北师大版（2019）必修第一册6.3用样本估计总体分布 同步练习（Word版含解析）

第六章　统计
§3　用样本估计总体分布
基础过关练
题组一　统计图表
1.(2021山东潍坊一中期中)某科技公司2020年的收入情况如图所示,若平板电脑与笔记本电脑的收入之比为4∶5,手机收入比平板电脑收入多1 378亿美元,则该公司2020年的总收入为(　　)
A.2 560亿美元 B.2 600亿美元
C.2 650亿美元 D.2 700亿美元
2.(2021江苏南通田家炳中学期中)某旅游服务平台收集并整理了2021年3月1日至7日期间某文化类景区门票日订单量(单位:万张)和增长速度的数据,绘制了如下的统计图.则下列结论正确的是[增长速度=(本期数-上期数)÷上期数](　　)
A.7天的增长速度逐日增加
B.7天中有3天的增长速度为正
C.7天的增长速度的平均值为负
D.3月6日的订单量约为3.19万张
3.(2020湖南衡阳月考)根据甲、乙两名学生的数学学科核心素养的各项能力指标值(满分为5分,分值高者为优),绘制了如图所示的六维能力雷达图,例如图中甲的数学抽象能力指标值为4,乙的数学抽象能力指标值为5,则下面叙述正确的是(　　)
A.乙的逻辑推理能力指标值优于甲的逻辑推理能力指标值
B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
题组二　频数与频率
4.(2022陕西西安月考)容量为100的样本数据,按从小到大的顺序分为8组,如下表:
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
第3组的频数和频率分别是(　　)
A.14和0.14 B.0.14和14
C.和0.14 D.14和
5.将容量为100的某个样本数据拆分为10组,并填写频率分布表,若前七组频率之和为0.79,而剩下的三组的频率依次相差0.05,则剩下的三组中频率最高的一组的频率为　　　　.
6.一个频数分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在[20,60)内的频率为0.6,则估计样本数据在[40,60)内的个数是　　　　.
题组三　频率分布直方图
7.将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于27,则n的值为(　　)
A.20 B.27 C.33 D.60
8.如图是一容量为100的样本数据的频率分布直方图,则由图可知,样本数据落在[15,20]内的频数为(　　)
A.20 B.30 C.40 D.50
9.(2020陕西西安中学期中)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩(分)分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不低于60分的学生人数为(　　)
A.588 B.480 C.450 D.120
10.(2020江西抚州期末)某工厂对一批产品进行了抽样检测,如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图.已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(　　)
A.90 B.75
C.60 D.45
11.(多选)(2022浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中)某学校为了调查学生在放学后体育运动的情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中体育运动时间(分钟)在[40,50)内的有72人,则下列说法正确的是(　　)
A.样本中放学后体育运动时间在[40,50)内的频率为0.36
B.样本中放学后体育运动时间不少于40的人数为132
C.n的值为200
D.若该校有1 000名学生,则必定有300人放学后体育运动时间在[50,60]内
12.(2020河南郑州期末)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,其频率分布直方图如图所示,则图中x的值为　　　　.
13.某企业在2020年的招聘考试成绩中随机抽取100名应聘者的笔试成绩(单位:分),按成绩分组得到如下频率分布表:
组号 分组 频数 频率
第1组 [160,165) 5 0.05
第2组 [165,170) ① 0.35
第3组 [170,175) 30 ②
第4组 [175,180) 20 0.20
第5组 [180,185] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)求出频率分布表中①②处应填写的数据,并绘制频率分布直方图;
(2)为了选拔出最优秀的应聘者,该企业决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名应聘者进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各应抽取多少名应聘者进入第二轮面试.
题组四　频率折线图
14.(多选)如图是某高校土木工程系大四55名学生期末考试专业成绩(分)的频率折线图,其中组距为10,且本次考试中最低分为50分,最高分为100分.根据图中所提供的信息,下列结论中正确的是(　　)
A.成绩是75的人数为20
B.成绩是100的人数比成绩是50的人数多
C.成绩落在[70,90)内的人数为35
D.成绩落在[70,80)内的人数为20
15.某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比,依考核分数分为A,B,C,D四个等级.其中分数在[60,70)内的为D等级;分数在[70,80)内的为C等级;分数在[80,90)内的为B等级;分数在[90,100]内的为A等级.考核评估后,得其频率折线图如图所示,估计这100间学生公寓考核分数为C、D等级的比考核分数为A、B等级的多多少.
