本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
课堂合作探究
问题导学
一、用图象表示位移
活动与探究1
1．物体做匀速直线运动的v－t图象是平行于横轴t轴的一条直线，如图所示。矩形的边长正好是速度v和时间t，矩形的“面积”正好是v－t，故物体的位移对应着v－t图象中一块矩形的“面积”。
对于匀变速直线运动，它的位移与它的v－t图象，是不是也有类似的关系？试推导说明。
2．从车站开出的汽车做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车．汽车从开出到停止总共历时20 s，行进了50 m。求汽车的最大速度。
迁移与应用1
某一做直线运动的物体的图象如图所示，根据图象求：
（1）物体距出发点的最远距离；[来源:21世纪教育网]
（2）前4 s内物体的位移；
（3）前4 s内物体通过的路程。
（1）v－t图象与t轴所围的“面积”表示位移的大小。
（2）面积在t轴以上表示位移是正值，在t轴以下表示位移是负值。
（3）物体的总位移等于各部分位移（正负面积）的代数和。
（4）物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和。
二、匀变速直线运动位移公式的应用
活动与探究2
2011年太平洋冰壶锦标赛在南京奥体中心完美收官。主场作战的中国队表现出色，包揽了男、女两个项目的金牌。如图，冰壶以速度v垂直进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时，速度恰好为零。冰壶通过前三个矩形的时间为t，试通过所学知识计算冰壶通过四个矩形区域所需的时间。
迁移与应用2
以10 m/s的速度匀速行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动。若汽车刹车后第2 s内的位移为6.25 m（刹车时间超过2 s），则刹车后6 s内汽车的位移是多大？
（1）公式x＝v0t＋at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向。若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值。若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值。若位移的计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反。
（2）公式x＝v0t＋at2是匀变速直线运动的位移公式而不是路程公式，利用该公式计算出的是位移而不是路程。只有在物体做单方向直线运动时，位移的大小才等于路程。21世纪教育网
（3）因为公式是关于t的一元二次函数，故在x－t图象中图线是抛物线的一部分。
（4）当v0＝0时，x＝at2；当a＝0时，x＝v0t。
三、匀变速直线运动的两个重要推论
活动与探究3
1．试证明：做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即＝＝。
2．试证明：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即
Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2。
迁移与应用3
一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每个时间间隔为4 s，求质点的初速度和加速度。
（1）应用推论＝＝解题时应注意：
①推论＝＝只适用于匀变速直线运动，且该等式为矢量式。
②该推论是求瞬时速度的常用方法。
③v0＝0时，＝；v＝0时，＝。
（2）对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔的条件，应优先考虑用公式Δx＝aT2求解。
（3）运动学问题的求解一般均有多种解法，一题多解可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力。从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高解题能力。
当堂检测
1．一物体由静止开始做匀加速直线运动，在t内通过位移x，则它从出发开始通过所用的时间为（ ）
A． B．
C． D．t
2．一辆汽车从甲地出发，沿平直公路开到乙地刚好停止，其速度图象如图所示。那么0～t和t～3t两段时间内，下列说法中正确的是（ ）
A．加速度的大小之比为2∶1
B．位移的大小之比为2∶1
C．平均速度的大小之比为2∶1
D．中间时刻瞬时速度的大小之比为1∶1
3．某物体做直线运动，物体的速度—时间图象如图所示。若初速度的大小为v0，末速度的大小为v1，则在时间t1内物体的平均速度（ ）
A．等于 B．小于
C．大于 D．条件不足，无法比较
4．汽车以10 m/s的速度在公路上匀速行驶，刹车后以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，求刹车后8 s内汽车通过的位移大小。
5．由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第1 s内通过0.4 m的位移，问：
（1）汽车在第1 s末的速度为多大？
（2）汽车在第2 s内通过的位移为多大？
（3）汽车在第2 s内通过的位移与第1 s内通过的位移之差是多少？
答案：
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1：1．答案：有类似的关系。下面利用微分思想推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。
