第五章 函数应用 测评试卷（Word版含解析）

第五章　函数应用
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列函数的零点不能用二分法求解的是(　　)
A. f(x)=x3-1 B. f(x)=ln x+3
C. f(x)=x2+2x+1 D. f(x)=-x2+4x-1
2.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”用现代语言叙述为:“一尺长的木棒,每天取其一半,永远也取不完.”这样,每天剩下的部分都是前一天的一半,如果把“一尺之棰”看成单位“1”,那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为(　　)
A.y=x(x∈N+) B.y=(x∈N+)
C.y=2x(x∈N+) D.y=(x∈N+)
3.甲醛通常为无色气体,有刺激性气味.甲醛有很多用途,室内装修常用的板材、油漆、地毯、壁纸等都含有并会释放甲醛,而且甲醛的浓度一旦过高,将会引起中毒,因此新房装修后一般都需要测试甲醛浓度.甲醛的浓度y(单位:mg/m3)随温度x(单位:℃)的变化的函数关系为y=aebx,在某次甲醛测试中,室温为20 ℃时甲醛的浓度是室温为10 ℃时甲醛浓度的3倍,那么室温为40 ℃时甲醛的浓度是室温为20 ℃时甲醛浓度的(　　)
A.3倍 B.6倍 C.9倍 D.12倍
4.明清时期,古镇河口因水运而繁华.若有一商家的货船从石塘沿水路顺水航行,前往河口,途中因故障停留一段时间,到达河口后逆水航行返回石塘,假设货船在静水中的速度不变,水流速度不变,若该货船从石塘出发后所用的时间为x(小时)、货船与石塘的距离为y(千米),则下列各图中,能反映y与x之间函数关系的大致图象是(　　)
5.若f(x)为奇函数,且x0是y=f(x)-ex 的一个零点,则下列函数中,-x0一定是其零点的是(　　)
A.y=f(x)ex+1
B.y=f(-x)e-x-1
C.y=f(x)ex-1
D.y=f(-x)ex+1
6.教室通风的目的是通过空气的流动,排出室内的污浊空气和致病微生物,降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度,送进室外的新鲜空气.按照国家标准,教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于或等于0.1%.经测定,刚下课时,空气中含有0.2%的二氧化碳,若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%,且y随时间t(单位:分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λ(λ∈R)描述,则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据:ln 3≈1.1)(　　)
A.11分钟 B.14分钟
C.15分钟 D.20分钟
7.已知函数f(x)=x2+2mx+2m+3(m∈R),若关于x的方程f(x)=0有实数根,且两根分别为x1,x2,则(x1+x2)·x1x2的最大值为(　　)
A. B.2
C.3 D.
8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若f >0>f(),则方程f(x)=0的根的个数是(　　)
A.2 B.2或1
C.3 D.2或3
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知函数f(x)=log2x-x+2,在下列区间中,一定包含f(x)零点的是(　　)
A. B.[1,2)
C.[3,4) D.[4,5)
10.下列函数中,有2个零点的函数是(　　)
A.y=lg x B.y=2x
C.y=|x|-1 D.y=e|x|-2
11.设方程|x2-3|=a的解的个数为m,则m的值可能为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
12.已知函数f(x)=a-x2+2bx(a,b∈R),若函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点相同,则a-b的值可能为(　　)
A.-1 B.1
C.-2 D.0
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.用二分法研究函数f(x)在区间(0,1)内的零点时,计算得f(0)<0, f(0.5)<0,f(1)>0,那么下一次应计算x=
时的函数值.
14.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,当销售额x为8万元时,奖励金额y为1万元;当销售额x为64万元时,奖励金额y为4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为　　　　万元.
15.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是　　　　.
16.方程x2+x-1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标.若方程x4+ax-4=0的各个实数根x1,x2,…,xk(k≤4)所对应的点(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)用二分法证明方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一的实数解,并求出这个实数解的一个近似值(精确度为0.1).
参考数据:
x 1.125 1.187 5 1.25 1.375 1.5
2x 2.18 2.28 2.38 2.59 2.83
18.(12分)已知函数f(x)=2x-(a∈R).
