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第1节 匀变速直线运动的规律
一、匀变速直线运动的基本规律
1．匀变速直线运动的特点：加速度a恒定且轨迹为直线。
2．匀变速直线运动的基本公式
(1)速度—时间公式：vt＝v0＋at。
(2)位移—时间公式：s＝v0t＋at2。
(3)位移—速度—加速度公式2as＝v－v。
你知道上述公式是怎样推得的吗？
答案：由a＝＝得vt＝v0＋at
由s＝t＝·t得s＝v0t＋at2
或由v－t图象推导，由图象与横轴所构成面积求得
s梯形＝s＝v0t＋at2
将速度中的t代入位移公式得2as＝v－v。
3．匀变速直线运动的图象描述
如图所示甲图中甲、乙的加速度有何关系？丙一直做匀变速运动吗？
答案：甲、乙的加速度相等，因为图象平行，图象的斜率表示加速度，所以甲、乙加速度相同；同理丙一直做匀变速直线运动，t1时刻前a＜0，v0＞0，做匀减速直线运动，t1时刻后a＜0，v＜0，做反方向匀加速直线运动。
【例1】如图所示，小球以6 m/s的速度由足够长的斜面中部沿着斜面向上滑。已知小球在斜面上运动的加速度大小为2 m/s2，则小球的速度大小何时达到3 m/s？(小球在光滑斜面上运动时，加速度的大小、方向都不改变)
解析：小球先沿斜面向上做匀减速直线运动，速度由6 m/s逐渐减小到零，然后又反向做匀加速直线运动。取沿斜面向上的方向为正方向，则v0＝6 m/s，a＝－2 m/s2，小球的速度大小为3 m/s有两种情况：向上滑时v1＝3 m/s，向下滑时v2＝－3 m/s。由公式v＝v0＋at得t＝，所以t1＝＝ s＝1.5 s，t2＝＝ s＝4.5 s。
答案：1.5 s或4.5 s
在审题时，应格外关注以下词语：“速度大小达到3 m/s”，说明只确定了大小，没确定方向，方向分两种情况讨论。
1－1某物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4 m/s，2 s后速度的大小变为8 m/s，在这2 s内物体的( )
A．加速度方向与初速度方向相同
B．加速度方向与末速度方向相同
C．加速度的大小可能小于2 m/s2
D．加速度的大小可能大于4 m/s2
1－2(2012·山东东营质检)下列图象能表示匀变速直线运动的是( )
二、匀变速直线运动的几个重要推论
1．平均速度等于速度平均，等于中间时刻的速度，即＝＝v。
2．中间位置的速度：＝
3．逐差相等：s2－s1＝s3－s2＝…＝sn－sn－1＝aT2
设在任意连续相等时间间隔T内的位移分别为s1、s2、s3、…，则
s1＝v0T＋aT2
s2＝(v0＋aT)T＋aT2
s3＝(v0＋aT＋aT)T＋aT2
sn＝[v0＋(n－1)aT]T＋aT2
于是有s2－s1＝s3－s2＝…＝sn－sn－1＝aT2，即Δs＝aT2，任意相邻两个连续相等的时间里的位移之差是一个恒量。该结论常作为判断一个运动是否是匀变速直线运动的依据。
【例2】某市规定，车辆在市区内行驶的速度不得超过40 km/h，有一辆车遇到紧急情况而刹车(刹车后该车做匀减速运动)，经1.5 s停止，量得路面刹车的痕迹长为s＝9 m，问这辆车是否违章？
解析：本题隐含了末速度为零的条件，因此只需求出初速度就可以判定。
由于汽车刹车后做匀减速运动，则平均速度＝，又因为位移s＝t，所以s＝t，解得v0＝＝12 m/s＝43.2 km/h＞40 km/h。
因此该辆车违章行驶。
答案：该辆车违章行驶。
2－1某物体做匀变速直线运动，其在第3 s内发生15 m的位移，在第9 s内发生9 m的位移，问其加速度为多大？
2－2做匀变速直线运动的物体先后通过A、B两点，通过A、B点的瞬时速度分别为vA和vB.若物体通过A、B连线中点C的瞬时速度为v1，通过A到B所用时间中间时刻的瞬时速度为v2，关于v1、v2的大小，下列说法正确的是( )
A．若做匀加速直线运动，则v1＞v2
B．若做匀减速直线运动，则v1＞v2
C．若做匀加速直线运动，则v1＜v2
D．若做匀减速直线运动，则v1＜v2
4．初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系(T为单位时间)。