如果把每一小段时间Δt内的运动看做匀速运动，则矩形面积之和等于各段匀速直线运动的位移之和，虽然小于匀变速直线运动在该段时间内的位移，但时间间隔分割得越小，各匀速直线运动的位移之和与匀变速直线运动的位移之间的差值就越小，当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v－t图线下面的面积。可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于图丙中梯形的面积。
当时间间隔分割得足够小时，折线趋近于直线AP，设想的运动就代表了真实的运动，由此可以求出匀变速运动在时间t内的位移，它在数值上等于直线AP下方的梯形OAPQ的面积（图丙）。这个面积等于
S＝S1＋S2＝OA·OQ＋AR·RP＝v0t＋at2，
即位移x＝v0t＋at2。
这就是匀变速直线运动的位移公式。
2．答案：应用图象法，作出运动全过程的v－t图象，如图所示。v－t图线与t轴围成的三角形的面积与位移等值，故vm＝5 m/s。
迁移与应用1：答案：（1）6 m （2）5 m （3）7 m
解析：由图象可以看出物体在0～1 s内沿正方向做匀加速直线运动，在1～3 s内沿正方向做匀减速直线运动，在3～4 s内沿反方向做匀加速直线运动。
（1）物体在第3 s末离出发点最远，最远的距离等于图象中前3 s内三角形的面积，即x＝×3×4 m＝6 m。
（2）物体在前4 s内的位移为t轴上方三角形的面积与t轴下方三角形面积之差，即x2＝×3×4 m－×1×2 m＝5 m。
（3）物体在前4 s内通过的路程为t轴上方三角形的面积与t轴下方三角形面积之和，即s＝×3×4 m＋×1×2 m＝7 m。
活动与探究2：答案：根据匀变速直线运动的位移公式和速度公式，21世纪教育网
由A到E有4l＝vt1－at，0＝v－at1
由A到D有3l＝vt－at2
联立解得t1＝2t或t1＝t，显然t不符合题意，应舍去。
迁移与应用2：答案：20 m
解析：本题考查应用匀变速直线运动规律分析刹车问题，首先应求得刹车的时间。
设从刹车到停下的时间为t0，刹车的加速度为a，由匀变速直线运动得[来源:21世纪教育网]
x1＝v0t2＋at－（v0t1＋at）
代入数据解得a＝－2.5 m/s2
负号表示加速度与初速度方向相反
由v＝v0＋at得t0＝＝ s＝4 s＜6 s
汽车在4 s内已停下，6 s内位移即4 s内的位移
x＝v0t0＋at＝10×4 m＋×（－2.5）×42 m＝20 m。
活动与探究3：1．证明：设物体的初速度为v0，做匀变速运动的加速度为a，t秒末的速度为vt。由x＝v0t＋at2得，①
平均速度＝＝v0＋at②
由速度公式vt＝v0＋at，当t′＝时
③
由②③得④
又⑤
由③④⑤解得⑥
所以。
2．证明：时间T内的位移
x1＝v0T＋aT2①
在时间2T内的位移
x2＝v02T＋a（2T）2②
则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③
由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
迁移与应用3：答案：1 m/s 2.5 m/s2
解析：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，选择不同的公式，是审题的视角、观点不同，是解题的物理思想不同。
解法1：基本公式法
画出过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择公式：
将x1＝24 m，x2＝64 m，t＝4 s代入上式解得：21世纪教育网
a＝2.5 m/s2 vA＝1 m/s
解法2：求平均速度法
连续的两段时间t内的平均速度分别为：
＝＝ m/s＝6 m/s，＝＝ m/s＝16 m/s
B点是AC段的中间时刻，则＝，＝
又vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
得：vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
解法3：用Δx＝aT2求解
由Δx＝aT2得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
再由x1＝vAT＋aT2解得vA＝1 m/s
【当堂检测】
1．B 2．AD 3．C
4．答案：25 m
5．答案：（1）0.8 m/s （2）1.2 m （3）0.8 m
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
4 匀变速直线运动的速度与位移的关系
课堂合作探究
问题导学
一、匀变速直线运动的位移与速度的关系
活动与探究1
1．有些航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射装置，假设某种型号的战斗机在跑道上产生的最大加速度为4.5 m/s2，起飞速度为50 m/s，要求飞机滑行100 m后起飞，能否只用一个关系式直接求出弹射系统给飞机的初速度？
2．请你设计一飞机跑道，给一特殊类型的喷气飞机使用，该飞机在跑道上滑行时以a＝4.0 m/s2恒定的加速度增速，当速度达到85 m/s时就可升空，如果允许飞机在达到起飞速率的瞬时停止起飞而仍不会滑出跑道，且能以大小为5.0 m/s2的恒定加速度减速，跑道的长度应设计为多长？
迁移与应用1
一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，当火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过这个路标时的速度为v2，求：
（1）列车的加速度a；
（2）列车中点经过此路标时的速度v；
（3）整列火车通过此路标所用的时间t。
[来源:21世纪教育网]
对速度—位移关系式v2－v＝2ax的理解
（1）公式仅适用于匀变速直线运动。
（2）式中v0和v是初、末时刻的速度，x是这段时间的位移。
（3）v、v0、a、x均为矢量，要规定统一的正方向。
（4）当v0＝0时，公式简化为v2＝2ax；v＝0时，公式简化为－v2＝2ax。
