北师大版（2019）必修第一册第五章函数的应用 复习提升（Word版含解析）

第五章　函数应用
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视函数的定义域致错
1.若一个等腰三角形的周长为20,则其底边长y关于其腰长x的函数关系式是(　　)
A.y=20-2x(0B.y=20-2x(0C.y=20-2x(5≤x≤10)
D.y=20-2x(52.(2021北京普通高中高考仿真卷)设函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,函数g(x)=3ax-4x(x∈R).
(1)求g(x)的解析式;
(2)若方程g(x)-b=0在[-2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围.
易错点2　忽视零点存在定理的条件或不可
逆性致错
3.对于函数f(x),若f(-1)·f(3)<0,则下列判断正确的是(　　)
A.方程f(x)=0一定有根
B.方程f(x)=0一定无根
C.方程f(x)=0一定有两根
D.方程f(x)=0可能无根
4.(2022浙江温州瓯海中学月考)已知函数f(x)=x2-ax+1在(0,1)内有零点,则实数a的取值范围是　　　　.
易错点3　忽视含参函数的分类讨论致错
5.若函数f(x)=ax2-x-1的负零点有且仅有一个,求实数a的取值范围.
6.已知函数f(x)=ax2+2x-2-a(a≤0).
(1)当a=-1时,求函数f(x)的零点;
(2)若函数f(x)在区间(0,1]上恰有一个零点,求a的取值范围.
思想方法练
一、数形结合思想
1.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=log3x的零点依次为a,b,c,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.c2.已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
二、分类讨论思想
3.已知函数f(x)=ax-1+logax(a>0,且a≠1),则函数f(x)的零点个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(2022上海复兴高级中学期中)关于x的方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在(0,1)内,则实数m的取值范围是　　　　.
5.(2020北京丰台期中)由历年市场行情知,从11月1日起的30天内,某商品每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系是P=日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q=-t+40(t≤30,t∈N+).
(1)设该商品的日销售额为y元,请写出y与t的函数关系式(商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量);
(2)求该商品的日销售额的最大值,并指出哪一天的销售额最大.
三、函数与方程思想
6.如图所示,开始时桶1中有a升水,t分钟后剩余的水量符合指数型函数y1=ae-nt,桶2中的水量就是y2=(a-ae-nt)升,桶1与桶2的大小和形状相同,假设过5分钟后桶1和桶2中的水量相等,则桶1中的水量为升时,需再经过　　　　分钟.
7.(2021北京八中期中)已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,则实数k的取值范围为　　　　.
四、转化与化归思想
8.已知f(x)是奇函数,且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是(　　)
A. B. C.- D.-
9.已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)的零点个数为　　　　.
10.求方程ln x+x-3=0在(2,3)内的一个近似解(精确度为0.1).
答案与分层梯度式解析
第五章　函数应用
本章复习提升
易混易错练
1.D　由题意知,2x+y=20,∴y=20-2x,
由三角形知识得
解得5易错警示
　　在解决实际问题时,要根据变量的实际意义确定定义域.
2.解析　(1)∵函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,
∴3a+2=18,∴3a=2,
∴g(x)=3ax-4x=2x-4x(x∈R).
(2)方程g(x)-b=0,即2x-4x-b=0,
令t=2x,由x∈[-2,2],得≤t≤4,
∴g(x)-b=0在[-2,2]上有两个不同的解等价于方程t-t2-b=0在上有两个不同的解.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=t-t2,t∈的图象及直线y=b.
当t=时,y=;当t=时,y=.由图知,当b∈时,函数y=t-t2,t∈的图象与直线y=b有两个交点,即方程有两个不同的解.因此实数b的取值范围是.
3.D　因为f(x)的图象不一定是一条连续的曲线,所以方程f(x)=0可能无根.
易错警示
　　零点存在定理成立的条件:①函数图象在闭区间上是一条连续的曲线;②端点函数值异号.
4.答案　(2,+∞)
解析　易得f(x)至多有两个零点.
当f(x)在(0,1)内有一个零点时,
或f(0)f(1)<0,解得a>2;
当f(x)在(0,1)内有两个零点时,
无解.
综上,a>2,即实数a的取值范围为(2,+∞).
易错警示
　　零点存在定理是不可逆的,已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,不一定能推出f(a)·f(b)<0.
5.解析　当a=0时, f(x)=-x-1,令f(x)=0,得x=-1,符合题意;
当a>0时,函数图象开口向上,对称轴为直线x=,且>0,f(0)=-1<0,结合一元二次函数的图象(图略)知符合题意;
当a<0时,函数图象开口向下, 对称轴为直线x=,且<0, f(0)=-1<0,
∵函数f(x)=ax2-x-1的负零点有且仅有一个,
∴Δ=1+4a=0,解得a=-.
综上可知,实数a的取值范围为.
6.解析　(1)当a=-1时,f(x)=-x2+2x-1,
令f(x)=0,解得x1=x2=1,
∴当a=-1时,函数f(x)的零点是1.
(2)当a=0时, f(x)=2x-2,
令f(x)=0,解得x=1,符合题意;
当a<0时,令f(x)=ax2+2x-2-a=(ax+a+2)(x-1)=0,解得x=1或x=-1-,
依题意得-1-≤0或-1-≥1,
又a<0,∴a≤-2或-1≤a<0.
综上可知,a的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,0].