(1)1T末、2T末、3T末…的速度之比：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内、2T内、3T内…的位移之比：
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶22∶33∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比：
sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sN＝1∶3∶5∶…∶(2N－1)。
(4)通过连续相等的位移所用的时间之比：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
(5)通过前1 s、前2 s、前3 s…的位移所用的时间之比：
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶∶∶…∶。[来源:21世纪教育网]
5．末速度为零的匀减速直线运动
对于末速度为零的匀减速直线运动，可以按逆过程分析，视为初速度为零的匀加速直线运动，运用前面的比例关系，使运算大为简化。
【例3】一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s。求：
(1)第6 s末的速度；
(2)前6 s内的位移；
(3)第6 s内的位移。
解析：由v1＝at1，得a＝＝＝1 m/s2
所以第1 s内的位移s1＝a×12 m＝0.5 m。
(1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比
v1∶v2＝4∶6＝2∶3，
故第6 s末的速度v2＝v1＝6 m/s。
(2)第1 s内与前6 s内的位移之比s1∶s6＝12∶62
故前6 s内小球的位移s6＝36s1＝18 m。
(3)第1 s内与第6 s内的位移之比
sⅠ∶sⅥ＝1∶(2×6－1)，
故第6 s内的位移sⅥ＝11sⅠ＝5.5 m。
答案：(1)6 m/s (2)18 m (3)5.5 m
求例题中的小球
(1)在前6 s内的平均速度(采用多种求法)；
(2)在第6 s内的平均速度(采用多种求法)。
答案：(1)3 m/s (2)5.5 m/s
3－1物体由静止开始做匀加速直线运动，前三个连续时间段的时间之比为1∶2∶3，该三段位移之比为多少？平均速度之比为多少？21世纪教育网
三、刹车类交通工具的匀减速直线运动的处理
1．特点：对于汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等这类交通工具的匀减速直线运动，当速度减到零后，加速度也为零，不可能倒过来做反向的运动，所以其运动的最长时间t＝。
2．处理方法：首先计算速度减到零所需时间，然后再与题中所给的时间比较，看在所给的时间内是否早已停止，如果是，则不能用题目所给的时间计算，这就是所谓的“时间过量”问题；如果没有停止，则可以应用题目所给的时间直接求解。21世纪教育网
【例4】(2012·江西南昌检测)一辆汽车以36 km/s的速度行驶在城市的街道上，因为前方路口出现红灯，司机从较远的地方开始刹车，刹车后的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)刹车1 s后汽车的速度；
(2)刹车多长时间后汽车停下；
(3)刹车4 s后汽车的速度。
解析：汽车刹车后做匀减速直线运动，加速度方向和初速度方向相反，速度取正值时，加速度取负值。
且知：v0＝36 km/h＝10 m/s，a＝－5 m/s2
(1)t1＝1 s时，v1＝v0＋at1＝10 m/s－5×1 m/s＝5 m/s
(2)由v＝v0＋at知t＝＝ s＝2 s
(3)因刹车2 s后汽车就已经停下，所以4 s时速度为0。
答案：(1)5 m/s (2)2 s (3)0
生活中的现象告诉我们汽车刹车停下时不再运动，所以对于刹车及类似刹车问题，为防止因盲目套用公式出错，应先计算刹车时间，根据给出时间与刹车时间的关系，确定计算的方法。
4－1磁悬浮列车由静止开始加速出站，加速度为0.6 m/s2，2 min后列车速度为多大？列车匀速运动时速度为432 km/h，如果以0.8 m/s2的加速度减速进站，求减速160 s时速度为多大？21世纪教育网
