7.4事件的独立性 同步练习（Word版含解析）

第七章　概率
§4　事件的独立性
基础过关练
题组一　事件独立性的判断
1.(2021北京丰台期末)抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”,则A与B的关系为(　　)
A.互斥但不对立 B.相互对立
C.相互独立 D.相等
2.(2020福建厦门月考)袋内装有除颜色外完全相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸出一个球,若用事件A表示“第一次摸得白球”,事件B表示“第二次摸得白球”,事件C表示“第二次摸得黑球”,那么事件A与B,A与C之间的关系是(　　)
A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
3.若事件A,B发生的概率都大于零,则(　　)
A.如果A,B是互斥事件,那么A与也是互斥事件
B.如果A,B不是相互独立事件,那么它们一定是互斥事件
C.如果A,B是相互独立事件,那么它们一定不是互斥事件
D.如果A+B是必然事件,那么它们一定是对立事件
4.(2022广东广附六校月考)若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　)
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又相互独立
题组二　事件独立性的概率计算
5.若A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(A)=(　　)
A. B. C. D.
6.如图所示,在两个转盘中,指针落在每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　)
A. B.
C. D.
7.若甲、乙两人投球的命中率分别为,,则甲、乙两人各投一次,其中恰好命中一次的概率为(　　)
A. B. C. D.
8.(2022山东滨州期末)有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品,甲厂生产的次品率为10%,乙厂生产的次品率为20%,丙厂生产的次品率为30%,生产出来的产品混放在一起,已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的50%、30%、20%.任取一件产品,则取得次品的概率是(　　)
A.0.83 B.0.79 C.0.21 D.0.17
9.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,,,且是互相独立的.若将它们按如图所示的方式接入电路中,则电路不发生故障的概率是　　(　　)
A. B. C. D.
10.(2020河南省实验中学月考)已知甲、乙两位射手,甲击中目标的概率为0.7,乙击中目标的概率为0.6,如果甲、乙两位射手的射击相互独立,那么甲、乙两位射手同时瞄准一个目标射击,目标被击中的概率为　　　　.
11.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题是否答对相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是　　　　.
12.为了实现中国梦的构想,在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功相互独立.
(1)求恰有两个项目成功的概率;
(2)求至少有一个项目成功的概率.
13.1月1日,某品牌的两款新手机(记为W型号,T型号)同时投放市场,手机厂商为了解这两款手机的销售情况,在1月1日当天,随机调查了5个手机店中这两款手机的销量(单位:部),得到下表:
A B C D E
W型号 手机销量 6 6 13 8 11
T型号 手机销量 12 9 13 6 4
若在1月1日当天,从A,B这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部,求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率.
能力提升练
题组　事件独立性的概率计算
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022湖北武汉武钢三中月考)端午节放假期间,甲、乙、丙三人回老家过节的概率分别为,,.假定三人是否回老家过节相互之间没有影响,那么至少有一人回老家过节的概率为(　　)
A. B. C. D.
2.(2020山东枣庄期末)一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可以从0~9中任选一个,某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,若任意按最后一位数字,则不超过2次就按对的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.(2021江苏南京金陵中学段测)甲、乙两名同学参加一项射击游戏,游戏规定每击中一次目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为(　　)
A. B. C. D.
4.(2021辽宁葫芦岛期末)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果相互独立,第一局甲当裁判,在前三局中乙恰好当1次裁判的概率为　　　　.
5.如图为竖直平面内的一些通道,图中线条均表示通道,一钢珠从入口E处自上而下沿通道自由落下,钢珠在每个分岔口落向两侧的概率相等,则其落到B处的概率是　　　　.
6.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,并视为合格,否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立,某同学每次投篮投中的概率均为p,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p=　　　　.
7.如图所示,用A,B,C,D四种不同的元件分别连接成系统M,N.当元件A,B都正常工作或元件C正常工作或元件D正常工作时,系统M正常工作;当元件A,B都正常工作或元件B,D都正常工作或元件C正常工作时,系统N正常工作.已知A,B,C,D四种元件正常工作的概率分别为0.5,0.9,0.7,0.8,且各元件是否正常工作是相互独立的.试从能否正常工作的角度判断两个系统中哪一个的连接方式更为合理.
答案与分层梯度式解析
第七章　概率
§4　事件的独立性
基础过关练
1.C　根据题意,两个事件可以同时发生,也可以都不发生,事件A发生与否对事件B没有影响,是相互独立事件,故选C.
2.A　由于摸球是有放回的,故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立,而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥.
3.C　当事件A,B的关系如图1所示时,A与B互斥,但A与不互斥,A错误;
当事件A与B不相互独立时,A与B也不一定是互斥事件,B错误;
如果事件A与B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B),依题意得P(A)P(B)>0,因此P(AB)≠0,即事件A与事件B一定能同时发生,故它们一定不是互斥事件,C正确;
当事件A,B的关系如图2所示时,A+B是必然事件,但A,B不是对立事件,D错误.故选C.
