2022-2023学年北师大版九年级数学上册 4.3 相似多边形同步练习（Word版，含解析）

北师大版 4.3 相似多边形
一、选择题（共11小题）
1. 如图，，且 ，则 的值是
A. B. C. D.
2. 如果两个相似多边形的面积比为9：4，那么这两个相似多边形的相似比为　　
A. 9：4 B. 2：3 C. 3：2 D. 81：16
3. 如图所示的各组图形相似的是
A. B.
C. D.
4. 下列图形中一定是相似形的是
A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形
C. 两个矩形 D. 两个正方形
5. 下列图形，一定相似的是
A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形
C. 两个等边三角形 D. 两个菱形
6. 下列说法中正确的个数为
①凡正方形都相似；
②凡等腰三角形都相似；
③凡等腰直角三角形都相似；
④两个相似多边形的面积比为 ，则周长的比为 ．
A. B. C. D.
7. 如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的，矩形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，则 等于
A. B. C. D.
8. 下列图形，一定相似的是
A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形
C. 两个等边三角形 D. 两个菱形
9. 矩形相邻的两边长分别为 和 ，把它按如图所示的方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则 的值为
A. B. C. D.
10. 下列图形中不一定是相似图形的是
A. 两个含 角的平行四边形
B. 两个含 角的菱形
C. 含 角的菱形和含 角的菱形
D. 两个正方形
11. 矩形的两边长分别为 和 ，把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则 的值为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题）
12. 在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．
13. 在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多形状相同的图形，下列图形中形状相同是 与 ， 与 ， 与 ， 与 ．
14. 我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形 中，，，，， 分别是边 ， 上的点，且 ，如果四边 与四边形 相似，那么 的值是 ．
15. 如图，在矩形 中，，，点 ， 分别是 和 的三等分点（分别靠近点 ，），以 和 为邻边作矩形 ，若 ，则 与 的关系是 ．
16. 给出以下结论：
①平移前后的两个图形相似；②旋转前后的两个图形相似；③成轴对称的两个图形相似；④放大或缩小前后的两个图形相似．其中正确的是 ．
三、解答题（共6小题）
17. 在如图所示的两个相似四边形中，求 ，， 的值．
18. 如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗
19. 如图，四边形 与四边形 相似，试求出 及 的大小．
20. 在如图所示的网格中画出与四边形 相似的图形．（要求：不能画成全等图形）
21. 根据相似形的定义可以知道，如果一个四边形的四个角与另一个四边形的四个角对应相等，且它们各有的四边对应成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．对应相等的角的顶点叫做这两个相似四边形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似四边形的对应边，对应边的比叫做这两个相似多边形的相似比．（我们研究的四边形都是指凸四边形）
（1）某学习小组在探究相似四边形的判定时，得到如下两个命题，请判断它们是真命题还是假命题（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形相似； 命题
②有一个内角对应相等的两个菱形相似； 命题
（2）已知：如图 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，以 为直角边作等腰直角三角形 ，再以 为直角边作等腰直角三角形 ．求证：四边形 与四边形 相似．
（3）已知：如图 ，在 中，点 ， 分别在边 ， 上，， 相交于点 ，点 在 的延长线上，连接 ，．如果四边形 与四边形 相似，且点 ，，， 分别对应 ，，，．求证：．
22. 如图（），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形 ，它的面积为 ，取 和 各边中点，连接成正六角星形 ，如图（）中阴影部分；取 和 各边中点，连接成正六角星形 ，如图（）中阴影部分；如此下去 则正六角星形 的面积为多少
答案
1. C
2. C
【解析】【分析】根据两个相似多边形的面积比为9：4，面积之比等于相似比的平方．
【解析】解：根据题意得：．故选．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
3. B
4. D
【解析】A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意，
D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意．
5. C
【解析】A．两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；
B．两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
C．两个等边三角形，角都是 ，故相似；
D．任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似．
6. B
【解析】①所有正方形的边成比例，角相等，都相似，故①正确；
②等腰三角形形状不一定相同，所以不一定相似，故②错误；
③所有等腰直角三角形的边成比例，角分别相等，都相似，故③正确；
④两个相似多边形的面积比为 ，则周长的比为 ，故④错误．
所以说法正确的有①③，共 个．
故选B．
7. C
【解析】由题意得 ，且 ，
，即 ，
．
故选C．
8. C
9. B
【解析】由题意知小矩形的长为 ，宽为 ．
小矩形与原矩形相似，
，
（舍去负值）．
10. A
【解析】对于选项A，两个平行四边形都含 角，则角分别相等，但边不一定成比例，故不一定相似，故A符合题意；
对于选项B，C，两个菱形的角分别相等，边成比例，一定相似，故B，C不合题意；
对于选项D，两个正方形一定相似，故D不合题意．
故选A．
11. B
12. （3），（5），（6），（1），（2），（4）
13. （），（），（），（），（），（），（），（）
14.
【解析】 四边 与四边形 相似，
，
，，
，
解得：，
四边 与四边形 相似，
．
15.
【解析】由题意可知，，，
，
，即 ，
，
， 都是正数，
．
16. ①②③④
【解析】平移前后、旋转前后、成轴对称的两个图形，放大或缩小前后的两个图形都形状相同，都是相似图形．
17. ，，．
18. 相似．
19. 因为四边形 与四边形 相似，
所以 ，
则 ．
由 ，解得 ．
20. 如图，四边形 就是所求．（答案不唯一）
21. （1） 假；真.
（2） 因为 ，， 是等腰直角三角形，
所以 ，．
所以 ，，，．
设 ，则 ，，．
所以 ．
所以四边形 与四边形 相似．
（3） 因为如果四边形 与四边形 相似，且点 ，，， 分别对应 ，，，，
所以 ，．
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ，．
所以 ．
所以 ．
22. ，，，，， 分别是 和 各边中点，
且相似比为 ．
正六角星形 的面积为 ，
的面积为 ．
同理，正六角星形 的面积为 ；
正六角星形 的面积为 ；
正六角星形 的面积为 ．