第七章概率 复习提升 同步练习（Word版含解析）

第七章　概率
本章复习提升
易混易错练
易错点1　列举样本空间的样本点时重复或遗漏致错
1.(2020安徽淮南一中开学考试)一个三位数,其个位、十位、百位上的数字依次为x,y,z,当且仅当y>x,y>z时,称这样的数为“凸数”(如243),现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸数”的概率为(　　)
A. B. C. D.
2.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,将得到的点数依次记为a和b,则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是(　　)
A. B.
C. D.
易错点2　混淆事件的互斥与独立致错
3.(2021福建龙岩武平一中月考)抛掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的面的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一个发生的概率是(　　)
A. B.
C. D.
4.(2022湖北荆州石首一中月考)甲、乙两名学生通过某次听力测试的概率分别为和,且是否通过听力测试相互独立,两人同时参加测试,其中有且只有一人通过听力测试的概率是　　　　.
易错点3　不会应用对立事件求解相关的概率问题致错
5.(2021内蒙古赤峰二中适应性考试)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则只用非现金支付的概率为(　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
6.(2020陕西渭南摸底)若一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率为0.4,则目标受损但未被击毁的概率为(　　)
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
7.一个盒子里装有三张卡片,分别标记数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.现随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
思想方法练
一、分类讨论思想
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2021山东聊城期中)某学校计划从2名男生和3名女生中任选3名参加抗疫英雄事迹演讲比赛,记事件M为“至少有2名女生参加演讲”,则下列事件中与事件M对立的是　(　　)
A.恰有2名女生参加演讲
B.至多有2名男生参加演讲
C.恰有1名女生参加演讲
D.至多有2名女生参加演讲
2.(2020吉林联合体期末)甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5道不同题目,其中选择题3道,判断题2道,甲、乙两人各抽一题,则甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率为　　　　;甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为 　.
二、数形结合思想
3.(2021安徽蚌埠月考)已知一个古典概型的样本空间Ω中包含12个样本点,事件A中包含6个样本点,事件B中包含4个样本点,事件A∪B中包含8个样本点,则事件A与事件(　　)
A.是互斥事件,不是相互独立事件
B.不是互斥事件,是相互独立事件
C.既是互斥事件,也是相互独立事件
D.既不是互斥事件,也不是相互独立事件
4.三张卡片上分别写有字母E,E,B,将这三张卡片摆正并随机排成一行,则恰好排成BEE的概率为　　　　.
5.(2020河北部分重点中学联考)为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况,调查部门在该校进行了一次问卷调查(共12道题),从该校学生中随机抽取40人,统计了每人答对的题数,将统计结果分成[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]六组,得到如下频率分布直方图.
(1)估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若从答对题数在[2,6)内的学生中随机抽取2人,求恰有1人答对题数在[2,4)内的概率.
三、转化与化归思想
6.(2021江苏南京江宁高级中学月考)北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据,北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光,其中玉衡最亮,天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测,则玉衡和天权中至少有一颗被选中的概率为(　　)
A. B. C. D.
7.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率;
(2)求至少有3人外出家访的概率.
四、函数与方程思想
8.(2021江苏徐州丰县中学月考)甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为,则甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为　　　　　　　.
9.某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利润50元,若供大于求,则剩余商品全部退回,但每件商品亏损10元;若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商品可获利润30元.
(1)若商店一天购进商品10件,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:件,n∈N)的函数解析式;
(2)商店记录了该商品50天内的日需求量n(单位:件,n∈N),将数据整理后得到下表:
日需求量(单位:件) 8 9 10 11 12
频数(单位:天) 9 11 15 10 5
若商店一天购进10件该商品,以记录的50天内各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润(单位:元)在[400,550]内的概率.
答案与分层梯度式解析
第七章　概率
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易混易错练
1.B　从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24种情况:123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432,其中是“凸数”的有132,142,143,231,241,243,341,342,共8个,所以这个三位数是“凸数”的概率为=.故选B.
