6.4.2分层随机抽样的均值与方差+6.4.3 百分位数 同步练习（Word版含解析）

第六章　统计
§4　用样本估计总体的数字特征
4.2　分层随机抽样的均值与方差　　
　　　4.3　百分位数
基础过关练
题组一　分层随机抽样的均值与方差
1.在100个球中有红球40个,黄球60个,通过分层随机抽样的方法,得到红球的平均质量是60克,黄球的平均质量是80克,则所有球的平均质量是(　　)
A.60克 B.80克 C.72克 D.70克
2.(2022上海杨浦控江中学期末)某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况,按照男、女生的人数比分别抽样调查了55名男生和45名女生的每周锻炼时间,通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为8小时,方差为6;女生每周锻炼时间的平均数为6小时,方差为8.根据所有样本的方差来估计该校学生每周锻炼时间的方差为　　　.
3.A、B两个班共100人参加同一次期末考试,考试成绩情况见下表:
班级 人数 平均分
A m x
B n y
(1)已知A、B两个班总的平均成绩=93.若x=95,y=90,则m=　　　,n=　;
(2)已知A、B两个班总的平均成绩=85.5.若m=55,x=90,则n=　　　,y=　.
4.某公司共有A、B两个部门,A、B两个部门的人员2020年度业绩考核分数表分别如下:
A部门:
人员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
分数 98 96 92 94 95 95 97 93 86 85
人员 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
分数 95 87 93 92 98 96 94 87 83 86
人员 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
分数 91 89 94 92 93 88 87 96 92 93
B部门:
人员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
分数 97 96 97 94 95 96 97 94 86 88
人员 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
分数 97 83 93 96 98 92 91 87 83 89
求:(1)该公司2020年度业绩考核分数的平均数;
(2)该公司2020年度业绩考核分数的方差(结果保留2位小数).
题组二　百分位数
5.(2021黑龙江鹤岗一中期末)已知100个数据的75%分位数是9.3,则下列说法正确的是(　　)
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据按从小到大的顺序排列后,9.3是第75个数据
C.把这100个数据按从小到大的顺序排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据按从小到大的顺序排列后,9.3是第74个数据和第75个数据的平均数
6.(多选)(2021广东汕尾期末)某市举办英语口语竞赛,已知某选手的平均分为8.5,12位评委对其评分具体如下:7.0,7.5,7.8,7.8,8.2,8.3,8.5,8.7,9.1,9.2,9.9,10,则下列说法正确的是(　　)
A.75%分位数为9.1
B.中位数为8.3
C.极差为3
D.去掉最高分和最低分,不会影响到这位同学的平均分
7.(2021重庆巴蜀中学期中)已知甲、乙两组数据按顺序排列如下:
甲组:27,28,37,m,40,50;
乙组:24,n,34,43,48,52.
若这两组数据的30%分位数、50%分位数分别对应相等,则等于(　　)
A. B. C. D.
8.某班有n名学生,他们都参加了某次高三复习检测,第i个学生的某科成绩记为Xi(i=1,2,3,…,n),定义Pi为第i个学生的该科成绩的百分位,其中Pi=该班该科成绩不超过Xi的人数÷n×100%.现对该班的甲、乙两名同学的该次检测成绩进行对比分析,若甲、乙两名同学的各科成绩的百分位如图所示,则以下分析不正确的是(　　)
A.甲同学的语文、数学、英语、综合的总分高于乙同学
B.甲同学的语文、数学、英语成绩都好于乙同学
C.甲同学的各科成绩都居该班上游(百分位大于66)
D.乙同学的语文分数不一定比数学分数高
9.(2021山东济南期末)为做好新冠肺炎疫情防控工作,济南市各学校坚持落实“双测温两报告”制度.以下是某宿舍6名同学某日上午的体温(单位:℃)记录:36.3,36.1,36.4,36.7,36.5,36.6.则该组数据的80%分位数为　　　.
10.(2022河南南阳第一中学校月考)节约用水,人人有责.某市为了制订合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
(2)估计居民月均用水量的众数和80%分位数(结果保留2位小数).
答案与分层梯度式解析
第六章　统计
§4　用样本估计总体的数字特征
4.2　分层随机抽样的均值与方差
4.3　百分位数
基础过关练
1.C　所有球的平均质量为×60+×80=72(克).
2.答案　7.89
解析　抽查的所有学生每周锻炼时间的平均数为=7.1(小时),
则所有学生每周锻炼时间的方差为×[6+(8-7.1)2]+×[8+(6-7.1)2]=7.89,
所以估计该校学生每周锻炼时间的方差为7.89.
3.答案　(1)60;40　(2)45;80
解析　(1)A、B两个班总的平均成绩=×95+×90=93,且m+n=100,解得m=60,n=40.
(2)A、B两个班总的平均成绩=×90+×y=85.5,且55+n=100,解得n=45,y=80.
4.解析　(1)用ai(i=1,2,…,30)表示A部门人员的分数,用bi(i=1,2,…,20)表示B部门人员的分数.
由题意得,==91.9,
==92.45,
所以该公司2020年度业绩考核分数的平均数=×91.9+×92.45=92.12.
(2)因为=≈16.36,
=≈22.35,
所以该公司2020年度业绩考核得分的方差
=×[+(-)2]+×[+(-)2]
=×[16.36+(91.9-92.12)2]+×[22.35+(92.45-92.12)2]≈18.83.
5.C　因为100×75%=75,为整数,所以把这100个数据按从小到大的顺序排列后,第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数.
6.CD　易知75%分位数为第9个数和第10个数的平均数,为=9.15,A错误;
中位数为=8.4,B错误;
极差为10-7=3,C正确;
去掉最高分和最低分后,这位同学的平均分为×(7.5+7.8+7.8+8.2+8.3+8.5+8.7+9.1+9.2+9.9)=8.5,与没去最高分和最低分时的平均分相等,D正确.故选CD.
7.B　因为30%×6=1.8,50%×6=3,所以甲组数据的30%分位数为28,乙组数据的30%分位数为n,甲组数据的50%分位数为,乙组数据的50%分位数为=.
所以解得
所以==.
8.A　由甲、乙两名同学的各科成绩的百分位图可知,在A中,甲同学的语文、数学、英语三科得分高于乙同学,综合得分低于乙同学,所以甲同学的语文、数学、英语、综合的总分不一定高于乙同学,故A中分析错误;在B中,甲同学的语文、数学、英语成绩都好于乙同学,故B中分析正确;在C中,甲同学的各科成绩百分位均超过66,所以甲同学的各科成绩都居该班的上游,故C中分析正确;在D中,乙同学的语文分数不一定比数学分数高,故D中分析正确.故选A.
9.答案　36.6
解析　由题意知,6个数据按从小到大顺序排列为36.1,36.3,36.4,36.5,36.6,36.7,且6×80%=4.8,所以该组数据的80%分位数是第5个数36.6.
10.解析　(1)由频率分布直方图可知,月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5=0.04,
同理,月均用水量在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02,
由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5a+0.5a,解得a=0.30.
(2)由频率分布直方图可得,居民月均用水量的众数为2.25.
易得前五组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73,前6组的频率之和为0.73+0.15=0.88,
故80%分位数位于区间[2.5,3)内,则80%分位数为2.5+≈2.5+0.23=2.73.
解题通法
频率分布直方图中p分位数的求解思路
1.确定p分位数所在的区间[a,b);
2.确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa, fb,则p分位数为a+×(b-a).