答案：
【互动课堂】
迁移训练
1－1 D 解析：因题中只给出初、末时刻速度的大小，这就隐含着初、末速度方向可能相同也可能相反的两种情况，故需讨论。若初、末速度方向相同，物体做匀加速直线运动，加速度a1＝ m/s2＝2 m/s2；若初、末速度方向相反，物体做匀减速直线运动，加速度a2＝ m/s2＝－6 m/s2，负号表示加速度的方向与v0方向相反。
1－2 AC 解析：v－t图象的斜率表示加速度，故A正确，D不正确；s－t图象的斜率表示速度，故B不正确；匀变速直线运动，加速度恒定，故C正确。
2－1 解析：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，
即＝＝
2.5 s时刻的速度为v1：
v1＝第3秒内＝15 m/s
8.5 s时刻的速度为v2：
v2＝第9秒内＝9 m/s21世纪教育网
加速度a＝＝ m/s2＝－1 m/s2。
答案：－1 m/s2
2－2 AB 解析：若做匀加速直线运动，则由v－t图象知v1＞v2
若做匀减速直线运动的v－t图象如下图所示，由图象知v1＞v2。
3－1 解析：由题意可将运动时间分割成6等份，每份为t，根据初速度为零的匀加速直线运动在连续相等时间内的位移之比s1∶s2∶s3∶s4∶s5∶s6＝1∶3∶5∶7∶9∶11可知st∶s2t∶s3t＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27。由＝得t∶2t∶3t＝∶∶＝∶∶＝1∶4∶9。
速度之比也可以通过以下方法求得：
第1个t末的速度v1＝a·t
第3个t末的速度v2＝a·3t
第6个t末的速度v3＝a·6t
故三段平均速度之比为vt∶v2t∶v3t
＝∶∶＝1∶4∶9。
答案：1∶8∶27 1∶4∶9
4－1 解析：取列车运动方向为正方向。
v＝v10＋a1t1＝(0＋0.6×120)m/s＝72 m/s＝259 km/h。
列车减速进站时a2＝－0.8 m/s2
v20＝432 km/h＝120 m/s
刹车到速度为0的时间t0＝＝ s＝150 s
所以160 s时列车已经停止运动，速度为0。
答案：259 km/h 0
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第2节 匀变速直线运动的实验探究
一、认识打点计时器与频闪照相法
1．电磁打点计时器
构造
如图是电磁打点计时器的构造图，请同学们认识一下，对于打点计时器的构造，只需知道名称及作用即可。
2．电火花计时器
(1)构造：电火花计时器的构造如图所示，它在纸带上打点的是电火花和墨粉。
(2)原理
它是利用火花放电在纸带上打出点迹的计时仪器。当接通220 V交流电源，按下脉冲输出开关时，计时器发出的脉冲电流经接正极的放电针、墨粉纸盘到接负极的纸盘轴，产生火花放电，于是在运动纸带上就打出一列点迹。当电源频率为50 Hz时，它也是每隔0.02 s打一次点，即打出的纸带上每相邻两点间的时间间隔也是0.02 s。
【例1】如图所示的纸带是某同学练习使用打点计时器时得到的，纸带的左端先通过打点计时器。从点迹的分布情况可以断定纸带的速度变化情况是________。若所用电源频率为50 Hz，从打下A点到打下B点，共13个点迹，历时______ s。若AB间的距离为0.026 5 m，则这段时间内纸带运动的平均速度是________ m/s。
解析：由于点迹右端密集，说明纸带的速度在减小。A点与B点之间有12个时间间隔，对应时间为t＝12×0.02 s＝0.24 s；在AB段上的平均速度v＝＝0.11 m/s。
答案：逐渐减小 0.24 0.11
(1)在纸带上相邻两点间的时间间隔均为0.02 s(电源频率为50 Hz)，所以点迹密集的地方表示纸带运动的速度小。
(2)根据v＝，可以求出任意两点间的平均速度，两点间的距离可以用直尺测量出，Δt为两点间的时间间隔数与0.02 s的乘积。这里必须明确所求的是哪两点之间的平均速度。
1－1关于纸带的应用，下列说法正确的是( )
A．利用纸带可以较准确地读出时间
B．利用纸带可以较准确地测出某点的瞬时速度
C．利用纸带可以较准确地测出某段时间内的平均速度