易错警示
　　解决古典概型问题的关键在于准确确定随机试验,不重不漏地列出样本点得到样本点总数.
2.C　方程ax2+bx+1=0共有36种可能.易知a,b>0,则方程ax2+bx+1=0有实数解,必有Δ=b2-4a≥0.
若a=1,则b可能的取值为2,3,4,5,6;
若a=2,则b可能的取值为3,4,5,6;
若a=3,则b可能的取值为4,5,6;
若a=4,则b可能的取值为4,5,6;
若a=5,则b可能的取值为5,6;
若a=6,则b可能的取值为5,6,
所以事件“方程ax2+bx+1=0有实数解”包含的样本点共有5+4+3+3+2+2=19(个),所以所求的概率为.故选C.
3.C　“硬币正面向上”的概率P(A)=,“骰子向上的面的点数是3”的概率P(B)=,则事件A,B中至少有一个发生的概率是1-[1-P(A)][1-P(B)]=1-×=,故选C.
4.答案　
解析　记甲,乙通过听力测试分别为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,两人有且只有一人通过听力测试为事件B∪A,故所求事件概率为P(B)∪(A)=P()P(B)+P(A)P()=×+×=.
易错警示
　　互斥事件与相互独立事件都描述的是两个或多个事件间的关系,但互斥事件强调不可能同时发生,相互独立事件强调一个事件的发生与否对其他事件发生的概率没有影响.
5.B　设事件M为“只用非现金支付”,事件N为“既用现金支付也用非现金支付”,事件H为“只用现金支付”,则P(M)=1-P(N)-P(H)=1-0.15-0.45=0.4.故选B.
6.D　∵一架飞机向目标投弹,目标未受损的概率为0.4,∴P(目标受损)=1-0.4=0.6.
目标受损分为目标被击毁和目标受损但未被击毁两种情形,
∴P(目标受损但未被击毁)=P(目标受损)-P(目标被击毁)=0.6-0.2=0.4.故选D.
7.解析　由题意知,(a,b,c)所有可能的情况有(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
(1)设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3个,
所以P(A)==.
因此“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3个,
所以P(B)=1-P()=1-=.
因此“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.
易错警示
　　当某事件包含的情况较多或较复杂时,可利用对立事件求其概率.首先得找准对立事件,然后应用概率和为1来求解.
思想方法练
1.C　某学校计划从2名男生和3名女生中任选3名参加抗疫英雄事迹演讲比赛,设取到i名男生为事件Ai(i=0,1,2),
将所有样本点按被取元素中某一类取出的元素个数分成三类,由此表示其余事件,进而探究各事件间的关系.
∵事件M为“至少有2名女生参加演讲”,∴M=A0∪A1.
对于A,“恰有2名女生参加演讲”为A1,因此“恰有2名女生参加演讲”与“至少有2名女生参加演讲”能同时发生,不是对立事件,故A错误;对于B,“至多有2名男生参加演讲”为A0∪A1∪A2,因此“至多有2名男生参加演讲”与“至少有2名女生参加演讲”能同时发生,不是对立事件,故B错误;对于C,“恰有1名女生参加演讲”为A2,因此“恰有1名女生参加演讲”与“至少有2名女生参加演讲”是对立事件,故C正确;对于D,“至多有2名女生参加演讲”为A1∪A2,因此“至多有2名女生参加演讲”与“至少有2名女生参加演讲”能同时发生,不是对立事件,故D错误.故选C.
2.答案　;
解析　把3道选择题分别记为x1,x2,x3,2道判断题分别记为p1,p2.
因为共有5道题目,其中包括选择题3道,判断题2道,则当甲、乙两人各抽一题时,需要按甲、乙抽到的题型情况进行分类讨论求解.
“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种;
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种;
“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种;
“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1,p2),(p2,p1),共2种.
因此共有6+6+6+2=20种情况.
“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的概率为=,“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的概率为=,故“甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题”的概率为+=.
“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为=,
故“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率为1-=.