（5）该式是由匀变速直线运动的两个基本公式推导出来的，因不含时间，所以在不涉及时间的问题中应用很方便。
二、追及和相遇问题
活动与探究2
1．军舰在一次执行护航任务中，与商船在海上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻两船同时到达海上某一点并排行驶，如图所示，直线a、b分别描述了商船和军舰在0～20 s的运动情况，关于两船之间的位置关系，下列说法正确的是（ ）21世纪教育网
A．在0～10 s内两船逐渐靠近
B．在10～20 s内两船逐渐远离
C．在5～15 s内两船的位移相等
D．在t＝10 s时两船相遇
2．两物体在同一直线上运动时，常常出现“追及”和“相遇”的情况，请归纳出两物体“追及”和“相遇”的条件是什么。
迁移与应用2
一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：
（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多少时间两车相距最远？此时距离是多少？
（2）什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多少？
分析追及、相遇问题的基本思路
（1）根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图。
分析“追及”“相遇”问题时，一定要抓住“一个条件，两个关系”：“一个条件”是两物体的速度相等满足的临界关系，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。“两个关系”是时间关系和位移关系。
（2）根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程。
（3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程。
（4）联立方程求解。
当堂检测
1．关于公式x＝，下列说法正确的是（ ）
A．此公式只适用于匀加速直线运动
B．此公式适用于匀减速直线运动
C．此公式只适用于位移为正的情况
D．此公式不可能出现a、x同时为负值的情况
2．一个小球从斜面的顶端由静止开始匀加速沿斜面滑下，经过斜面的中点时速度为3 m/s，则小球到达斜面底端时的速度为（ ）
A．4 m/s B．5 m/s
C．6 m/s D．3 m/s
3．几个做匀变速直线运动的物体，在时间t内位移一定最大的是（ ）
A．加速度最大的物体 B．初速度最大的物体
C．末速度最大的物体 D．平均速度最大的物体
4．如图所示，一猎豹以10 m/s的速度奔跑，它发现前方丛林似乎有猎物活动，于是开始减速，当减速奔跑了60 m时，速度减小到2 m/s，试求猎豹的加速度。
5．高速公路给人们带来极大的方便，但是由于在高速公路上行驶的车辆速度很大，雾天曾出现过几十辆车追尾连续相撞的事故。假设有一轿车在某高速公路的正常行驶速度为120 km/h，轿车产生的最大加速度大小为8 m/s2，如果某天有薄雾，能见度（观察者与能看见的最远目标间的距离）约为37 m，设司机的反应时间为0.6 s，为了安全行驶，轿车行驶的最大速度是多少？
答案：
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1：1．答案：能，关系式为v2－v＝2ax，飞机的初速度为40 m/s。
解析：由匀变速直线运动的速度—时间关系
v＝v0＋at可得，t＝①
匀变速直线运动的位移—时间关系为
x＝v0t＋at2②
把①式代入②得
x＝＋
＝
＝
所以v2－v＝2ax
此式为匀变速直线运动的速度与位移的关系。
把题中数据代入上式可解得v0＝40 m/s。
2．答案：1 626 m
解析：利用公式v2－v＝2ax得
x1＝
x2＝
所以x＝x1＋x2＝1 626 m
迁移与应用1：答案：（1） （2）
（3）
解析：火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l，速度变为v2，所求的v是经过处的速度。其运动简图如图所示。
（1）由匀变速直线运动的规律得，则火车的加速度为。21世纪教育网
（2）火车的前一半通过路标时，有
火车的后一半通过路标时，有
所以有，故。
（3）火车的平均速度，故所用时间。
活动与探究2：1．C 解析：由题图知，军舰和商船从同一地点同时朝同一方向做直线运动，在0～10 s内，军舰在前，且速度大于商船速度，因此两船逐渐远离， 10 s时，速度相等，两船距离最远，故A、D错。由题图知，在5～15 s内两船位移相等，故C对。在10～20 s内两船逐渐靠近，故B错。
2．答案：追及问题：
追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有无极值的临界条件。
第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：
①若两者速度相等时，仍然没有追上，则以后永远追不上，且此时刻两者间有最小的距离。21世纪教育网
②若两者到达同一位置时，速度也恰好相等，则恰能追上。
③若两者到达同一位置时，后者的速度大于前者的速度，则还有一次相遇的机会。
第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：
①当两者速度相等时有最大距离。
②若两者到达同一位置则追上。
相遇问题：
①同向运动的两物体追及即相遇。
②相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
迁移与应用2：答案：（1）2 s 6 m （2）4 s 12 m/s
解析：（1）解法一：用基本规律的方法。汽车与自行车的速度相等时相距最远，设到此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δx，则有v1＝at1＝v自
所以t1＝＝2 s
Δx＝v自t1－＝6 m。
