题意得解得
∴y=8·(x∈N).
(2)当x=0时,y=8.
设经过n(n∈N+)个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1 000倍,
则8·=8×1 000,
解得n=lo1 000==≈17.
∴最初投放的水葫芦的面积为8 m2,约经过17个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1 000倍.
能力提升练
1.D　根据题意,奖励金额f(n)可以看成关于年销售额n的函数,那么该问题就是已知函数值为400,求自变量n的值的问题.根据题中所给的函数关系式可算得n=1 500,故选D.
2.C　设装修时电钻发出的声音强度为x1,普通室内谈话的声音强度为x2.
由题意得

所以装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为==104.
3.答案　4.58
解析　由题意可得
40=10+(100-10)e-0.24t,
化简可得e-0.24t=,
∴-0.24t=ln =-ln 3,
∴0.24t=ln 3,∴t≈4.58.
4.解析　(1)若甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元, f(50)=80+4+×150+120=277.5.
(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,
依题意得 20≤x≤180.
令t=,则t∈[2,6],
y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,
当t=8,即x=128时, f(x)max=282.
所以甲大棚的投入资金为128万元,乙大棚的投入资金为72万元时,总收入最高.
5.C　设BC=x m,则花圃的面积y=x(16-x)=-(x-8)2+64,且a6.ABC　由题图知甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元,甲厂的总费用y1与印制证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1,故A,B正确;
当印制证书不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元,故C正确;
易知当x>2时,乙厂的总费用y2与印制证书数量x之间的函数关系式为y2=x+,故D不正确.故选ABC.
7.解析　(1)设每年砍伐面积的百分比为x,
则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,
解得x=1-,
所以所求百分比为1-.
(2)设经过n年的砍伐,森林的剩余面积为原面积的,则a·=a,即=,解得n=5,所以到今年为止,已经砍伐了5年.
(3)设该片森林一共可砍伐m年,则a=a,
即=,解得m=20,
所以该片森林一共可砍伐20年,故今后最多还能砍伐20-5=15(年).
8.答案　②
解析　①y=-x2+6x=-(x-60)2+180,该函数在x=60时函数值为180>100,不符合题意;
②y=10为增函数,且x∈[0,100],y∈[0,100],
则≤10,则x≤10=y,符合题意;
③y=1,当x=50时,y=10<50,不符合题意.
故填②.
9.解析　(1)若选择H(x)=0.5x+a,则该函数为减函数,与题表中数据矛盾.
若选择H(x)=klogax+b(a>0,a≠1,b∈R),则在x=0处没有意义.
所以选择H(x)=ax3+bx2+cx.
将(1,0.452),(2,0.816),(4,1.328)代入,
可得
即
解得
故H(x)=0.002x3-0.05x2+0.5x(0≤x≤16).
(2)设每千件的广告投入费用为W万元,则W=
=0.002x2-0.05x+0.5,
其图象开口向上,对称轴为直线x=-=12.5,
所以当x=12.5时,W取得最小值,最小值为0.002×12.52-0.05×12.5+0.5=0.187 5.
所以销售量增加达到12.5千件时,才能使每千件的广告投入费用最少.
10.解析　(1)由题意得500=3 500,∴k=15.
(2)选择模型③.理由如下:
∵题表中Q(x)对应的数据匀速递增时,x对应的数据并未匀速变化,∴排除模型①.
又∵Q(x)=a|x-18|+b的图象关于直线x=18对称,而题表中的数据并未体现出此规律,∴排除模型②.
对于模型③,将(5,4),(10,5)代入模型③,
有解得
此时Q(x)=+2,经验证,(17,6),(26,7)均满足该函数关系式,∴选模型③.
f(x)=100Q(x)·P(x)=100(+2)·=100≥100×(19+4)=1 900+400,当且仅当2=,即x=16时,等号成立,
∴预估该商品的日销售收入f(x)在第16天达到最低.