北师大版（2019）必修第一册第六章统计 复习提升 同步练习（Word版含解析）

第六章　统计
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对分层随机抽样的抽样比不理解致错
1.(2022上海松江一模)某校有高一学生390人,高二学生360人,高三学生345人,为了解学生的学习情况,用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本.若从高二学生中抽取的人数为24,则应抽取(　　)
A.高一学生26人,高三学生23人
B.高一学生28人,高三学生21人
C.高一学生多于24人,高三学生少于24人即可
D.高一、高三学生人数都不限
2.中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶,“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗,2016年11月30日,“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产,也被誉为“中国的第五大发明”.某小学三年级共有学生500名,随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”,只能说出春、夏两句的有45人,能说出春、夏、秋三句及以上的有32人,据此估计该校三年级的500名学生中,对“二十四节气歌”只能说出第一句“春”或一句也说不出的人数为(　　)
A.69 B.84 C.108 D.115
易错点2　对频率分布直方图的特征理解有
误致错
3.(多选)(2021江苏南通联考)某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召,调查该校3 000名学生每周平均体育运动时间的情况,从高一、高二、高三三个年级学生中按照4∶3∶3的比例进行分层随机抽样,收集了300名学生每周平均体育运动时间的数据(单位:小时),整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是(　　)
A.估计该校学生每周平均体育运动时间为5.8小时
B.估计高一年级学生每周平均体育运动时间不足4小时的人数为300
C.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10%
D.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数为600
4.从高三参加数学竞赛的学生中抽取50名学生的成绩,成绩的分组及各组的频数如下(单位:分):[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和频率折线图;
(3)估计成绩在[60,90)内的学生比例;
(4)估计成绩在80分以下的学生比例.
思想方法练
一、数形结合思想
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为和,样本标准差分别为sA和sB,则(　　)
A.>,sA>sB B.<,sA>sB
C.>,sA2.从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本,考察竞赛的成绩分布,将样本分成5组,绘成频率分布直方图(如图),图中从左到右各小组的小矩形的高之比为1∶3∶6∶4∶2,最右边一组的频数是6,请结合频率分布直方图提供的信息,解答下列问题:
(1)样本容量是多少
(2)列出频率分布表;
(3)成绩落在哪个范围内的人数最多 并求出该小组的频数、频率;
(4)估计这次竞赛中,成绩不低于60分的学生占总人数的百分比.
二、函数与方程思想
3.(2022江西新余一中段考)已知样本数据9,10,11,x,y的平均数是10,方差是4,则xy=　　　.
4.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,若备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到条形图如图所示:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数(x,n∈N).
(1)若n=19,求y与x的函数关系式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件.
答案与分层梯度式解析
第六章　统计
本章复习提升
易混易错练
1.A　设应抽取高一学生a人,高三学生b人,则==,解得a=26,b=23,故选A.
2.D　由题意,得100名学生中只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生有100-45-32=23(人),
故估计该校三年级的500名学生中,对“二十四节气歌”只能说出第一句“春”或一句也说不出的有500×=115(人).
易错警示
　　分层随机抽样就是按比例抽样,因此列比例式时要注意“=”两边的标准是否一致.
3.ABD　对于A,估计该校学生每周平均体育运动时间为1×0.05+3×0.2+5×0.3+7×0.25+9×0.15+11×0.05=5.8(小时),故选项A正确;对于B,高一年级的总人数为3 000×=1 200,由题中频率分布直方图可知,该校学生每周平均体育运动时间不足4小时的频率为(0.025+0.1)×2=0.25,所以估计高一年级学生每周平均体育运动时间不足4小时的人数为1 200×0.25=300,故选项B正确;对于C,该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为(0.075+0.025)×2×100%=20%,故选项C错误;对于D,该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数为3 000×20%=600,故选项D正确.故选ABD.
4.解析　(1)频率分布表如下:
成绩分组 频数 频率
[40,50) 2 0.04
[50,60) 3 0.06
[60,70) 10 0.20
[70,80) 15 0.30
[80,90) 12 0.24
[90,100] 8 0.16
合计 50 1.00
(2)频率分布直方图和频率折线图如图所示.
(3)样本中所求学生的比例为0.20+0.30+0.24=0.74=74%.所以估计成绩在[60,90)内的学生占74%.
(4)样本中所求学生的比例为1-(0.24+0.16)=1-0.4=0.6=60%,所以估计成绩在80分以下的学生占60%.
易错警示
　　利用频率分布直方图解决相关问题时,要注意三点:一是纵轴表示频率与组距的比值;二是频率分布直方图中小矩形的面积是频率;三是频率分布直方图中原始数据损失,往往用每组区间的中点值代替.
思想方法练
1.B　由题图知,A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5,2.5,10;B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10.
由折线图读出原始数据,进而利用相关公式解决问题.
所以==,
==,
显然<.
由题图可知,B组数据的分布比A组的均匀,故B组数据比较稳定,方差较小,从而标准差较小,所以sA>sB.故选B.
2.解析　(1)设样本容量为n.∵最右边一组的频数是6,从左到右各小组的小矩形的高之比为1∶3∶6∶4∶2,∴2∶(1+3+6+4+2)=6∶n,解得n=48.
(2)频率分布表如下:
分组 频数 频率
[50,60) 3
[60,70) 9
[70,80) 18
[80,90) 12
[90,100] 6
合计 48 1
从频率分布直方图中获取数据,从而列出频率分布表,应用了数形结合思想.
(3)成绩落在[70,80)内的人数最多,频数为18,频率为.
(4)样本中成绩不低于60分的学生占总人数的×100%=93.75%.∴估计这次竞赛中,成绩不低于60分的学生占总人数的93.75%.
思想方法
　　数形结合思想在统计问题中的应用有两方面:一方面用图形直观表示相关统计量,另一方面是借助图形直观比较相关统计量的关系,要熟练运用条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图的特点解决相关统计问题.
3.答案　91
解析　因为平均数是10,方差是4,
所以×(9+10+11+x+y)=10,
×[(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2]=4,
则 x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=18,解得 x=13,y=7或 x=7,y=13,所以xy=91.
利用平均数和方差的计算公式构造关于x,y的方程组求解,体现了方程思想.
4.解析　(1)当x≤19时,y=19×200=3 800;
当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,
所以y=(x∈N).
根据题目信息列出y与x的关系式,应用了函数思想.
(2)由题中条形图知,需更换的易损零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台在购买易损零件上的费用为4 300元,10台在购买易损零件上的费用为4 800元,
因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台在购买易损零件上的费用为4 500元,
因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
思想方法
　　函数与方程思想在本章主要体现在(1)利用频率和为1列方程或求平均数,中位数等;(2)在样本数字特征的计算中,构造函数.