第二章 函数 测评试卷（Word版含解析）

第二章　函数
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.幂函数f(x)=(m2-6m+9)在(0,+∞)上单调递增,则m的值为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.2或4
2.已知f(x)=则f +f 的值等于(　　)
A.-2 B.4 C.2 D.-4
3.函数f(x)=的定义域是(　　)
A.[-17,0)∪(0,2] B.[-2,0)∪(0,17]
C.(0,17] D.[-2,0)
4.函数f(x)=x4-2x2的大致图象是(　　)
5.已知函数f(x)=kx+b(k≠0)在区间[-1,1]上的最大值为M,最小值为m,则M-m的值(　　)
A.与k有关,且与b有关 B.与k有关,但与b无关
C.与k无关,但与b有关 D.与k无关,且与b无关
6.设函数D(x)=则下列结论错误的是(　　)
A.D(x)的定义域为R B.D(x)的值域为{0,1}
C.D(x)是偶函数 D.D(x)是单调函数
7.若函数f(x)=满足对任意实数x1≠x2,都有 >0成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,+∞) B.[1,3) C. D.(-∞,3)
8.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数,且f(x)·f =1,则f(1)等于(　　)
A. B.
C.或 D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列四个选项中,是函数图象的是(　　)
10.下列函数中,在区间(0,1)上是减函数的是(　　)
A.y=|x| B.y=3-x
C.y= D.y=-x2+4
11.函数f(x)=的图象类似于汉字“囧”,故被称为“囧函数”,关于函数f(x)的说法中正确的是(　　)
A.函数f(x)的定义域为{x|x≠1}
B.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
C.当x∈(-1,1)时,f(x)max=-1
D.方程f(x)-x2+4=0有四个不相等的实数根
12.已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时, f(x)<0.其中正确的结论是(　　)
A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数
C.f(x)为R上的减函数 D.f(x)为R上的增函数
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知函数f(x)的定义域是R,f(1-x)=f(1+x),且f(x)在(1,+∞)上为单调递增函数,则满足条件的f(x)=　　　　.(写出一个满足条件的函数即可)
14.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)15.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知定义在R上的函数g(x)=[x]+[2x],若A={y|y=g(x),0≤x≤1},则A中所有元素的和为　　　　.
16.关于x的方程g(x)=t(t∈R)的实数根个数记为f(t).
(1)若g(x)=x+1,则f(t)=　　　　;
(2)若g(x)=(a∈R),且存在t使得f(t+2)>f(t)成立,则a的取值范围是　　　　.(第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知幂函数f(x)=(m2+m-1)的图象不经过第三象限.
(1)求m的值;
(2)求函数g(x)=[f(x)]2-f(x+1)的值域.
18.(12分)设函数f(x)=x-+a为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.
19.(12分)已知定义在[-2,2]上的偶函数f(x)满足当x∈[0,2]时, f(x)=-x+2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=ax-2-a(a>0),若对任意x1,x2∈[-2,2],都有g(x1)20.(12分)一元一次函数f(x)是R上的增函数,且f (f(x))=4x+3,g(x)=f(x)(x+m).
(1)求f(x);
(2)若g(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围;
(3)当x∈[-1,3]时,g(x)有最大值14,求实数m的值.
21.(12分)经济学中,利润函数P(x)的边际利润函数M1(x)定义为M1(x)=P(x+1)-P(x).某公司最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元),利润是收入与成本之差.
(1)求利润函数P(x)的边际利润函数M1(x);
(2)利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值
(3)你认为本题中边际利润函数M1(x)取最大值的实际意义是什么
22.(12分)对于函数y=f(x)与常数a,b,若f(2x)=af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”,设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(1)=3.
(1)若(a,b)是f(x)的一个“P数对”,且f(2)=6,f(4)=9,求常数a,b的值;
(2)若(1,1)是f(x)的一个“P数对”,且f(x)在[1,2]上单调递增,求函数f(x)在[1,8]上的最大值与最小值;
(3)若(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,且当x∈[1,2)时, f(x)=k-|2x-3|,求k的值及f(x)在区间[1,2n)(n∈N+)上的最大值与最小值.
答案与解析
第二章　函数
1.C　由题意得m2-6m+9=1,解得m=2或m=4.
当m=2时, f(x)=x-1,在(0,+∞)上单调递减,不满足题意,舍去;
当m=4时, f(x)=x5,在(0,+∞)上单调递增,满足题意.
所以m的值为4.故选C.
2.B　∵>0,∴f =2×=,∵-<0,∴f =f =f =f =f =,∴f +f =4.
