2022-2023学年北师大版九年级数学上册 1.3 正方形的性质与判定 同步练习（Word版，含答案）

北师大版 1.3 正方形的性质与判定
一、选择题（共12小题）
1. 在下列命题中，是真命题的是
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2. 两条对角线互相平分、互相垂直且相等的四边形是
A. 矩形 B. 菱形
C. 正方形 D. 矩形；菱形或正方形
3. 在四边形 中，， 相交于点 ，下列条件中能判定四边形 是正方形的是
A. ，，
B. ，；
C. ，；
D. ，，．
4. 如图，点 为正方形 对角线 上一点，如果 ，那么 的度数是
A. B. C. D.
5. 已知四边形 是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是
① ，
② ，
③ ，
④ ．
A. 选①② B. 选①③ C. 选②③ D. 选②④
6. 如图，已知四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是
A. 当 时，它是菱形 B. 当 时，它是菱形
C. 当 时，它是矩形 D. 当 时，它是正方形
7. 如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是
A. ①表示有一个角是直角 B. ②表示有一组邻边相等
C. ③表示四个角都相等 D. ④表示对角线相等
8. 正方形、菱形、矩形都具有的性质是
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角
9. 如图所示，正方形 中， 为 边上一点，连接 ，作 的垂直平分线交 于 ，交 于 ，若 ，则 的长为
A. B. C. D.
10. 如图，以 的三条边为边，分别向外作正方形，连接 ，，，如果 的面积为 ，则图中阴影部分的面积为
A. B. C. D.
11. 如图，在矩形 内有一点 ， 与 分别平分 和 ，点 为矩形 外一点，连接 ，．现添加下列条件：
① ，；
② ，；
③ ，；
④ ，；
其中能判定四边形 是正方形的共有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12. 如图，在正方形 中，点 ， 将对角线 三等分，且 ，点 在正方形的边上，则满足 的点 的个数是
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题）
13. 如图，正方形 边长为 ，点 是 延长线上的一点，那么 面积是 ， 的面积是 ．
14. 菱形 的对角线相交于点 ，请你添加一个条件使得该菱形为正方形，添加的条件是 ．
15. 如图，将边长为 的正方形 绕 点按逆时针方向旋转 ，至正方形 ，那么旋转前后正方形重叠部分的面积是 ．
16. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．如图，设菱形相邻两个内角的度数分别为 ．
（）若我们将菱形的“接近度”定义为 ，于是 越小，菱形就越接近正方形，若菱形的一个内角为 ，则“接近度” ；
（）若我们将菱形的“接近度”定义为 ，则菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形．
17. 如图，正方形 中，， 交对角线 于点 ，那么 等于 ．
三、解答题（共5小题）
18. 如图，已知点 是正方形 的边 延长线上的一点，且 ， 与 相交于点 ．求 的度数．
19. 如图，四边形 中，，， 于点 ，点 为 上一点，且 ．
（1）求证：；
（2）设 交 于点 ，若 ，判断四边形 的形状，并证明，
20. 折纸中的数学问题
【阅读】大约在西汉中期，中国人造出了最早的真正意义上的纸，当时的纸张是以大麻和少量苎麻纤维制造的．在公元 世纪中期，唐朝的折纸艺术伴随着美好祝福传播到了更广泛的世界各国．公元 世纪，处于文化鼎盛时期的阿拉伯人独立发展了折纸艺术，他们为折纸所做的最大贡献在于，将欧洲几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，这是折纸与数学相结合的开始． 世纪之后，折纸艺术与自然科学结合到了一起，它开始成为教育教学和科学研究的工具．请同学们以小组为单位，根据图示进行折纸，完成报告单．
（1）【实践 】请同学们准备一张正方形纸片，按以下步骤进行操作．
第一步：先将正方形 对折，使 与 重合，折痕为 ；把这个正方形展平，然后继续对折，使 与 重合，折痕为 ，再把这个正方形展平，设 和 相交于点 ；
第二步：沿直线 折叠，使点 落在 上，对应点为 ；再沿直线 折叠，使点 落在 上，对应点为 ；