解法二：用求极值的方法。设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则
Δx＝x1－x2＝v自t1－
代入已知数据得Δx＝（6t1－） m
由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时Δx最大。
所以Δx＝6 m。
解法三：用图象法。自行车和汽车的v－t图象如图所示。由图可以看出，在相遇前，在t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以t1＝＝＝2 s
Δx＝＝＝6 m。
（2）解法一：当两车位移相等时，汽车追上自行车，设到此时所经过的时间为t2，则有v自t2＝
解得t2＝＝＝4 s
此时汽车的速度v′＝at2＝12 m/s。
解法二：由上图可以看出，在t1时刻之后，由图线v自、v汽和t＝t2组成的三角形的面积与标有阴影的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇。所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝12 m/s。
【当堂检测】
1．B 2．D 3．D
4．答案：－0.8 m/s2[来源:21世纪教育网]
5．答案：72 km/h
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1 实验：探究小车速度随时间变化的规律
课堂合作探究
问题导学
一、实验探究
活动与探究1
实验时应注意以下几点：
1．开始释放小车时小车应处于什么位置？通电与释放小车的先后顺序怎样？打点完毕时是否断开电源？
2．讨论交流选取纸带的原则是什么？人为选取的计数点与打点计时器打出的计时点是否一致？一般情况如何选取计数点？这样选取的目的是什么？
3．讨论在坐标纸上画v－t图象时有没有必要注意坐标轴单位长度的选取？为什么？作出的图象怎样分布较理想？
4．为使实验结果较为准确，应注意的问题是什么？
迁移与应用1
在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，是用打点计时器在纸带上打的点记录小车的运动情况。某同学做此实验时步骤如下：
A．拉住纸带，将小车移至靠近打点计时器处，放开纸带，再接通电源。
B．将打点计时器固定在长木板上，并接好电路。
C．把一条绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面挂上适当的钩码。
D．小车停止运动后，直接取下纸带。
E．将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔。
F．换上新纸带，重复操作三次，然后从各纸带中选取一条清晰的进行数据处理。
其中错误或遗漏的步骤有：
（1）____________________________________________________；
（2）____________________________________________________。
将以上步骤完善后按合理的顺序填写在下面横线上。
__________________________________________________________。
实验时应注意以下几点：
（1）开始释放小车时，应使小车靠近打点计时器。
（2）先接通电源，等打点稳定后，再释放小车。
（3）打点完毕，立即断开电源。
（4）选取一条点迹清晰的纸带，适当选取计数点（注意计数点与计时点的区别），弄清楚所选的时间间隔T等于多少秒。
（5）牵引小车的钩码质量要适宜。如果质量过大，纸带上打出的计时点太少；如果质量过小，打出的点过于密集，不便于测量距离。
（6）要防止钩码落地，避免小车跟滑轮相碰，当小车到达滑轮前及时用手按住。
（7）在坐标纸上画v－t图象时，注意坐标轴单位长度的选取，应使图线尽量分布在较大的坐标平面内。
二、数据处理
活动与探究2
（1）我们通过实验可以得到若干条纸带，那么如何选择纸带？如何测量数据？怎样计算出计数点的瞬时速度？
（2）在处理数据时往往要作v－t图象，为什么作v－t图象是研究运动规律最好的方法？作出的图象怎样分布较理想？
迁移与应用2
在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，如图给出了从0点开始，每5个点取一个计数点的纸带，其中0、1、2、3、4、5、6都为计数点。测量后计算得出：x1＝1.40 cm，x2＝1.90 cm，x3＝2.38 cm，x4＝2.88 cm，x5＝3.39 cm，x6＝3.87 cm。那么：
（1）在计时器打出点1、2、3、4、5时，小车的速度分别为：v1＝______cm/s，v2＝______ cm/s，v3＝______ cm/s，v4＝______ cm/s，v5＝______ cm/s。
（2）在平面直角坐标系中作出v－t图象。
（3）分析小车运动速度随时间变化的规律。
实验数据处理的方法
（1）表格法
①从几条纸带中选择一条比较理想的纸带，舍掉开始一些比较密集的点，在后面便于测量的地方找一个开始点，作为计数始点，以后依次每五个点取一个计数点，并标明0、1、2、3……测量各计数点到0点的距离x，并记录填入表中。
位置编号 0 1 2 3 4[来源:21世纪教育网] 5
时间t/s 21世纪教育网 21世纪教育网
x/m
v/（m·s－1）
②分别计算出与所求点相邻的两计数点之间的距离Δx1、Δx2、Δx3……
③计算平均速度，用平均速度代替相关计数点的瞬时速度，填入上面的表格中。
④根据表格中的数据，分析速度随时间怎么变化。
（2）图象法
①在坐标纸上建立直角坐标系，横轴表示时间，纵轴表示速度，并根据表格中的数据在坐标系中描点。
②画一条直线，让这条直线通过尽可能多的点，不在线上的点均匀分布在直线的两侧，偏差比较大的点忽略不计，如图所示。
③观察所得到的直线，分析物体的速度随时间的变化规律。
当堂检测
