7.2　古典概型北师大版（2019）必修第一册（Word含解析）

第七章　概率
§2　古典概型
基础过关练
题组一　古典概型的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(多选)下列有关古典概型的说法中,正确的是　(　　)
A.试验的样本空间的样本点总数有限
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=
2.下列试验中,属于古典概型的是(　　)
A.种下一粒种子,观察它是否发芽
B.从直径规格为(250±0.6)mm的一批合格产品中任意抽一件,测量其直径d
C.抛一枚硬币,观察是正面向上还是反面向上
D.某人射击中靶或不中靶
题组二　古典概型的概率运算
3.(2020四川遂宁期末)“微信抢红包”近年来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元,共5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙两人抢到的金额之和不低于3元的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.(2022河南新乡一中二测)某高校计划派出甲、乙、丙三名男生和A,B,C三名女生参与志愿者工作,现将他们分配到北京、延庆2个赛区进行培训,其中一名男生和一名女生去北京赛区培训,其他人都去延庆赛区培训,则甲和A被选去北京赛区培训的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.(2022河南部分校联考)某校高三三个毕业班决定组织学生去武汉参观“黄鹤楼公园”“归元禅寺”“武汉博物馆”三个景区,若每个景区至少有一个班级参观,且每个班级只能参观一处景区,则甲班不参观“归元禅寺”的概率为(　　)
A. B. C. D.
6.(2020江西南昌期中)在《周易》中,长横“——”表示阳爻,两个短横“— —”表示阴爻,有放回地取爻三次合成一卦,共有8种组合方法,这便是《系辞传》所说:“太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦.”有放回地取爻一次有两种不同的情况,有放回地取爻两次有四种不同的情况,有放回地取爻三次有八种不同的情况,即为八卦,在一次卜卦中,恰好出现两个阳爻、一个阴爻的概率是(　　)
A. B.
C. D.
7.某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数进行统计,结果如下:7,9,13,13,15,16,17,21,22,24,25,28,28,30,31,34,37,41,41,42.从中任取1名员工,其迟到次数在[20,30)内的概率为　　　.
8.(2020山西太原期末)为了加强对国产核动力航母动力系统的研发力量,用分层随机抽样的方法从A、B、C三所动力研究所的相关人员中抽取若干人组成研究小组,有关数据如表:
研究所 相关人数 抽取人数
A 18 x
B 36 2
C 54 y
(1)求x,y的值;
(2)若从B,C研究所抽取的人中随机选2人发言,求这2人都来自C研究所的概率.
9.(2022江西吉安二中、安福二中入学考试)一个盒子中装有五个完全相同的小球,分别标号为1,2,3,4,5.
(1)一次性取出两个小球,求两个小球的号码之和是2的倍数的概率;
(2)有放回地取球两次,每次取一个,求两个小球的号码是相邻整数的概率;
(3)一次性取出三个小球,设其号码分别为a,b,c,求满足2b=a+c的概率.
题组三　互斥事件与对立事件的概率运算
10.若P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(A∪B)=(　　)
A.0.3 B.0.2
C.0.1 D.不确定
11.如果事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率是(　　)
A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.0.2
12.某家庭电话在响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为(　　)
A. B. C. D.
13.甲、乙两人下一局棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为(　　)
A.60% B.30%
C.10% D.50%
14.从m名男生和n名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为,那么所选3人都是男生的概率为　　　　.
15.国家射击队的某队员射击一次,命中7~10环的概率如表所示:
命中环数 10 9 8 7
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
若该射击队员射击一次,求:
(1)命中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中不足8环的概率.
能力提升练
题组一　古典概型的概率运算
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022安徽淮北一中月考)皮埃尔·德·费马,法国律师和业余数学家,被誉为“业余数学家之王”,他在1636年提出:若p是质数,且整数a与p互质,那么a的(p-1)次方除以p的余数恒为1.后来人们称之为费马小定理.以此定理,若在数集{2,3,4}中任取两个数,其中一个作为p,另一个作为a,则所取两个数符合费马小定理的概率为(　　)
A. B. C. D.
2.甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球,且甲、乙两个袋子中的球数比为1∶3.已知从甲袋中摸到红球的概率为,而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后,从中摸到红球的概率为.则从乙袋中摸到红球的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.(2021湖南郴州第二次质检)河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示,一与六共宗居下,二与七为朋居上,三与八同道居左,四与九为友居右,五与十相守居中,其中白圈数为阳数,黑点数为阴数,若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值大于5的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中,从五个点A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个,则这三个点能构成三角形的概率是　　(结果用分数表示).
5.(2020山东潍坊高密第一中学月考)现有5根竹竿,其长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次抽取两根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为　　　　.
