第一章 预备知识 测评试卷 单元练习（Word版含解析）

第一章　预备知识
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若A={1,2,3},则(　　)
A.1∈A B.1 A C.{1}∈A D. ∈A
2.已知命题p: x>1,2x2-3=0,则命题p的否定是(　　)
A. x>1,2x2-3=0 B. x>1,2x2-3≠0
C. x>1,2x2-3≠0 D. x≤1,2x2-3≠0
3.已知全集U=R,A={x||x|<3},B={x|-1A.{x|-3C.{x|-3≤x≤-1} D.{x|-34. 如果a>b,那么下列不等式一定成立的是(　　)
A.-2a>-2b B.c-a>c-b
C.a+c>b+c D.a2>b2
5.给出下面三个推导过程:
①因为a,b是正实数,所以+≥2=2;
②因为a∈R,且a≠0,所以+a≥2=4;
③因为x,y∈R,xy<0,所以+=-≤-2=-2.
其中正确的推导为(　　)
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
6.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,3] B.[3,+∞) C. D.
7.定义:设A是非空实数集,若 a∈A,使得 x∈A,都有x≤a(x≥a),则称a是A的最大(小)值.若B是一个不含零的非空实数集,且a0是B的最大值,则(　　)
A.当a0>0时,是集合的最小值
B.当a0>0时,是集合的最大值
C.当a0<0时,-是集合的最小值
D.当a0<0时,-是集合的最大值
8.已知集合A={x|x2-x-6≥0},B={x|x2-3ax+4<0},若a>0,且A∩B中恰好有两个整数,则a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列关于集合的说法错误的有(　　)
A.很小的整数可以构成集合
B.集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一个集合
C.1,2,,0.5,这些数组成的集合中有5个元素
D.空集是任何非空集合的真子集
10.下列命题正确的是(　　)
A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B.命题“ x<1,有x2<1”的否定是“ x<1,使x2≥1”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
11.已知集合A={x|ax2-2x+a=0}中至多含有一个元素,则实数a的取值范围可以为(　　)
A.0≤a≤1 B.a=0
C.a≤-1 D.-1≤a≤1
12.记max{a,b}=已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,则(　　)
A.xy的最大值为18
B.x+2y的最大值为12
C.x+y的最小值为8-3
D.max{x+2,2y+2}的最小值为8
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.满足M {a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M为　　　　.(只需要写出一个满足条件的集合即可)
14.若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-1,2),则不等式bx2-ax-c>0的解集为　　　　　　　　.
15.若“ x∈[0,3],使x2-2x-a≥0”为真命题,则实数a的取值范围是　　　　.
16.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
①男学生人数多于女学生人数;
②女学生人数多于教师人数;
③教师人数的两倍多于男学生人数.
(1)若教师人数为4,则女学生人数的最大值为　　　　;
(2)该小组人数的最小值为　　　　.(第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知集合A={x|3-2m≤x≤2+m},集合B={x|x2-4x+3≥0}.
(1)当m=1时,求A∩B,A∪( RB);
(2)若A∩B= ,求实数m的取值范围.
18.(12分)已知p:x2-2x-35≤0,q:x2-3mx+(2m-1)(m+1)≤0(其中实数m>2).
(1)分别求出p,q中关于x的不等式的解集M和N;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
19.(12分)已知x>y>0,z>0,求证:
(1)<;
(2)(x+y)(x+z)(y+z)>8xyz.
20.(12分)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0(a<0).
(1)当a=-5时,求此不等式的解集;
(2)求关于x的不等式ax2-3x+2>-ax+5的解集.
21.(12分)“豫东粮仓”商丘市立足打造全国重要的粮食生产核心区,推进农业供给侧结构性改革,不断提高农业质量效益和竞争力.商丘市某食品厂引进一条先进生产线生产某种食品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8 000,已知此生产线年产量最大为210吨.
(1)求年产量为多少吨时,生产每吨食品的平均成本最低,并求最低成本;
(2)若每吨食品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大年利润 最大年利润是多少
22.(12分)若集合A具有以下性质:
①0∈A,1∈A;
②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,∈A.
则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是不是“好集”,并说明理由;
(2)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A;
(3)设集合A是“好集”,分别判断下面命题的真假,并说明理由.
命题p:若x,y∈A,则必有xy∈A;
命题q:若x,y∈A,且x≠0,则必有∈A.
答案与解析
第一章　预备知识
1.A
2.B
3.D　易得A={x|-34.C　∵a>b,∴-2a<-2b,A不正确;c-ab+c,C正确;当a,b为负数时,a2>b2不成立,D不正确.故选C.
5.C　①由于a,b是正实数,所以,是正实数,符合基本不等式的条件,故①推导正确;
②a∈R,且a≠0不符合基本不等式的条件,所以②推导错误;
③由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将+整体提出负号后,-,-为正数,符合基本不等式的条件,故③推导正确.
6.A　令y=x+(x>1),则y=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x=2时,等号成立.由题意知a≤ymin,所以a≤3.故选A.
7.D　当a0<0时,集合B中的任一元素x≤a0<0,从而≥,所以-≤-,故选D.
8.C　易得A={x|x≥3,或x≤-2},B≠ .
令y=x2-3ax+4,则Δ=9a2-16>0,解得a>或a<-,又a>0,所以a>.易得B=,0<=<2,∴要使A∩B中恰好有两个整数,只需解得9.ABC　对于A,元素不确定,不能构成集合,故A中说法错误;
对于B,{y|y=2x2+1}是数集,{(x,y)|y=2x2+1}是点集,两个集合不是同一个集合,故B中说法错误;
对于C,==0.5,故组成的集合中有3个元素,故C中说法错误;
易知D中说法正确.故选ABC.
