2022-2023 学年度上学期高二入学考试试题数学答案
一、单选题：BBCD ACBB
二、多选题：9、BC 10、ACD 11、AD 12、ABD
4 14 11
三、填空题 *13．－ .*14． 15． 16 8 2 6． ；
3 3 3 3 2
四、解答题：
*17．解：设 A＝“任选一道灯谜，甲猜对”，B＝“任选一道灯谜，乙猜对”，C＝“任选
一道灯谜，丙猜对”，则由古典概型概率计算公式得：
所以
（1）“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”＝ ，且 互斥，
因为每位同学独立竞猜，所以 A，B互相独立，则 均相互独立，
所以
所以任选一道灯谜，甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为 ．
（2）设 D＝“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则
所以
解得 n＝10．
*18．【解】 (1)甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：x 甲＝3×0.05×2＋5×0.15×2
＋7×0.2×2＋9×0.1×2＝6.4；
乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为： x 乙＝3×0.15×2＋5×0.1×2＋
7×0.2×2＋9×0.05×2＝5.6.
因为 x x甲＞ 乙，所以甲生产线生产产品质量的平均水平高于乙生产线生产产品质量
的平均水平，
故甲生产线所生产产品的质量更好．
(2)由题意，甲、乙两条生产线抽取的产品合格率为
1000×（0.15×1＋0.2×2＋0.1×2）＋（1000×（0.1×1
＋0.2×2＋0.05×2） ＝
2000
1350
＝67.5%＜75%，
2000
所以用样本估计总体的思想，估计该工厂不能够获得“品牌工厂”称号．
19．(12分）【解】 (1)由已知得：f(x) ＝2sin2ωx＋2sinωx·cos ωx＝1－cos 2ωx＋sin 2ωx＝
2ωx π－
2 sin 4 ＋1，
由函数图象两相邻对称轴之间的距离为 2，所以该函数的最小正周期为 4，
2π 4 π于是 ＝ ，解得ω＝ ，
2ω 4
π π
所以函数 f (x) 的解析式为 f(x
x－
) ＝ 2 sin 2 4 ＋1.
1
π
x x
π
－
(2)由题意知：g( ) ＝ 2 sin 4 4 ＋1，
π 3π
－ ，
当 x∈[0 π π，4]时， x－ ∈ 4 4 ，
4 4
πx π 2－ － ，1
sin 4 4 ∈ 2 ，g(x) ∈[0， 2＋1] ，
要使 g(x) －m<0对任意的 x∈[0，4]恒成立，只需 m>[g(x)] ，
max
所以 m> 2 ＋1，因此实数 m的取值范围为( 2 ＋1，＋∞).
*20．(12分）
cos A sin A
解析：由正弦定理化边为角可得： ＝ ，所以 2sin B cos A－sin C cos
cos C 2sin B－sin C
A＝sin A cos C，
即 2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin B，
1
因为 sin B≠0，所以 2cos A＝1，cos A＝ ，
2
π
因为 A∈(0，π)，所以 A＝ ，
3
2 2
在△ABC 中，由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c) －3bc≥(b＋c) －
b＋c 2 2
3× 2 1＝ (b＋c)
4
a2 1
2
即 ≥ (b＋c) ＝4，所以 a≥2，所以 a的最小值为 2.
4
21．(12分）
【解析】因为三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱，所以 BB1 底面 ABC，所以 BB1 AB
因为 A1B1 //AB， BF A1B1，所以 BF AB，
又 BB1 BF B，所以 AB 平面 BCC1B1．
所以 BA,BC,BB1两两垂直．
以 B为坐标原点，分别以 BA,BC,BB 所在直线为 x, y, z1 轴建立空间直角坐标系，如图．
2
所以 B 0,0,0 , A 2,0,0 ,C 0,2,0 ,B1 0,0,2 , A1 2,0,2 ,C1 0,2,2 ，
E 1,1,0 ,F 0,2,1 ．
由题设D a,0,2 （0 a 2）．
（1）因为 BF 0,2,1 ,DE 1 a,1, 2 ，
所以 BF DE 0 1 a 2 1 1 2 0，所以 BF DE．
（2）设平面DFE的法向量为m x, y, z ，
因为 EF 1,1,1 ,DE 1 a,1, 2 ，
m E x y z 0
所以
F 0，即 ．
m DE 0 1 a x y 2z 0
令 z 2 a，则m 3,1 a, 2 a
因为平面 BCC1B1的法向量为 BA 2,0,0 ，
设平面 BCC1B1与平面DEF 的二面角的平面角为 ，
m BA
则 cos
6 3
m
．
BA 2 2a2 2a 14 2a2 2a 14
a 1 27当 时， 2a2 2a 4取最小值为 ，
2 2
3 6
此时 cos 取最大值为 27 3 ．
2
2
所以 sin 1 6 3 ， 此时 B D
1
1 ．min
3 3 2
*22．(12分）【解】 (1) 函数 f (x) 是奇函数. 证明如下：
x＋1
由 >0，
x－1
解得 f (x) 的定义域为(－∞，－1) ∪(1，＋∞) .