6.如图所示,a,b,c,d,e是处于断开状态的开关,任意闭合其中的两个,则电路接通的概率是　　　　.
7.有A,B,C,D 四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座.
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;
(3)求这四人恰有一人坐在自己的席位上的概率.
8.将一枚骰子连续抛掷两次,记先后出现的点数分别为b,c,求方程x2+bx+c=0有实数根的概率.
9.(2020四川成都期末)每当《我心永恒》这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时,便会想起电影《泰坦尼克号》中一幕幕感人画面,让我们明白了什么是人类的“真、善、美”.为了推动遂宁市旅游发展和带动全市经济,更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”,遂宁市某地将按“泰坦尼克号”原型1∶1的比例重新修建.为了了解该旅游开发地在大众中的熟知度,随机从本市20~70岁的人群中抽取了a人,让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成 ”得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图.
组号 年龄分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组人数的频率
第1组 [20,30) 10 0.5
第2组 [30,40) x 0.9
第3组 [40,50) 54 m
第4组 [50,60) n 0.36
第5组 [60,70] y 0.2
(1)求m(x+y+n)的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人,分别求第2,3,4组每组抽取的人数;
(3)从(2)中抽取的6人中随机抽取2人,求所抽取的2人中年龄没有在[30,40)中的概率.
题组二　互斥事件与对立事件概率公式的应用
10.(2020湖北武汉联考)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.3,则P()=(　　)
A.0.5 B.0.2 C.0.7 D.0.8
11.已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A∪B)=(　　)
A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.9
12.(2020四川成都期末)在5件产品中,有3件一级品和2件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为的是(　　)
A.2件都是一级品
B.2件都是二级品
C.2件中1件一级品、1件二级品
至少有1件二级品
答案与分层梯度式解析
第七章　概率
§2　古典概型
基础过关练
1.ACD　
2.C　古典概型的特征:①试验的样本空间的样本点总数有限,即有限性;②每次试验中,样本空间的各个样本点出现的可能性相等,即等可能性.由此判断,只有C符合题意.故选C.
规律方法
　　一个试验是不是古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.
3.D　甲、乙两人抢到的金额之和包含的样本点共有10个,其中两人抢到的金额之和不低于3元包含的样本点有6个,分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55),故所求概率为=.故选D.
4.C　由题意得分配一名男生和一名女生去北京赛区培训的样本点有(甲,A), (甲,B), (甲,C), (乙,A), (乙,B), (乙,C),(丙,A), (丙,B), (丙,C),共9个,其中甲和A被选去北京赛区培训的只有(甲,A)这1个样本点,所以甲和A被选去北京赛区培训的概率为.
5.D　设“黄鹤楼公园”为A,“归元禅寺”为B,“武汉博物馆”为C,则三个班级依次参观的样本点有(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A),共6个,其中甲班不参观“归元禅寺”的样本点有(A,B,C),(A,C,B),(C,A,B),(C,B,A),共4个,故所求概率P==.
6.C　在一次卜卦中包含的样本点总数为8,恰好出现两个阳爻、一个阴爻包含的样本点个数为3,所以在一次卜卦中,恰好出现两个阳爻、一个阴爻的概率是.故选C.
7.答案　
解析　由题中数据得该公司共有20名员工,其中迟到次数在[20,30)内的有6人,故所求概率P==.
8.解析　(1)由题意可得,==,所以x=1,y=3.
(2)记从B研究所抽取的2人分别为b1,b2,从C研究所抽取的3人分别为c1,c2,c3,则从B,C研究所抽取的5人中随机选2人发言的样本点有(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共10个,
选中的2人都来自C研究所的样本点有(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共3个,
故选中的2人都来自C研究所的概率为.
9.解析　(1)一次性取出两个小球,样本空间包含的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,
其中两个小球的号码之和是2的倍数的有(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4个,故所求概率P1==.
(2)有放回地取球两次,每次取一个,样本空间包含的样本点有(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(2,2),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),共25个,
其中两个小球的号码是相邻整数的有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),共8个,故所求概率P2=.
(3)一次性取出三个小球,样本空间包含的样本点有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个,
其中满足2b=a+c的有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5),共4个,故所求概率P3==.
10.D　由于不能确定事件A与B是否互斥,所以P(A∪B)不能确定.
11.B　 因为事件A与B是互斥事件,
所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.
又因为P(A)=3P(B),所以P(A)=0.6.
12.B　易知这几个事件两两互斥,故电话在响前四声内被接的概率为+++=.
13.D　甲不输包含甲获胜和甲、乙两人下成和棋两种情况,这两种情况在同一局当中不会同时发生,则甲、乙两人下成和棋的概率为90%-40%=50%.
14.答案　
解析　设事件A表示“所选3人中至少有1名女生”,事件B表示“所选3人都是男生”,则A,B互为对立事件,所以P(B)=1-P(A)=.
