第六章 统计 测评试卷（Word版含解析）

第六章　统计
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品,对其质量进行了抽检,则(　　)
A.该市场监管局的调查方法是普查
B.个体是每种冷冻饮品的质量
C.总体是超市在售的40种冷冻饮品
D.样本容量是该超市的20种冷冻饮品数
2.现有以下两项调查:①从10台冰箱中抽取3台进行质量检查;②某社区有600户家庭,其中高收入家庭180户,中等收入家庭360户,低收入家庭60户,为了调查家庭购买力的某项指标,拟抽取一个容量为30的样本.则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法是(　　)
A.①②都采用简单随机抽样
B.①②都采用分层随机抽样
C.①采用简单随机抽样,②采用分层随机抽样
D.①采用分层随机抽样,②采用简单随机抽样
3.福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03,…,32,33这33个两位号码中选取,小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码,选取方法是从第1行第9列的数字开始,从左到右依次读取数据,则第四个被选中的红色球号码为(　　)
第1行:2 9 7 6　3 4 1 3　2 8 4 1　4 2 4 1
第2行:8 3 0 3　9 8 2 2　5 8 8 8　2 4 1 0
第3行:5 5 5 6　8 5 2 6　6 1 6 6　8 2 3 1
A.10 B.22 C.24 D.26
4.某市新上了一批便民公共自行车,有绿色和橙黄色两种,且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的辆数之比为2∶1,现在按照分层随机抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某学校门口,则其中绿色公共自行车的辆数是(　　)
A.8 B.12
C.16 D.24
5.某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注某电视节目的学生人数,根据所得数据的茎叶图,以5为组距将数据分组:[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40],绘制出如图所示的频率分布直方图,则原始茎叶图可能是(　　)
A B
C D
6.AQI即空气质量指数,AQI越小,表明空气质量越好,当AQI不大于100时,空气质量为“优良”,如图是某市3月1日到3月12日AQI的统计数据,则下列叙述正确的是(　　)
A.这12天的AQI的中位数是90
B.这12天中,超过7天的空气质量为“优良”
C.从3月4日到3月9日,空气质量越来越好
D.这12天的AQI的平均数为100
7.某路段检查站监控录像显示,在某时段内,有1 000辆汽车通过该站,现随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析,根据分析的结果制作的频率分布直方图如图所示,据此估计中位数,平均数分别为(　　)
A.85,85 B.85,84.6
C.84,85 D.84,84.6
8.若某同学连续三次考试的名次(第一名为1,第二名为2,以此类推,且可以有名次并列的情况)均不超过3,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据,推断一定不是尖子生的是(　　)
A.甲同学:平均数为2,中位数为2
B.乙同学:平均数为2,方差小于1
C.丙同学:中位数为2,众数为2
D.丁同学:众数为2,方差大于1
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.关于统计数据的分析,下列结论错误的有(　　)
A.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,方差没有变化
B.绘制频率分布直方图时,各小矩形的面积等于相应各组的组距
C.一组数据的方差一定是正数
D.一组数据不可能有两个众数
10.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则下列说法正确的是(　　)
(甲)
(乙)
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
11.某市教育局为了解网络教学期间的学生学习情况,从该市随机抽取了1 000名高中生,对他们每天的平均学习时间进行问卷调查,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图,下列说法正确的是(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(　　)
A.这1 000名高中生每天的平均学习时间为6~8小时的人数为100
B.估计该市高中生每天的平均学习时间的众数为9小时
C.估计该市高中生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时
D.估计该市高中生每天的平均学习时间的平均数为8.6小时
12.已知样本甲:x1,x2,x3,…,xn与样本乙:y1,y2,y3,…,yn满足yi=2+1(i=1,2,…,n),则下列结论不正确的是(　　)
A.样本乙的极差等于样本甲的极差
B.样本乙的众数大于样本甲的众数
C.若某个xi为样本甲的中位数,则yi是样本乙的中位数
D.若某个xi为样本甲的平均数,则yi是样本乙的平均数
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填
在题中横线上)
13.下列调查的样本不合理的是　　　　.(填序号)
①某高中在校内发出一千张印有全校各班级的选票,要求被调查的学生在其中一个班级旁画“√”,以了解最受欢迎的教师是谁;
②为了解工人们对厂长的信任情况,通过选举从全厂10 000多名工人中确定100名代表,然后投票表决;
③为了解全市老年人的健康状况,到某老年公寓进行调查;
④为了解全班同学每天的睡眠时间,在每个小组中各随机选取3名学生进行调查.