1．在利用打点计时器探究小车的速度随时间变化规律的实验中，关于计数点间的时间间隔，下列说法中正确的是（打点周期为0.02 s）（ ）
A．每隔四个点取一个计数点，则计数点间的时间间隔为0.10 s
B．每隔四个点取一个计数点，则计数点间的时间间隔为0.08 s
C．每五个点取一个计数点，则计数点间的时间间隔为0.10 s
D．每五个点取一个计数点，则计数点间的时间间隔为0.08 s
2．在实验过程中，对减小实验误差来说，下列方法中有益的是（ ）
A．选取计数点，把每打5个点的时间间隔作为一个时间单位
B．使小车运动的加速度尽量小些
C．舍去纸带上密集的点，只利用点迹清晰、点与点间隔适当的那一部分进行测量、计算
D．选用各处平整程度、光滑程度相同的长木板做实验
3．在用打点计时器“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，下列关于v－t图象作法的说法正确的是（ ）
A．只要确定了v－t图象中的两点，就可以得到小车运动的v－t图象，因此，实验只需要测出两组数据
B．作v－t图象时，所取的点越多，图线就越准确
C．作出的v－t图线应该通过所有取定的点，图线曲折也可以
D．对于偏离所作直线较远的点，说明误差大，应舍去
4．在研究小车运动情况的实验中，已计算出小车经过各计数点的瞬时速度如下表：
计数点序号 1 2 3[21世纪教育网 4 5 6
计数点对应的时刻（s） 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
通过计数点的速度（cm/s） 44.0 62.0 81.0 100.0 110.0 168.0
为了计算加速度，合理的方法是（ ）
A．根据任意两计数点的速度用公式a＝计算出加速度
B．根据实验数据画出v－t图象，量出其倾角，由公式a＝tan α求出加速度
C．根据实验数据画出v－t图象，由图象上相距较远的两点所对应的速度、时间用公式a＝计算出加速度
D．依次算出通过连续两计数点间的加速度，算出平均值作为小车的加速度
5．在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，按照实验进行的先后顺序，将下述步骤的代号填在横线上________。
A．把穿过打点计时器的纸带固定在小车后面
B．把打点计时器固定在长木板的没有滑轮的一端，并连好电路
C．换上新的纸带，再重复做两次
D．把长木板平放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面
E．使小车停在靠近打点计时器处，接通电源，放开小车，让小车运动
F．把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下边吊着合适的钩码
G．断开电源，取出纸带
答案：
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1：1．答案：（1）开始释放小车时，应使小车靠近打点计时器。
（2）先接通电源，等打点稳定后，再释放小车。
（3）打点完毕，立即断开电源。
2．答案：（1）选取一条点迹清晰的纸带，适当舍弃点密集部分。
（2）人为选取的计数点和打点计时器打出的计时点一般不一致。
（3）一般在纸带上每隔4个点取一个计数点，即时间间隔为t＝0.02×5 s＝0.1 s。
（4）这样选取的目的是为了便于测量和计算。
3．答案：（1）在坐标纸上画v－t图象时，应注意坐标轴单位长度的选取。
（2）坐标轴单位长度的选取情况将直接影响作出的图象在坐标平面内的分布情况，进而影响实验结果的误差大小。
（3）应使作出的图象尽量分布在较大的坐标平面内。
4．答案：（1）实验前，将打点计时器固定在长木板的一端，以免拉动纸带时晃动，并要先轻轻试拉纸带，应无明显的阻滞现象。
（2）如打出的点较轻或是短线时，应调整振针距复写纸的高度。
（3）每打好一条纸带，将定位轴上的复写纸换个位置，以保证打点清晰。
（4）不要分段测量各段位移，应尽可能地一次测量完毕（可先统一量出各计数点到计数起点O之间的距离）。读数时应估读到毫米的下一位。
迁移与应用1：答案：错误操作：（1）A中应先接通电源，再释放纸带。
（2）D中取纸带前应先断开电源。
合理顺序：BECADF。
解析：实验过程中应先接通电源再放开纸带，取纸带前应先断开电源，所以错误操作是A、D步骤。合理的顺序应在实验过程中掌握。
活动与探究2：答案：（1）选择所打纸带中最清晰的一条，舍掉开头一些过于密集的点，找一个适当的点当作计时起点。
测量时选择相隔0.1 s，即中间空四个点的时间间隔的若干计数点进行测量，把数据填入表格。
选了相邻三个计数点间的间隔为研究对象，根据测量结果算出这两个0.1 s内的距离Δx，把v＝算出的平均速度近似当作这三个点中的中间点的瞬时速度。
（2）用图象能够直观地表示小车的运动情况，同时能减小实验误差。应使作出的图象尽量分布在较大的坐标平面内。
迁移与应用2：答案：（1）16.50 21.40 26.30 31.35 36.30
（2）图象如解析图所示
（3）速度随时间均匀增加
解析：（1）显然，两相邻的计数点之间的时间间隔为T＝0.02×5 s＝0.1 s。对应各点的速度分别为：
v1＝＝ cm/s＝16.50 cm/s
v2＝＝ cm/s＝21.40 cm/s
v3＝＝ cm/s＝26.30 cm/s
v4＝＝ cm/s＝31.35 cm/s
v5＝＝ cm/s＝36.30 cm/s
（2）利用描点法作出v－t图象，如图所示：
（3）小车运动的v－t图象是一条倾斜向上的直线，说明速度随时间均匀增加，它们成线性关系。
【当堂检测】
1．AC 2．ACD 3．BD 4．C
5．答案：DBFAEGC
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2 匀变速直线运动的速度与时间的关系
课堂合作探究
问题导学
一、匀变速直线运动
活动与探究1
1．什么样的运动是匀变速直线运动？匀变速直线运动有什么特点？匀加速直线运动和匀减速直线运动的a与v有什么关系？