能力提升练
题组　统计图表的综合应用
1.(多选)(2021辽宁丹东模拟)2021年1月18日,国务院新闻办就2020年国民经济运行情况召开新闻发布会,国家统计局局长宁吉喆在回答记者提问时表示,我国决战脱贫攻坚取得决定性胜利,脱贫攻坚成果举世瞩目.如图是国家统计局2019年统计年报.
图中贫困发生率指农村贫困人口数占农村人口总数的百分比,据此图可知(　　)
A.五年来农村贫困发生率下降了5.1个百分点
B.五年来农村人口总数逐年减少
C.五年来农村贫困人口数逐年减少
D.五年来农村贫困人口减少超过九成
2.在抽查某产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干个小组,[a,b)是其中一组,抽查出的个体数在该组内的频率为m,在频率分布直方图中该组的高度为h,则|a-b|=(　　)
A.hm B.
C. D.h+m
3.(多选)(2020山东滨州期末)某市教育局和体育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生身高,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到的统计图如图所示,则下面叙述正确的是(　　)
A.样本中女生人数多于男生人数
B.样本中B层人数最多
C.样本中E层男生人数为6
D.样本中D层男生人数多于女生人数
4.(2022北京丰台期末)某校在各班选拔部分学生进行数学知识竞赛.根据参赛学生的分数,得到如图所示的频率分布直方图.若要对40%分数较高的学生进行奖励,则获奖学生的最低分数可能为(　　)
A.65 B.75
C.85 D.95
5.对某种灯泡随机地抽取200个样品进行使用寿命调查,结果如下:
使用寿命(天) 频数 频率
[100,200) 20 0.10
[200,300) 30 y
[300,400) 70 0.35
[400,500) x 0.15
[500,600] 50 0.25
合计 200 1.00
规定:使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品,小于300天是次品,其余的是正品.某人从这种灯泡中随机购买了n(n∈N+)个,若这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层随机抽样所得的结果相同,则n的最小值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
6.(2021山东青州一中期中)某班同学进行社会实践,对年龄(单位:岁)在[25,55]内的人群随机抽取n人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查,生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图,则表中p,a的值分别为(　　)
组数 分组 “低碳族”的人数 占本组的频率
第一组 [25,30) 120 0.6
第二组 [30,35) 195 p
第三组 [35,40) 100 0.5
第四组 [40,45) a 0.4
第五组 [45,50) 30 0.3
第六组 [50,55] 15 0.3
A.0.79,20 B.0.195,40
C.0.65,60 D.0.975,80
7.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13 s与19 s之间,将测试结果按如下方式分成6组:第一组,成绩大于或等于13 s且小于14 s;第二组,成绩大于或等于14 s且小于15 s;……;第六组,成绩大于或等于18 s且小于或等于19 s,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17 s的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于或等于15 s且小于17 s的学生人数为y,则从频率分布直方图中可以分析出x和y的值分别为　　　　.
8.为了解某校高三学生的身体状况,用分层随机抽样的方法抽取部分男生和女生的体重,将男生体重的数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右前三个小组的频率之比为1∶2∶3,第二小组的频数为12,若全校男、女生的人数比为3∶2,则全校抽取的学生人数为　　　　.
9.(2022辽宁沈阳期末)某校欲了解高一学生的睡眠情况,现从600名同学中抽取一个容量为50的样本进行问卷调查,根据抽样调查情况得到的高一学生日睡眠时间(单位:h)的频率分布直方图如图.按照中学生健康教育标准要求,高中生应保证日睡眠时间不少于8 h,已知被调查的学生中有18人达标.
(1)求频率分布直方图中a,b的值;
(2)若日睡眠时间在[7,8)内的学生可通过自己的努力保证日睡眠时间达标,在[6.5,7)内的学生需要通过老师谈话劝说才能使日睡眠时间达标,为使不低于80%的学生日睡眠时间达标,这600名学生中有多少名学生需要通过老师谈话劝说才能使日睡眠时间达标
10.(2021江苏响水中学月考)为落实国务院关于深化教育改革,全面推进素质教育,提高学生体质健康水平的要求,每个中学生每学年都要进行一次体质健康测试(以下简称为体测).根据“中学生体测标准分数对照表”将学生各项体测成绩转换为分数后,学生的体测总分由如下计算公式得到:体测总分=体重指标(BMI)分数×15%+肺活量分数×15%+50米跑分数×20%+坐位体前屈分数×10%+立定跳远分数×10%+一分钟引体向上(男)(或仰卧起坐(女))分数×10%+1 000米跑(男)(或800米跑(女))分数×20%.体测分数不低于90为“优秀”;分数在[80,90)内为“良好”;分数在[60,80)内为“合格”;分数低于60为“不合格”.某市教体局为了解该市一所中学的学生体质健康状况,随机抽取了该校210名学生的体测分数,恰有10名学生的分数为“不合格”.剔除这10名学生的分数后得到频率分布直方图,如图所示.