因为对任意的 x∈(－∞，－1) ∪(1，＋∞) ，都有－x∈(－∞，－1) ∪(1，＋∞) ，
x＋1
f(－x) log －x＋1 log x－1
－1
且 ＝ a ＝ a ＝loga x－1 ＝－log
x＋1
a ＝－f(x) ，
－x－1 x＋1 x－1
所以，f (x) 是奇函数．
3
2
x 1＋
(2)当 a＝2时，f(x) ＝log x＋12 ，y＝f(2x) ＝log
2 ＋1
＝log 2x2 2 －1 .
x－1 2x－1
因为 f (x) 的定义域是(－∞，－1) ∪(1，＋∞) ，所以 2x>1，
2
所以 ∈(0，＋∞) 2，1＋ ∈(1，＋∞) ，
2x－1 2x－1
1 2＋
所以 log x2 2 －1 ∈(0，＋∞) ，
所以，y＝f (2x) 的值域是(0，＋∞) .
3
(3)因为函数 f (x
b， a
) 在 2 上的值域为(1，2) ，又 a>0，且 a≠1，
x b
3
， a
由 f ( ) 的定义域得 2 (1，＋∞) 3，所以 a>b>1.
2
①当 0
x－1
1 2＋ b 3， a
loga x－1 在 2 上单调递增，
1 2＋ ＝a
f(b)＝1 b－1
2
所以 3a ，即 1＋ 2 ，
f 2 ＝2 3
＝a
a－1
2
因为 b>1 2 2，所以 1＋ >1，所以 1＋ ＝a无解．
b－1 b－1
2 2
( 3或者因为 a>1，所以 1＋3 >1，所以 1＋ ＝a
2无解)，
2 a－1 3a－1
2 2
故此时不存在实数 a，b满足题意．
1 2＋
②当 a>1 2时，因为 y＝1＋ 在(1，＋∞)上单调递减，所以函数 f(x) ＝loga x－1
x－1
b 3， a
在 2 上单调递减，
2
1＋3 ＝a3a a－1
所以 f 2 ＝1，
2
，即 ，
f(b) 2＝2， 1＋ ＝a2
b－1
解得 a＝2或 a 1＝－ (舍)，b 5＝ .
3 3
5
综上，存在实数 a＝2，b＝ .
3
42022-2023 学年度上学期高二入学考试试题
数 学 （时量 120 分钟，满分 150 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
*1．已知(1－i)2z＝3＋2i，则 z＝( )
A 3．－1－ i B 3 3 3．－1＋ i C．－ ＋i D．－ －i
2 2 2 2
*2．命题“ x∈Z，x2＋1是 4的倍数”的否定为( )
A． x∈Z，x2＋1是 4的倍数 B． x∈Z，x2＋1不是 4的倍数
C． x∈Z，x2＋1不是 4的倍数 D． x Z，x2＋1不是 4的倍数
*3．函数 f(x)＝ln x＋3x－4的零点所在的区间为( )
0 1 1， ，1
A． 2 B． 2 C．(1，2) D．(2，3)
4．2020年是湖南实施高考综合改革的第一年，新高考规定：语文，数学、英语是必考科目，
考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6个等级考试中选取 3个作为选考科
目．某考生已确定选定物理作为自己的选考科目，然后从剩下的 5个等级考试科目中再选择
2个等级考试科目组成自己的选考方案，则考生”选择思想政治、生物”和“选择化学、地理”
为（ ）
A. 相互独立事件 B. 对立事件
C. 不是互斥事件 D. 互斥事件但不是对立事件
*5．已知直线 x－2y＋m＝0(m>0)与直线 x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是 5，则
m＋n等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
*6．在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为 BB1的中点，
则异面直线 C1D与 A1C所成角的余弦值为( )
A 10 B 2 5． ． C 15 D 10． ．
5 7 15 15
ax－1，x≤1
*7．已知函数 f(x)＝ 是 R 上的单调函数，则实数 a的取值范围是( )
2x2－ax＋a，x>1
A．(1，2) B．(1，3] C．(2，3] D．(1，4]
*8．2020年 12月 8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86(单位：m)，
三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，
B，C三点，且 A，B，C在同一水平面上的投影 A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝
60°.由 C点测得 B点的仰角为 15°，BB′与 CC′的差为 100；由 B点测得 A点的仰角为 45°，
则 A，C两点到水平面 A′B′C′的高度差 AA′－CC′约为( 3 ≈1.732)( )
A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
1
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
*9．已知 x>0，y>0，且 x＋y＝2，则下列结论中正确的是( )
A．xy有最小值 1 B．x2＋y2有最小值 2
