第七章 概率 测评试卷（Word版含解析）

第七章　概率
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水的概率为80%”,则(　　)
A.明天该地区有80%的地方降水,有20%的地方不降水
B.明天该地区降水的可能性为80%
C.气象台的专家中有80%的专家认为会降水,另外20%的专家认为不降水
D.明天该地区有80%的时间降水,其他时间不降水
2.抛掷两枚质地均匀的骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X,则“X>4”表示试验的结果为(　　)
A.第一枚为5点,第二枚为1点
B.第一枚为6点,第二枚为1点或第一枚为1点,第二枚为6点
C.第一枚为6点,第二枚为1点
D.第一枚为1点,第二枚为6点
3.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
4.盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个,从中随机取出1个,若它是肉馅包子的概率为,它不是豆沙馅包子的概率为,则素馅包子的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏,在战国时期较为盛行.如图为一幅投壶图,假设甲、乙、丙是三位投壶游戏参与者,且甲、乙、丙每次投壶时投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次,则这3人中至多有1人投中的概率为(　　)
A. B. C. D.
6.古代“五行”学说认为:物质分“金、木、水、火、土”五种属性,“金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”.从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽到的两种物质不相克的概率为(　　)
A. B. C. D.
7.某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关每次闯关的过关率分别为,,,,只有通过前一关才能进入下一关,其中,第三关有两次闯关机会,且每关是否通过相互独立.若某选手参加该节目,则他能进入第四关的概率为(　　)
A. B. C. D.
8.为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力,随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量(单位:个),产品数量(单位:个)的分组区间为[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35],频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20个产品的工人中随机选取2名进行培训,则这2名工人不在同一组的概率是(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则下列事件中与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件为(　　)
A.2张卡片都不是红色
B.2张卡片中恰有1张为红色
C.2张卡片中至少有1张为红色
D.2张卡片都为绿色
10.在一个古典概型中,若两个不同的随机事件A、B发生的概率相等,则称A和B是“等概率事件”,如:随机抛掷一枚骰子一次,事件“朝上的面的点数为奇数”和“朝上的面的点数为偶数”是“等概率事件”.若事件C中只含有一个样本点,则称事件C为基本事件.关于“等概率事件”,以下判断正确的是(　　)
A.在同一个古典概型中,所有的基本事件之间都是“等概率事件”
B.若一个古典概型的事件总数大于2,则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事件”
C.因为所有必然事件的概率都是1,所以任意两个必然事件都是“等概率事件”
D.同时抛掷三枚硬币一次,则事件“仅有一次正面向上”和“仅有两次正面向上”是“等概率事件”
11.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,其中一等品有20件,合格品有70件,其余为不合格品.现在这个工厂随机抽查一件产品,设事件A为“是一等品”,B为“是合格品”,C为“是不合格品”,则下列结果正确的是(　　)
A.P(B)= B.P(A∪B)=
C.P(A∩B)=0 D.P(A∪B)=P(C)
12.已知事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.3,则下列结论正确的是(　　)
A.如果B A,那么P(A∪B)=0.6,P(AB)=0.3
B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.9,P(AB)=0
C.如果A与B相互独立,那么P(AB)=0
D.如果A与B相互独立,那么P(　)=0.28,P(B)=0.12
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填
在题中横线上)
13.A,B,C三人站成三角形相互传球,由A开始传球,每次可传给另外两人中的任何一人,按此规则继续往下传,传球4次后,球又回到A手中的传球方式的种数为　　　　.
14.某人捡到了一个形状不规则的五面体石块,他在各个面上用数字1~5进行了标记,投掷100次,记录朝向桌面的数字,得到如下数据:
朝向桌面的数字 1 2 3 4 5
频数 32 18 15 13 22
用频率估计概率,则朝向桌面的数字不小于4的概率为　　　　.
15.甲、乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝色,已知甲击中红、黄、蓝区域的概率依次是,,,乙击中红、黄、蓝区域的概率依次是,,,二人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次,则二人命中同色区域的概率为　　　　　　,二人命中不同色区域的概率为　　　　.(第一空2分,第二空3分)
16.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p,q,已知p=,且他们各投2次,甲比乙投中次数多的概率为,则q的值为　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)现有8名马拉松比赛志愿者(他们都只通晓一门外语),其中志愿者A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓英语,从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名,组成一个小组.