(1)若某男同学体测总分数为89,该同学除了“肺活量”分数以外的各项分数如下:“体重指标(BMI)”分数为89,“50米跑”分数为90,“坐位体前屈”分数为85,“立定跳远”分数为95,“一分钟引体向上”分数为70,“1 000米跑”分数为95.求这名男同学的“肺活量”分数;
(2)已知该市教体局体测分数的“优秀率”低于8%为不达标,并要求“优秀率”抽查结果不达标的学校要进行整改,试根据以上数据判断该校是否需要进行整改.
答案与分层梯度式解析
第六章　统计
§3　用样本估计总体分布
基础过关练
1.C　由题意得平板电脑、笔记本电脑的收入占总收入的1-60%-8%-14%=18%,则平板电脑的收入占总收入的18%×=8%,所以该公司2020年的总收入为=2 650(亿美元).故选C.
2.D　3日,4日和7日的增长速度与前一天相比,均有所下降,A中结论不正确;
7天中,2日,5日,6日和7日的增长速度均为正,B中结论不正确;
易知7天的增长速度的平均值为正,C中结论不正确;
3月5日的订单量约为2.2万张,则3月6日的订单量约为2.2×(1+0.45)=3.19(万张),D中结论正确.
故选D.
3.C　依题意,乙的逻辑推理能力指标值为3,而甲的逻辑推理能力指标值为4,故A错误;
甲的数学建模能力指标值为3,而乙的直观想象能力指标值为5,故B错误;
乙的六维能力指标值有4项不低于甲的六维能力指标值,故C正确;
甲的数学运算能力指标值为4,而甲的直观想象能力指标值为5,故D错误.
4.A　x=100-(10+13+14+15+13+12+9)=100-86=14,第3组的频率为=0.14.
5.答案　0.12
解析　设剩下的三组中频率最高的一组的频率为x,则另两组的频率分别为x-0.05,x-0.1,由频率和为1得0.79+(x-0.05)+(x-0.1)+x=1,解得x=0.12.
6.答案　21
解析　由已知可得样本中数据在[20,60)内的频数为50×0.6=30,故估计样本数据在[40,60)内的个数为30-4-5=21.
7.D　∵n·=27,∴n=60.
8.B　样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1-5×(0.04+0.10)]=30.
9.B　∵成绩低于60分的学生人数为600×(0.05+0.15)=120,∴成绩不低于60分的学生人数为600-120=480.
10.A　样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2=0.3,频数为36,∴样本容量为=120.
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75=90.
11.ABC　由题中频率分布直方图得样本中放学后体育运动时间在[40,50)内的频率是1-(0.01+0.024+0.03)×10=0.36,A正确;n==200,C正确;样本中放学后体育运动时间不少于40的人数为200×(0.36+0.3)=132,B正确;若该校有1 000名学生,则1 000×0.3=300,用样本估计总体,只能说明可能有300人放学后体育运动时间在[50,60]内,D错误.
12.答案　0.004 4
解析　∵(0.002 4+0.003 6+0.006 0+x+0.002 4+0.001 2)×50=1,∴x=0.004 4.
13.解析　(1)由题意可知,第2组的频数为0.35×100=35,第3组的频率为=0.30,故①处应填35,②处应填0.30.
频率分布直方图如图所示.
(2)易得第3,4,5组共有30+20+10=60名应聘者,
所以利用分层随机抽样的方法在60名应聘者中抽取6名应聘者的抽样比为=,
故第3组应抽取30×=3名应聘者,
第4组应抽取20×=2名应聘者,
第5组应抽取10×=1名应聘者,
所以第3,4,5组每组应抽取的应聘者人数分别为3,2,1.
14.CD　成绩落在[70,80)内的人数为10××55=20,不能说成绩是75的人数为20,所以A错误,D正确;从题中频率折线图看不出成绩是100的人数比成绩是50的人数多,只能看出成绩落在[50,60)内的人数和成绩落在[90,100]内的人数相等,所以B错误;成绩落在[70,90)内的人数为×55=35,所以C正确.故选CD.
