第三章 指数运算与指数函数 测评试卷（Word版含解析）

第三章　指数运算与指数函数
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)=那么f(f(-1))的值是(　　)
A.8 B.7 C.6 D.5
2.某种细菌在培养过程中,每15 min分裂一次(由1个分裂成2个),则这种细菌由1个分裂成4 096个需经过(　　)
A.12 h B.4 h C.3 h D.2 h
3.若=,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.R
4.下列图象中,一元二次函数y=ax2+bx+c与函数y=的图象可能是(　　)
A
B
C
D
5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
6.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时,1A.0C.17.当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例,人们将每克组织的碳14含量作为一个单位,大约每经过5 730年一个单位的碳14衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14,那么死亡生物组织内的碳14经过的“半衰期”个数至少为提示:≈0.001 95(　　)
A.10 B.9 C.11 D.8
8.设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=给出函数y=f(x)=2x+1-4x,若对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则(　　)
A.K的最大值为0 B.K的最小值为0
C.K的最大值为1 D.K的最小值为1
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列关于函数f(x)=a1-x+1(a>0且a≠1)的说法,正确的是(　　)
A.f(x)的图象过定点(1,2)
B.f(x)为增函数
C.f(x)的值域为(1,+∞)
D.f(x)为奇函数
10.已知函数h(x)=,φ(x)=(其中e为实数,且e=2.718 281…),则h(x),φ(x)满足(　　)
A.φ(h(0)) =1
B.h(-1)C.h(2x)=h(x)φ(x)
D.[h(x)]2-[φ(x)]2=1
11.对于给定的函数f(x)=ax-a-x(x∈R,a>0,且a≠1),下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于原点对称
B.函数f(x)在R上不具有单调性
C.函数f(|x|)的图象关于y轴对称
D.当012.若函数f(x)=1++x3在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则满足aA.1 B.2 C.3 D.4
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.若10x=2,10y=3,则1=　　　　.
14.若函数f(x)=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则一定有(a-1)b　　　　0.(填“>”“<”或“=”)
15.函数y=的定义域为　　　　.
16.已知函数f(x)=设a>b≥0,若f(a)=f(b),则b·f(a)的取值范围是　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知a>0,b>0,化简:
(1)b-2×(-3b-1)÷(4b-3;
(2).
18.(12分)已知函数f(x)=.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值;
(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.
19.(12分)设函数f(x)=,a为非零常数.
(1)若f(3)=,求使f(x)≥4的x的取值范围;
(2)当x∈[-1,2]时, f(x)的最大值是16,求a的值.
20.(12分)已知函数f(x)=4x+4-x+m(2x-2-x).
(1)若m=2,求证:f(x)≥0;
(2)若f(x)在区间[0,1]上的最小值为0,求实数m的值.
21.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=3x+1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈[0,2], f(m+t)+f(2t2-3t)>0恒成立,求实数m的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=是R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断并证明f(x)的单调性;
(3)若对任意实数x,不等式f(f(x))+f(3-m)>0恒成立,求实数m的取值范围.
答案与解析
第三章　指数运算与指数函数
1.A　f(-1)=-2×(-1)+1=3,则f(f(-1))=f(3)=23=8.
2.C　设这种细菌由1个分裂成4 096个需分裂x次,则2x=4 096,解得x=12,故需15×12=180(min),即3 h,故选C.
3.B　=即=,可得|2a-1|=1-2a,所以1-2a≥0,即a≤.故实数a的取值范围为.
4.A　∵>0,∴-<0,即一元二次函数图象的对称轴在y轴左侧,排除B,D;对于A,C,都有0<<1,∴-<-<0,C不符合.故选A.
5.B　由f(1)=a2=,得a=(负值舍去),因此f(x)=.
令u=|2x-4|,则y=.因为y=在R上单调递减,u=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞),故选B.
6.C　因为x>0,11,>1,所以>1,所以a>b.所以17.A　设死亡生物组织内原有的碳14含量为x,需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14,则x·<,即<0.001,由参考数据可知,≈0.001 95>0.001,则≈0.001 95×=0.000 975<0.001,所以n=10.
8.D　若对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则f(x)≤K在x∈(-∞,1]上恒成立,即f(x)max≤K.令2x=t,则t∈(0,2], y=-t2+2t=-(t-1)2+1,可得ymax=1,∴K≥1,即K的最小值为1.故选D.
9.AC　令1-x=0,则x=1,又f(1)=a0+1=2,所以f(x)的图象过定点(1,2),A正确;当0<<1,即a>1时,f(x)单调递减,B错误;因为a1-x=>0,所以f(x)=+1>1,即f(x)的值域为(1,+∞),C正确;无法确定f(x)的奇偶性,D错误.故选AC.
10.AB　对于A,φ(h(0))=φ=φ(0)==1,故A正确.