D．为了较准确地测定某点的速度，所取的相应时间段越短越好
1－2关于打点计时器打出的纸带，下列叙述正确的是( )
A．点迹均匀，说明纸带做匀速运动
B．点迹变稀，说明纸带做加速运动
C．点迹变密，说明纸带做加速运动
D．相邻两点间的时间间隔相等
1－3关于打点计时器打出的纸带上的点，下列叙述正确的是( )
A．必须从第一个点开始选取整条纸带
B．根据情况选取点迹清晰的部分纸带
C．选取的第一个点计数为1，到第n个点的时间间隔为0.02n s
D．选取的第一个点计数为1，到第n个点的时间间隔为0.02(n－1)s
3．频闪照相法
频闪照相法是一种利用照相技术，每间隔一定时间曝光，从而形成间隔相同时间的影像的方法。在频闪照相中也会用到频闪灯(如图)，它每隔相等时间闪光一次，例如每隔0.1 s闪光一次，即每秒闪光10次。当物体运动时，利用频闪灯照明，照明机可以拍摄出该物体每隔相等时间所到达的位置。通过这种方法拍摄的照片称为频闪照片。21世纪教育网
频闪灯
下图是采用每秒闪光10次拍摄的小球沿斜面滚下的频闪照片，照片中每两个相邻小球的影像间隔的时间就是0.1 s，这样便记录了物体运动的时间。而物体运动的位移则可以用尺子量出。
小球向下加速滚动的频闪照片
与打点计时器记录的信息相比，频闪灯的闪光频率相当于打点计时器交变电源的频率，而相同时间间隔出现的影像则相当于打点计时器打出的点子。因此，运动物体的频闪照片既记录了物体运动的时间信息，又记录了物体运动的位移信息。至于根据时间和位移信息求加速度的方法，两者都是一样的。
二、打点计时器与频闪照相法的应用
1．用打点计时器测量瞬时速度
计算纸带上某一点的瞬时速度的依据：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。
证明：设物体做匀变速直线运动时间为t，在这段时间内位移为s，则s＝v0t＋at2，这段时间内平均速度为＝＝v0＋at，而该段时间中间时刻的速度为＝v0＋a()＝v0＋at，可见＝。
计算示例：如图所示，已知小车做匀变速直线运动，求打下第n个点时纸带的瞬时速度。由于从第(n－1)个点到第(n＋1)个点这段时间的中间时刻恰为打下第n个点的时刻。根据上面的证明可得：打下第n个点时的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，即vn＝或。
2．用逐差法求小车加速度
如图所示，根据测量的相邻的计数点间的间隔s1、s2、s3、…和相邻计数点间的相隔时间T＝0.02n s(n为两计数点间的间隔数)，求小车的加速度，这种作法叫逐差法。逐差法是这样处理数据的：
s4－s1＝(s4－s3)＋(s3－s2)＋(s2－s1)＝3aT2，同理有s5－s2＝s6－s3＝s4－s1＝3aT2，求出a1＝，a2＝，a3＝，再算出a1、a2、a3的平均值，这就是我们所求的匀变速直线运动的加速度。
3．判断小车是否做匀变速直线运动
根据纸带上任意两个连续点间距离之差是否相等，就可以判断小车是否做匀变速直线运动。
下面作一简要论证。
如图所示，A、B、C是纸带上任意选取的三个连续计数点。设计数点间对应的时间间隔为T，s1、s2则为小车在两个连续的相等时间T内通过的距离。
如果小车的运动是加速度为a的匀变速直线运动，
那么s1＝vAT＋aT2，s2＝vBT＋aT2，
则s2－s1＝(vB－vA)T①
而由匀变速直线运动速度规律可得vB＝vA＋aT
因此s2－s1＝(vB－vA)T＝aT2②
即Δs＝s2－s1＝aT2③
时间T是一个恒量，如果小车做匀变速直线运动，它的加速度a也是一个恒量，因此Δs＝s2－s1必然是一个恒量。由于A、B、C三个连续计数点是在纸带上任意选取的，所以只要小车做匀变速直线运动，纸带上任意两个连续的计数点间距离之差就一定相等，即Δs＝s2－s1＝aT2就一定成立，否则就不是匀变速直线运动。
【例2】用一端装有定滑轮的长木板，小车、打点计时器(频率为50 Hz)、钩码、纸带、细线组成如图(a)所示的装置，让小车做匀加速直线运动，得到如图(b)所示的一条纸带，纸带中相邻两点之间有四个点未画出，用毫米刻度尺测量得：AB＝1.10 cm、BC＝2.09 cm、CD＝3.10 cm、DE＝4.11 cm(以下运算结果均保留两位有效数字)，则：
