北师大版（2019）必修第一册第六章统计 综合拔高练 同步练习（Word版含解析）

第六章　统计
综合拔高练
五年高考练
考点1　各种统计图表
1.(2021全国甲理,2)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(　　)
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
2.(2018课标全国Ⅰ,3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是(　　)
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
3.(2020天津,4)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为(　　)
A.10 B.18 C.20 D.36
4.(2018课标全国Ⅰ,19节选)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4)
频数 1 3 2 4
日用 水量 [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7)
频数 9 26 55
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3)
频数 1 5 13
日用水量 [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6)
频数 10 16 5
(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
(2)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
考点2　数据的数字特征
5.(多选)(2021全国新高考Ⅱ,9)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程度的有(　　)
A.x1,x2,…,xn的标准差
B.x1,x2,…,xn的中位数
C.x1,x2,…,xn的极差
D.x1,x2,…,xn的平均数
6.(多选)(2021全国新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则(　　)
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
7.(2020全国Ⅲ文,3)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为(　　)
A.0.01 B.0.1 C.1 D.10
8.(2020全国Ⅲ理,3)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4
B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3
D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
9.(2019课标全国Ⅱ,5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是　(　　)
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
10.(2019课标全国Ⅲ,3)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　)
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
11.(2020江苏,3)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是　　　　.
12.(2021全国乙理,17)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1
旧设备 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ,样本方差分别记为和.
(1)求,,,;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果-≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高.
13.(2019课标全国Ⅱ文,19)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组 企业数
[-0.20,0) 2
[0,0.20) 24
[0.20,0.40) 53
[0.40,0.60) 14
[0.60,0.80) 7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附:≈8.602.
三年模拟练
应用实践
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.一组数据从小到大排列依次为3,5,6,7,8,9,x,12,13,13,且该组数据70%分位数不超过11,则x的取值范围是(　　)
A.[9,12] B.(9,11]
C.(9,10) D.[9,10]
2.(2021湖北武汉期末)已知x1,x2,…,xn的平均数为,y1,y2,…,ym的平均数为(≠).若x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均数=α+(1-α),其中0<α<,则n,m的大小关系为　(　　)
A.nm
C.n=m D.不能确定
3.(2020湖南益阳模拟)为了解家庭教育年投入情况(单位:万元),随机抽查了甲、乙、丙三地的若干个家庭,得到如图所示的三个统计图.用A表示众数,B表示中位数,C表示平均数,则根据统计图提供的信息,下面的结论正确的是(　　)
甲
乙
丙
A.A甲=A乙=A丙,B甲=B乙=B丙
B.B丙>B甲=B乙,C甲=C乙=C丙
C.A丙>A甲=A乙,C丙>C甲>C乙
D.A丙>A甲=A乙,B丙>B甲>B乙
4.(多选)(2022山东泰安肥城二联)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的有(　　)
A.七月的平均温差比一月的平均温差大
B.十月的平均温差最大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温(℃)在[15,20)内的月份至少有4个
5.(多选)(2022黑龙江哈六中月考)为了认真贯彻落实关于做好中小学生“停课不停学”工作要求,各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作,并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况,从某校高三年级随机抽取了100人,获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间(单位:小时)在[2,3),[3,4),[4,5),…,[8,9),[9,10]内的数据,并绘制成频率分布直方图(如图).则下列结论正确的是(　　)
A.a=0.2
B.抽取的100人中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的90%分位数为7.5
C.抽取的100人中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的平均数为6.5
D.估计该校高三年级所有学生中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的众数为6.5
6.(多选)(2021重庆巴蜀中学适应性考试)气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天每天日平均温度不低于22 ℃.”现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据(数据都是正整数,单位:℃)满足以下条件:
甲地:5个数据的中位数是24,众数是22;
乙地:5个数据的中位数是27,平均数是24;
丙地:5个数据中有1个是32,平均数是26,方差是10.2.
则下列说法正确的是(　　)
A.进入夏季的地区至少有2个
B.丙地区肯定进入了夏季
C.不能肯定乙地进入夏季
D.不能肯定甲地进入夏季
7.某学校共有学生2 000人,其中高一800人,高二、高三各600人,学校对学生在暑假期间每天的读书时间进行了调查统计,得到全体学生每天的读书时间(单位:小时)的平均数=3,方差s2=1.966,设三个年级学生每天的读书时间(单位:小时)的平均数分别为,,,方差分别为,,,已知=2.7,=3.1,=3.3,=1,=2,则=　.
8.(2022安徽蚌埠一检)某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛,为此某班开展了10次模拟测试,以选拔选手代表班级参赛,下表为甲,乙两名学生的历次模拟测试成绩(分).