(1)若f(x)为奇函数,求a的值;
(2)若方程f(x)=a在x∈[0,1]上有且仅有一个实数根,求a的取值范围.
19.(12分)某化工厂每天排放污水的污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)-a|+2a+1,x∈[0,24],其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1).
(1)若a=,求一天中该厂排放污水的污染指数最低的时刻;
(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天排放污水的污染指数,要使该厂每天的排放污水的污染指数不超过3,则调节参数a应控制在什么范围内
20.(12分)已知函数f(x)=的值域为M,函数g(x)=4x-2x+1(x∈M).
(1)求M;
(2)求函数g(x)的值域;
(3)当x∈M时,若函数h(x)=4x-2x+1-b(b∈R)有零点,求b的取值范围,并讨论零点的个数.
21.(12分)已知函数f(x)=(log2x)2+4log2x+m,x∈,m为常数.
(1)若函数f(x)存在大于1的零点,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)有两个互异的零点α,β,求实数m的取值范围及α·β的值.
22.(12分)小萌大学毕业后,家里给了她10万元,她想办一个“萌萌”加工厂.根据市场调研,她得出了一组毛利润y(单位:万元)与投入成本x(单位:万元)的数据如下:
投入成本x 0.5 1 2 3 4 5 6
毛利润y 1.06 1.25 2 3.25 5 7.25 9.98
为了预测不同投入成本情况下的利润,她想在两个模型f(x)=ax2+b(a≠0),g(x)=p·2x+q(p≠0)中选一个进行预测.
(1)根据投入成本2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式,请你根据给定的数据选出一个较好的函数模型进行预测(不必说明理由),并预测她投入8万元的毛利润;
(2)若小萌准备最少投入2万元开办加工厂,请利用(1)中选定的模型,预测加工厂毛利润率r的最大值,并说明理由.
答案与解析
第五章　函数应用
1.C　对于C, f(x)=(x+1)2≥0,此函数零点为不变号零点,不能用二分法求解.
2.D　由题意可得,剩下的部分依次为,,,…,因此x天后剩下的部分y与x的函数关系式为y=(x∈N+),故选D.
3.C　由题意得=3,即e10b=3,∴=e20b==9,
即室温为40 ℃时甲醛的浓度是室温为20 ℃时甲醛浓度的9倍.
4.A　由题意可得,货船从石塘到途中刚出现故障这段时间,y随x的增大而增大,因故障停留的这段时间,y随x的增大而不变,解除故障到到达河口这段时间,y随x的增大而增大,从河口返回石塘的这段时间,y随x的增大而减小,故选A.
5.A　∵x0是y=f(x)-ex的一个零点,∴f(x0)-=0.
又∵f(x)为奇函数,∴f(-x0)=-f(x0),
∴-f(-x0)-=0,即f(-x0)+=0,∴f(-x0)+1=0,
∴-x0一定是y=f(x)ex+1的零点.
6.A　依题意可知t=0时,y=0.2,即0.05+λ=0.2,解得λ=0.15,所以y=0.05+0.15,由0.05+0.15≤0.1,得≤,两边同时取以e为底的对数得-≤ln=-ln 3≈-1.1,解得t≥11,所以至少需要11分钟.
7.B　∵x1+x2=-2m,x1x2=2m+3,
∴(x1+x2)·x1x2=-2m(2m+3)=-4+.
在方程f(x)=0中,Δ=4m2-4(2m+3)≥0,解得m≤-1或m≥3.
令t=(x1+x2)·x1x2.
∵t=-4+在m∈(-∞,-1]上单调递增,
∴当m=-1时,t取最大值,最大值为2;
∵t=-4+在m∈[3,+∞)上单调递减,
∴当m=3时,t取最大值,最大值为-54,
∴(x1+x2)·x1x2的最大值为2,故选B.
8.D　∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴函数f(x)的图象关于y轴对称.
又f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f >0>f(),∴f(x)在(0,+∞)上有且仅有1个零点,则f(x)在(-∞,0)上也仅有1个零点.若f(0)=0,则共有3个零点;若f(0)≠0,则共有2个零点.故选D.