(1)列出该试验包含的所有样本点;
(2)求A1被选中的概率;
(3)求B1和C1不全被选中的概率.
18.(12分)某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯,已知开关第一次闭合后,出现红灯和出现绿灯的概率都是.从开关第二次闭合起,若前一次出现红灯,则下一次出现红灯的概率是,出现绿灯的概率是;若前一次出现绿灯,则下一次出现红灯的概率是,出现绿灯的概率是.求:
(1)开关第二次闭合后出现红灯的概率;
(2)三次发光后,出现一次红灯、两次绿灯的概率.
19.(12分)下面是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与空气质量等级对应表.某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差,第二天返回(往返共两天).
空气质量指数 空气质量等级
小于或等于100 优良
大于100且小于或等于150 轻度污染
大于150且小于或等于200 中度污染
大于200且小于或等于300 重度污染
大于300 严重污染
(1)观察空气质量指数趋势图,你认为从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大 (只写出结论,不要求证明)
(2)求此人到达当日空气质量优良的概率;
(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率.
20.(12分)小张大学毕业后决定选择自主创业,在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格:
项目A
利润占投入的百分比 10% 5% -5%
频率 50% 40% 10%
项目B
利润占投入的百分比 10% 5% -5%
频率 40% x y
项目B的表格中两个数据丢失,现用x,y代替.调研时发现:投资A,B这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率,A,B两个项目的利润情况互不影响.
(1)求x,y的值,并分别求投资A,B项目不亏损的概率;
(2)小张在进行市场调研的同时,拿到了100万人民币的风险投资.现在小张与投资方决定选择其中的一个项目进行投资,请你从统计学的角度给出一个建议,并阐述你的理由.
21.(12分)某村为提高村民收益,种植了一批蜜柚,现为了更好地销售,从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重,测得其质量(单位:克)均分布在区间[1 500,3 000]内,并绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间[1 750,2 000),[2 000,2 250)内的蜜柚中随机抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽取2个,求这2个蜜柚质量均小于2 000克的概率;
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售,某电商提出两种收购方案:
方案A:所有蜜柚均以10元/千克收购;
方案B:低于2 250克的蜜柚以15元/个的价格收购,高于或等于2 250克的蜜柚以20元/个的价格收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
22.(12分)某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染,保卫蓝天,鼓励广大市民使用电动交通工具出行,决定为电动车(含电动自行车和电动汽车)免费提供电池检测服务.现从全市已挂牌照的50 000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测,电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级,并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计,统计结果如图所示.
(1)采用分层随机抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆,再从这9辆车中随机抽取2辆,求至少有1辆为电动汽车的概率;
(2)为进一步提高市民对电动车的使用热情,市政府准备为所有电动车车主发放补助,标准如下:①每辆电动自行车补助300元;②每辆电动汽车补助500元;③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元.试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算,并估计市政府执行此方案的预算.
答案与解析
第七章　概率
1.B　
2.C　由题意得“X>4”即“X=5”,表示的试验结果为“第一枚为6点,第二枚为1点”.故选C.
3.D　由题意得即
则即所以实数a的取值范围是,故选D.
4.C　由题意可知这个包子是肉馅或素馅的概率为,又它是肉馅包子的概率为,所以它是素馅包子的概率为-=,故素馅包子的个数为10×=3.
5.C　甲、乙、丙3人投中与否的所有情况有(中,中,中),(中,中,不中),(中,不中,中),(不中,中,中),(中,不中,不中),(不中,中,不中),(不中,不中,中),(不中,不中,不中),共8种,其中至多有1人投中的有(中,不中,不中),(不中,中,不中),(不中,不中,中),(不中,不中,不中),共4种,故所求概率为=.
6.A　从五种不同属性的物质中随机抽取两种,所有的抽法有10种,而相克的有5种,则抽取的两种物质相克的概率是=,故抽取的两种物质不相克的概率是1-=,故选A.
7.D　第一种情况:该选手一次性通过前三关,进入第四关,其概率为××=;第二种情况:该选手通过前两关,第三关第一次没有通过,第二次通过,进入第四关,其概率为×××=.
所以该选手能进入第四关的概率为+=.故选D.