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 98 94 97 97 95 93 93 95 93 95
乙 92 94 93 94 95 94 96 97 97 98
记甲,乙两名学生测试成绩的平均数分别为,,方差分别为,.
(1)求,,,;
(2)以这10次模拟测试成绩及(1)中的结果为参考,请你从甲,乙两名学生中选出一人代表班级参加比赛,并说明理由.
9.(2020福建泉州第五中学月考)鱼卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜欢,还深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年,有着不少来自零售商和酒店的客户.当地的习俗是农历正月不生产鱼卷,客户正月所需要的鱼卷都会在前一年的农历十二月月底进行一次性采购.小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位:箱)在[100,200]内的客户称为“熟客”,并把他们去年采购的数量绘制成下表:
采购数量 x(单位:箱) [100, 120) [120, 140) [140, 160) [160, 180) [180, 200]
客户数 10 10 5 20 5
(1)根据表中的数据,补充完整这些数据的频率分布直方图,并估计采购数量在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数;
(2)若去年年底“熟客”采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的,估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查以决定今年年底是否在网上出售鱼卷,若没有在网上出售鱼卷,则按去年的价格出售,每箱利润为20元,预计销售量与去年持平;若计划在网上出售鱼卷,则需把每箱售价下调2至5元(网上、网下均下调),且每下调m元(2≤m≤5)销售量可增加1 000m箱,求小张在今年年底收入Y(单位:元)的最大值.
答案与分层梯度式解析
第六章　统计
综合拔高练
五年高考练
1.C　由题中频率分布直方图可得,该地农户家庭年收入低于4.5万元和不低于10.5万元的频率分别为0.06和0.1,则农户比率分别为6%和10%,故A、B中结论正确;家庭年收入介于4.5万元和8.5万元之间的频率为0.1+0.14+0.2+0.2=0.64,故D中结论正确;家庭年收入的平均值为0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68(万元),因为7.68>6.5,所以估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元,故C中结论不正确.故选C.
2.A　设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,由题图可知:
建设前经济收入 建设后经济收入
种植收入 0.6a 0.74a
第三产业收入 0.06a 0.56a
养殖收入 0.3a 0.6a
其他收入 0.04a 0.1a
根据上表可知B、C、D中结论均正确,A中结论不正确,故选A.
3.B　由题中频率分布直方图可知,在被抽取的零件中,直径落在[5.43,5.47)内的频率为(6.25+5.00)×0.02=0.225,频数为80×0.225=18,即直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为18.故选B.
4.解析　(1)频率分布直方图如图.
(2)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.
估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).
5.AC　由标准差的定义可知,标准差考查的是数据的离散程度;由中位数的定义可知,中位数考查的是数据的集中趋势;由极差的定义可知,极差考查的是数据的离散程度;由平均数的定义可知,平均数考查的是数据的集中趋势.故选AC.
6.CD　A项,设=xi,则=yi=(xi+c)=xi+c,因为c≠0,所以=+c,所以≠,所以A选项错误.
B项,因为yi=xi+c(i=1,2,…,n),所以y1,y2,…,yn的中位数是x1,x2,…,xn的中位数加c,所以B选项错误.
C项,设=(xi-)2,=(yi-)2,
所以=(xi+c--c)2=(xi-)2,
所以=,所以两组数据的方差相同,从而这两组数据的标准差相同,所以C选项正确.
D项,设x17.C　由已知条件可知样本数据x1,x2,…,xn的平均数=,方差=×[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的平均数为=10.
所以这组数据的方差=[(10x1-10)2+(10x2-10)2+…+(10xn-10)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=100=100×0.01=1,故选C.
8.B　根据平均数=方差s2=以及方差与标准差的关系,得各选项对应样本的标准差如下表.
选项 平均数 方差s2 标准差s
A 2.5 0.65
B 2.5 1.85
C 2.5 1.05
D 2.5 1.45
由此可知选项B对应样本的标准差最大,故选B.
9.A　根据中位数特征可知,去掉最高分和最低分后,只有中位数一定不会变化.故选A.
10.C　在样本中,仅阅读过《西游记》的学生人数为90-80=10,由既阅读过《西游记》又阅读过《红楼梦》的学生人数为60,得阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70,所以在样本中,阅读过《西游记》的学生人数所占的比例为=0.7,即为该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值.
11.答案　2
解析　由题意得=4,解得a=2.
12.解析　(1)=×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0.
=×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3.
=×[(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2]=0.036.
=×[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.
(2)由(1)得-=0.3,+=0.076,
从而(-)2=0.09,=(+)=0.030 4.所以(-)2>,又>,故->2,因此新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
13.解析　(1)根据题中产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为=0.21.