3.C　要使函数有意义,需满足即解得04.B　f(x)=x4-2x2的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)4-2(-x)2=x4-2x2=f(x),所以函数为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C、D,当x=1时, f(1)=1-2=-1,故选B.
5.B　①当k>0时,f(x)=kx+b在区间[-1,1]上单调递增,故M=f(1)=k+b,m=f(-1)=-k+b,此时M-m=2k;
②当k<0时,f(x)=kx+b在区间[-1,1]上单调递减,故M=f(-1)=-k+b,m=f(1)=k+b,此时M-m=-2k.
综上所述,M-m的值与k有关,但与b无关.故选B.
6.D　结合函数的解析式可得D(0)=1,D()=0,D(2)=1,D(π)=0,即函数D(x)既不是单调递增函数,也不是单调递减函数,故选D.
7.C　由已知得f(x)在R上是增函数,∴
解得-≤a<3.故选C.
8.B　令x=1,得f(1)f(f(1)+1)=1,
令t=f(1)(t≠0),则tf(t+1)=1,所以f(t+1)=.
令x=t+1,则f(t+1)f =·f =1,
所以f =t=f(1).
因为函数f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数,所以+=1,
变形可得t2-t-1=0,解得t=或t=,
所以f(1)=或f(1)=.
令x=2,得f(2)f =1,
令s=f(2)(s≠0),则sf =1,所以f =,
令x=s+,则f ·f f +=f=1,
则f =s=f(2).
因为函数f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数,所以+=2,
变形可得4s2-2s-1=0,解得s=或s=,
所以f(2)=或f(2)=.
因为f(1)9.ACD　由函数图象与垂直于x轴的直线最多只能有一个交点,可知只有B不是函数图象.故选ACD.
10.BCD　A.y=|x|=易知在区间(0,1)上为增函数,不符合题意;B.y=3-x是一元一次函数,易知在区间(0,1)上为减函数,符合题意;C.y=为反比例函数,易知在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数,所以函数在(0,1)上为减函数,符合题意;D.y=-x2+4为一元二次函数,图象开口向下,对称轴为直线x=0,所以在区间(0,1)上为减函数,符合题意.故选BCD.
11.CD　f(x)的定义域为{x|x≠±1},A错误.
因为f(x)的定义域关于原点对称,f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数,画出f(x)的图象如图中实线所示,
由图可知,f(x)的图象不关于直线x=1对称,B错误.
当x∈(-1,1)时,f(x)max=f(0)=-1,C正确.
由f(x)-x2+4=0,得f(x)=x2-4,由y=f(x)和y=x2-4的图象可知,两个函数图象有4个交点,故方程f(x)-x2+4=0有四个不相等的实数根,D正确.故选CD.
12.AC　对于A,令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),∴f(0)=0,A正确;
对于B, f(x)的定义域为R,令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,B错误;
对于C,D,任取x1,x2∈R,且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2),∵x1>x2,∴x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)13.答案　|x-1|(答案不唯一)
解析　由f(1-x)=f(1+x),可得f(x)的图象关于直线x=1对称,结合f(x)在(1,+∞)上为单调递增函数,可写出f(x)=|x-1|(答案不唯一).
14.答案　
解析　由于函数f(x)是偶函数,故f(x)=f(|x|),所以f(|2x-1|)15.答案　4
解析　当x∈时,2x∈[0,1),g(x)=[x]+[2x]=0;
当x∈时,2x∈[1,2),g(x)=[x]+[2x]=1;
当x=1时,2x=2,g(x)=[x]+[2x]=3.
∴A={y|y=g(x),0≤x≤1}={0,1,3},∴A中所有元素的和为4.
16.答案　(1)1　(2)(1,+∞)
解析　(1)若g(x)=x+1,则函数g(x)的值域为R,且为单调函数,故方程g(x)=t有且只有一个根,故f(t)=1.
(2)g(x)=(a∈R).
当t≤0时, f(t)=1恒成立.
若存在t使得f(t+2)>f(t)成立,则x>0时,函数y=-x2+2ax+a图象的对称轴在y轴右侧,且函数的最大值大于2,即a>0,且>2,解得a>1,所以a的取值范围是(1,+∞).