(1)小车的加速度为______m/s2。
(2)打D点时小车的速度大小为______m/s。
解析：本题考查运用纸带求小车的加速度和小车的瞬时速度。求加速度一般用逐差法，求瞬时速度一般利用中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度(适用于匀变速直线运动)。由逐差法可得a＝＝ m/s2≈1.0 m/s2，打D点时速度vD＝＝ m/s≈0.36 m/s。
答案：(1)1.0 (2)0.36
2－1某同学测定匀变速直线运动的加速度时，得到了在不同拉力下的A，B，C，D，…几条较为理想的纸带，并在纸带上每5个点取一个计数点，即相邻两计数点间的时间间隔为0.1 s，将每条纸带上的计数点都记为0,1,2,3,4，5，…如图所示的甲、乙、丙三段纸带分别是从三条不同纸带上撕下的。
(1)在甲、乙、丙三段纸带中，属于纸带A的是________；
(2)打A纸带时，物体的加速度大小是________；
(3)打点计时器打1号计数点时小车的速度为________ m/s。[来源:21世纪教育网]
三、实验探究仅在重力作用下是否为匀变速直线运动
1．器材准备
铁架台(带铁夹)，打点计时器，重锤(带纸带夹子)，纸带，复写纸，导线，毫米刻度尺，学生电源。
2．操作过程
(1)如图所示，打点计时器固定在铁架台上，纸带一端系着重物，另一端穿过计时器。
(2)用手捏住纸带，启动计时器，松手后重物自由下落，计时器在纸带上留下一串小点。
(3)改变重物的质量，重复上面的实验。
(4)选取一条点迹清晰的纸带分析计算。
(1)为尽量减小空气阻力的影响，重物应选质量大、体积小的物体(如铁锤等)。
(2)打点计时器应竖直固定好。
(3)重物应靠近打点计时器释放，且要先打开打点计时器的电源，再放手让重物运动。
【例3】如图为探究仅在重力作用下的运动规律时打出的一条纸带的一部分，试根据纸带分析重锤的运动情况并求出仅在重力作用下物体的加速度。
解析：由于相邻两点间的位移差分别为
Δs1＝s2－s1＝3.9 mm
Δs2＝s3－s2＝3.9 mm
Δs3＝s4－s3＝3.9 mm
Δs4＝s5－s4＝3.9 mm
则相邻两点间位移差恒定，所以重锤做匀加速直线运动，且释放时的初速度为0
由Δs＝aT2得，自由落体的加速度为
a＝＝ m/s2＝9.75 m/s2。
答案：重锤做匀加速直线运动 9.75 m/s2
3－1如图所示，甲、乙两图都是使用电磁打点计时器测量重力加速度g的装置示意图，已知该打点计时器的打点频率为50 Hz。
(1)这两图相比较，哪个图所示的装置较好，为什么？____________________。
(2)丙图是采用较好的装置并按正确的实验步骤进行实验打出的一条纸带，其中O为打出的第一个点，标为1，后面依次打下的一系列点迹分别标为2、3、4、5……经测量，第15至第17点间的距离为11.76 cm，第1至第16点间的距离为44.14 cm，则打下第16个点时，测出的重力加速度值为g＝______m/s2。(要求保留三位有效数字)
答案： [来源:21世纪教育网]
【互动课堂】
迁移训练
1－1 AC
1－2 ABD 解析：打点计时器的振针打点的频率一定(50 Hz)，相邻两点间的时间间隔相等，如果纸带匀速运动，点迹均匀；如果纸带加速运动，点迹变稀；如果纸带减速运动，点迹变密。
1－3 BD 解析：点迹不清晰，无法读取时间。每打两个点的时间间隔为0.02 s。
2－1 解析：(1)由图A可知，s1＝3.00 cm，s2＝6.11 cm，故连续相等位移之差为Δs＝at2＝s2－s1＝6.11 cm－3.00 cm＝3.11 cm。
由s4－s1＝3at2得s4＝s1＋3at2＝3.00 cm＋3×3.11 cm＝12.33 cm。在误差范围内，应选乙图。
本题应注意是计数点3、4间的位移，而不是计数点2、3间的位移。
(2)由s2－s1＝at2得物体的加速度
a＝＝ m/s2＝3.11 m/s2。[来源:21世纪教育网]
(3)打点计时器打1号计数点时小车的速度
v＝＝ m/s≈0.46 m/s。
答案：(1)乙 (2)3.11 m/s2 (3)0.46[来源:21世纪教育网]