9.AD　因为f(x)在(0,+∞)上的图象是连续不断的,且f f(1)=-<0,f(1)f(2)=1>0,f(3)=log23-1>0,f(4)=0,所以一定包含f(x)零点的区间是,[4,5).
10.CD　分别作出这四个函数的图象(图略),其中y=|x|-1与y=e|x|-2的图象与x轴有两个交点,即函数有2个零点,故选CD.
11.BCD　在同一平面直角坐标系中作出函数y=|x2-3|的图象和直线y=a,如图所示.
易知方程解的个数为0或2或3或4,故选BCD.
12.AD　设y=f(x)的零点为t,即f(t)=0.由f(x)与f(f(x))的零点相同可知f(f(t))=0,∴f(0)=0.又f(0)=a,∴a=0,∴f(x)=-x2+2bx,令f(x)=0,解得x1=0,x2=2b.当b=0时,f(x)仅有一个零点0,符合题意;当b≠0时,f(f(x))=-(-x2+2bx)2+2b(-x2+2bx)=(-x2+2bx)(x2-2bx+2b),∴x2-2bx+2b=0无实数根,∴Δ=(-2b)2-8b<0,解得013.答案　0.75
14.答案　1 024
解析　依题意得即解得
所以y=2log4x-2.当y=8,即2log4x-2=8时,x=1 024.
15.答案　
解析　令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m,则函数g(x)=f(x)-m有三个零点等价于函数f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,作出函数f(x)的图象如图:
当x≤0时, f(x)=x2+x=-≥-,若函数f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,则-16.答案　(-∞,-6)∪(6,+∞)
解析　方程x4+ax-4=0可化为x3+a=,在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=x,y=,y=x3的图象,如图所示.
由解得
则A,B两点的坐标分别为(2,2),(-2,-2).
将函数y=x3的图象向下移动到过点A时,得到a=-6,再向下移动即可满足题意,此时a<-6.
将函数y=x3的图象向上移动到过点B时,得到a=6,再向上移动即可满足题意,此时a>6,
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-6)∪(6,+∞).
17.解析　设函数f(x)=2x+3x-6.(1分)
∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0,且函数f(x)在其定义域内是增函数,f(x)的图象是连续不间断的,
∴函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一的零点,
即方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一的实数解.(3分)
设方程6-3x=2x的实数解为x0,则x0∈(1,2),(4分)
∵f(1.5)=2.83+3×1.5-6=1.33>0,∴f(1)·f(1.5)<0,∴x0∈(1,1.5).(5分)
∵f(1.25)=2.38+3×1.25-6=0.13>0,∴f(1)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1,1.25).(6分)
∵f(1.125)=2.18+3×1.125-6=-0.445<0,∴f(1.125)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1.125,1.25).(7分)
∵f(1.187 5)=2.28+3×1.187 5-6=-0.157 5<0,
∴f(1.187 5)·f(1.25)<0,∴x0∈(1.187 5,1.25).(8分)
∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1,∴可取x0=1.2,
∴方程6-3x=2x的实数解的一个近似值为1.2.(10分)
18.解析　(1)因为函数f(x)=2x-(a∈R)的定义域为R,且为奇函数,所以f(0)=1-a=0,所以a=1.经检验,符合题意.(3分)
(2)设t=2x,因为x∈[0,1],所以t∈[1,2].
由方程f(x)=a,即2x-=a,得t-=a,即t2-at-a=0,
所以原问题等价于t2-at-a=0在t∈[1,2]上有且仅有一个实数根.(5分)
设g(t)=t2-at-a(1≤t≤2).
①当方程g(t)=0的根在区间的端点时,t=1或t=2.