17.解析　(1)根据题意得(1分)
解得m=-2或m=1.(2分)
当m=-2时,f(x)=x-1,其图象在第一、三象限,不符合题意,舍去;(3分)
当m=1时,f(x)=,其图象不经过第三象限,符合题意.(4分)
综上所述,m=1.(5分)
(2)由题意得g(x)=()2-(x+1=x-,x∈[0,+∞).(6分)
令t=(t≥1),则x=t2-1(t≥1),将g(x)转化为h(t)=t2-t-1=-(t≥1),所以h(t)在[1,+∞)上单调递增,(8分)
所以h(t)min=h(1)=-1,(9分)
所以g(x)的值域为[-1,+∞).(10分)
18.解析　(1)f(-x)=-x++a=-x+-a=-f(x),(2分)
∴a=0.(4分)
(2)f(x)=x-在(0,+∞)上为增函数.(5分)
证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1--x2+=(x1-x2)·,(7分)
∵00,(9分)
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.(12分)
19.解析　(1)设x∈[-2,0),则-x∈(0,2],所以f(-x)=x+2,
因为f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,所以f(x)=f(-x)=x+2,
所以f(x)=(4分)
(2)“对任意x1,x2∈[-2,2],都有g(x1)因为f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,
所以f(x)在区间[-2,0]和区间[0,2]上的值域相同.(6分)
当x∈[-2,0)时,f(x)=x+2.
设t=,则t∈[1,),x=t2-3.(7分)
将f(x)转化为h(t)=t2+2t-3=(t+1)2-4,t∈[1,),
则当t=1时,h(t)min=h(1)=0,所以当x∈[-2,2]时, f(x)min=0.(10分)
又g(x)max=g(2)=a-2,所以a-2<0,解得a<2,所以0因此实数a的取值范围为(0,2).(12分)
20.解析　(1)设f(x)=ax+b(a>0),
则f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,(1分)
∴解得或(不符合题意,舍去).(3分)
∴f(x)=2x+1.(4分)
(2)g(x)=f(x)(x+m)=(2x+1)(x+m)=2x2+(2m+1)x+m,
其图象的对称轴为直线x=-.(5分)
根据题意可得-≤1,解得m≥-,
∴实数m的取值范围为.(7分)
(3)①当-≤1,即m≥-时,
g(x)max=g(3)=21+7m=14,解得m=-1,符合题意;(9分)
②当->1,即m<-时,
g(x)max=g(-1)=1-m=14,解得m=-13,符合题意.(11分)
综上,m=-1或m=-13.(12分)
21.解析　(1)由题意得P(x)=R(x)-C(x)=3 000x-20x2-(500x+4 000)=-20x2+2 500x-4 000(1≤x≤100,x∈N),(2分)
所以M1(x)=P(x+1)-P(x)=2 480-40x(1≤x≤100,x∈N).(4分)
(2)∵P(x)=-20+74 125,
∴x=62或x=63时,P(x)max=74 120.(6分)
∵M1(x)=2 480-40x,∴x=1时,M1(x)max=2 440.(8分)
∴P(x)与M1(x)不具有相等的最大值.(10分)
(3)当x取1时,边际利润函数M1(x)有最大值,说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大,即第2台报警系统装置利润最大.(12分)
22.解析　(1)由题意知即解得(2分)
(2)∵(1,1)是f(x)的一个“P数对”,∴f(2x)=f(x)+1,
∴f(2)=f(1)+1=4,f(4)=f(2)+1=5,f(8)=f(4)+1=6.
∵f(x)在[1,2]上单调递增,∴当x∈[1,2]时, f(x)max=f(2)=4,
f(x)min=f(1)=3,∴当x∈[1,2]时,3≤f(x)≤4;(3分)
当x∈[2,4]时,∈[1,2],3≤f ≤4,∴4≤f(x)=f +1≤5;(4分)
当x∈[4,8]时,∈[2,4],4≤f ≤5,∴5≤f(x)=f +1≤6.(5分)
综上,当x∈[1,8]时,3≤f(x)≤6.(6分)
故f(x)在[1,8]上的最大值为6,最小值为3.(7分)
(3)当x∈[1,2)时, f(x)=k-|2x-3|,令x=1,可得f(1)=k-1=3,解得k=4,∴x∈[1,2)时, f(x)=4-|2x-3|,∴f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4].(8分)
又(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,∴f(2x)=-2f(x)恒成立,
当x∈[2k-1,2k)(k∈N+)时,∈[1,2),f(x)=-2f=4f=…=(-2)k-1·f .(9分)
∴k为奇数时, f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[3×2k-1,2k+1];
当k为偶数时, f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[-2k+1,-3×2k-1].(10分)
∴当n=1时, f(x)在[1,2n)上的最大值为4,最小值为3;当n为不小于3的奇数时, f(x)在[1,2n)上的最大值为2n+1,最小值为-2n;当n为不小于2的偶数时, f(x)在[1,2n)上的最大值为2n,最小值为-2n+1.(12分)