3－1 解析：(1)用夹子固定纸带是本实验的规范操作，便于调整纸带方向竖直，减少纸带与打点计时器(限位孔)之间的摩擦；还可避免手持不稳定使打出的纸带上第一个点模糊的情况。
(2)根据＝，打第16个点时，重物瞬时速度
v16＝＝ m/s＝2.94 m/s
因为v＝at，所以g＝＝ m/s2＝9.80 m/s2。
答案：(1)甲图较好，用夹子固定纸带，便于调整纸带方向竖直，还可避免手持不稳定造成打第一点模糊的情况 (2)9.80
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第3节 匀变速直线运动实例——自由落体运动
一、正确理解自由落体运动
1．自由落体运动要具备两个条件：
第一，初速度为零；
第二，除重力之外不受其他力的作用。
2．是一种理想化的运动模型。自由落体运动只有在没有空气的空间里才能发生，在实际中物体下落时由于受空气阻力的作用，物体并不是做自由落体运动，只有当空气阻力比重力小得多，可以忽略时，物体的下落才可当做自由落体运动来处理。如在空气中距地面不太高处小铁球或小石块由静止释放后运动，就可以看做自由落体运动。
3．自由落体运动的实质：初速度为零，加速度a＝g的匀加速直线运动。
4．自由落体加速度——重力加速度21世纪教育网
产生原因 由于地球上的物体受到地球的吸引而产生的
大小 ①在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大，赤道处重力加速度最小，两极处重力加速度最大，但差别很小。②在地面上的同一地点，随高度的增加，重力加速度减小，在一般的高度内，可认为重力加速度的大小不变。③在一般的计算中，可以取g＝9.8 m/s2或g＝10 m/s2
方向 竖直向下。由于地球是一个球体，所以各处的重力加速度的方向是不同的
5．运动图象：自由落体运动的v－t图象是一条过原点的倾斜直线，斜率k＝g。
【例1】小鹏摇动苹果树，在同一高度，一个苹果和一片树叶同时从静止直接落到地上，苹果先落地，下面说法中正确的是( )
A．苹果和树叶做的都是自由落体运动
B．苹果和树叶的运动都不能视为自由落体运动
C．苹果的运动可视为自由落体运动，树叶的运动不能视为自由落体运动
D．假如地球上没有空气，则苹果和树叶会同时落地
解析：空气阻力对树叶影响较大，不能忽略；空气阻力对苹果影响较小，可以忽略，故A、B两项错误，C项正确；当没有空气阻力时，苹果和树叶只受重力作用，它们将会同时落地，D项正确。
答案：CD
1－1关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．物体竖直向下的运动一定是自由落体运动
B．自由落体运动是初速度为零、加速度为g的竖直向下的匀加速直线运动
C．物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫做自由落体运动
D．当空气阻力的作用比较小、可以忽略不计时，物体自由下落可视为自由落体运动
二、自由落体运动的规律
自由落体运动是自然界中广泛存在的自由下落运动的理想化模型，是一种典型的匀变速直线运动。故自由落体运动可以看成匀变速直线运动在v0＝0，a＝g时的一种特例，因此其运动规律可由匀变速直线运动的一般公式得出。
(1)基本规律
匀变速直线运动 自由落体运动
vt＝v0＋at vt＝gt
s＝v0t＋at2 h＝gt2
v－v＝2as v＝2gh
(2)推论：
匀变速直线运动 自由落体运动
＝＝ ＝＝
＝ ＝gt
Δs＝aT2 Δs＝gT2
(3)关于自由落体运动的几个比例关系式：
①第1 s末，第2 s末，第3 s末，…，第n s末速度之比为1∶2∶3∶…∶n；
②前1 s内，前2 s内，前3 s内，…，前n s内的位移之比为1∶4∶9∶…∶n2；
③连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)；
④连续相等位移上所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)；
⑤连续相等时间内的位移之差是一个常数Δs＝gT2(T为时间间隔)。
【例2】屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，如图所示，求：(g取10 m/s2)21世纪教育网