8.C　根据题中频率分布直方图可知,生产产品数量(单位:个)在[10,15),[15,20)内的人数分别为5×0.02×20=2,5×0.04×20=4.设生产产品数量在[10,15)内的2人分别是A,B,在[15,20)内的4人分别为C,D,E,F,则从生产低于20个产品的工人中随机选取2名工人的样本点有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个,且这15个样本点发生的可能性相等,其中2名工人不在同一组的样本点有(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共8个,则选取的2名工人不在同一组的概率为.
9.ABD　从6张卡片中一次任意取出2张卡片的所有情况有:“2张卡片都为红色”“2张卡片都为绿色”“2张卡片都为蓝色”“1张卡片为红色,1张卡片为绿色”“1张卡片为红色,1张卡片为蓝色”“1张卡片为绿色,1张卡片为蓝色”.选项中给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件为“2张卡片都不是红色”“2张卡片中恰有1张为红色”“2张卡片都为绿色”,其中“2张卡片中至少有1张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”,故二者并不互斥.
10.AD　对于A,由古典概型的概念知,在同一个古典概型中,所有基本事件发生的概率都相等,故在同一个古典概型中,所有的基本事件之间都是“等概率事件”,故A正确;对于B,如在1,3,5,7,9这五个数中任取两个数,“所得两数和为8”和“所得两数和为10”这两个事件发生的概率相等,故B错误;对于C,由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型来说的,故C错误;对于D,同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果,其中“仅有一次正面向上”包含3种结果,其概率为,“仅有两次正面向上”包含3种结果,其概率为,故这两个事件是“等概率事件”,故D正确.故选AD.
11.ABC　由题意知A,B,C为互斥事件,故C正确;因为从100件产品中抽取符合古典概型的条件,所以P(A)==,P(B)==,P(C)==,则P(A∪B)=≠P(C),故A、B正确,D错误.故选ABC.
12.ABD　对于A,如果B A,那么P(A∪B)=P(A)=0.6,P(AB)=P(B)=0.3,故A正确;对于B,如果A与B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.9,P(AB)=0,故B正确;对于C,如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.18,故C错误;对于D,如果A与B相互独立,那么P(　)=P()P()=0.4×0.7=0.28,P(B)=P()P(B)=0.4×0.3=0.12,故D正确.故选ABD.
13.答案　6
解析　A,B,C三人传球4次的所有结果用树状图表示如下:
由图可知,传球4次后,球又回到A手中的传球方式的种数为6.
14.答案　0.35
解析　朝向桌面的数字不小于4的频数为13+22=35,所以频率为=0.35,用频率估计概率,则所求概率为0.35.
15.答案　;
解析　设甲射中红、黄、蓝区域分别为事件A1,A2,A3,乙射中红、黄、蓝区域分别为事件B1,B2,B3,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=.
∵二人射击情况互不影响,
∴二人命中同色区域的概率为P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=×+×+×=;二人命中不同色区域的概率为P(A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B1)+P(A3)·P(B2)=×+×+×+×+×+×=.
16.答案　
解析　甲比乙投中次数多的可能情形有两种:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次,分别记为事件A,B.P(甲投中1次)=p(1-p)+(1-p)p=,P(乙投中0次)=(1-q)2,所以P(A)=(1-q)2,P(甲投中2次)=p2=,P(乙投中1次)=q(1-q)+(1-q)q=2q(1-q),所以P(B)=×[2q(1-q)+(1-q)2],显然事件A,B互斥,所以由甲比乙投中次数多的概率为得P(A)+P(B)=,即(1-q)2+×[2q(1-q)+(1-q)2]=,即9q2-36q+20=0,解得q=或q=(舍去).故q的值为.