2．如图所示的v－t图象有什么特点？它表示物体运动的速度有什么特点？物体运动的加速度又有什么特点？
3．2011年11月20日，在英国伯明翰举行的世界蹦床锦标赛结束了第三日争夺，中国选手连夺三冠。如图所示是一运动员某次蹦床跳起后的v－t图象，结合你的体会和经历，分析下列问题。
（1）他跳起时的速度是多大？
（2）哪段时间是上升的，哪段时间是下降的？
（3）从图象中可以看出，是选上升过程的速度为正方向还是选下降过程的速度方向为正方向？
（4）他所做的运动是匀变速运动吗？若是，求其加速度。
迁移与应用1
下列图象能表示匀变速运动的是（ ）
（1）对匀变速直线运动的理解
运动名称 匀变速直线运动
分类 匀加速直线运动 匀减速直线运动
特征21世纪教育网[来源:21世纪教育网] 轨迹——直线21世纪教育网 轨迹——直线
加速度——不变 加速度——不变
速度——均匀增加 速度——均匀减小
如果一个物体做加速运动（即加速度与速度方向相同），加速度由大变小说明在单位时间内速度增加量比前一时间少了，但速度仍在增加，故加速度减小时速度不一定减小。同理，若物体做减速运动，不论加速度增大还是减小，速度一定是减小的。
（2）匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线。如图（a）和（b）所示为不同类型的匀变速运动的速度图象。
初速为零的匀加速直线运动的v－t图象是过原点的倾斜直线，如图（c）所示。
图象的作用：
①直观地反映速度v随时间t均匀变化的规律。图（a）为匀加速运动，图（b）为匀减速运动。
②可以直接得出任意时刻的速度，包括初速度v0。
③可求出速度的变化率。图（a）表示速度每秒增加0.5 m/s，图（b）表示速度每秒减小1 m/s。
二、速度与时间的关系式
活动与探究2
1．试根据匀变速直线运动的特点，分别通过v－t图象和加速度的定义式推导出速度v和时间t关系的数学表达式。
2．分析公式v＝v0＋at中各符号的含义分别是什么？公式v＝v0＋at是矢量式还是标量式？公式中的v0、v、a是矢量还是标量？
3．应用公式v＝v0＋at时首先需要选取正方向。正方向一般如何选取？选取正方向后式中各量的正负如何确定？什么情况下物体做加速运动？什么情况下物体做减速运动？
迁移与应用2
一质点从静止开始以1 m/s2的加速度做匀加速运动，经5 s后做匀速运动，最后2 s的时间使质点匀减速到静止，则质点匀速运动时速度多大？减速运动时加速度多大？
（1）速度公式反映了匀变速直线运动的瞬时速度随时间变化的规律，式中v0是计时开始时的瞬时速度，v是经时间t后的瞬时速度。
（2）速度公式中v0、v、a都是矢量，在直线运动中，规定正方向后（常以v0的方向为正方向），都可用带正、负号的代数量表示，因此，对计算结果中的正、负，需根据正方向的规定加以说明，若经计算后v＞0，说明末速度与初速度同向；若a＜0，表示加速度与v0同向。
（3）利用v＝v0＋at计算未知量时，若物体做减速运动，且加速度a已知，则代入公式计算时a应取负数，如v0＝10 m/s，以2 m/s2的加速度做减速运动，则2 s后的瞬时速度v＝（10－2×2） m/s＝6 m/s。
当堂检测
1．下列关于匀变速直线运动的说法，正确的是（ ）
A．匀变速直线运动是运动快慢相同的运动
B．匀变速直线运动是速度变化量相同的运动
C．匀变速直线运动的at图象是一条倾斜的直线
D．匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线
2．质点做匀加速直线运动，初速度为v0＝2 m/s，加速度为a＝0.1 m/s2，则（ ）
A．质点第4 s末的速度为2.4 m/s
B．每经过2 s时间，物体速度就增大2.2 m/s
C．质点的速度一直增大
D．质点的速度随时间均匀增大
3．如图是某物体运动的v－t图象，下列说法正确的是（ ）
A．该物体的加速度一直不变
B．3 s末物体加速度开始改变
C．0～8 s物体一直做匀减速运动
D．t＝0时和t＝6 s时物体的速率相等
4．一辆赛车正以6 m/s的速度行驶，如果它获得了2 m/s2的加速度而做匀加速直线运动，当速度增加到20 m/s，经历的时间是______；开始加速10 s后，它的瞬时速度大小是______。
5．在绿茵场上，一个足球以10 m/s的速度沿正东方向运动，运动员飞起一脚，使足球以20 m/s的速度向正西方向飞去，运动员与足球的作用时间为0.1 s，求足球获得加速度的大小和方向。
答案：
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1：1．答案：沿着一条直线且加速度不变的运动，叫匀变速直线运动，其特点为任意相等时间内Δv相等，速度均匀变化，即＝常量。
匀加速直线运动时，a与v同向；匀减速直线运动时a与v反向。
2．答案：图象是一条平行于时间轴的直线。物体的速度不随时间变化，即物体做匀速直线运动。做匀速直线运动的物体，Δv＝0，＝0，所以加速度为零。
3．答案：（1）由图可知，他跳起时的速度为v0。
（2）0～t1时间内速度方向与v0方向相同，是上升的。t1～t2时间内，速度方向与v0方向相反，是下降的。
（3）选上升过程的速度方向为正方向。
（4）由于加速度不变，所以是匀变速运动，其加速度a＝＝＝－。
迁移与应用1：AC 解析：v－t图象斜率保持不变，说明加速度恒定不变，物体做匀变速直线运动，A正确。x－t图象斜率保持不变，说明速度恒定不变，物体做匀速直线运动，B错误。a－t图象纵坐标保持不变，说明物体的加速度不变，物体做匀变速直线运动，C正确。D选项中的v－t图象表明物体做加速度变化的变速直线运动，D错误。
活动与探究2：1．答案：图象推导：
由图可知末速度大小由初速度v0和t时间内增加的部分at组成，故v＝v0＋at。
加速度定义式推导：
由a＝＝得：v＝v0＋at。
2．答案：（1）v0、v分别表示物体的初、末速度，a为物体的加速度，且a为恒量；
（2）公式v＝v0＋at是矢量式；
（3）公式中的v0、v、a为矢量。
3．答案：（1）一般取v0的方向为正方向；