对于B,因为y=ex为增函数,y=e-x为减函数,所以h(x)=为增函数,故h(-1)对于C,因为h(2x)=,h(x)φ(x)=·=,所以h(2x)≠h(x)φ(x),故C错误.
对于D,[h(x)]2-[φ(x)]2=-=-1,故D错误.故选AB.
11.ACD　∵x∈R,f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称,∴A正确;当a>1时, f(x)在R上为增函数,当012.ABC　f(x)=1++x3=1++x3=2++x3.
记g(x)=+x3,则f(x)=g(x)+2,易知g(x)为奇函数,则g(x)在[-k,k]上的最大值与最小值互为相反数,∴m+n=0+2+2=4,∴a<4.
又a为正整数,∴a=1,2,3.故选ABC.
13.答案　
解析　1====.
14.答案　<
解析　函数f(x)=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,画出草图,如图所示.
由图象可得解得a>1且b<0,∴(a-1)b<0.
15.答案　[-1,3]
解析　由题意得1-≥0,∴≤1,∴x2-2x-3≤0,
∴(x-3)(x+1)≤0,∴-1≤x≤3,∴函数的定义域为[-1,3].
16.答案　
解析　画出函数f(x)的图象,如图所示,
若f(a)=f(b),则≤b<1,所以b·f(a)=b·f(b)=b(b+1)=b2+b=-,所以≤b·f(a)<2.
17.解析　(1)原式=-b-3÷(4b-3=-b-3÷()(3分)
=-.(5分)
(2)原式===(8分)
=ab-1=.(10分)
18.解析　(1)当a=-1时,f(x)=,(1分)
令u=-x2-4x+3,则y=.因为u=-x2-4x+3在(-∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,(2分)
y=在R上单调递减,(3分)
所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2].(5分)
(2)令g(x)=ax2-4x+3,则y=.
由于f(x)有最大值3,因此g(x)应有最小值-1,(6分)
则必有解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,a的值为1.(8分)
(3)由指数函数的性质知,要使f(x)=的值域为(0,+∞),应使y=ax2-4x+3的值域为R,(9分)
因此只能令a=0.(10分)
若a≠0,则y=ax2-4x+3为一元二次函数,其值域不可能为R,(11分)
故f(x)的值域为(0,+∞)时,a的值为0.(12分)
19.解析　(1)由f(3)=得a=3,(2分)
不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22,∴3x-10≥2,∴x≥4.
∴x的取值范围是[4,+∞).(5分)
(2)当a>0时, f(x)=2ax-10是增函数,(6分)
则22a-10=16,解得a=7;(8分)
当a<0时, f(x)=2ax-10是减函数,(9分)
则2-a-10=16,解得a=-14.(11分)
综上,a=-14或a=7.(12分)
20.解析　令t=2x-2-x,则t为增函数,t∈R,
f(x)=4x+4-x+m(2x-2-x)可转化为g(t)=t2+mt+2.(2分)
(1)证明:当m=2时,g(t)=t2+2t+2=(t+)2≥0,故f(x)≥0.(4分)
(2)当x∈[0,1],t=2x-2-x∈,
g(t)=t2+mt+2,t∈图象的对称轴为直线t=-.(5分)
当-≤0,即m≥0时,g(t)在上单调递增,则g(t)min=g(0)=2,不符合题意,舍去;(7分)
当0<-<,即-3当-≥,即m≤-3时,g(t)在上单调递减,则g(t)min=g=,令=0,解得m=-,不符合题意,舍去.(11分)
综上,实数m的值为-2.(12分)
21.解析　(1)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=3-x+1.(1分)
因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-3-x-1.(2分)
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.(3分)
综上, f(x)=(4分)
(2)易知f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(x)在(-∞,0)上是增函数.(6分)
又当x<0时,f(x)<-2,当x>0时,f(x)>2,且f(0)=0,
所以f(x)在R上单调递增.(8分)
因为f(x)为奇函数, 所以f(m+t)+f(2t2-3t)>0对任意的t∈[0,2]恒成立等价于f(m+t)>f(-2t2+3t)对任意的t∈[0,2]恒成立,(9分)
则m+t>-2t2+3t对任意的t∈[0,2]恒成立,
即m>-2t2+2t对任意的t∈[0,2]恒成立.(10分)
当t=时,y=-2t2+2t取得最大值,所以m>.
故实数m的取值范围是.(12分)
22.解析　(1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,即=0,解得a=1.经检验,符合题意.(2分)
(2)f(x)为R上的增函数.(3分)
由(1)知f(x)==1-.(4分)
证明:任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=1--=-=.(6分)
∵x1又(+1)(+1)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)为R上的增函数.(8分)
(3)原不等式可化为f(f(x))>-f(3-m),
∵f(x)为R上的奇函数,∴f(f(x))>f(m-3),(9分)
又∵f(x)为R上的增函数,∴f(x)>m-3,
由此可得不等式m∵2x>0 2x+1>1 0<<2 -2<-<0 2<4-<4,∴m≤2.(12分)