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？
解析：方法一：用平均速度求解。
(1)设滴水的时间间隔为T，则水滴经过窗子的过程中平均速度为＝＝m/s①
由匀变速运动的推论一段时间内的平均速度等于中间时刻的速度可知，此平均速度等于水滴下落2.5T时刻的瞬时速度，则＝v＝gt＝g·2.5T②
解得T＝0.2 s。
(2)由h＝gt2得h＝g(4T)2＝×10×0.82 m＝3.2 m。
方法二：利用基本规律求解。
设屋檐离地面高为h，滴水时间间隔为T，由h＝gt2得第2滴和第3滴水的位移分别为h2＝g(3T)2①
h3＝g(2T)2②
由题意知h2－h3＝1 m③
由①②③得T＝0.2 s，h＝3.2 m。
方法三：用比例法求解。
(1)因初速度为零的匀加速直线运动在连续相等的时间间隔内的位移之比为s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
由此可得相邻两水滴之间的间距从上到下依次为：21世纪教育网
s0∶3s0∶5s0∶7s0
由图可知，窗高为5s0，则5s0＝1 m，所以s0＝0.2 m。所以屋檐的高度为
h＝s0＋3s0＋5s0＋7s0＝16s0＝3.2 m。[来源:21世纪教育网]
(2)由h＝gt2得，滴水时间间隔为T＝＝s＝0.2 s。
答案：(1)3.2 m (2)0.2 s
解决此题应把握以下三点：
(1)将这5滴水等效为一滴水的自由落体运动。
(2)将自由落体全过程分成时间间隔T相等的四段。
(3)0、1T、2T、3T、4T末对应第5、4、3、2、1滴水的位置。
若例2中的水滴是由楼上某住户的空调中滴落的，且楼房窗子的高度为2.25 m。求：
(1)滴水的时间间隔；
(2)空调滴水处离地面的高度。
解析：设空调的高度为h，滴水的时间间隔为T，
由h＝gt2得
第2滴水的位移为h2＝g(3T)2①
第3滴水的位移为h3＝g(2T)2②
由题意，h2－h3＝2.25 m③
由①②③解得T＝0.3 s
所以空调高h＝g(4T)2＝×10×16×0.32 m＝7.2 m。
答案：(1)0.3 s (2)7.2 m
2－1一条铁链AB长0.49 m，系于A端使它竖直下垂。然后让它自由落下，求整条铁链通过悬点下方2.45 m处O点的过程所需的时间。
三、测重力加速度的方法21世纪教育网
1．打点计时器
应用电磁打点计时器或电火花计时器，让物体和纸带连接一起下落做自由落体运动，研究自由落体运动，通过对纸带的分析和测量，由h＝gt2和Δh＝gT2，根据纸带上各点的间隔及所用的时间可以测出当地的重力加速度值。
2．频闪照相
频闪照相机可间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置。根据Δh是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动，并可由Δh＝gT2求出重力加速度g，同时也可由＝＝求出物体在某一位置时的速度，由vt＝v0＋gt求出重力加速度g。
3．滴水法
如图，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节到使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头口开始下落，并且能如此持续滴下去。用刻度尺测出水龙头口距盘面的高度h，再测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落到盘上的同时，开启秒表开始计时，之后每落下一滴水依次数1、2、3……当数到n时按下秒表停止计时，则水滴下落的时间为T＝，由h＝gT2得g＝＝。
为减小实验误差，可改变高度h，计算出几个重力加速度g的值，然后取平均值。或由h－t2图象求出重力加速度g的值。
【例3】用滴水法可以测定重力加速度的值。方法是：在自来水龙头下面固定一块挡板A，使水一滴一滴连续地滴落到挡板上，如图所示，仔细调节水龙头，使得耳朵刚好听到前一个水滴刚好开始下落。首先测量出水龙头口离挡板的高度h，再用停表计时。计时方法是：当听到某一水滴滴在挡板上的声音的同时，开启停表开始计时，并数“1”，以后每听到一声水滴声，依次数“2,3，…”，一直数到“n”，按下停表按钮停止计时，读出停表的示数为t。根据以上数据可求g。