10.ABD　a>1 <1,但<1 / a>1,故A正确;全称量词命题的否定是存在量词命题,故B正确;x≥2且y≥2 x2+y2≥4,但x2+y2≥4 / x≥2且y≥2,故C错误;a≠0 / ab≠0,但ab≠0 a≠0,故D正确.故选ABD.
11.BC　当a=0时,方程为-2x=0,解得x=0,此时方程只有一个实数根,符合题意;当a≠0时,Δ=4-4a2≤0,解得a≤-1或a≥1.
综上,当a=0或a≤-1或a≥1时,集合A中至多含有一个元素.故选BC.
12.ACD　由题意得xy=30-(x+2y)≤30-2,当且仅当x=2y,即x=5,y=时等号成立,令t=,则解得0max{x+2,2y+2}=所以当y=3时,其有最小值,且最小值为8,故D正确.故选ACD.
13.答案　{a1,a2}(答案不唯一)
解析　∵M∩{a1,a2,a3}={a1,a2},故M中必有元素a1,a2,又M {a1,a2,a3,a4},∴M中可能有元素a3,a4.进而可写出M.
14.答案　(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析　由已知得a<0,且对应方程的根为-1和2,
∴即
∴不等式bx2-ax-c>0可化为-ax2-ax+2a>0,即x2+x-2>0,
解得x<-2或x>1.
15.答案　a≤3
解析　∵“ x∈[0,3],使x2-2x-a≥0”为真命题,∴a≤x2-2x在x∈[0,3]上有解.设y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],则当x=3时,y取得最大值3,∴实数a的取值范围是a≤3.
16.答案　(1)6　(2)12
解析　设女学生、男学生、教师人数分别为x,y,z(x,y,z∈N+),则z(1)当z=4时,4(2)易知z的最小值为3,当z取最小值3时,317.解析　(1)当m=1时,A={x|1≤x≤3},
又B={x|x2-4x+3≥0}={x|x≤1,或x≥3},(2分)
所以A∩B={1,3},(3分)
RB={x|1(2)若A= ,则3-2m>2+m,解得m<,满足题意;(7分)
若A≠ ,则解得≤m<1.(9分)
综上,实数m的取值范围为m<1.(10分)
18.解析　(1)由x2-2x-35=(x-7)(x+5)≤0,得M=[-5,7];(2分)
x2-3mx+(2m-1)(m+1)=[x-(2m-1)][x-(m+1)]≤0,
∵m>2,∴2m-1>m+1,(4分)
∴N=[m+1,2m-1].(6分)
(2)∵p是q的必要不充分条件,∴N M,(8分)
∴或(10分)
解得-6≤m≤4,
又m>2,∴219.证明　(1)因为x>y>0,所以xy>0,>0,(2分)
于是x·>y·,即>,(4分)
由z>0,得<.(6分)
(2)因为x>0,y>0,z>0,所以x+y≥2,x+z≥2,y+z≥2,(9分)
所以(x+y)(x+z)(y+z)≥2×2×2=8xyz,(10分)
当且仅当x=y=z时,等号同时成立,(11分)
又x>y,所以(x+y)(x+z)(y+z)>8xyz.(12分)
20.解析　(1)当a=-5时,不等式为-5x2-3x+2>0,即5x2+3x-2<0,
可化为(5x-2)(x+1)<0,(3分)
解得-1(2)不等式ax2-3x+2>-ax+5可化为ax2+ax-3x-3>0,即(ax-3)(x+1)>0,又a<0,所以不等式为(x+1)<0.(6分)
①当a<-3时,>-1,不等式的解集为;(8分)
②当a=-3时,=-1,不等式的解集为 ;(10分)
③当-321.解析　(1)生产每吨食品的平均成本为=+-48≥2-48=32,(3分)
当且仅当=,即x=200时取等号.(4分)
故年产量为200吨时,生产每吨食品的平均成本最低,最低成本为32万元.(5分)
(2)设年利润为W万元,则W=40x-y=40x-+48x-8 000=-+88x-8 000=-(x-220)2+1 680(0≤x≤210),(9分)
当x=210时,W有最大值,最大值为-×(210-220)2+1 680=1 660.(11分)
故当年产量为210吨时,可以获得最大年利润,最大年利润为1 660万元.(12分)
22.解析　(1)集合B不是“好集”. (1分)
理由:假设集合B是“好集”.
因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B,这与-2 B矛盾.所以集合B不是“好集”.(2分)
有理数集Q是“好集”.(3分)
理由:因为0∈Q,1∈Q,对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,∈Q,所以有理数集Q是“好集”.(4分)
(2)证明:因为集合A是“好集”,所以0∈A.
若x,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A.所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.(6分)
(3)命题p,q均为真命题.理由如下:(7分)
任取x,y∈A,当x,y中有0或1时,显然xy∈A.
当x,y均不为0,1时,由定义可知x-1,,∈A,所以-∈A,
即∈A,所以x(x-1)∈A.(8分)
由(2)可得x(x-1)+x∈A,即x2∈A.
同理可得y2∈A.
若x+y=0或x+y=1,则(x+y)2∈A.若x+y≠0且x+y≠1,则(x+y)2∈A.
所以2xy=(x+y)2-x2-y2∈A,所以∈A.(9分)
由(2)可得=+∈A,所以xy∈A.
综上可知,xy∈A,即命题p为真命题.(10分)
若x,y∈A,且x≠0,则∈A,所以=y·∈A,即命题q为真命题.(12分)