2022--2023学年北师大版九年级数学下册 3.4 圆周角和圆心角的关系同步练习（Word版，含解析）

北师大版 3.4 圆周角和圆心角的关系
一、选择题（共10小题）
1. 圆内接四边形 ，，， 的度数分别为 ，，， 则 的度数为
A. B. C. D.
2. 从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是
A. B.
C. D.
3. 如图，， 为 的两条弦，，则 的度数为
A. B. C. D.
4. 如图，在 中， 所对的圆周角 ，若 为 上一点，，则 的度数为
A. B. C. D.
5. 如图，四边形 为 的内接四边形，已知 为 ，则 的度数为
A. B. C. D.
6. 如图，在图中标出的 个角中，圆周角的个数为
A. B. C. D.
7. 如图，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 的度数为
A. B. C. D.
8. 如图，点 ，， 在 上，，连接 并延长，交 于点 ，连接 ，．若 ，则 的大小为
A. B. C. D.
9. 如图，四边形 是菱形， 经过点 ，，，与 相交于点 ，连接 ，．若 ，则 的度数为
A. B. C. D.
10. 如图所示，在 中，，，，点 ， 分别是边 ， 上的动点，连接 ，过点 作 交 于点 ，垂足为 ，连接 ，则 的最小值是
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题）
11. 已知一条弧所对的圆周角的度数是 ，则它所对的圆心角的度数是 ．
12. 如图，在 内接四边形 中，若 ，则 ．
13. 如图，，， 在 上的点，若 ，则 ．
14. 如图，四边形 是半圆的内接四边形， 是直径，．若 ，则 的度数为 ．
15. 如图， 过点 ，，，点 是 轴下方 上的一点，连接 ，，若 ，则下列结论成立的为 ．（填写序号即可）
① ；② ；③ ；④点 的坐标为 ．
三、解答题（共6小题）
16. 如图，，，， 是 上的四点，，，则 ， ．
17. 如图，已知 ， 是 的弦，，请在图中的圆心角及其所对的弧、所对的弦之间，至少找出 对相等关系．
18. 已知：如图，， 是 的割线，．
求证：．
19. 如图， 是 的高， 是边 上一点， 与 交于点 ．已知 ，．
（1）求 ；
（2）若以 为圆心、 为半径的圆恰好经过点 ，求 的值．
20. 如图，圆 中两条互相垂直的弦 ， 交于点 ．
（1） 是 的中点，，，求圆 的半径长；
（2）点 在 上，且 ，求证：．
21. 如图， 为等边 的外接圆，半径为 ，点 在劣弧 上运动（不与点 ， 重合），连接 ，，．
（1）求证： 是 的平分线；
（2）四边形 的面积 是线段 的长 的函数吗 如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点 ， 分别在线段 ， 上运动（不含端点），经过探究发现，点 运动到每一个确定的位置， 的周长有最小值 ，随着点 的运动， 的值会发生变化，求所有 值中的最大值．
答案
1. C
【解析】在四边形 中，
因为 ，
所以 ．
2. B
3. B
【解析】如图在优弧 上取点 ，连接 ，，
由圆周角定理得，，
由圆内接四边形的性质得，，
，
，
解得 ．
4. B
5. C
【解析】 四边形 为 的内接四边形，
，
由圆周角定理得，，
故选：C．
6. B
【解析】 和 符合圆周角的定义， 顶点不在圆周上， 的一边不和圆相交，故图中圆周角有 和 两个．
7. C
【解析】由题意得 ．
，
．
故选C．
8. C
【解析】，
，，
又 ，
，
是 的直径，
，
．
故选C．
9. C
【解析】 四边形 是菱形，，
，
四边形 是圆内接四边形，
与 互补，
又 与 互补，
，
．
故选C．
10. C
【解析】如图所示，延长 到点 ，使 ，连接 ，过点 作 于点 ，取 中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，
，，，
，，
是等边三角形，
．
中，，
当 ，， 在同一直线上时， 取得最小值．
于点 ，
．
为 的中点，
，
，， 三点共圆，圆心为 ，即点 在 上运动，
当点 运动到 上时， 取得最小值．
中，，，，
，
的最小值为 ．
11.
12.
【解析】 四边形 是 的内接四边形，
，
．
13.
【解析】，
．
14.
【解析】如图，连接 ，
四边形 是半圆的内接四边形，
．
，
．
是直径，
，
．
15. ①②③
【解析】如图，连接 ，，设 交 于点 ，作 于 ，
，
是 的直径．
，，
，，
，
，
是等边三角形，
．
和 分别是 所对的圆周角和圆心角，
，故①成立；
，
，
，故②成立；
，
，
，，
，
，
，
又 ，
，故③成立；
，
，
又 ，，
，
，，
，故④不成立．
16. ；
17. ，，，，．
18. 略
19. （1） 过点 作 交 于点 ．
， 为 的高，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
．
（2） 以 为圆心， 为半径作圆，如图．
，
是 的直径，
．
由（）知，．
，
设 ，，
，
，
在 中，，
在 中，，
，
，
．
，
在 中，．
20. （1） 连接 ，如图：
是 的中点，，
，，，
中，，且 ，
，即圆 的半径长为 ．
（2） 连接 ，延长 交 于 ，如图：
，，
是 的垂直平分线，
，即 是等腰三角形，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
，即 ．
21. （1） 是等边三角形，
，
，，
，
是 的平分线．
（2） 四边形 的面积 是线段 的长 的函数．
如图 ，
将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
，．
四边形 是圆内接四边形，
，
，
点 ，点 ，点 三点共线，
，，
是等边三角形．
四边形 的面积 ，
．
（3） 如图 ，作点 关于直线 的对称点 ，作点 关于直线 的对称点 ，
点 ，点 关于直线 对称，
．同理 ．
的周长 ，
当点 ，点 ，点 ，点 四点共线时， 的周长有最小值．连接 ，，，，
的周长最小值为 ．
点 ，点 关于直线 对称，
，．
点 ，点 关于直线 对称，
，，
，．
过点 作 于 ，
，，
，，
，，
，
当 有最大值时， 有最大值，即 有最大值．
为 的弦，
为直径时， 有最大值 ，
的最大值为 ．