17.解析　(1)该试验的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18个样本点.(3分)
(2)∵每个样本点出现的机会相等,
∴这些样本点是等可能发生的,用M表示事件“A1被选中”,
则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)},含有6个样本点,(5分)
∴A1被选中的概率P(M)==.(6分)
(3)用N表示事件“B1和C1不全被选中”,则表示事件“B1和C1全被选中”,
∵={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},含有3个样本点,(8分)
∴B1和C1不全被选中的概率P(N)=1-=.(10分)
18.解析　(1)记“两次都出现红灯”为事件A,则P(A)=×=;(2分)
记“第一次出现绿灯,第二次出现红灯”为事件B,则P(B)=×=.(4分)
以上两种情况彼此互斥,所以第二次出现红灯的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.(5分)
(2)依题意,三次发光中,出现一次红灯、两次绿灯的情况共有3种:
①依次出现绿、绿、红,概率为××=;(7分)
②依次出现绿、红、绿,概率为××=;(9分)
③依次出现红、绿、绿,概率为××=.(11分)
以上3种情况彼此互斥,所以三次发光后,出现一次红灯、两次绿灯的概率为++=.(12分)
19.解析　(1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.(4分)
(2)设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”(i=1,2,…,13).由题意可知,P(Ai)=,且Ai∩Aj= (i≠j,j=1,2,…,13).(6分)
设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”,则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13,所以P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A7)+P(A12)+P(A13)=.(8分)
(3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件C,即“此人出差期间至少有一天的空气质量指数大于150且小于或等于300”,
由题意可知P(C)=P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)=P(A4)+P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)+P(A11)=.(12分)
20.解析　(1)投资项目A的平均利润率为10%×50%+5%×40%-5%×10%=0.065,(1分)
投资项目B的平均利润率为10%×40%+5%x-5%y=10%×40%+5%[x-(60%-x)]=10%×40%+5%(2x-60%),(2分)
因为投资A,B这两个项目的平均利润率相同,
所以10%×40%+5%(2x-60%)=0.065,(3分)
解得x=55%,所以y=5%,(4分)
所以投资A项目不亏损的概率为50%+40%=90%,(5分)
投资B项目不亏损的概率为40%+55%=95%.(6分)
(2)建议选择B项目进行投资.理由:
由(1)得,投资B项目不亏损的概率比较大.(8分)
投资A项目利润率的方差为(10%-6.5%)2×50%+(5%-6.5%)2×40%+(-5%-6.5%)2×10%=2.025×10-3,(9分)
投资B项目利润率的方差为(10%-6.5%)2×40%+(5%-6.5%)2×55%+(-5%-6.5%)2×5%=1.275×10-3,(10分)
所以投资A项目利润率的方差大于投资B项目利润率的方差,
即投资B项目的利润比较稳定.
综上,建议选择B项目进行投资.(12分)
21.解析　(1)由题图可得蜜柚质量在区间[1 750,2 000)和[2 000,2 250)内的数量之比为2∶3,所以应分别在质量为[1 750,2 000),[2 000,2 250)内的蜜柚中抽取2个和3个.(2分)
记抽取的质量在区间[1 750,2 000)的蜜柚分别为A1,A2,质量在区间[2 000,2 250)内的蜜柚分别为B1,B2,B3,
则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有10种:A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3,其中质量均小于2 000克的仅有A1A2这1种情况,故所求概率为.(5分)
(2)由题中频率分布直方图可知,蜜柚质量在区间[1 500,1 750)内的频率为250×0.000 4=0.1,
同理,蜜柚质量在区间[1 750,2 000),[2 000,2 250),[2 250,2 500),[2 500,2 750),[2 750,3 000]内的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05.(9分)
按方案A收购:由题意知各区间的蜜柚个数依次为500,500,750,2 000,1 000,250,所以总收益为×500+×500+×750+×2 000+×1 000+×250×10÷1 000=114 375(元).(10分)
按方案B收购:由题意知蜜柚质量低于2 250克的个数为(0.1+0.1+0.15)×5 000=1 750,
蜜柚质量高于或等于2 250克的个数为5 000-1 750=3 250,
所以总收益为1 750×15+3 250×20=91 250(元).(11分)
因为91 250<114 375,
所以方案A的收益比方案B的收益高,应该选择方案A.(12分)
22.解析　(1)根据分层随机抽样的概念,电动自行车应抽取×9=4(辆),分别记为a1,a2,a3,a4,(1分)
电动汽车应抽取×9=5(辆),分别记为b1,b2,b3,b4,b5.(2分)
从这9辆电动车中随机抽取2辆,共有36种取法.(3分)
设“从这9辆车中随机抽取2辆,至少有1辆为电动汽车”为事件A,则事件为抽取的2辆车均为电动自行车,包含a1a2,a1a3,a1a4,a2a3,a2a4,a3a4,共6种情况,则P(A)=1-P()=1-=.(6分)
(2)由题图可知,抽取的这100辆电动车中电动自行车有60辆,电动汽车有40辆,其中电池需要更换的电动自行车有8辆,电动汽车有1辆.(8分)
由补助方案可知,这100辆电动车共需补助60×300+40×500+9×400=41 600(元).(10分)
由样本估计总体,市政府执行此方案的预算为×50 000=20 800 000(元).(12分)