若g(1)=1-a-a=0,则a=,此时t2-t-=0,
解得t=1或t=-,所以g(t)在区间[1,2]上有且只有一个实数根,符合题意;(7分)
若g(2)=4-2a-a=0,则a=,此时t2-t-=0,解得t=2或t=-,所以g(t)在区间[1,2]上有且只有一个实数根,符合题意.(9分)
②当方程g(t)=0的根在区间的内部时,由方程在(1,2)内有且仅有一个实数根,
得g(1)g(2)<0或解得综上,a的取值范围为.(12分)
19.解析　(1) 因为a=,所以f(x)=+2≥2.(1分)
当f(x)=2时,log25(x+1)-=0,得x+1=5,即x=4.(2分)
所以一天中上午4时该厂排放污水的污染指数最低.(4分)
(2)设t=log25(x+1),则当0≤x≤24时,0≤t≤1.
设g(t)=|t-a|+2a+1,t∈[0,1],则g(t)=(6分)
显然g(t)在[0,a]上是减函数,在(a,1]上是增函数,(7分)
则f(x)max=max{g(0),g(1)}.(8分)
因为g(0)=3a+1,g(1)=a+2,
所以
解得a≤.(10分)
又a∈(0,1),故调节参数a应控制在内.(12分)
20.解析　(1)函数y=3-x是减函数,当x<0时,y>3;
函数y=ln x是增函数,当0∴M=(-∞,1)∪(3,+∞).　　(3分)
(2)设t=2x,则y=t2-2t=(t-1)2-1.
∵x∈M,∴x<1或x>3,∴t∈(0,2)∪(8,+∞).(4分)
当t∈(0,2)时,y∈[-1,0);
当t∈(8,+∞)时,y∈(48,+∞).
故函数y=t2-2t的值域为[-1,0)∪(48,+∞).
故函数g(x)的值域为[-1,0)∪(48,+∞).(6分)
(3)函数h(x)=4x-2x+1-b有零点等价于方程4x-2x+1-b=0有实数根,
即方程4x-2x+1=b有实数根,
等价于直线y=b与函数y=g(x)(x∈M)的图象有交点.(7分)
由(2)知g(x)∈[-1,0)∪(48,+∞),所以当且仅当b∈[-1,0)∪(48,+∞)时,函数h(x)=4x-2x+1-b(b∈R)有零点.
结合一元二次函数的图象与性质及(2)可得,
当t∈(0,1]时,函数y=t2-2t单调递减,当t∈[1,2)时,函数y=t2-2t单调递增,当t∈(8,+∞)时,函数y=t2-2t单调递增.(10分)
所以当b=-1或b∈(48,+∞)时,函数只有一个零点;(11分)
当b∈(-1,0)时,函数有两个零点.(12分)
21.解析　令log2x=t,则函数f(x)=(log2x)2+4log2x+m,x∈可转化为g(t)=t2+4t+m,t∈[-3,2].(1分)
(1)因为函数f(x)存在大于1的零点,
所以方程t2+4t+m=0在t∈(0,2]内存在实数根.(2分)
由t2+4t+m=0得m=-t2-4t,(3分)
当t∈(0,2]时,m∈[-12,0).故实数m的取值范围为[-12,0).(4分)
(2)函数f(x)有两个互异的零点α,β,则函数g(t)=t2+4t+m在[-3,2]内有两个互异的零点,设为t1,t2,不妨令t1=log2α,t2=log2β,(5分)
所以(8分)
解得3≤m<4.所以实数m的取值范围是[3,4).(9分)
根据根与系数的关系,可知t1+t2=-4,(10分)
即log2α+log2β=-4,所以log2(α·β)=-4,故α·β=2-4=.(12分)
22.解析　(1)求第一个模型f(x)=ax2+b(a≠0)的解析式,
由已知数据可得解得(1分)
∴f(x)=x2+1(0同理可求得g(x)=·2x+1(0f(x)=x2+1(0当x=8时,毛利润为17万元.(5分)
(2)预测加工厂毛利润率r的最大值为.(6分)
理由如下:r===+(2≤x≤10).
任取x1,x2∈[2,10],且x1因为x2>x1≥2,所以x1x2-4>0,x2-x1>0,所以r2-r1>0,即r2>r1,
所以r==+在[2,10]上是增函数,(11分)
当x=10时,rmax=+=.(12分)