14.下表是关于某校高一年级男女生选科意向的调查数据,现要在所有参与调查的人中用分层随机抽样的方法抽取n人进行进一步调查,若在“选修物理的男生”中抽取了8人,则n的值为　　　　.
选修物理 选修历史
男生 160 40
女生 80 120
15.某公司有职工2 000人,从中随机抽取200人调查他们的居住地与上班工作地的距离,其中不超过1 000米的共有10人,不超过2 000米的共有30人,由此估计该公司所有职工中居住地到上班地距离(米)在(1 000,2 000]内的有　　　　人.
16.某城市2021年1月到10月中每月空气质量为中度污染的天数分别为1,4,7,9,a,b,13,14,15,17,且9≤a≤b≤13.已知样本的中位数为10,则该样本的方差的最小值为　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位:m/s)的数据如下:
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度数据的平均数、极差、方差,并判断选谁参加比赛比较合适.
18.(12分)某省教育厅为了了解和掌握2020年高考考生的数学实际答卷情况,随机地取出了100名考生的数学成绩(单位:分),将数据分成了11组,制成了如下所示的频率分布表:
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1
(1)求样本数据的60%分位数和80%分位数;
(2)估计2020年高考考生的数学成绩的90%分位数.
19.(12分) “难度系数”反映试题的难易程度,难度系数越大,题目得分率越高,难度也就越小,“难度系数”的计算公式为L=1-,其中L为难度系数,Y为样本平均失分,W为试卷总分.某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷(总分150分),用于对该校高二年级480名学生进行每周测试,测试前根据自己对学生的了解,预估了每套试卷的难度系数,如下表所示:
试卷序号i 1 2 3 4 5
考前预估难度系数Li 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55
测试后,随机抽取了50名学生的数据进行统计,结果如下:
试卷序号i 1 2 3 4 5
平均分/分 102 99 93 93 87
(1)根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分;
(2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间可能存在偏差,设Li'为第i套试卷的实测难度系数,并定义统计量S=[(L1'-L1)2+(L2'-L2)2+…+(Ln'-Ln)2](n为试卷套数),若S<0.001,则认为试卷的难度系数预估合理,否则认为不合理.以样本平均分估计总体平均分,试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理.
20.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量数据得到频率分布直方图如图所示.
(1)补全上面的频率分布直方图(用阴影表示);
(2)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差s2;
(3)当质量指标值位于(80,122.5)内时,认为该产品为合格品,求该产品为合格品的频率.
21.(12分)某大学艺术专业的400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据按[20,30),[30,40),…,[80,90]分成7组,并整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计总体的众数;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男学生和女学生人数相等,试估计总体中男生和女生人数的比例.
22.(12分)在一次高三年级统一考试中,数学试卷有一道满分为10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试,为了了解该校学生选做题的得分情况,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名考生选做题的成绩依次编号为001,002,…,900.
(1)若采用随机数法抽样,并按照以下随机数表,以第5行第5列为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机数,一行读数用完之后接下一行左端,试写出选取的10个样本编号;
2 6 3 5　7 9 0 0　3 3 7 0　9 1 6 0
3 2 1 1　4 9 1 9　7 3 0 6　4 9 1 6
2 7 4 8　6 1 9 8　7 1 6 4　4 1 4 8
7 4 7 7　0 1 1 1　1 6 3 0　2 4 0 4
5 3 7 9　7 0 7 6　2 6 9 4　2 9 2 7
9 2 6 4　4 6 0 7　2 0 2 1　3 9 2 0
5 8 5 8　7 7 6 6　3 1 7 0　0 5 0 0
2 8 8 9　6 6 2 8　6 7 5 7　8 2 3 1
5 1 3 1　8 1 8 6　3 7 0 9　4 5 2 1
9 0 5 5　7 1 9 6　2 1 7 2　3 2 0 7
7 9 0 0　5 8 7 0　2 6 0 6　8 8 1 3
3 6 9 3　9 2 1 2　0 5 5 7　7 3 6 9
0 3 8 0　3 3 3 8　0 1 3 8　4 5 6 0
0 2 4 6　4 4 6 9　9 7 1 9　8 3 1 6
7 2 6 6　0 0 8 1　6 8 9 7　2 8 5 1
(2)采用分层随机抽样的方法按照学生选择A题目或B题目,将成绩分为两层,且样本中A题目的成绩有8个,平均数为7,方差为4;样本中B题目的成绩有2个,平均数为8,方差为1.试估计这900名考生选做题得分的平均数与方差.