产值负增长的企业频率为=0.02.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.
(2)=×(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,
s2=ni(yi-)2=×[2×(-0.40)2+24×(-0.20)2+53×02+14×0.202+7×0.402]=0.029 6,
则s==0.02×≈0.17.
所以这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%和17%.
方法总结
　　利用频数分布表求平均数估计值的方法:各组区间中点值乘该组频数,并求和,再除以样本容量.利用频数分布表求标准差估计值的方法:用各组区间中点值代表该组,代入标准差公式即可.
三年模拟练
1.D　因为10×70%=7,所以70%分位数为,所以解得9≤x≤10.
2.A　因为==+=α+(1-α),0<α<,所以0<<,故n3.C　由甲地的条形图可知,家庭教育年投入的中位数为10,众数为10,平均数为10.32;由乙地的折线图可知,家庭教育年投入的中位数为10,众数为10,平均数为9.7;由丙地的扇形图可知,家庭教育年投入的中位数为12,众数为12,平均数为12.4.结合选项可知C正确.
4.AC　由题图得七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,故A正确;
十月的平均温差明显小于七月的平均温差,故B不正确;
三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃,故C正确;
平均最高气温(℃)在[15,20)内的月份有五月、九月,共2个,故D不正确.故选AC.
5.ABD　由题中频率分布直方图可得(0.05+0.18+0.1+a+0.32+0.1+0.03+0.02)×1=1,解得a=0.2,A正确;
易得前5组的频率之和为0.85,前6组的频率之和为0.95,所以用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的90%分位数位于区间[7,8)内,又因为居家自主学习和锻炼身体的总时间在区间[7,8)内的频率为0.1,所以抽取的100人中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的90%分位数为7.5,故B正确;
抽取的100人中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的平均数为2.5×0.05+3.5×0.18+4.5×0.1+5.5×0.2+6.5×0.32+7.5×0.1+8.5×0.03+9.5×0.02=5.58,故C错误;
由频率分布直方图可得抽取的100人中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的众数为6.5,因此估计该核高三年级所有学生中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的众数为6.5,故D正确.
故选ABD.
6.ABC　设甲地的其他2个数据分别为e, f,且24设乙地的其他4个数据分别为a,b,c,d,且a,b,c,d∈Z,a≤b≤27≤c≤d,将乙地的5个数据按从小到大的顺序排列得a,b,27,c,d,则27+c+d≥81,又乙地5个数据的平均数是24,所以a+b+27+c+d=120,故a+b≤39,又a≤b,所以a,b中必有一个小于22,故乙地不一定满足进入夏季的标志.设丙地的其他4个数据为p,q,r,s,且p,q,r,s∈Z,由方差公式可知(p-26)2+(q-26)2+(r-26)2+(s-26)2+(32-26)2=10.2×5,所以(p-26)2+(q-26)2+(r-26)2+(s-26)2=15,不妨设|p-26|=3,|q-26|=2,|r-26|=|s-26|=1,则p,q,r,s均大于22,故丙地满足进入夏季的标志.
综上,A,B,C正确,D错误,故选ABC.
7.答案　3
解析　由题意可得,1.966=×[1+(2.7-3)2]+×[2+(3.1-3)2]+×[+(3.3-3)2],解得=3.
8.解析　(1)==95,
==95,
==3,
==3.4.
(2)参考答案一:由(1)可知,=,<,甲,乙两人平均分相同,但甲发挥更稳定,所以派甲代表班级参赛.
参考答案二:由(1)可知,=,<,甲,乙两人平均分相同,两人成绩的方差差距不大,但从10次测试成绩的增减趋势可以发现,甲的成绩总体呈下降趋势,乙的成绩总体呈上升趋势,说明乙的状态越来越好,所以派乙代表班级参赛.
9.解析　(1)由题表中数据,补充频率分布直方图如图,
根据频率分布直方图,可知采购数量在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数约为50×20×0.005+0.020×=17.
(2)由题中表格可知,去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数量约为110×10+130×10+150×5+170×20+190×5=7 500(箱),故小张去年年底总的销售量为7 500÷=12 000(箱).
(3)若没有在网上出售鱼卷,则今年年底小张的收入为12 000×20=240 000(元);
若在网上出售鱼卷,则今年年底的销售量为(12 000+1 000m)箱,每箱的利润为(20-m)元,则今年年底小张的收入Y=(20-m)·(12 000+1 000m)=1 000(-m2+8m+240)=1 000[-(m-4)2+256](2≤m≤5),当m=4时,Y有最大值,最大值为256 000.
∵256 000>240 000,∴小张在今年年底收入Y的最大值为256 000.