15.解析　由题中频率折线图可知,分数为A等级的频率为0.025×10=0.25;分数为B等级的频率为0.020×10=0.20;分数为C等级的频率为0.040×10=0.40;分数为D等级的频率为0.015×10=0.15,所以估计这100间学生公寓考核分数为C、D等级的比考核分数为A、B等级的多100×(0.40+0.15)-100×(0.25+0.20)=10(间).
能力提升练
1.ACD　五年来农村贫困发生率下降了5.7-0.6=5.1个百分点,故选项A正确;
2016—2017年年间贫困人口数下降了4 335-3 046=1 289万,贫困发生率下降了4.5-3.1=1.4个百分点,
2017—2018年年间贫困人口数下降了3 046-1 660=1 386万,贫困发生率下降了3.1-1.7=1.4个百分点,
因此2017—2018年年间农村人口总数多于2016—2017年年间农村人口总数,故选项B错误;
由题图可知五年来农村贫困人口数逐年减少,故选项C正确;
五年来农村贫困人口减少的人数为5 575-551=5 024万,占2015年贫困人口数的5 024÷5 575×100%≈90.12%,故五年来农村贫困人口减少超过九成,故选项D正确.
故选ACD.
2.B　根据频率分布直方图中小矩形的高为,可知=h,所以|a-b|=.故选B.
3.ABC　样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,男生人数为100-60=40,故样本中女生人数多于男生人数,A正确;
样本中A层人数为9+40×10%=13,B层人数为24+40×30%=36,C层人数为15+40×25%=25,D层人数为9+40×20%=17,E层人数为3+40×(1-10%-30%-25%-20%)=9,故样本中B层人数最多,B正确;
样本中E层男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,C正确;
样本中D层男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故样本中D层男生人数少于女生人数,D错误.
故选ABC.
4.C　根据频率分布直方图可知,分数在[90,100]内的频率为0.018×10=0.18,在[80,90)内的频率为0.044×10=0.44,
设获奖学生的最低分数为x,
则0.18+×0.44=0.4,解得x=85.故选C.
5.C　由题中频率分布表,得x=200×0.15=30,灯泡样品中优等品有50个,次品有20+30=50(个),则正品有200-50-50=100(个),∴优等品、正品、次品的比为50∶100∶50=1∶2∶1,∴按分层随机抽样的方法,购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k(k∈N+),∴n的最小值为4.故选C.
6.C　第一组人数为120÷0.6=200,第三组人数为100÷0.5=200,第五组人数为30÷0.3=100,第六组人数为15÷0.3=50,
由题中的频率分布直方图可得第一组频率为5×0.04=0.2,所以n==1 000,
所以第四组人数为5×0.03×1 000=150,所以a=150×0.4=60,第二组人数为1 000-(200+200+150+100+50)=300,所以p==0.65.故选C.
7.答案　0.9,35
解析　从题中频率分布直方图可以得到,成绩小于17 s的学生人数的频率,也就是成绩小于17 s的学生人数所占的百分比,为(0.02+0.18+0.36+0.34)×1=0.9;成绩大于或等于15 s且小于17 s的学生人数为(0.36+0.34)×1×50=35.
8.答案　80
解析　由题图得,第四小组与第五小组的频率和为(0.037 5+0.012 5)×5=0.25.
因为从左到右前三个小组的频率之比为1∶2∶3,第二小组的频数为12,
所以前三个小组的频数和为36,所以抽取的男生人数为=48.
因为全校男、女生的人数比为3∶2,所以全校抽取的学生人数为48×=80.
9.解析　(1)由题意得0.5×(0.40+a)×50=18,解得a=0.32,由0.5×(0.20+0.32+0.28+b+0.40+0.32)=1,解得b=0.48.
(2)600×80%=480,
日睡眠时间在[7,9]内的学生人数为0.5×(0.28+0.48+0.40+0.32)×600=444,
所以为使不低于80%的学生日睡眠时间达标,这600名学生中有480-444=36名学生需要通过老师谈话劝说才能使日睡眠时间达标.
10.解析　(1)设该同学的“肺活量”分数为a,则根据题意可得89×15%+15%a+90×20%+85×10%+95×10%+70×10%+95×20%=89,解得a=91.
故这名男同学的“肺活量”分数为91.
(2)根据题中频率分布直方图可得,体测分数不低于90的有(210-10)×(0.010+0.006)×5=16(人),
则该校体测分数的“优秀率”为×100%≈7.6%<8%,
故该校需要进行整改.