思想方法
　　在概率问题中,随机事件具有不确定性,解决概率问题常要对样本点进行分类,从而将复杂事件分解为若干个简单事件,注意选择正确的分类标准,做到不重不漏.
3.B　由题意得Venn图如下:
利用Venn图,探究事件之间的关系.
由图知A∩B≠ ,且A∩≠ ,
∴事件A与事件不是互斥事件.
由图得P(A)==,P(A)==,P()==,∴P(A)=P(A)·P(),∴事件A与事件是相互独立事件.故选B.
4.答案　
解析　记写有E的两张卡片分别为E1,E2,画树状图如下:
利用树状图画出所有情况,应用了数形结合思想.
故该试验的样本空间Ω={E1E2B,E1BE2,E2E1B,E2BE1,BE1E2,BE2E1},共6个样本点,记事件A为“恰好排成BEE”,则A={BE1E2,BE2E1},共2个样本点,故P(A)==.
5.解析　(1)估计这组数据的平均数为(1×0.025 0+3×0.025 0+5×0.037 5+7×0.125 0+9×0.187 5+11×0.100 0)×2=7.9.
(2)由题图可知,答对题数在[2,4)内的学生有0.025 0×2×40=2(人),分别记为A,B;
答对题数在[4,6)内的学生有0.037 5×2×40=3(人),分别记为c,d,e.
由频率分布直方图得到各组的频率,进而得到频数,运用相关知识解决问题.
从答对题数在[2,6)内的学生中随机抽取2人的情况有(A,B),(A,c),(A,d),(A,e),(B,c),(B,d),(B,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种,
恰有1人答对题数在[2,4)内的情况有(A,c),(A,d),(A,e),(B,c),(B,d),(B,e),共6种,
故所求概率P==.
思想方法
　　利用树状图可以快速准确地得到样本点的个数;利用Venn图直观形象的特点可以判断事件之间的关系;利用统计图表得到相关频率,进而估计相关事件的概率.这些都体现了数形结合思想.
6.B　从天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七颗星中随机选两颗进行观测,有21种情况,
要使得玉衡和天权两颗星都不被选中,则可以从天枢、天璇、天玑、开阳、摇光五颗星中随机选两颗,有10种情况,
所以玉衡和天权都没有被选中的概率为,
所以玉衡和天权中至少有一颗被选中的概率为1-=.
转化为对立事件的概率,进而求解.
故选B.
7.解析　(1)设“派出2人及以下外出家访”为事件A,“派出3人外出家访”为事件B,“派出4人外出家访”为事件C,“派出5人外出家访”为事件D,“派出6人及以上外出家访”为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D,C与D为互斥事件,根据互斥事件的概率加法公式可知,P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
(2)“至少有3人外出家访”的基本事件较多,可转化成其对立事件,进而求解.
至少有3人外出家访的对立事件为有2人及以下外出家访,所以由对立事件的概率公式可知所求概率P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
思想方法
　　在解决概率问题时常利用事件的互斥、对立关系将复杂事件的概率转化为简单事件的概率.
8.答案　,,
解析　记事件A,B,C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.
从问题的数量关系入手,利用方程思想,根据概率的定义、公式等列方程(组),通过解方程(组)求出P(A)、P(B)、P(C)的值.
由题设知
解方程组并舍去不符合题意的根,得
P(A)=,P(B)=,P(C)=.
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为,,.
9.解析　(1)当n≥10,n∈N时,y=50×10+(n-10)×30=30n+200;当n<10,n∈N时,y=50×n-(10-n)×10=60n-100.
所以当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为y=
根据题意求出当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式,应用了函数与方程思想.
(2)记录的50天内有9天获得的利润为380元,有11天获得的利润为440元,有15天获得的利润为500元,有10天获得的利润为530元,有5天获得的利润为560元.
若当天的利润在[400,550]内,则该商品的日需求量可以为9件、10件、11件,其对应的频数分别为11、15、10,则当天的利润在[400,550]内的概率P===.
思想方法
　　函数与方程思想在本章主要体现在利用互斥事件的概率加法公式,以及必然事件概率为1解题.