第三步：设 ， 分别与 相交于点 ，，分别连接 ，，，．
请你探究：四边形 是正方形吗 请尝试说明理由．
（2）【实践 】请同学们准备一张正方形纸片，按以下步骤进行操作．
第一步：将正方形纸张 的边 与 对折，得到折痕 ．
第二步：再将边 向内翻折，使得点 恰好落在 上．
第三步：将边 向内翻折使得点 恰好落在 上．
任务 ：
（）所形成的三角形 一定是等边三角形．请证明．
（）还有其他方法利用正方形纸片折出等边三角形吗
任务 ：请小组同学之间比较一下用相同大小的正方形纸片折出等边三角形的面积，有区别吗 如果有，谁折出的等边三角形面积最大 怎么折的呢
21. 如图，在正方形 中，点 在 边上，点 在 边上，，．求 的长．
22. 如图，已知平行四边形 中，对角线 ， 交于点 ， 是 延长线上一点，且 是等边三角形．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）如果 ，求证：四边形 是正方形．
答案
1. C
2. C
3. C
4. B
5. C
【解析】A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形；
所以平行四边形 是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形 是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以不能得出平行四边形 是正方形，错误，故本选项符合题意．
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形 是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
6. D
7. C
8. B
【解析】 正方形的对角线互相平分，互相垂直，相等且平分一组对角，
菱形的对角线互相平分，互相垂直且平分一组对角，
矩形的对角线互相平分且相等，
正方形、菱形、矩形都具有的性质是：对角线互相平分．
9. A
【解析】作 交 于点 ，连接 ，
设 ，则 ，则 ，
四边形 是正方形
，
，
，
四边形 是矩形，
，，
垂直 ，并且平分 ，
，
，
，，
，
在 和 中
，
，
，
，，，
，
．
10. B
【解析】过 作 交 的延长线于 ，过 作 交 的延长线于 ，
，，
，
，
，
，，
，
同理 ，
图中阴影部分的面积 ，
故选：B．
11. D
【解析】 四边形 是矩形，
，
与 分别平分 和 ，
，，
，
，．
①
，，
四边形 是平行四边形，
，，
四边形 是正方形，故①能判定；
②
，，，
，
四边形 是菱形，
，
四边形 是正方形，故②能判定；
③
，，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，故③能判定；
④
，，
，
，
，
，
，
，
四边形 是正方形，故④能判定，即能判定的个数是 ，故选D．
12. D
13. ，
14. （答案不唯一）
15.
16. ，
【解析】（）若菱形的一个内角为 ，则与该内角相邻的角的度数为 ，
“接近度”．
（）当菱形的“接近度”等于 时，菱形相邻的两个内角相等，都是 ，则菱形是正方形．
17.
18. 提示：由四边形 是正方形可知 ；又由 可知 ，所以 ．
19. （1） 由下图，
．
（2） ，
，
，，
是矩形，
又 ，
是正方形．
20. （1） 四边形 是正方形．连接 ，．
易证 ，．根据同角的余角相等可得：，
因此 ．
接下来易证 ，故 ，同理 ．
由对称性 ，故 ．
由两次对折可得：．
因此 ，可得四边形 是矩形．
由对折知 ，
四边形 是正方形．
（2） 任务 ．
（） 是等边三角形．
证明：易证 ，故 是等腰三角形．
再证 ，且 ．因此 ，
是等边三角形．
（）如实践 中步骤操作，其中 ，，， 均为等边三角形．
．将正方形对折、再对折．
．正方形纸展开，可以看到折痕 和 ．将正方形其中一个角 向上折，折到折痕 位置，标记字母 ．
．连接 ，．得到等边三角形 ．
任务 ．
本作业建议采用等第制评价方式以下评价标准可供参考：
优秀：能证明等边三角形，正确计算等边三角形面积，折纸过程清晰，画图准确，测量准确度高；汇报交流时，内容清晰、交流自信、表达流畅；
良好：能证明等边三角形，正确计算等边三角形面积，折纸过程清晰，画图基本准确，测量准确度较高；汇报交流时，内容清晰、交流自信、表达流畅；
合格：能证明等边三角形，折纸过程清晰，画图达标，测量准确度较高；汇报交流时，内容清晰、交流自信、表达流畅．
21. 利用 ，得 ．
22. （1） 关键：利用 ，，得到 ．
（2） 由 ，得 ，则 ，即 ．