第七章概率 综合拔高练 同步练习（Word版含解析）

第七章　概率
综合拔高练
五年高考练
考点1　求古典概型的概率
1.(2020全国Ⅰ,4)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为(　　)
A. B. C. D.
2.(2019课标全国Ⅱ,4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.(2019课标全国Ⅲ,3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(　　)
A. B. C. D.
考点2　随机事件概率的性质及应用
4.(2020全国Ⅱ,3)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1 200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者(　　)
A.10名 B.18名 C.24名 D.32名
考点3　用频率估计概率
5.(2019课标全国Ⅱ,14)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　　　　.
6.(2020全国Ⅰ,17)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务
考点4　随机事件的独立性
7.(2021全国新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　)
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
8.(2020天津,13)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为　　　　;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　　　　.
9.(2019课标全国Ⅰ,15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　.
10.(2020全国Ⅰ,19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:
累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.
经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
11.(2019课标全国Ⅱ,18)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
三年模拟练
应用实践
1.(2022浙江八校联盟联考)甲、乙两人独立地破译一份密码,设事件A=“甲成功破译”,事件B=“乙成功破译”,则表示“密码被成功破译”的事件为(　　)
A.A∪B B.A∩B C.∪ D.∩
2.(2022河南南阳第一中学校月考)从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是(　　)
A.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
3.(2022江西鹰潭贵溪一中月考)哥德巴赫猜想告诉我们每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和.例如:10=5+5=3+7(其中3+7与7+3算同一种方法),在大于4且不超过16的偶数中,随机选取两个不同的偶数,则两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.(2022河南焦作联考)某射击运动员在一次训练中射了10支箭,命中的环数分别为7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.设这组数据的平均数为,标准差为s,则从这10支箭中任选一支,其命中的环数在区间[-s,+s]内的概率为(　　)
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
5.(2022黑龙江大庆实验中学月考)已知函数f(x)=ax2+bx+1,其中a∈{2,3,4},b∈{1,2,3},从f(x)中随机抽取1个,则它在(-∞,-1]上是减函数的概率为(　　)
A. B. C. D.
6.(2022安徽六安霍邱一中月考)在新冠肺炎疫情防控期间,从国外来的人必须进行必要的隔离与核酸检测.甲、乙、丙3人从国外某高风险地区回来,3人核酸检测是阳性的概率分别为,,,且每个人的检测结果相互独立,则这3人中恰好有2人核酸检测是阳性的概率是　　　　.
7.(2020江苏丹阳高级中学段测)
将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入A袋中的概率为　　　　.
8.(2020北京石景山期末)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.
(1)用球的标号列出所有可能的摸球结果;
(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗 请说明理由.
9.(2020重庆渝中期中)随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到如图所示的频率分布直方图(其中图①表示的是使用A款软件的100个商家“平均送达时间”的频率分布直方图,图②表示的是使用B款软件的100个商家“平均送达时间”的频率分布直方图).
(1)已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中,甲商家的“平均送达时间”为18分钟.现从使用A款订餐软件的100个商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研,求甲商家被抽到的概率;
(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数;
(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从A和B两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款
10.(2020广东佛山期末)市民李先生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其他道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立.李先生早上需要先开车送小孩去丙地上学,再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路A,B,D上、下班时间出现拥堵的概率都是,道路C,E上、下班时间出现拥堵的概率都是,只要遇到拥堵上学和上班就会迟到.
(1)求李先生的小孩按时到校的概率;
(2)李先生是否有七成把握能够按时上班
本章达标检测见增分测评卷 P15　　全书综合测评见增分测评卷 P18
答案与分层梯度式解析
第七章　概率
综合拔高练
五年高考练
1.A　从O,A,B,C,D中任取3点的情况有(O,A,B),(O,A,C),(O,A,D),(O,B,C),(O,B,D),(O,C,D),(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(B,C,D),共10种,由图可知取到的3点共线的有(O,A,C)和(O,B,D)2种情况,所以所求概率为=.故选A.
2.B　设测量过该指标的3只兔子分别为a,b,c,剩余2只分别为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(a,A,B),(b,c,A),(b,c,B),(b,A,B),(c,A,B),共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B),共6种,所以恰有2只测量过该指标的概率为=,故选B.
3.D　设两位男同学分别为A、B,两位女同学分别为a、b,则四位同学排成一列,所有可能的结果用树状图表示如下:
共24种结果,其中两位女同学相邻的结果有12种,∴P(两位女同学相邻)==,故选D.
4.B　由题意得第二天订单不超过1 600份的概率为1-0.05=0.95,故第一天积压订单加上第二天的新订单不超过1 600+500=2 100份的概率为0.95,因为超市本身能完成1 200份订单的配货,所以需要志愿者完成的订单不超过2 100-1 200=900份的概率为0.95,因为900÷50=18,所以至少需要18名志愿者,故选B.
5.答案　0.98
解析　设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率为0.99的事件为C,则用频率估计概率有P(A)==,P(B)==,P(C)==,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97×+0.98×+0.99×=0.98.
6.解析　(1)由试加工产品等级的频数分布表知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.4;
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润(元) 65 25 -5 -75
频数 40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为=15(元).