（2）选取v0的方向为正方向后，a、v与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值。
（3）a与v0同向时物体做匀加速直线运动。
（4）a与v0方向相反时物体做匀减速直线运动。
迁移与应用2：答案：5 m/s －2.5 m/s2
解析：质点的运动过程包括加速→匀速→减速三个阶段，如图所示，AB段为加速阶段，BC段为匀速阶段，CD段为减速阶段。
则匀速运动的速度即为加速阶段的末速度vB。以初速度方向为正方向，则
vB＝v0＋at＝0＋1×5 m/s＝5 m/s
而质点做匀减速运动的初速度即为匀速运动的速度，即
vB＝vC＝5 m/s
而末速度vD＝0，由vD＝vC＋at得
a＝＝ m/s2＝－2.5 m/s2
负号表示a与初速度v0的方向相反。
【当堂检测】
1．D 2．ACD 3．AD
4．答案：7 s 26 m/s
5．答案：300 m/s2 方向向西
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
5 自由落体运动
6 伽利略对自由落体运动的研究
课堂合作探究
问题导学
一、自由落体运动
活动与探究1
1．在现实生活中，不同物体的落体运动，下落的快慢在很多情况下是不同的，从苹果树上落下的苹果和飘下的树
叶的下落情况相同吗？为什么？它们下落的运动是否是自由落体运动？
2．地球表面上重力加速度的大小与地球上的位置有关吗？重力加速度随纬度的变化情况怎样？赤道和两极处重力加速度的大小情况怎样？在一般的计算中它的取值是多少？
3．重力加速度的大小与距地面的高度有关吗？在地面上同一地点随高度的增加重力加速度如何变化？在一般的高度内重力加速度的变化明显吗？
迁移与应用1
关于自由落体运动，下列说法正确的是（ ）
A．物体竖直向下的运动一定是自由落体运动
B．自由落体运动是初速度为零、加速度为g的竖直向下的匀加速直线运动
C．物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫自由落体运动
D．当空气阻力的作用比较小、可以忽略不计时，将物体自由释放的运动叫自由落体运动
（1）自由落体运动是一种理想化的运动模型。它忽略了空气阻力对下落物体的影响，严格来讲，只有在真空中才能发生自由落体运动。但是，如果物体所受空气阻力远小于物体的重力，物体自由下落的运动可以近似地看做自由落体运动。
（2）自由落体运动要具备两个条件：第一，初速度为零；第二，除重力之外不受其他力的作用。
（3）在同一地点，一切物体的重力加速度都相同，也就是说，同一地点一切物体自由下落的快慢都相同。
（4）在地球的不同地方，重力加速度的大小略有不同。
①在地球表面，纬度越高的地方，重力加速度g的值越大。
②在地面上的同一地点，高度越高的地方，重力加速度g的值越小。
二、自由落体运动的规律
活动与探究2
1．自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，试比较其运动规律与匀变速直线运动有什么不同。
2．如图所示，你如果想测量你的同桌的反应时间，你握住尺子的上端，同桌的手放在尺子的下端零刻线处待命，当同桌看到你的手松开时，迅速握住尺子，他的手握在20 cm处，同桌的反应时间为多长？若招飞行员时对飞行员的反应时间要求达到0.16 s，同桌能当飞行员吗？（g取10 m/s2）
迁移与应用2
屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，如图所示，问：（g取10 m/s2）
（1）此屋檐离地面多高？
（2）滴水的时间间隔是多少？
（1）自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，即v0＝0，a＝g，所以匀变速直线运动的基本公式以及推论都适用于自由落体运动。
①速度与时间关系式：v＝gt
②位移与时间关系：h＝gt2，其中h为由静止下落的高度
③速度与位移关系式：v2＝2gh
（2）由平均速度求高度的公式：h＝t；
（3）连续相等时间T内下落的高度之差Δh＝gT2；
（4）初速度为0的匀加速直线运动的几个比例关系式对自由落体运动都适用。
①1T内、2T内、3T内…下落的高度之比[来源:21世纪教育网]
x1∶x2∶x3∶…＝12∶22∶32∶…；
②第一个T内、第二个T内、第三个T内…下落的高度之比
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）；
③下落连续相同的高度所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶（－1）∶（－）∶…∶（－）。
三、伽利略对自由落体运动的研究
活动与探究3
1．根据亚里士多德的观察，物体下落的快慢由什么因素决定？
2．伽利略是怎样提出假设、运用逻辑推理证明亚里士多德的观点是错误的？
3．伽利略进行了怎样的猜想？又是如何验证的？
迁移与应用3
在学习物理知识的同时，还应当十分注重学习研究物理学问题的思想和方法。伟大的物理学家伽利略的研究方法对于后来的科学研究具有重大的启蒙作用，至今仍然具有重要意义。回顾伽利略探究物体下落规律的过程，判定下列哪个过程是伽利略的探究过程（ ）
A．猜想—问题—数学推理—实验验证—合理外推—得出结论
B．问题—猜想—实验验证—数学推理—合理外推—得出结论
C．问题—猜想—数学推理—实验验证—合理外推—得出结论
D．猜想—问题—实验验证—数学推理—合理外推—得出结论
（1）伽利略第一次把实验和逻辑推理（包括数学推演）和谐地结合起来，成功地解决了关于自由落体运动的性质问题。他采取了更为科学的探究流程：观察、提出问题、猜想、分析问题、提出假设、实验证明、分析实验结果、实验结果推广、得出结论。
（2）伽利略对自由落体运动的研究，开创了研究物理规律的科学方法——抽象思维、数学推导和科学实验相结合，这种方法到现在仍然一直是物理学乃至整个自然科学最基本的研究方法，不但标志着物理学的真正开端，也有力地推进了人类科学认识的发展，近代科学研究的大门从此打开。
当堂检测[21世纪教育网]