C 2 2． ＋ 有最小值 4 D． x ＋ y 有最小值 4
x y
2x π＋
*10．已知函数 f(x) ＝sin 6 ，则( )
π
－ ，0
A．f (x) 的最小正周期为π B．f (x) 的图象关于点 6 中心对称
0 π，
C.f (x) x π的图象关于直线 ＝ 对称 D．f (x) 在 6 上单调递增
6
*11．已知直线 l：(a＋1)x＋ay＋a＝0(a∈R)与圆 C：x2＋y2－4x－5＝0，则下列结论正确的
是( )
A．存在 a，使得 l的倾斜角为 90°
B．存在 a，使得 l的倾斜角为 135°
C．存在 a，使直线 l与圆 C相离
D．对任意的 a，直线 l与圆 C相交，且 a＝1时相交弦最短
*12．如图，正四棱锥 P ABCD中，O为正方形 ABCD的中心，PA＝AB＝2，点 E，F分别
为侧棱 PA，PB的中点，则( )
A．OE⊥PA B．OF∥PD
C．四棱锥 P ABCD 4的体积为 D．AC⊥平面 PBD
3
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
*13 π 3 π．已知θ是第四象限角，且 sin (θ＋ )＝ ，则 tan (θ－ )＝________．
4 5 4
*14．在四面体 OABC中，棱 OA、OB、OC两两垂直，且 OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为
△ABC →的重心，则OG ·(O→A O→＋ B ＋O→C )＝__________．
15．已知如图，平行四边形 ABCD 中，AB 3，AD 4， BAD 120 ，AB a，AD b，
1 H ，M 分别是 AD，DC 的中点，F 是上 BC 一点，且 BF BC，则 AM HF _______．
3
2
16．四面体 ABCD的四个顶点都在球О的球面上，△ABC和△ADC是边长为 2的等边三角
形，BD＝ 2 2 ，则球О的体积为 ；若 P，Q 分别为线段 AO，BC 的中点，则
PQ＝ ．（本题第一空 2分，第二空 3分）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动．在一次元宵
节猜灯谜活动中，共有 20 道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了 12 道，乙同学猜对了
8道，丙同学猜对了 n 道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
22
（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为 ，求 n 的值．
25
*18．(12 分）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产
线生产的产品中各随机抽取了 1000 件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根
据检测结果按[2，4) ，[4，6) ，[6，8) ，[8，10] 分组，得到如图所示的频率分布直方图，若
工厂认定产品的质量指数不低于 6为优良级产品，质量指数不低于 5 为合格级产品．
(1)用统计有关知识判断甲、乙两条生产线所生产产品的质量哪一条更好，并说明理由
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)质量部门认定：若一个工厂的产品合格率不低于 75%，则可获得“品牌工厂”称号．根
据上述两条生产线抽取的产品合格率情况，用样本估计总体的思想，估计该工厂是否能够获
得“品牌工厂”称号？
*19．(12 分）
已知函数f(x) ＝2sin2ωx＋2sin ωx.cos ωx (ω>0) 的图象两相邻对称轴之间的距离为2.
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)
的图象，若 g(x) －m<0 对任意的 x∈[0，4]恒成立，求实数 m 的取值范围．
3
cos A a
*20．(12 分）已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ＝ ，
cos C 2b－c
b＋c＝4，求 a 的最小值．
21．(12 分）已知直三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 AA1B1B为正方形， AB BC 2，E，
F分别为 AC和CC1的中点，D 为棱 A1B1上的点． BF A1B1
（1）证明： BF DE；
（2）当 B1D为何值时，面 BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小
*22．(12 分）已知函数 f (x) log x 1a (a＞0 且 a≠1).x 1
(1) 判断并证明函数 f (x)的奇偶性；
x
(2)若 a＝2，求函数 y f (2 )的值域；
3
(3)是否存在实数 a，b，使得函数 f (x)在区间（b, a)上的值域为(1，2) ，若存在，
2
求 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
4