设人耳能区别两个声音的时间间隔为0.1 s，已知声速为340 m/s，则( )
A．水龙头与人耳的距离至少为34 m
B．水龙头与挡板的距离至少为34 m
C．重力加速度的计算式为
D．重力加速度的计算式为
解析：由于人耳能区分两个声音的时间差为0.1 s，因此两滴水落到挡板的时间差必须不小于0.1 s，则水龙头与挡板的距离至少为h＝gt2＝0.05 m。它同水龙头与人耳的距离无关。因为不管人耳距水龙头多近或多远，时间差都由水滴落到挡板的时间差决定。
当听到n次声音时，事实上的时间间隔为(n－1)次，则h＝g()2，所以g＝。
答案：D
3－1在地震、地质、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g的值。近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛小球又落至原处所用的时间为T2。在小球运动过程中经过比O点高H处，小球离开H处又回到H处所用时间为T1，测得T2、T1和H，就可求得g，试推导g的表达式。
3－2某同学用图甲所示的装置研究重物的自由落体运动。在符合操作规程的前提下，得到图乙所示的一段纸带。若他测得AB之间的距离为s1，BC之间的距离为s2，已知打点周期为T。则利用上述条件得到重物下落的加速度计算式为a＝________；打B点时重物的瞬时速度计算式为vB＝________。
利用该装置测出的加速度总比当地重力加速度值略小，其主要原因是____________。
答案：
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1－1 BCD 解析：自由落体运动是物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，它是一种初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，如果空气阻力的作用比较小，可以忽略不计，物体的下落也可以看做自由落体运动，所以B、C、D正确，A不正确。
2－1 解析：如图所示，铁链自由下落2.45 m－0.49 m的距离，铁链下端B到达O点，此时铁链开始通过O点，至铁链上端A到达O点，算做铁链通过了O点。对本题来说要求的就是铁链AB的两端到达O点的时间差。
方法一：作出铁链AB下落过程的示意图，如图所示，因为铁链上各点的运动情况相同，因此可拿AB上的任一点为代表进行讨论。以B端为研究对象，B端到达O点所需的时间为t1，发生的位移为h1；A点到达O点所需的时间为t2，铁链长度L＝0.49 m，A端发生的位移为h2＝2.45 m，由图可知：
h1＝h2－L＝1.96 m①
h1＝gt②
h2＝gt③
由①②③可求得t＝t2－t1＝7.4×10－2 s。
方法二：如图所示，设当铁链的下端到达O点和铁链的上端到达O点时铁链下降的高度分别为h1和h2，它们经过O点的速度分别为v1和v2，则v1＝，v2＝。
铁链经过O点的时间为t，位移为铁链的长度L，则有t＝＝＝，代入数据得t＝7.4×10－2 s。
答案：7.4×10－2 s
3－1 解析：设小球上升的最高点距高H处为h，在最高点小球速度为零。小球上升的过程为末速度为零、加速度为g的匀减速直线运动，可以看做是逆向的自由落体运动，因此从某点算起，从该点升到最高处的时间就等于从最高处落回该点的时间。由题设情境，从最高点到O点有
H＋h＝g()2①
从最高点到高H处有
h＝g()2②
由①②解得g＝。
答案：g＝
3－2 解答：物体下落过程中，物体做匀加速直线运动。则有：
Δs＝aT2，所以a＝＝
由于做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，而B为A、C的中间时刻，所以AC段的平均速度即为B点的瞬时速度。则有vB＝AC＝。
测出的加速度比当地重力加速度值略小的原因是存在空气阻力和打点计时器对纸带有阻力的作用。
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