1．下列哪一个物体的运动可视为自由落体运动（ ）
A．树叶的自由下落过程
B．运动员推出的铅球的运动
C．从桌面滑落的钢笔的运动
D．石子从水面自由落到水底的运动
2．关于重力加速度的下列说法中，正确的是（ ）
A．重力加速度g是标量，只有大小，没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2
B．在地球上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大
C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同
D．在地球上的同一地方，离地面高度越大，重力加速度g越小
3．一枚铁钉和一团棉花同时从同一高处下落，总是铁钉先落地，这是因为（ ）
A．铁钉比棉花团重
B．棉花团受到的空气阻力不能忽略
C．铁钉不受空气阻力
D．铁钉的重力加速度比棉花团的大
4．某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经2 s听到石头落底声。由此可知井深约为（不计声音传播时间，重力加速度g取10 m/s2）（ ）
A．10 m B．20 m C．30 m D．40 m
5．从离地面500 m的空中自由落下一个小球，取g＝10 m/s2，求小球：
（1）落到地面经过的时间。
（2）自开始下落计时，在第1 s内的位移、最后1 s内的位移。
答案：
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1：1．答案：下落情况不同。原因是在下落过程中受到空气阻力不同，它们下落的运动不是自由落体运动。
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，叫自由落体运动，自由落体运动的特点是物体只受重力作用，初速度v0＝0，加速度a＝g，自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动。
2．答案：重力加速度的大小与地球上的位置有关。在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大。在赤道处重力加速度最小，在两极处重力加速度最大，但差别很小。在一般的计算中，可以取g＝9.8 m/s2或g＝10 m/s2。
3．答案：重力加速度的大小与距地面的高度有关，在地面上同一地点，随高度的增加重力加速度逐渐减小。在一般的高度内，重力加速度大小变化不明显，可认为重力加速度的大小不变。
迁移与应用1：BCD 解析：自由落体运动是物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，它是一种初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，如果空气阻力的作用比较小，可以忽略不计，物体的下落也可以看做自由落体运动，所以B、C、D正确，A不正确。
活动与探究2：1．答案：匀变速直线运动的规律为：
v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，v2－v＝2ax
自由落体运动的规律为：
v＝gt，h＝gt2，v2＝2gh。
2．答案：0.2 s 不能
解析：根据h＝gt2得
t＝＝0.2 s
因为同桌的反应时间为0.2 s＞0.16 s，所以不能当飞行员。
迁移与应用2：答案：（1）3.2 m （2）0.2 s21世纪教育网
解析：方法一：（利用基本规律求解）
设屋檐离地面高为x，滴水间隔为T。
由x＝gt2得
第2滴水的位移x2＝g（3T）2，①
第3滴水的位移x3＝g（2T）2。②
又因为x2－x3＝1 m，③
所以联立①②③，解得T＝0.2 s。
屋檐高x＝g（4T）2＝×10×（4×0.2）2 m＝3.2 m。
方法二：（用比例法求解）
（1）由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移比为1∶3∶5∶7∶…∶（2n－1），据此令相邻两水滴之间的间距从上到下依次是x0∶3x0∶5x0∶7x0。 [来源:21世纪教育网]
显然，窗高为5x0，即5x0＝1 m，得x0＝0.2 m。
屋檐总高x＝x0＋3x0＋5x0＋7x0＝16x0＝3.2 m。
（2）由x＝gt2知，滴水时间间隔为
t＝＝ s＝0.2 s。
方法三：（用平均速度求解）
设滴水间隔为T，则雨滴经过窗子过程中的平均速度为＝＝。
由v＝gt知，雨滴下落时间为2.5T时的速度为v＝2.5gT。
由于＝v，故有＝2.5gT，解得T＝0.2 s。
x＝g（4T）2＝3.2 m。21世纪教育网
活动与探究3：1．答案：根据亚里士多德的观察，重的物体下落快，轻的物体下落慢，物体下落的快慢是由其重量决定的。
2．答案：伽利略假设大石头下落的速度是8，小石头下落的速度为4，若把两块石头捆在一起，小石头会把大石头拖慢。但两块石头捆在一起，重量增大，整个系统下落的速度应该比8大。这样就出现了矛盾，所以证明了亚里士多德的观点是错误的。
3．答案：猜想落体运动是一种最简单的变速运动，速度应该均匀变化，速度可能与时间成正比，也可能是速度与位移成正比。
实验验证：（1）让小球沿斜面滚下，减小加速度，延长运动时间，便于观测。
（2）他先进行的是坡度较小的斜面实验，后来将实验进行了合理外推，当倾角增大到90°，小球的运动就是自由落体运动。
迁移与应用3：C 解析：伽利略探究物体下落规律的过程是：先对亚里士多德的结论提出质疑——大小石块捆在一起下落得出矛盾的结论。猜想——下落运动是最简单的运动，速度与时间成正比。数学推理——如果v∝t，则有h∝t2。合理外推——将光滑斜面上滑下的物体的位移与时间关系的规律h∝t2推广到自由落体运动。从探究的过程看，应选C。
【当堂检测】
1．C 2．BCD 3．B 4．B
5．答案：（1）10 s （2）5 m 95 m
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