　　　　　图1　　　　　　　　　　图2
4.C　∵P(A)=1-P()=1-=,∴P(AB)=P(A)·P(B),∴事件A与B相互独立.又∵P(AB)≠P(A)+P(B),∴事件A与B并不互斥.
5.A　∵A,B是相互独立事件,∴A与也是相互独立事件,
∵P(A)=,P(B)=,
∴P(A)=P(A)·P()=×=.故选A.
6.A　“左边转盘指针落在奇数区域”记为事件A,则P(A)==,“右边转盘指针落在奇数区域”记为事件B,则P(B)==,因为事件A、B相互独立,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×=,故选A.
7.A　设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B,“甲、乙两人各投一次,其中恰好命中一次”为事件C,则C=(A∩)∪(∩B),且A∩与∩B互斥,则P(C)=P[(A∩)∪(∩B)]=P(A∩)+P(∩B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=.故选A.
8.D　任取一件产品,取得次品的概率是0.1×0.5+0.2×0.3+0.3×0.2=0.17.
9.A　记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.
记“电路不发生故障”为事件M,则M=(A2∪A3)∩A1,∴P(M)=P[(A2∪A3)∩A1]=[1-P()P()]·P(A1)=×=.故选A.
10.答案　0.88
解析　由题意知,甲、乙两射手同时未击中目标的概率为(1-0.7)×(1-0.6)=0.12,所以目标被击中的概率为1-0.12=0.88.
11.答案　0.46
解析　设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互独立,同学甲得分不低于300分对应于事件(A1∩A2∩A3)∪(A1∩∩A3)∪(∩A2∩A3)发生,故所求概率P=P[(A1∩A2∩A3)∪(A1∩∩A3)∪(∩A2∩A3)]
=P(A1∩A2∩A3)+P(A1∩∩A3)+P(∩A2∩A3)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()·P(A2)P(A3)
=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5
=0.46.
12.解析　(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××=,
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××=,
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××=,
∴恰有两个项目成功的概率为++=.
(2)三个项目全部失败的概率为××=,
∴至少有一个项目成功的概率为1-=.
13.解析　将从A手机店售出的新款手机中随机抽取的1部手机记为甲,从B手机店售出的新款手机中随机抽取的1部手机记为乙,设“甲手机为T型号手机”为事件M1,“乙手机为T型号手机”为事件M2,
依题意,有P(M1)==,P(M2)==,且事件M1、M2相互独立.
设“抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机”为事件M,
则P(M)=1-P(M1M2)=1-×=,
即抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率为.
能力提升练
1.C　设甲、乙、丙三人回老家过节分别为事件A、B、C,至少有一人回老家过节为事件D,则P(D)=1-P(　　)=1-P()P()P()=1-××=.故选C.
2.C　由题意知,若任意按最后一位数字,则不超过2次就按对的概率P=+×=.故选C.
3.C　设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则“甲射击一次,未击中目标”为事件,“乙射击一次,未击中目标”为事件,则P(A)=,P()=1-=,P(B)=p,P()=1-p,依题意得×(1-p)+×p=,解得p=,故选C.
4.答案　
解析　在前三局中乙恰好当1次裁判,有两种情况:①第一局乙、丙比赛时乙负,第二局乙当裁判,甲、丙比赛无论胜负第三局乙均不当裁判;
②第一局乙、丙比赛时乙胜,第二局乙、甲比赛时甲胜,第三局丙、甲比赛,乙当裁判.
∴在前三局中乙恰好当1次裁判的概率P=+×=.
5.答案　
解析　钢珠从E处落下,①有的概率落到EF,经FH后有的概率落到HJ,经JM后有的概率落到MN,最后落到B处,即钢珠从E处落下,沿此路径落到B处的概率P1=××=;
②有的概率落到EF,经FH后有的概率落到HK,经KO后有的概率落到ON,最后落到B处,即钢珠从E处落下,沿此路径落到B处的概率P2=××=;
③有的概率落到EG,经GI后有的概率落到IK,经KO后有的概率落到ON,最后落到B处,即钢珠从E处落下,沿此路径落到B处的概率P3=××=.
所以钢珠从E处落下,落到B处的概率P=P1+P2+P3=++=.
6.答案　0.4
解析　由题意可得p+p(1-p)+p(1-p)2=0.784,
整理可得p3-3p2+3p-0.784=0,即(p-0.4)×(p2-2.6p+1.96)=0,因为p2-2.6p+1.96>0恒成立,
所以该方程存在唯一的实数根,即p=0.4.
7.解析　由题意知,元件A正常工作的概率P1=0.5,元件B正常工作的概率P2=0.9,元件C正常工作的概率P3=0.7,元件D正常工作的概率P4=0.8,
则系统M正常工作的概率为1-(1-P1P2)×(1-P3)×(1-P4)=1-(1-0.5×0.9)×(1-0.7)×(1-0.8)=1-0.033=0.967,
系统N正常工作的概率为1-{1-[1-(1-P1)×(1-P4)]×P2}×(1-P3)=1-[1-(1-0.5×0.2)×0.9]×0.3=1-0.057=0.943.
因为0.967>0.943,所以系统M的连接方式更为合理.