15.解析　记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak彼此互斥.
(1)记“射击一次,射中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件的概率加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.
(2)设“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生.由互斥事件的概率加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)由于事件“射击一次,命中不足8环”是事件B:“射击一次,至少命中8环”的对立事件,即,所以根据对立事件的概率公式得P()=1-P(B)=1-0.78=0.22.
能力提升练
1.C　在数集{2,3,4}中任取两个数,其中一个作为p,另一个作为a,记为(p,a),则样本空间包含的样本点有(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3),共6个,其中所取两个数符合费马小定理的有(2,3),(3,4),(3,2),共3个,故所取两个数符合费马小定理的概率为=.
2.A　设甲袋中的总球数为x,则甲袋中有个红球,个白球,乙袋中的总球数为3x.因为甲、乙两袋中共有4x×=个红球,所以乙袋中有个红球,因此从乙袋中摸到红球的概率为=.故选A.
3.A　由题图知阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10,
所以从阳数和阴数中各取一数的所有情况共有5×5=25(种),
满足差的绝对值大于5的有(1,8),(1,10),(3,10),(9,2),共4个,
则所求概率P=.故选A.
4.答案　
解析　从五个点中任取三个点,该试验的样本点的总数为10,而A,C,E三点共线,B,C,D三点共线,所以从这五个点中任取三个点能构成三角形的个数为10-2=8.
故由古典概型的概率公式得所求概率为=.
5.答案　
解析　一次抽取两根竹竿包含的样本点有(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共10个,其中长度恰好相差0.3 m的有(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2个样本点,
所以由古典概型的概率公式得所求的概率P==.
6.答案　
解析　“任意闭合其中的两个开关”所包含的样本点的总数是10,“电路接通”包含6个样本点,所以电路接通的概率P==.
7.解析　将A,B,C,D四位贵宾就座情况按从左至右排席位,依次是a,b,c,d席位,如图所示.
由图可知,样本点共有24个.
(1)设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件M只包含1个样本点,所以P(M)=.
(2)设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”,则事件N包含9个样本点(即图中标记为“○”的情形),所以P(N)==.
(3)设事件S为“这四人恰有一人坐在自己的席位上”,则事件S包含8个样本点(即图中标记为“√”的情形),所以P(S)==.
解题通法
　　排队(排座)问题是一种常见的有序排列问题.在样本点的计算中,涉及元素较多时可用画树状图的方法求解,一般按照“分析样本点表示样本点计算样本点个数求概率”这种步骤进行求解.
8.解析　将一枚骰子连续抛掷两次,其包含的样本点的总数为36,方程有实数根的充要条件为b2≥4c,满足要求的各种情况如表所示:
b 1 2 3 4 5 6
满足b2≥4c的样本点个数 0 1 2 4 6 6
由此可知使方程有实数根的样本点个数为0+1+2+4+6+6=19,于是方程有实数根的概率为.
9.解析　(1)第1组的人数为=20,第1组的频率为0.010×10=0.1,∴a==200,
∴x=200×0.2×0.9=36,y=200×0.15×0.2=6,m==0.9,n=200×0.25×0.36=18,
∴m(x+y+n)=0.9×(36+6+18)=54.
(2)抽样比例为=,
∴第2组中抽取的人数为36×=2;
第3组中抽取的人数为54×=3;
第4组中抽取的人数为18×=1.
(3)记[30,40)中的2人分别为A1,A2,[40,50)中的3人分别为B1,B2,B3,[50,60)中的1人为C,则在抽取的6人中随机抽取2人的所有样本点为A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1C,A2B1,A2B2,A2B3,A2C,B1B2,B1B3,B1C,B2B3,B2C,B3C,共15个,其中不含A1,A2的有6个,
∴所抽取的2人中年龄没有在[30,40)中的概率为=.
10.D　∵随机事件A和B互斥,∴P(A)=P(A∪B)-P(B)=0.5-0.3=0.2,∴P()=1-P(A)=0.8.
11.C　因为P(C)=0.6,事件B与C对立,所以P(B)=0.4.又P(A)=0.3,事件A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故选C.
12.D　用A1,A2,A3分别表示3件一级品,B1,B2分别表示2件二级品.任取2件,则样本空间Ω={A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2},共10个样本点,每个样本点出现的可能性相等.
用事件A表示“2件都是一级品”,包含3个样本点,则P(A)=.
用事件B表示“2件都是二级品”,包含1个样本点,则P(B)=.
用事件C表示“2件中1件一级品、1件二级品”,包含6个样本点,则P(C)==.
事件A,B,C两两互斥,所以P(B)+P(C)=P(B∪C)=,而B∪C表示“至少有1件二级品”.
故选D.