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润(元) 70 30 0 -70
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为=10(元).
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.
7.B　依题意,有放回地随机取两次,共有36种不同结果:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),
其中P(甲)==,P(乙)==,P(丙)=,P(丁)==,
丁事件包含(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6个基本事件.
丙事件包含(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),共5个基本事件.
易知“甲、丙同时发生”的基本事件有0个,“丙、丁同时发生”的基本事件有0个,“乙、丙同时发生”的基本事件为(6,2),共1个,
∴P(乙丙)=,又P(乙)·P(丙)=×≠,
∴乙、丙不相互独立.
同理可知“甲、丁同时发生”的基本事件为(1,6),
∴P(甲丁)=,又P(甲)·P(丁)=×=,
∴P(甲丁)=P(甲)·P(丁),∴甲与丁相互独立,故选B.
8.答案　;
解析　设“甲、乙两球都落入盒子”为事件A,
则P(A)=×=.
设“甲、乙两球至少有一个落入盒子”为事件B,
则P(B)=1-×=1-=.
9.答案　0.18
解析　由题意知,比赛进行五场,且第五场主场甲队胜,前四场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;
当前四场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.
综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.
10.解析　(1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为;乙连胜四场的概率为;丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为1---=.
(3)丙最终获胜,有两种情况:
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为;
比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜三种情况,概率分别为,,.
因此丙最终获胜的概率为+++=.
11.解析　(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
三年模拟练
1.A　“密码被成功破译”即甲、乙两人中至少有一人成功破译密码,即事件A∪B.故选A.
2.A　“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生,但能同时不发生,故A中的两个事件互斥而不对立.故选A.
易错警示
　　互斥事件不一定是对立事件,当且仅当两个互斥事件必有一个发生时,它们是对立事件.
3.D　在大于4且不超过16的偶数中6=3+3,8=3+5,10=3+7=5+5,12=5+7,14=3+11=7+7,16=3+13=5+11,其中可以有两种方法表示为两个素数的和的偶数有10,14,16.从大于4且不超过16的偶数中,随机选取两个不同的偶数的所有情况有(6,8),(6,10),(6,12),(6,14),(6,16),(8,10),(8,12),(8,14),(8,16),(10,12),(10,14),(10,16),(12,14),(12,16),(14,16),共15种.其中两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的情况有(10,14),(10,16),(14,16),共3种.故所求概率P==,故选D.
4.D　由题设得==7,
s2=×[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,所以s=2,则-s=5,+s=9,又命中的环数在[5,9]内的有7,8,7,9,5,9,7,共7个,
故命中的环数在区间[-s,+s]内的概率为=0.7.
5.A　由题意得样本空间包含的样本点有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),共9个,若函数f(x)在(-∞,-1]上是减函数,则-≥-1,又a>0,b>0,所以a≥b,则符合的样本点有(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),共8个,所以所求的概率为.
6.答案　
解析　设甲、乙、丙3人核酸检测是阳性分别为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.这3人中恰好有2人核酸检测是阳性的概率P=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=.
7.答案　
解析　记“小球落入A袋中”为事件A,“小球落入B袋中”为事件B,则P(A)+P(B)=1,小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或一直向右下落,可落入B袋,则P(B)=+=,
故P(A)=1-P(B)=.
8.解析　(1)所有可能的摸球结果是(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).
(2)不正确,理由如下:
由(1)知,所有可能的摸球结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1,a1),(A1,a2),(A2,a1),(A2,a2),共4种,所以中奖的概率为=,不中奖的概率为1-=>,故这种说法不正确.
9.解析　(1)使用A款订餐软件的100个商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有100×0.006×10=6(个),分别记为甲,a,b,c,d,e.
从中随机抽取3个商家有如下20种情况:(甲,a,b),(甲,a,c),(甲,a,d),(甲,a,e),(甲,b,c),(甲,b,d),(甲,b,e),(甲,c,d),(甲,c,e),(甲,d,e),(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,c,d),(a,c,e),(a,d,e),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,e),(c,d,e).
其中甲商家被抽到有如下10种情况:(甲,a,b),(甲,a,c),(甲,a,d),(甲,a,e),(甲,b,c),(甲,b,d),(甲,b,e),(甲,c,d),(甲,c,e),(甲,d,e).
记事件A为“甲商家被抽到”,则P(A)==.
(2)依题意及题图①可得,使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数为55,平均数为15×0.06+25×0.34+35×0.12+45×0.04+55×0.4+65×0.04=40.
(3)使用B款订餐软件的商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02=35,因为35<40,所以选择B款订餐软件订餐.
10.解析　(1)因为道路D、E上班时间出现拥堵的概率分别是和,所以从甲到丙出现拥堵的概率是×+×=,
所以李先生的小孩按时到校的概率是1-=.
(2)由(1)知,甲到丙没有出现拥堵的概率是,同理,丙到甲没有出现拥堵的概率也是.
甲到乙出现拥堵的概率是×+×+×=,
则甲到乙没有出现拥堵的概率是1-=.
所以李先生能够按时上班的概率是××=≈0.63<0.7.
故李先生没有七成把握能够按时上班.