答案与解析
第六章　统计
1.B　
2.C　
3.C　被选中的红色球号码依次为28,03,22,24,10,26,
所以第四个被选中的红色球号码为24,故选C.
4.D　设放在该学校门口的绿色公共自行车的辆数是x,则=,解得x=24,故选D.
5.A　由频率分布直方图可知,[0,5)的频数为20×0.01×5=1,[5,10)的频数为20×0.01×5=1,[10,15)的频数为20×0.04×5=4,[15,20)的频数为20×0.02×5=2,[20,25)的频数为20×0.04×5=4,[25,30)的频数为20×0.03×5=3,[30,35)的频数为20×0.03×5=3,[35,40]的频数为20×0.02×5=2,则对应的茎叶图为A,故选A.
6.C　这12天的AQI的中位数是=99.5,故A不正确;由题图得,这12天中,空气质量为“优良”的有6天,故B不正确;从3月4日到3月9日,空气质量越来越好,故C正确;这12天的AQI的平均数为×(201+111+138+144+104+95+85+77+67+72+92+135)≈110,故D不正确.
7.B　由题图知,中位数在[80,90)内,设为t,则0.1+0.2+×0.4=0.5,解得t=85.平均数的估计值为频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的和,即65×0.1+75×0.2+85×0.4+95×0.24+105×0.06=84.6.
8.D　甲同学名次数据的平均数为2,说明名次之和为6,由中位数为2,得出三次考试名次均不超过3,断定甲是尖子生;乙同学名次数据的平均数为2,说明名次之和为6,由方差小于1,得出三次考试名次均不超过3,断定乙是尖子生;丙同学名次数据的中位数为2,众数为2,说明三次考试中至少有两次名次为2,故丙可能是尖子生;丁同学名次数据的众数为2,说明三次考试中有两次名次为2,设另一次名次为x,经验证,当x=1,2,3时,方差均小于1,故x>3,断定丁一定不是尖子生.
9.BCD　
10.CD　由题图得甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9,所以甲、乙的成绩的平均数均为6,A错误;甲、乙的成绩的中位数分别为6、5,B错误;甲的成绩的方差为×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2,乙的成绩的方差为×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=,C正确;甲、乙的成绩的极差均为4,D正确.故选CD.
11.BCD　对于A,由题图可知,这1 000名高中生每天的平均学习时间为6~8小时的人数为0.10×2×1 000=200,故A错误;
对于B,抽查的1 000名高中生每天的平均学习时间的众数为9小时,由此可以估计该市高中生每天的平均学习时间的众数为9小时,故B正确;
对于C,设抽查的1 000名高中生每天的平均学习时间的60%分位数为k小时,则0.05×2+0.10×2+0.25×(k-8)=0.6,解得k=9.2,由此可以估计该市高中生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时,故C正确;
对于D,抽查的1 000名高中生每天的平均学习时间的平均数为0.05×2×5+0.10×2×7+0.25×2×9+0.10×2×11=8.6(小时),由此可以估计该市高中生每天的平均学习时间的平均数为8.6小时,故D正确.
12.ABD　由样本甲:x1,x2,x3,…,xn与样本乙:y1,y2,y3,…,yn满足yi=2+1(i=1,2,…,n),知
样本乙的极差不等于样本甲的极差,故A中结论不正确;
样本乙的众数不一定大于样本甲的众数,故B中结论不正确;
若某个xi为样本甲的中位数,则由中位数的性质得yi是样本乙的中位数,故C中结论正确;
若某个xi为样本甲的平均数,则yi不一定是样本乙的平均数,故D中结论不正确.故选ABD.
13.答案　①③
解析　①在班级旁画“√”与了解最受欢迎的教师没关系,故样本不符合有效性;
②样本合理,属于合理的调查;
③老年公寓中的老年人不能代表全市老年人,故样本缺少代表性;
④在每个小组中各随机选取3名学生进行调查,属于合理的调查.