易错警示
　　解二次项系数含参问题,容易忽视对二次项系数的讨论,错把y=ax2+bx+c直接当作一元二次函数处理,遗漏了a=0时的情况,导致漏解.
思想方法练
1.B　令f(x)=0,则3x=-x;令g(x)=0,则log3x=-x;令h(x)=0,则x=1,所以c=1.
在同一平面直角坐标系内画出y=3x,y=log3x和y=-x的图象,应用了数形结合思想.
在同一平面直角坐标系中,作出函数y=3x,y=log3x,y=-x的图象,如图所示,则点A的横坐标为a,点B的横坐标为b,所以a思想方法
　　数形结合思想在本章中主要体现在把函数的零点转化为对应方程的解,再转化成两个函数图象的交点横坐标,利用图象即可求解,即代数问题几何化.
2.答案　(-∞,0)∪(1,+∞)
解析　∵函数g(x)=f(x)-b有两个零点,∴函数y=f(x)的图象与直线y=b有两个交点.由x3=x2可得x=0或x=1.
函数g(x)=f(x)-b有两个零点,即y=f(x)的图象与直线y=b有两个交点,应用了数形结合思想.
当a>1时,函数y=f(x)的图象与直线y=b如图①所示,此时存在b,满足题意.
图①
当0≤a≤1时,函数y=f(x)在定义域R上单调递增,故不满足题意.
当a<0时,函数y=f(x)的图象与直线y=b如图②所示,此时存在b,满足题意.
图②
综上,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).
3.B　求函数f(x)=ax-1+logax(a>0,且a≠1)的零点个数,即求方程ax-1+logax=0(a>0,且a≠1)的根的个数,即求方程ax-1=-logax(a>0,且a≠1)的根的个数.在同一平面直角坐标系中,作出y=ax-1和y=-logax(a>0,且a≠1)的大致图象.
对底数a按照a>1和0当a>1时,其图象如图1所示,
图1
观察图象知,两函数图象有且仅有一个交点;
当0图2
观察图象知,两函数图象有且仅有一个交点.
综上可知,函数f(x)=ax-1+logax(a>0,且a≠1)仅有一个零点.故选B.
思想方法
　　分类讨论思想在本章主要体现在:①指数函数和对数函数中对底数和1的大小进行讨论;②一元二次函数中对图象的对称轴与区间的位置关系进行讨论.
4.答案　
解析　设f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,则原方程恰有一根在(0,1)内有以下两种情况:
针对函数f(x)的零点情况分类,体现了分类讨论思想.
(1)f(0)·f(1)<0,此时有(2m-1)(3m-2)<0,解得(2)f(x)有一个零点恰好为0或1,另一个零点在区间(0,1)内,
分f(0)=0和f(1)=0两种情况分别求解,体现了分类讨论思想.
令f(0)=0,得2m-1=0,得m=,此时方程为x2-x=0,解得x=0或x=,而 (0,1),不符合题意,舍去;
令f(1)=0,得3m-2=0,解得m=,此时方程为3x2-4x+1=0,解得x=1或x=,而∈(0,1),故符合题意.
综上,实数m的取值范围为.
5.解析　(1)由题意知y=P·Q
=
=
(2)针对不同的定义域分析函数的最大值.
当0当25≤t≤30,t∈N+时,y=1 800-45t,所以当t=25时,ymax=675.
因为900>675,所以日销售额的最大值为900元,且11月10日的销售额最大.
6.答案　10
解析　由题意得ae-5n=a-ae-5n,解得e-n=.
根据题意列出方程,化简求解.
设再经过t0分钟,桶1中的水量为升,则a=,即=3,解得t0=10.
7.答案　(-∞,-4)∪(0,+∞)
解析　令f(x)=2kx2-2x-3k-2,要使方程f(x)=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,则函数f(x)的大致图象只能如图所示.
根据函数的图象特点,列出满足条件的不等式组.
所以或
即或
解得k>0或k<-4.
故实数k的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
8.C　令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0.因为f(x)是奇函数,所以f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ).又f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ,由题意,得关于x的方程2x2+1=x-λ,即2x2-x+1+λ=0有两个相同的实数根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-,故选C.
把函数只有一个零点转化为相应方程只有一个解,应用了转化与化归思想.
9.答案　5
解析　根据题意,令2[f(x)]2-3f(x)=0,解得f(x)=0或f(x)=.在同一平面直角坐标系中作出直线y=与函数y=f(x)的图象,如图所示,
由图象可知,y=f(x)的图象与x轴有两个交点,y=f(x)的图象与直线y=有3个交点.
把函数零点的个数转化为相应函数f(x)的图象与x轴以及直线y=的交点个数,应用了转化与化归思想.
故当f(x)=0时,有2个解;当f(x)=时,有3个解.
所以函数y=2[f(x)]2-3f(x)的零点个数为5.
思想方法
　　转化与化归思想在本章中主要体现在把函数y=f(x)的零点转化为方程f(x)=0的解.
10.解析　令f(x)=ln x+x-3,
因为f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3>0,
将方程的近似解转化为相应函数零点的近似值,应用了转化与化归思想.
所以取(2,3)作为初始区间,用二分法列表如下:
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 0.416
(2,2.5) 2.25 0.061
(2,2.25) 2.125 -0.121
(2.125,2.25) 2.187 5 -0.030
因为2.25-2.187 5=0.062 5<0.1,
所以在区间[2.187 5,2.25]内任意实数都是函数f(x)的零点的近似值,
则方程ln x+x-3=0的一个近似解为2.20.