故调查的样本不合理的是①③.
14.答案　20
解析　根据题意得=,解得n=20.
15.答案　200
解析　依题意可知,样本中居住地到上班地距离在(1 000,2 000]内的人数所占的比例为=0.1,故该公司所有职工中居住地到上班地距离在(1 000,2 000]内的人数约为2 000×0.1=200.
16.答案　22.6
解析　由题可知a+b=20,
则该组数据的平均数为=10,
则方差s2=×[(-9)2+(-6)2+(-3)2+(-1)2+(a-10)2+(b-10)2+32+42+52+72]=×[226+(a-10)2+(b-10)2],当且仅当a=b=10时,方差取得最小值,且最小值为×226=22.6.
17.解析　甲赛手最大速度数据的平均数==33,(1分)
方差=×[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]≈15.67,(3分)
极差为38-27=11.(4分)
乙赛手最大速度数据的平均数==33,(5分)
方差=×[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2]≈12.67,(7分)
极差为38-28=10.(8分)
由甲、乙赛手最大速度数据的平均数相等,乙的方差与极差较小,知选乙赛手参加比赛比较合适.(10分)
18.解析　(1)从题中频率分布表得,前六组的频率之和为0.01+0.02+0.04+0.14+0.24+0.15=0.60,
前七组的频率之和为0.60+0.12=0.72,
前八组的频率之和为0.72+0.09=0.81,
前九组的频率之和为0.81+0.11=0.92,(4分)
则样本数据的60%分位数为110,(5分)
80%分位数一定在第八组[115,120)内,由115+5×≈119.4,
估计样本数据的80%分位数为119.4.(8分)
(2)由前八组的频率之和为0.81,前九组的频率之和为0.92,知90%分位数一定在第九组[120,125)内,由120+5×≈124.1,估计2020年高考考生的数学成绩的90%分位数为124.1.(12分)
19.解析　(1)由试卷2的难度系数得0.64=1-,(2分)
解得Y=54,(3分)
所以根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分为150-54=96(分).(4分)
(2)L1'=1-=0.68,(5分)
L2'=1-=0.66,(6分)
L3'=1-=0.62,(7分)
L4'=1-=0.62,(8分)
L5'=1-=0.58,(9分)
则S=×[(0.68-0.7)2+(0.66-0.64)2+(0.62-0.6)2+(0.62-0.6)2+(0.58-0.55)2]=0.000 5<0.001,(11分)
所以这5套试卷难度系数的预估合理.(12分)
20.解析　(1)由频率分布直方图得[95,105)内的频率为1-(0.006+0.026+0.022+0.008)×10=0.38,(2分)
由此补全频率分布直方图如图所示:
　　　　　　　 (4分)
(2)=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100,(6分)
s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+02×0.38+102×0.22+202×0.08=104.(8分)
(3)质量指标值位于(80,122.5)内的频率为×10+(0.026+0.038+0.022)×10+×0.008×10=0.95.(11分)
故该产品为合格品的频率为0.95.(12分)
21.解析　(1)由频率分布直方图可估计总体的众数为=75.(2分)
(2)由频率分布直方图可知,样本中分数在区间[50,90]内的人数为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10×100=90.(3分)
因为样本中分数小于40的学生有5人,
所以样本中分数在区间[40,50)内的人数为100-90-5=5.(4分)
设总体中分数在区间[40,50)内的人数为x,
则=,解得x=20,(6分)
故估计总体中分数在区间[40,50)内的人数为20.(7分)
(3)由频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的人数为(0.04+0.02)×10×100=60.(8分)
因为样本中分数不小于70的男学生和女学生人数相等,
所以样本中分数不小于70的男生人数为30.(9分)
因为样本中有一半男生的分数不小于70,所以样本中男生的人数为60,女生的人数为40.(10分)
所以估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.(12分)
22.解析　(1)根据题意,读出的编号依次是707,626,446,072,021,392,058,587,766,317.(5分)
(2)记样本中8个A题目的成绩平均数为,方差为,2个B题目的成绩平均数为,方差为,
则样本平均数=×+×=×7+×8=7.2,(8分)
样本方差s2=×[+(-)2]+×[+(-)2]=×[4+(7-7.2)2]+×[1+(8-7.2)2]=3.56.(11分)
故估计这900名考生选做题得分的平均数为7.2,方差为3.56.(12分)